2025高考数学一轮复习-10.3-二项式定理-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-10.3-二项式定理-专项训练【含解析】，共7页。试卷主要包含了 项，故选A等内容，欢迎下载使用。

1. 2x−134x6的展开式的中间项为（ ）.
A. −40B. −40x2C. 40D. 40x2
2. （改编）1+x2+1+x3+⋯+1+x8的展开式中x3的系数是（ ）.
A. 70B. 126C. 122D. 120
3. 若1+2x6的展开式的第二项大于它的相邻两项，则实数x的取值范围是（ ）.
A. (112,15)B. (16,15)C. (112,23)D. (16,25)
4. （改编）在3x−1x5的展开式中,有理项共有（ ）项.
A. 2B. 3C. 4D. 5
5. 已知2x−14=a0+a1x−1+a2x−12+a3x−13+a4x−14，则a2=（ ）.
A. 18B. 24C. 36D. 56
6. （改编）设a=C2017+C20272+C20373+⋯+C2019719+C2020720,则a除以9所得的余数为（ ）.
A. −1B. 0C. 2D. 8
7. 若2−x5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则下列结论正确的是（ ）.
A. a0=1B. a1+a2+a3+a4+a5=−25
C. a0−a1+a2−a3+a4−a5=34D. a0−a1+a2−a3+a4−a5=1
8. 若x+ax2x−1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为（ ）.
A. −40B. −20C. 20D. 40
综合提升练
9. （多选题）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，以下关于杨辉三角的猜想中正确的是（ ）.
A. 由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：Cnm=Cnn−m
B. 由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：Cn+1k=Cnk−1+Cnk
C. 由“第n行所有数之和为2n”猜想：Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn=2n
D. 由“111=11,112=121,113=1331”猜想：115=15101051
10. （多选题）若1−2x2022=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a2022x2022x∈R，则（ ）.
A. a0=1B. a1+a3+a5+⋯+a2021=32021+12
C. a0+a2+a4+⋯+a2022=32022+12D. a12+a222+a323+⋯+a202222022=−1
11. 已知在x2+2xn的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数的比值为12，则展开式中最大的二项式系数为______.
12. （双空题）已知3x+x22n的展开式的二项式系数和比3x−1n的展开式的二项式系数和大992，则在2x−1x2n的展开式中，二项式系数最大的项为第6项，系数的绝对值最大的项为第______项.
应用情境练
13. 已知a+bn的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值为______.
14. 若0.9910的十分位为n1，百分位为n2，千分位为n3，则n1，n2，n3分别为______
创新拓展练
15. x2+1x+25的展开式中的常数项为________.（用数字作答）
16. 已知m，n是正整数，fx=1+xm+1+xn的展开式中x的系数为7.
（1）对于使fx的展开式中的x2的系数最小的m，n，求出此时x3的系数；
（2）利用上述结果，求f0.003的近似值.（精确到0.01）
2025高考数学一轮复习-10.3-二项式定理-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. 2x−134x6的展开式的中间项为（ B ）.
A. −40B. −40x2C. 40D. 40x2
[解析]2x−134x6 的展开式的中间项为C632x3⋅−134x3=−40x2.故选B.
2. （改编）1+x2+1+x3+⋯+1+x8的展开式中x3的系数是（ B ）.
A. 70B. 126C. 122D. 120
[解析]1+x2+1+x3+⋯+1+x8 的展开式中x3 的系数为C33+C43+C53+⋯+C73+C83，因为Cnm−1+Cnm=Cn+1m 且C33=C44，逐步推理计算可得结果为C94=126.故选B.
3. 若1+2x6的展开式的第二项大于它的相邻两项，则实数x的取值范围是（ A ）.
A. (112,15)B. (16,15)C. (112,23)D. (16,25)
[解析]∵ C612x>C60,
C612x>C622x2,∴x>112, 04. （改编）在3x−1x5的展开式中,有理项共有（ B ）项.
A. 2B. 3C. 4D. 5
[解析]通项为Tr+1=C5r3x5−r−x−12r=C5r35−r−1rx5−32r,r=0,1,2,3,4,5.若5−32r 为整数,则r=0,2,4,故有理项共有3项.故选B.
5. 已知2x−14=a0+a1x−1+a2x−12+a3x−13+a4x−14，则a2=（ B ）.
A. 18B. 24C. 36D. 56
[解析]2x−14=[1+2x−1]4，故a2x−12=C42[2x−1]2=4C42x−12，a2=4C42=24.故选B.
6. （改编）设a=C2017+C20272+C20373+⋯+C2019719+C2020720,则a除以9所得的余数为（ B ）.
A. −1B. 0C. 2D. 8
[解析]因为a=C200+C2017+C20272+C20373+⋯+C2019719+C2020720−1,
所以a=1+720−1=−1+920−1=C200−120+C201−1199+C202−11892+⋯+C2020−10920−1,正好为9的整数倍，所以a 除以9所得的余数为0.故选B.
7. 若2−x5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则下列结论正确的是（ D ）.
A. a0=1B. a1+a2+a3+a4+a5=−25
C. a0−a1+a2−a3+a4−a5=34D. a0−a1+a2−a3+a4−a5=1
[解析]令x=0,得a0=25，A错误；
令x=1,得a0+a1+⋯+a5=1，所以a1+a2+⋯+a5=1−25，B错误；
令x=−1,得a0−a1+a2−a3+a4−a5=35，C错误；
由题意知，a0，a2，a4均为正，a1，a3，a5均为负，因此a0−a1+a2−a3+a4−a5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，D正确.故选D.
8. 若x+ax2x−1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为（ D ）.
A. −40B. −20C. 20D. 40
[解析]令x=1，得1+a2−15=2，∴a=1，
则2x−1x5 的通项公式Tk+1=C5k2x5−k⋅−1xk=−1k25−k⋅C5kx5−2k.
令5−2k=1，得k=2；令5−2k=−1，得k=3.
故展开式的常数项为−12×23×C52+−13×22×C53=80−40=40.故选D.
综合提升练
9. （多选题）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，以下关于杨辉三角的猜想中正确的是（ ABC ）.
A. 由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：Cnm=Cnn−m
B. 由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：Cn+1k=Cnk−1+Cnk
C. 由“第n行所有数之和为2n”猜想：Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn=2n
D. 由“111=11,112=121,113=1331”猜想：115=15101051
[解析]由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A，B，C正确；
115=1+105=C50+C51×10+C52×102+C53×103+C54×104+C55×105=161051，D错误.故选ABC.
10. （多选题）若1−2x2022=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a2022x2022x∈R，则（ ACD ）.
A. a0=1B. a1+a3+a5+⋯+a2021=32021+12
C. a0+a2+a4+⋯+a2022=32022+12D. a12+a222+a323+⋯+a202222022=−1
[解析]当x=0 时，a0=12022=1，当x=1 时，a0+a1+a2+a3+⋯+a2022=−12022=1，当x=−1 时，a0−a1+a2−a3+⋯−a2021+a2022=32022，所以a1+a3+a5+⋯+a2021=1−320222，a0+a2+a4+⋯+a2022=32022+12，a12+a222+a323+⋯+a202222022=a1×12+a2×122+⋯+a2022×122022，当x=12 时，0=a0+a1×12+a2×122+⋯+a2022×122022，所以a1×12+a2×122+⋯+a2022×122022=−a0=−1.故选ACD.
11. 已知在x2+2xn的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数的比值为12，则展开式中最大的二项式系数为35.
[解析]x2+2xn 的展开式的通项公式Tk+1=Cnkx2n−k⋅2xk=Cnk⋅2k⋅x2n−52k，所以展开式中第4项的系数为Cn3⋅23，倒数第4项的系数为Cnn−3⋅2n−3，所以Cn3⋅23Cnn−3⋅2n−3=12，即12n−6=12,则n−6=1，得n=7，所以展开式中最大的二项式系数为C73=C74=35.
12. （双空题）已知3x+x22n的展开式的二项式系数和比3x−1n的展开式的二项式系数和大992，则在2x−1x2n的展开式中，二项式系数最大的项为第6项，系数的绝对值最大的项为第4项.
[解析]22n−2n=992，即2n−322n+31=0，故2n=32，解得n=5.由二项式系数的性质知，2x−1x10的展开式中第6项的二项式系数最大.设第k+1 项的系数的绝对值最大，由Tk+1=C10k⋅2x10−k⋅−1xk=−1kC10k⋅210−k⋅x10−2k，
得C10k⋅210−k≥C10k−1⋅210−k+1, C10k⋅210−k≥C10k+1⋅210−k−1,
得C10k≥2C10k−1, 2C10k≥C10k+1, 即11−k≥2k, 2k+1≥10−k, 解得83≤k≤113，
因为k∈Z，所以k=3.
故系数的绝对值最大的项是第4项.
应用情境练
13. 已知a+bn的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值为7或8或9.
[解析]∵a+bn 的展开式中第5项的二项式系数Cn4 最大，∴n=7或n=8 或n=9.
14. 若0.9910的十分位为n1，百分位为n2，千分位为n3，则n1，n2，n3分别为9,0,4.
[解析]0.9910=1−0.0110=C100×110×−0.010+C101×19×−0.011+C102×18×−0.012+⋯+C1010×10×−0.0110=1−0.1+0.0045+⋯+0.0110≈0.9045.
创新拓展练
15. x2+1x+25的展开式中的常数项为6322 .（用数字作答）
[解析]原式=x2+22x+22x5=132x5[x+22]5=132x5x+210,则求原式的展开式中的常数项，转化为求x+210 的展开式中含x5 项的系数，即C10525，所以所求的常数项为C1052532=6322.
16. 已知m，n是正整数，fx=1+xm+1+xn的展开式中x的系数为7.
（1）对于使fx的展开式中的x2的系数最小的m，n，求出此时x3的系数；
（2）利用上述结果，求f0.003的近似值.（精确到0.01）
[解析]（1）根据题意得Cm1+Cn1=7，即m+n=7， ①
fx 展开式中的x2 的系数为Cm2+Cn2=m2+n2−m−n2，
将①变形为n=7−m，代入上式得展开式中x2 的系数为m2−7m+21=m−722+354，
故当m=3 或m=4 时，展开式中x2 的系数的最小值为9.
当m=3，n=4时，展开式中x3 的系数为C33+C43=5；
当m=4，n=3时，展开式中x3 的系数为C43+C33=5.
（2）f0.003=1+0.0034+1+0.0033≈C40+C41×0.003+C30+C31×0.003≈2.02.