新高考数学一轮复习精选考点专项突破题集专题2.1《函数的性质》(含解析)
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专题2.1 函数的性质
1、(2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考)设函数,则( )
A.2 B.3 C.5 D.6
【答案】C
【解析】∵函数,
∴,
.
故选:C.
2、(2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末)函数是上的奇函数,当时,,则当时,( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】时,.
当时,,,
由于函数是奇函数,,
因此,当时,,故选C.
3、(2020届山东省临沂市高三上期末)函数()的值域是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,
,
.
即
故选:
4、(2020届山东省泰安市高三上期末)函数的部分图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】, 为奇函数,排除B
当时,恒成立,排除CD
故答案选A
5、(2020·河南高三月考(理))已知是偶函数,在上单调递减,,则的解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为是偶函数,所以关于直线对称;
因此,由得;
又在上单调递减,则在上单调递增;
所以,当即时,由得,所以,
解得;
当即时,由得,所以,
解得;
因此,的解集是.
6、(2019年北京高三月考)已知偶函数在区间上单调递增,则满足的的取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】偶函数在区间上单调递增
则在区间上单调递减
若满足
则
化简可得
解不等式可得,即
故选:A
7、(2019·山东师范大学附中高三月考)函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,,
,,
,由.
故选:C
8、(2020届山东省烟台市高三上期末)设,,,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题,因为单调递减,则;
因为单调递减,则;
因为单调递增,则,
所以,
故选:A
9、(2020年高考全国Ⅲ卷理数)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领城.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:,其中K为最大确诊病例数.当I()=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则约为( )(ln19≈3)
A.60 B.63
C.66 D.69
【答案】C
【解析】,所以,则,
所以,,解得.
故选:C.
10、(2020年高考全国Ⅲ卷理数)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则( )
A.a<b<c B.b<a<c
C.b<c<a D.c<a<b
【答案】A
【解析】由题意可知、、,,;
由,得,由,得,,可得;
由,得,由,得,,可得.
综上所述,.
故选:A.
11、(2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟)若函数是奇函数,则使的的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意,函数是奇函数,则,
即,可得,
则,有,解可得,
即函数的定义域为,
设,则,
,则在上为增函数,而在上为增函数,则在上为增函数,
若,即,解可得,
则,即,解得,
又由,则有,
即的取值范围为;
故选:A.
12、(2020·山东省淄博实验中学高三上期末)已知定义在上的奇函数,满足时,,则的值为( )
A.-15 B.-7 C.3 D.15
【答案】A
【解析】因为奇函数的定义域关于原点中心对称
则,解得
因为奇函数当时,
则
故选:A
13、(2020年高考全国I卷理数)若,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设,则为增函数,因为
所以,
所以,所以.
,
当时,,此时,有
当时,,此时,有,所以C、D错误.
故选:B.
14、(2020年新高考全国Ⅰ卷)若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减,且,
所以在上也是单调递减,且,,
所以当时,,当时,,
所以由可得:
或或.
解得或,
所以满足的的取值范围是,
故选:D.
二、多选题
15、(2020届山东省枣庄市高三上学期统考)下列函数既是偶函数,又在上单调递减的是( )
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
对于A选项,为偶函数,且当时,为减函数,符合题意.
对于B选项,为偶函数,根据幂函数单调性可知在上递增,不符合题意.
对于C选项,为奇函数,不符合题意.
对于D选项,为偶函数,根据复合函数单调性同增异减可知,在区间上单调递减,符合题意.
故选:AD.
16、(2020届山东省临沂市高三上期末)若,,则( )
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】由,,得,,则
,
,
,
故正确的有:
故选:.
17、(2020年南通期末)对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是
A. B.
C. D.
【答案】.
【解析】:若,则对数函数在上单调递增,二次函数开口向上,对称轴,经过原点,可能为,不可能为.
若,则对数函数在上单调递减,二次函数开口向下,对称轴,经过原点,可能为,不可能为.
故选:.
18、(2020届山东省日照市高三上期末联考)已知定义在上的函数满足条件,且函数为奇函数,则( )
A.函数是周期函数 B.函数的图象关于点对称
C.函数为上的偶函数 D.函数为上的单调函数
【答案】ABC
【解析】
因为,所以,即,故A正确;
因为函数为奇函数,所以函数图像关于原点成中心对称,所以B正确;
又函数为奇函数,所以,根据,令代有,所以,令代有,即函数为上的偶函数,C正确;
因为函数为奇函数,所以,又函数为上的偶函数,,所以函数不单调,D不正确.
故选:ABC.
三、填空题
19、(2020届山东省枣庄市高三上学期统考)若,则__________.
【答案】
【解析】因为,所以,应填答案.
20、(2020届江苏省七市第二次调研考试)在平面直角坐标系中,曲线在点处的切线与x轴相交于点A,其中e为自然对数的底数.若点,的面积为3,则的值是______.
【答案】
【解析】由题,,切线斜率,则切线方程为,令,解得,又的面积为3,,解得.
故答案为:
21、(2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟)若幂函数的图象经过点,则其单调递减区间为_______.
【答案】
【解析】幂函数的图象经过点,
则,解得;
所以,其中;
所以的单调递减区间为.
故答案为:.
22、(2020届山东省潍坊市高三上期中)已知函数是定义在上的偶函数,且在上是减函数, 则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】是定义在上的偶函数,且在上是减函数,,
,
则不等式等价为不等式,
即,
即不等式的解集为,
故答案为:.
23、(2020届山东省滨州市三校高三上学期联考)已知定义在上的函数满足,且图像关于对称,当时,,则________.
【答案】-2
【解析】因为图像关于对称,则,
,
故是以8为周期的周期函数,
故答案为:.
24、(2020届山东师范大学附中高三月考)已知函数是定义在上的奇函数,当时,有恒成立,若,则x的取值范围是________.
【答案】
【解析】根据已知条件:当时,有恒成立,得函数是定义在上的减函数,
又因为函数是定义在上的奇函数,所以,故等价于,
所以,即.
故答案为:.
四、解答题
25、(1)已知a,b,c均为正数,且3a=4b=6c,求证:+= ;
(2)若60a=3,60b=5,求的值.
【解析】 (1)设3a=4b=6c=k,则k>1.由对数定义得a=log3k,b=log4k,c=log6k,
则+=+
=2logk3+logk4
=logk9+logk4
=logk36.
又==2logk6=logk36,
∴+=.
(2)由a=log603,b=log605,得1-b=1-log605=log6012,
于是1-a-b=1-log603-log605=log604,
则有==log124,
∴12=
12log124
=12log122=2.
26、函数f(x)定义域D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明;
(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求实数x的取值范围.
【解】 (1)令x1=x2=1,有f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.
(2)f(x)为偶函数,证明如下:令x1=x2=-1,
有f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1),解得f(-1)=0.令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.
(3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3.由f(3x+1)+f(2x-6)≤3,变形为f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64).(*)
∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|).∴不等式(*)等价于f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64).
又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴|(3x+1)(2x-6)|≤64,且(3x+1)(2x-6)≠0.解得-≤x<-或-<x<3或3<x≤5.
∴x的取值范围是{x|-≤x≤-或-<x<3或3<x≤5}.
27、(1)设函数f(x)=(x∈R)为奇函数,求实数a的值;
(2)设函数f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,在(0,1)上是增函数,若f(a-2)-f(4-a2)<0,求实数a的取值范围.
【解】 (1)要使f(x)为奇函数,∵ x∈R,
∴需f(x)+f(-x)=0成立.
又∵f(x)=a-,
∴ f(-x)=a-=a-.
由+=0,得2a-=0,∴ a=1.
(2)由f(x)的定义域是,知解得<a<.
由f(a-2)-f(4-a2)<0,得f(a-2)<f(4-a2).∵函数f(x)是偶函数,∴ f(|a-2|)<f(|4-a2|).
由于f(x)在(0,1)上是增函数,∴ |a-2|<|4-a2|,解得a<-3或a>-1且a≠2.
综上,实数a的取值范围是<a<且a≠2.
28、(江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测)已知函数,.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)设函数,若,且在上恒成立,求的取值范围;
(3)设函数,若,且在上存在零点,求的取值范围.
【解析】(1)当时,
令得:
函数的定义域为
当时,;当时,,
函数的单调减区间为,单调增区间为
(2)由得:.
当时,恒成立
当,即时,恒成立;
当,即时,
解得:
综上所述:
当时,由恒成立得:恒成立
设,则.
令得:
当时,;当时,
综上所述:的取值范围为:
(3)
在上存在零点 在上有解
即在上有解
又,即
在上有解
设,则
令得:
当时,;当时,
,即 .
设,则
同理可证:
则在上单调递减,在上单调递增
,故
的取值范围为:
29、(2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测)已知函数是奇函数.
(1)求实数,的值;
(2)若对任意实数,都有成立.求实数的取值范围.
【解析】(1)当时,,
因为为奇函数,∴,
∴,
即总成立.
∴,∴,
又当时,同理可得,综上.
(2)∵,,原不等式化为,
令,则,原不等式进一步化为在上恒成立.
记,.
①当时,即时,,∴合理;
②当时,即时,,显然矛盾.
综上实数的取值范围为:.
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