2025高考数学一轮复习-第49讲-二项式定理及其应用-专项训练【含解析】

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A. −45 B. −10 C. 10 D. 45
2.Cn1+2Cn2+4Cn3+…+2n−1Cnn= ( )
A. 3n B. 2⋅3n C. 3n2−1 D. 3n−12
3. 若x−2xn 的展开式中第5项是常数项，则自然数n= ( )
A. 6 B. 10 C. 12 D. 15
4.若1+2x1−2x5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6 ，x∈R ，则a2 的值为( )
A. −20 B. 20 C. 40 D. 60
5. 二项式3x+13xn 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( )
A. 3 B. 5 C. 6 D. 7
6. 已知1−x2n 的展开式中所有项的系数和等于1256 ，则展开式中项的系数的最大值是( )
A. 72 B. 358 C. 7 D. 70
7.1+2x−x2n 展开式中各项系数的和为64，则该展开式中的x3 的系数为( )
A. −60 B. −30 C. 100 D. 160
8.已知mx+1nn∈N∗,m∈R 的展开式只有第 5 项的二项式系数最大，设mx+1n=a0+a1x+a2x2+…+anxn ，若a1=8 ，则a2+a3+…+an= ( )
A. 63 B. 64 C. 247 D. 255
9. （多选）已知x−15=a0+a1x+1+a2x+12+…+a5x+15 ，则( )
A. a0=−32 B. a2=−80
C. a3+4a4=0 D. a0+a1+…+a5=1
10.（多选）设1+xn=a0+a1x+a2x2+…+anxn ，其中n≥2 ,n∈N∗ ，则( )
A. a0=1 B. a1+a2+a3+…+an=2n
C. a0−a1+a2−…+−1nan=0 D. a1+2a2+3a3+…+nan=n2n−1
11. 2x−134x6 的展开式的中间项为 .
12.已知二项式x+1x5nn∈N∗ 展开式中含有常数项，则n 的最小值为 .
13. 在二项式2+x9 的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 .
14.若x+2+m9=a0+a1x+1+a2x+12+…+a9x+19 ，且a0+a2+…+a82−a1+a3+…+a92=39 ，则实数m 的值为 .
[B级 综合运用]
15.已知S=230+229C3029+228⋅C3028+…+2C301 ，则S 除以10所得的余数为( )
A. 2 B. 3 C. 6 D. 8
16.已知x−2xn 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为 .
17. 若1+x7+kx2+x+13=a0+a1x+a2x2+…+a7x7 ，且a2+2a3+3a4+4a5+5a6+6a7=46 ，则k= .
18. 设x1−2x100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100x∈R .
（1） 求a0+a1+a2+…+a100 的值；
（2） 求a1+a3+a5+…+a99 的值；
（3） 求a0+a1+a2+…+a100 的值.
[C级 素养提升]
19. 已知Sn 是数列{an} 的前n 项和，若1−2x2024=b0+b1x+b2x2+…+b2024x2024 ,数列{an} 的首项a1=b12+b222+…+b202422024 ,an+1=SnSn+1 ，则S2024= ( )
A. −12024 B. 12024 C. 2024 D. −2024
20. 在①展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64:1 ，②展开式中前三项的二项式系数之和为22这两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答.问题：已知二项式1+3xn , .
（1）求展开式中系数最大的项；
（2）求1+3xn1−x5 中含x2 项的系数.
2025高考数学一轮复习-第49讲-二项式定理及其应用-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 1x−x10 的展开式中，x2 的系数为( D )
A. −45 B. −10 C. 10 D. 45
[解析]选D.1x−x10 的通项为Tr+1=C10r1x10−r⋅−xr=−1rC10rx32r−10 ，
令32r−10=2 ，解得r=8 ，所以x2 的系数为−18C108=45 .故选D.
2.Cn1+2Cn2+4Cn3+…+2n−1Cnn= ( D )
A. 3n B. 2⋅3n C. 3n2−1 D. 3n−12
[解析]选D.Cn1+2Cn2+4Cn3+…+2n−1Cnn=1221Cn1+22Cn2+23Cn3+…+2nCnn=1220Cn0+21Cn1+22Cn2+23Cn3+…+2nCnn−12=121+2n−12=3n−12 .故选D.
3. 若x−2xn 的展开式中第5项是常数项，则自然数n= ( C )
A. 6 B. 10 C. 12 D. 15
[解析]选C.由x−2xn 的展开式中第5项Cn4⋅xn−4−2x4=16Cn4xn2−6 是常数项，可得n2−6=0 ,解得n=12 .故选C.
4.若1+2x1−2x5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6 ，x∈R ，则a2 的值为( B )
A. −20 B. 20 C. 40 D. 60
[解析]选B.因为1+2x1−2x5=1−2x5+2x1−2x5 ，故展开式中x2 的系数a2=C52−22+2×C51⋅−21=40−20=20 .故选B.
5. 二项式3x+13xn 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( D )
A. 3 B. 5 C. 6 D. 7
[解析]选D.根据3x+13xn 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n=20 ,所以3x+13x20 的展开式的通项为Tk+1=C20k⋅3x20−k⋅13xk=320−k⋅C20k⋅x20−4k3 ，要使x 的指数是整数，需k 是3的倍数，所以k=0 ,3 ,6 ,9 ,12 ,15 ,18 ，所以x 的指数是整数的项共有7项.
6. 已知1−x2n 的展开式中所有项的系数和等于1256 ，则展开式中项的系数的最大值是( C )
A. 72 B. 358 C. 7 D. 70
[解析]选C.令x=1 得1−12n=1256 ,所以n=8 ,所以1−x28 的展开式的通项为Tr+1=C8r−x2r ,要求展开式中项的系数的最大值，则r 必为偶数，所以T1=C80−x20=1 ,T3=C82−x22=7x2 ,T5=C84−x24=358x4 ,T7=C86−x26=716x6 ,T9=C88−x28=1256x8 ，故选C.
7.1+2x−x2n 展开式中各项系数的和为64，则该展开式中的x3 的系数为( C )
A. −60 B. −30 C. 100 D. 160
[解析]选C.取x=1 代入，得1+2−1n=64 ，解得n=6 .
则原式=1+2x−x26=C601+2x6+C611+2x5⋅−x2+…+C66−x26 ，其中，只有前两项包含x3 项.1+2x6=C602x6+C612x5+…+C662x0 ，其中含x3 项的系数为C63⋅23=160 ；
1+2x5=C502x5+C512x4+…+C552x0 ，其中含x 项的系数为C54⋅21=10 .故原式展开式中的x3 的系数为C60⋅160+C61⋅10⋅−1=100 .故选C.
8.已知mx+1nn∈N∗,m∈R 的展开式只有第 5 项的二项式系数最大，设mx+1n=a0+a1x+a2x2+…+anxn ，若a1=8 ，则a2+a3+…+an= ( C )
A. 63 B. 64 C. 247 D. 255
[解析]选C.因为展开式只有第 5 项的二项式系数最大，所以展开式共9项，所以n=8 ，因为a1=C87⋅m=8 ，所以m=1 ，
所以x+18=a0+a1x+a2x2+…+a8x8 ，
令x=1 ，得a0+a1+a2+a3+…+a8=28=256 ，
令x=0 ，得a0=1 ，
所以a2+a3+…+an=256−8−1=247 .故选C.
9. （多选）已知x−15=a0+a1x+1+a2x+12+…+a5x+15 ，则( ABC )
A. a0=−32 B. a2=−80
C. a3+4a4=0 D. a0+a1+…+a5=1
[解析]选ABC.令x=−1 得−1−15=a0 ,即a0=−32 ,故A正确.令x=0 得−15=a0+a1+…+a5 ，即a0+a1+…+a5=−1 ，故D不正确.令x+1=y ,则原式就变为y−25=a0+a1y+a2y2+…+a5y5 ，根据二项式定理知，a2 即二项式y−25 展开式中y2 的系数，Tk+1=C5ky5−k−2k ,故a2=C53−23=−80 ，故B正确.a4=C51−21=−10 ,a3=C52−22=40 ,所以a3+4a4=0 ,故C正确.
10.（多选）设1+xn=a0+a1x+a2x2+…+anxn ，其中n≥2 ,n∈N∗ ，则( ACD )
A. a0=1 B. a1+a2+a3+…+an=2n
C. a0−a1+a2−…+−1nan=0 D. a1+2a2+3a3+…+nan=n2n−1
[解析]选ACD.由题意，令x=0 ，得a0=1 ，故A正确；
令x=1 ，得1+1n=a0+a1+a2+…+an ，则a1+a2+a3+…+an=2n−1 ，故B错误；
令x=−1 ，得1−1n=a0−a1+a2−…+−1nan ，即a0−a1+a2−…+−1nan=0 ，故C正确；
令fx=1+xn=a0+a1x+a2x2+…+anxn ,
f′x=n1+xn−1=a1+2a2x+…+nanxn−1 ，
令x=1 ，得n1+1n−1=a1+2a2+…+nan ，即a1+2a2+3a3+…+nan=n2n−1 ，故D正确.
故选ACD.
11. 2x−134x6 的展开式的中间项为−40x2 .
[解析]2x−134x6 的展开式的中间项为C632x3⋅−134x3=−40x2 .
12.已知二项式x+1x5nn∈N∗ 展开式中含有常数项，则n 的最小值为6.
[解析]二项式x+1x5nn∈N∗ 展开式的通项为Tk+1=Cnkxn−k1x5k=Cnkxn−6kn∈N∗,k∈N ，
因为二项式x+1x5nn∈N∗ 展开式中含有常数项，
所以n−6k=0 有解，所以n=6k ，则当k=1 时，n 最小，且最小值为6.
13. 在二项式2+x9 的展开式中，常数项是162 ，系数为有理数的项的个数是5.
[解析]由二项展开式的通项可知Tr+1=C9r⋅29−r⋅xr ,r∈N ,0≤r≤9 ，当项为常数项时，r=0 ,T1=C90⋅29⋅x0=29=162 .当项的系数为有理数时，9−r 为偶数，可得r=1 ,3 ,5 ,7 ,9 ,即系数为有理数的项的个数是5.
14.若x+2+m9=a0+a1x+1+a2x+12+…+a9x+19 ，且a0+a2+…+a82−a1+a3+…+a92=39 ，则实数m 的值为1或−3 .
[解析]在x+2+m9=a0+a1x+1+a2x+12+…+a9x+19 中，
令x=−2 可得a0−a1+a2−a3+…+a8−a9=m9 ，即a0+a2+…+a8−a1+a3+…+a9=m9 .
令x=0 ,可得a0+a2+…+a8+a1+a3+…+a9=2+m9 .
因为a0+a2+…+a82−a1+a3+…+a92=39 ，
所以a0+a2+…+a8+a1+a3+…+a9[a0+a2+…+a8−a1+a3+…+a9]=39 ，
即2+m9⋅m9=2m+m29=39 ，
所以2m+m2=3 ，解得m=1 或m=−3 .
[B级 综合运用]
15.已知S=230+229C3029+228⋅C3028+…+2C301 ，则S 除以10所得的余数为( D )
A. 2 B. 3 C. 6 D. 8
[解析]选D.S=230+229C3029+228C3028+…+2C301=1+230−1=915−1=10−115−1
=C150×1015×−10+C151×1014×−11+…+C1514×10×−114+C1515×−115−1
=C150×1015×−10+C151×1014×−11+…+C1514×10×−114−2 ,
所以S 除以10所得的余数为8.故选D.
16.已知x−2xn 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为−1792 .
[解析]因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n=8 ，
所以展开式的通项为Tr+1=C8rx8−r−2xr=−2rC8rx8−3r2 ,r=0 ,1 ,… ,8 ，
则该展开式中各项系数ar=−2rC8r ,r=0 ,1 ,… ,8 .
若求系数的最小值，则r 为奇数且ar−ar+2≤0,ar−ar−2≤0,
即−2rC8r−−2r+2C8r+2≤0，−2rC8r−−2r−2C8r−2≤0， 解得r=5 .
所以系数的最小值为a5=−25C85=−1792 .
17. 若1+x7+kx2+x+13=a0+a1x+a2x2+…+a7x7 ，且a2+2a3+3a4+4a5+5a6+6a7=46 ，则k= −5 .
[解析]在等式1+x7+kx2+x+13=a0+a1x+a2x2+…+a7x7 中，令x=0 ，可得a0=1+k ，
令x=1 ，可得128+27k=a0+a1+a2+…+a7 ，
对等式1+x7+kx2+x+13=a0+a1x+a2x2+…+a7x7 两边求导得
71+x6+3k2x+1x2+x+12=a1+2a2x+…+7a7x6 ，
令x=1 可得448+81k=a1+2a2+…+7a7 ，
故a2+2a3+3a4+4a5+5a6+6a7=a0+a1+2a2+…+7a7−a0+a1+a2+…+a7=1+k+448+81k−128+27k=46 ,解得k=−5 .
18. 设x1−2x100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100x∈R .
（1） 求a0+a1+a2+…+a100 的值；
[答案]解：令x=1 ，得a0+a1+a2+…+a100=−1100=1 .
（2） 求a1+a3+a5+…+a99 的值；
[答案]令x=−1 ，得a0−a1+a2−…−a99+a100=3100 .①
由（1）知，a0+a1+a2+…+a100=1 .②
由②-①，得2a1+a3+…+a99=1−3100 ，
故a1+a3+a5+…+a99=1−31002 .
（3） 求a0+a1+a2+…+a100 的值.
[答案]a0+a1+a2+…+a100 相当于1+2x100 的展开式中各项系数之和，令x=1 ，可得a0+a1+a2+…+a100=1+2100=3100 .
[C级 素养提升]
19. 已知Sn 是数列{an} 的前n 项和，若1−2x2024=b0+b1x+b2x2+…+b2024x2024 ,数列{an} 的首项a1=b12+b222+…+b202422024 ,an+1=SnSn+1 ，则S2024= ( A )
A. −12024 B. 12024 C. 2024 D. −2024
[解析]选A.令x=12 ，得1−2×12​2024=b0+b12+b222+…+b202422024=0 .又因为b0=1 ，所以a1=b12+b222+…+b202422024=−1 .由an+1=SnSn+1=Sn+1−Sn ,得Sn+1−SnSnSn+1=1Sn−1Sn+1=1 ，所以1Sn+1−1Sn=−1 ,所以数列{1Sn} 是首项为1S1=−1 ，公差为−1 的等差数列，所以1Sn=−1+n−1⋅−1=−n ,所以Sn=−1n ,所以S2024=−12024 .
20. 在①展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64:1 ，②展开式中前三项的二项式系数之和为22这两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答.问题：已知二项式1+3xn , .
（1）求展开式中系数最大的项；
（2）求1+3xn1−x5 中含x2 项的系数.
[答案]解：选条件①.令x=1 ,得展开式中所有项的系数之和为4n ,又展开式中所有项的二项式系数之和为2n ,所以4n2n=2n=64 ,解得n=6 .
选条件②.由前三项的二项式系数之和为22，得Cn0+Cn1+Cn2=22 ,即1+n+nn−12=22 ,解得n=6 .
（1）1+3x6 的展开式的通项为Tr+1=C6r3rxrr=0,1,2,3,4,5,6 .
设展开式中系数最大的项为第r+1 项，
则C6r3r≥C6r+13r+1，C6r3r≥C6r−13r−1， 即16−r≥3r+1,3r≥17−r,
解得174≤r≤214 ,又0≤r≤6 ,r∈N ,所以r=5 ，
故展开式中系数最大的项为T6=C65⋅3x5=1458x5 .
（2）由题得1+3xn1−x5=1+3x61−x5 ,
故含x2 项的系数为C52+C62×32+C61×3×C51×−1=55 .