2025年高考数学一轮复习-直线、平面垂直的性质定理-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-直线、平面垂直的性质定理-专项训练【含答案】，共6页。
基 础 巩固练
1.已知平面α⊥平面β,直线l⊥平面α,则l与β的位置关系是( )

A.垂直B.平行
C.l⊂βD.平行或l⊂β
2.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,要使n⊥β,则应增加的条件是( )
A.m∥nB.n⊥m
C.n∥αD.n⊥α
3.(2023无锡调研)已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列结论正确的是( )
A.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b
B.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥β
C.若α∩β=a,b⊂β,b⊥a,则α⊥β
D.若α∩β=l,α⊥β,a⊂α,a⊥l,a∥b,则b⊥β
4.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是( )
A.EF⊥平面αB.EF⊥平面β
C.PQ⊥GED.PQ⊥FH
5.(多选题)已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,成立的是( )
A.AB∥mB.AC⊥m
C.AB∥βD.AC⊥β
6.(多选题)(2023江阴月考)关于三个不同的平面α、β、γ与直线l,下面命题中的真命题是( )
A.若α⊥β,则α内一定存在直线平行于β
B.若α与β不垂直,则α内一定不存在直线垂直于β
C.若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,则l⊥γ
D.若α⊥β,则α内所有直线都垂直于β
7.如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AC=BC=2,PC=1,AB=23,则二面角P-AB-C的大小为 .
第7题图
第8题图
8.如图,空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是 .
9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB⊥AA1,∠A1AC=2π3,M为棱CC1的中点,点T是线段BM上的一动点,AA1=AC=2AB=2.
(1)求证:CC1⊥AT.
(2)求平面B1BCC1与平面A1ACC1所成的二面角的正弦值.
综 合 提升练
10.在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥CD,∠ABC=90°,BC=PD=CD=PA=12AB=2,M为PA的中点,则下列选项中,不正确的是( )
A.MD∥平面PBC
B.PA⊥平面PBD
C.平面PCD⊥平面PAD
D.点C到平面PBD的距离为1
11.(多选题)(2023宿迁质检)如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=2,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体A-BCD,使平面ABD⊥平面BCD,则下列说法正确的是( )
A.平面ACD⊥平面ABD
B.AB⊥CD
C.平面ABC⊥平面ACD
D.AD⊥平面ABC
12.在如图所示的菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,对角线AC,BD交于点O,将△ABD沿BD折到△A'BD的位置,使平面A'BD⊥平面BCD.以下命题:
①BD⊥A'C;
②平面A'OC⊥平面BCD;
③平面A'BC⊥平面A'CD;
④三棱锥A'-BCD的体积为1.
其中真命题的序号为( )
A.①②③B.②③
C.③④D.①②④
13.如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α,β所成的角分别为π4和π6.过A,B分别作两平面交线的垂线,垂足分别为A',B',则AB∶A'B'= .
第13题图
第14题图
14.如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,平面ACC1A1⊥平面ABC,AB⊥BC,且AC=2A1C1=4,侧面ACC1A1是面积为62的等腰梯形,则侧棱BB1的长度为 .
15.如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.
(1)证明:OA⊥CD.
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.
创 新 应用练
16.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作平面α,使正方形ABCD、正方形ABB1A1、正方形ADD1A1所在平面与平面α所成的二面角的平面角相等,则这样的平面α可以作( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
17.(2023常州质检)《九章算术》是中国古代的一部数学专著,是《算经十书》中最重要的一部,成书于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作,是当时世界上最简练有效的应用数学,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”,已知在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC.
(1)从三棱锥P-ABC中选择合适的两条棱填空:
若 ⊥ ,则三棱锥P-ABC为“鳖臑”.
(2)如图,已知AD⊥PB,垂足为D,AE⊥PC,垂足为E,∠ABC=90°.
①证明:平面ADE⊥平面PAC.
②设平面ADE与平面ABC的交线为l,若PA=23,AC=2,求二面角E-l-C的大小.
参考答案
1.D 2.B 3.D 4.B 5.ABC 6.ABC
7.60° 8.45°
9.(1)证明 由题意可知,CC1∥AA1,又AB⊥AA1,所以AB⊥CC1,
连接AM,AC1,如图所示.
由∠A1AC=2π3,AA1=AC可知,△ACC1是正三角形,又M为棱CC1的中点,所以CC1⊥AM,
又AB⊂平面ABM,AM⊂平面ABM,AM∩AB=A,所以CC1⊥平面ABM,又AT⊂平面ABM,
所以CC1⊥AT.
(2)解 由(1)知,CC1⊥BM,CC1⊥AM,
根据二面角的定义可知,∠AMB即为所求二面角的平面角或其补角,
在正三角形ACC1中,AC=2,所以AM=3,
因为AB⊥AA1,BB1∥AA1,所以AB⊥BB1,
又AB⊥BC,且BB1∩BC=B,所以AB⊥平面B1BCC1,
而BM⊂平面B1BCC1,所以AB⊥BM,
在Rt△ABM中,AM=3,AB=1,
所以sin∠AMB=ABAM=13=33,
于是平面B1BCC1与平面A1ACC1所成的二面角的正弦值为33.
10.C 11.ABC 12.D 13.2∶1 14.3
15.(1)证明 在△ABD中,∵AB=AD,O为BD的中点,
∴AO⊥BD.
∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO⊂平面ABD,∴AO⊥平面BCD.
∵CD⊂平面BCD,∴AO⊥CD.
(2)解 如图,过点E作EN∥AO交BD于点N,过点N作NM∥CD交BC于点M,连接EM.
∵AO⊥平面BCD,EN∥AO,
∴EN⊥平面BCD,又BC⊂平面BCD,∴EN⊥BC.
在△BCD中,∵OB=OD=OC=1,
∴∠BCD=90°,即DC⊥BC.
∵NM∥CD,∴NM⊥BC.
又EN∩NM=N,
∴BC⊥平面EMN,又EM⊂平面EMN,∴BC⊥ME,
∴二面角E-BC-D的平面角是∠EMN,且∠EMN=45°,
故△EMN是等腰直角三角形.
∵DE=2AE,∴ND=2ON,
∴ND=23OD=23,
∴BN=43=23BD,
∴MN=23CD=23=EN,
∴EN=ND=23,∴AO=OD=1.
∵BC=BD2-CD2=22-12=3,
∴VA-BCD=13S△BCD·AO=13×12×1×3×1=36.
16.D
17.(1)解 因为“鳖臑”是由四个直角三角形组成的四面体,又PA⊥平面ABC,BC,AB,AC⊂平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,即△PAB,△PAC为直角三角形.
若BC⊥AB,由AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB,可得BC⊥平面PAB,又PB⊂平面PAB,
所以BC⊥PB,即△ABC,△PBC为直角三角形,满足四个面都是直角三角形.
同理,可得BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC,都能满足三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形.
故可填BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC.
(2)①证明 因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,
又BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB,
又AD⊂平面PAB,所以BC⊥AD,又AD⊥PB,PB∩BC=B,PB,BC⊂平面PBC,
所以AD⊥平面PBC,又PC⊂平面PBC,所以PC⊥AD,
又AE⊥PC,AE∩AD=A,AD,AE⊂平面ADE,
所以PC⊥平面ADE,又PC⊂平面PAC,所以平面ADE⊥平面PAC.
②解 由题意知,在平面PBC中,直线DE与直线BC相交.
如图所示,设DE∩BC=F,连接AF,则直线AF即为交线l.
因为PC⊥平面AED,l⊂平面AED,所以PC⊥l,
因为PA⊥平面ABC,l⊂平面ABC,
所以PA⊥l,又PA∩PC=P,PA,PC⊂平面PAC,所以l⊥平面PAC,
又AE,AC⊂平面PAC,所以AE⊥l,AC⊥l.
所以∠EAC即为二面角E-l-C的一个平面角.
在△PAC中,PA⊥AC,PA=23,AC=2,所以PC=4,又AE⊥PC,
所以AE=AP·ACPC=23×24=3,
所以cs∠EAC=AEAC=32,
所以∠EAC=30°,所以二面角E-l-C的大小为30°.