2025高考数学一轮复习-两直线的位置关系-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-两直线的位置关系-专项训练【含解析】，共8页。


1．“a＝1”是“直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．点(1,2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是( )
A．(1,0) B．(0,1)
C．(0，－1)D．(2,1)
3．点P(cs θ，sin θ)到直线3x＋4y－12＝0的距离的取值范围为( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(12,5)，\f(17,5)))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,5)，\f(12,5)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,5)，\f(17,5)))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(12,5)，\f(24,5)))
4．直线l：y＝k(x＋2)上存在两个不同点到原点距离等于1，则k的取值范围是( )
A．(－2,2)B．(－eq \r(3)，eq \r(3))
C．(－1,1)D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))
5．若直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)与原点之间的距离的最小值为( )
A．eq \r(5) B．eq \r(6)
C．2eq \r(3)D．2eq \r(5)
6．(多选)已知直线l经过点(3,4)，且点A(－2,2)，B(4，－2)到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为( )
A．2x＋3y－18＝0B．2x－y－2＝0
C．x＋2y＋2＝0D．2x－3y＋6＝0
7．(多选)已知三条直线l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0．若l1，l2，l3三条直线构不成三角形，则m的值可能为( )
A．eq \f(2,3)B．－eq \f(4,3)
C．－eq \f(2,3)D．eq \f(4,3)
8．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________．
9．已知动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，则eq \f(1,2a)＋eq \f(2,c)的最小值为________．
10．已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4,1)，B(0,4)，C(2,0)．
(1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小；
(2)试在l上求一点Q，使||AQ|－|BQ||最大．
11．设直线l：3x＋2y－6＝0，P(m，n)为直线l上动点，则(m－1)2＋n2的最小值为( )
A．eq \f(9,13)B．eq \f(3,13)
C．eq \f(3\r(13),13)D．eq \f(\r(13),13)
12．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤3，若将军从点A(3,1)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝5，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )
A．eq \r(10)－eq \r(3)B．eq \r(10)
C．2eq \r(5)－eq \r(3)D．2eq \r(5)
13．已知直线l1：kx＋y－1＝0，l2：x＋ky＋1＝0，若l1∥l2，则k＝________；若曲线：y＝|x|与直线l1有两个公共点，则实数k的取值范围是________．
14．已知直线l：(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0．
(1)m为何值时，点Q(3,4)到直线的距离最大，最大值为多少？
(2)若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．
15．(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝eq \f(ax0＋by0＋c,\r(a2＋b2))．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2．以下命题不正确的是( )
A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直
C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交
16．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A，B)为ρ(A，B)＝|x2－x1|＋|y2－y1|．对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)若点C(x，y)是平面xOy上的点，试证明：ρ(A，C)＋ρ(C，B)≥ρ(A，B)；
(2)若A，B两点在平行于坐标轴的同一条直线上，在平面xOy上是否存在点C(x，y)，同时满足：①ρ(A，C)＋ρ(C，B)＝ρ(A，B)；②ρ(A，C)＝ρ(C，B)？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请说明理由．
课时过关检测(四十七)
两直线的位置关系【解析版】
1．“a＝1”是“直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 当a＝1时，直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0的斜率为－3，直线ax－3y＋3＝0的斜率为eq \f(1,3)，两直线垂直；当a＝0时，两直线也垂直，所以“a＝1”是“直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直”的充分不必要的条件，故选A．
2．点(1,2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是( )
A．(1,0) B．(0,1)
C．(0，－1)D．(2,1)
解析：B 设点A(1,2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是B(a，b)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－2,a－1)＝1，,\f(a＋1,2)＋\f(b＋2,2)－2＝0，))解得a＝0，b＝1，故点(1,2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是(0,1)，故选B．
3．点P(cs θ，sin θ)到直线3x＋4y－12＝0的距离的取值范围为( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(12,5)，\f(17,5)))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,5)，\f(12,5)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,5)，\f(17,5)))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(12,5)，\f(24,5)))
解析：C 由点到直线距离公式得点P到直线的距离为d＝eq \f(|3cs θ＋4sin θ－12|,\r(32＋42))＝eq \f(|5sinθ＋φ－12|,5)，其中sin φ＝eq \f(3,5)，cs φ＝eq \f(4,5)，由三角函数性质易知，5sin(θ＋φ)－12∈[－17，－7]，故d∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,5)，\f(17,5)))，故选C．
4．直线l：y＝k(x＋2)上存在两个不同点到原点距离等于1，则k的取值范围是( )
A．(－2,2)B．(－eq \r(3)，eq \r(3))
C．(－1,1)D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))
解析：D 直线l：y＝k(x＋2)上存在两个不同点到原点距离等于1，则原点到直线的距离小于1，所以eq \f(|2k|,\r(k2＋1))＜1，解得－eq \f(\r(3),3)＜k＜eq \f(\r(3),3)．故选D．
5．若直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)与原点之间的距离的最小值为( )
A．eq \r(5) B．eq \r(6)
C．2eq \r(3)D．2eq \r(5)
解析：A 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x＋y＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0，可得m＋2n＋5＝0，∴m＝－5－2n．∴点(m，n)与原点之间的距离d＝eq \r(m2＋n2)＝eq \r(5＋2n2＋n2)＝eq \r(5n＋22＋5)≥eq \r(5)，当n＝－2，m＝－1时取等号．∴点(m，n)与原点之间的距离的最小值为eq \r(5)，故选A．
6．(多选)已知直线l经过点(3,4)，且点A(－2,2)，B(4，－2)到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为( )
A．2x＋3y－18＝0B．2x－y－2＝0
C．x＋2y＋2＝0D．2x－3y＋6＝0
解析：AB 当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0．由已知得eq \f(|－2k－2＋4－3k|,\r(k2＋1))＝eq \f(|4k＋2＋4－3k|,\r(k2＋1))，所以k＝2或k＝－eq \f(2,3)，所以直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0．故选A、B．
7．(多选)已知三条直线l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0．若l1，l2，l3三条直线构不成三角形，则m的值可能为( )
A．eq \f(2,3)B．－eq \f(4,3)
C．－eq \f(2,3)D．eq \f(4,3)
解析：ABC 当m＝eq \f(2,3)时，直线l1与l3平行，故三条直线构不成三角形；当m＝－eq \f(4,3)时，直线l2与l3平行，故三条直线构不成三角形；当m＝－eq \f(2,3)时，l1，l2，l3交于同一点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,3)))，故三条直线也构不成三角形；当m＝eq \f(4,3)时，三条直线两两相交，且不过同一点，故三条直线能构成三角形，不合题意．
8．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________．
解析：设A(x,0)，B(0，y)，∵AB的中点P(2，－1)，∴eq \f(x,2)＝2，eq \f(y,2)＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A(4,0)，B(0，－2)，∴|AB|＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5)．
答案：2eq \r(5)
9．已知动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，则eq \f(1,2a)＋eq \f(2,c)的最小值为________．
解析：∵动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，∴a＋bm＋c－3＝0．又Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，∴eq \r(4－12＋m2)＝3，解得m＝0．∴a＋c＝3．则eq \f(1,2a)＋eq \f(2,c)＝eq \f(1,3)(a＋c)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)＋\f(2,c)))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋\f(c,2a)＋\f(2a,c)))≥eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋2 \r(\f(c,2a)·\f(2a,c))))＝eq \f(3,2)，当且仅当c＝2a＝2时取等号．
答案：eq \f(3,2)
10．已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4,1)，B(0,4)，C(2,0)．
(1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小；
(2)试在l上求一点Q，使||AQ|－|BQ||最大．
解：(1)如图①，设点C关于l的对称点为C′(a，b)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－0,a－2)＝－\f(1,3)，,3·\f(a＋2,2)－\f(b＋0,2)－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝1，))
所以C′(－1,1)，所以直线AC′的方程为y＝1．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝1，,3x－y－1＝0))得直线AC′与直线l的交点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))，此时|AP|＋|CP|取最小值．
(2)如图②，设点B关于l的对称点为B′(m，n)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－4,m－0)＝－\f(1,3)，,3·\f(m＋0,2)－\f(4＋n,2)－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝3，,n＝3，))
所以B′(3,3)，所以直线AB′的方程为2x＋y－9＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－9＝0，,3x－y－1＝0))得直线AB′与直线l的交点为Q(2,5)，
此时||AQ|－|BQ||取最大值．
11．设直线l：3x＋2y－6＝0，P(m，n)为直线l上动点，则(m－1)2＋n2的最小值为( )
A．eq \f(9,13)B．eq \f(3,13)
C．eq \f(3\r(13),13)D．eq \f(\r(13),13)
解析：A (m－1)2＋n2表示点P(m，n)到点A(1,0)距离的平方，该距离的最小值为点A(1,0)到直线l的距离，即eq \f(|3－6|,\r(13))＝eq \f(3,\r(13))，则(m－1)2＋n2的最小值为eq \f(9,13)．故选A．
12．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤3，若将军从点A(3,1)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝5，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )
A．eq \r(10)－eq \r(3)B．eq \r(10)
C．2eq \r(5)－eq \r(3)D．2eq \r(5)
解析：C 设点A关于直线x＋y＝5的对称点为A′(a，b)．根据题意，A′O－eq \r(3)为最短距离，先求出A′的坐标．AA′的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋3,2)，\f(b＋1,2)))，直线AA′的斜率为1，故直线AA′的方程为y－1＝x－3，即y＝x－2．联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a＋3,2)＋\f(b＋1,2)＝5，,b＝a－2，))解得a＝4，b＝2，∴A′(4,2)，则A′O＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5)，故A′O－eq \r(3)＝2eq \r(5)－eq \r(3)，则“将军饮马”的最短总路程为2eq \r(5)－eq \r(3)．故选C．
13．已知直线l1：kx＋y－1＝0，l2：x＋ky＋1＝0，若l1∥l2，则k＝________；若曲线：y＝|x|与直线l1有两个公共点，则实数k的取值范围是________．
解析：因为l1∥l2，所以k2－1＝0，即k＝±1，经检验k＝1；y＝|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x＜0，))直线l1化为y＝－kx＋1，恒过点(0,1)，画出函数图象，如图，因为曲线y＝|x|与直线l1有两个公共点，所以－k＝0或0＜－k＜1或－1＜－k＜0，即－1＜k＜1．
答案：1 (－1,1)
14．已知直线l：(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0．
(1)m为何值时，点Q(3,4)到直线的距离最大，最大值为多少？
(2)若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．
解：(1)直线方程可化为(2x＋y＋4)－m(x－2y－3)＝0，令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋4＝0，,x－2y－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－2.))故直线l恒过定点P(－1，－2)，
由点Q(3,4)到直线的距离最大，
可知点Q与定点P的连线的距离就是所求最大值，
即eq \r(3＋12＋4＋22)＝2eq \r(13)为最大值．
∵kPQ＝eq \f(4＋2,3＋1)＝eq \f(3,2)，
∴(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0的斜率为－eq \f(2,3)，可得－eq \f(2,3)＝－eq \f(2－m,2m＋1)，解得m＝eq \f(4,7)．
(2)若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，
∵直线l恒过定点P(－1，－2)，∴直线l的方程可设为y＋2＝k(x＋1)，k＜0，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,k)－1，0))，B(0，k－2)，
S△AOB＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2,k)－1))|k－2|＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,k)))(2－k)＝2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,－k)＋\f(－k,2)))≥2＋2＝4，
当且仅当eq \f(2,－k)＝eq \f(－k,2)，即k＝－2时取等号，故△AOB面积的最小值为4．
此时直线l的方程为2x＋y＋4＝0．
15．(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝eq \f(ax0＋by0＋c,\r(a2＋b2))．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2．以下命题不正确的是( )
A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直
C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交
解析：BCD 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，对于A，若d1＝d2＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝eq \r(a2＋b2)，直线P1P2与直线l平行，正确；对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，P1P2不一定与l垂直，错误；对于C，若d1＝d2＝0，满足d1＋d2＝0，即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；对于D，若d1·d2≤0，即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误．
16．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A，B)为ρ(A，B)＝|x2－x1|＋|y2－y1|．对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)若点C(x，y)是平面xOy上的点，试证明：ρ(A，C)＋ρ(C，B)≥ρ(A，B)；
(2)若A，B两点在平行于坐标轴的同一条直线上，在平面xOy上是否存在点C(x，y)，同时满足：①ρ(A，C)＋ρ(C，B)＝ρ(A，B)；②ρ(A，C)＝ρ(C，B)？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：由绝对值不等式知，ρ(A，C)＋ρ(C，B)＝|x－x1|＋|x2－x|＋|y－y1|＋|y2－y|≥|(x－x1)＋(x2－x)|＋|(y－y1)＋(y2－y)|＝|x2－x1|＋|y2－y1|＝ρ(A，B)．
当且仅当(x－x1)(x2－x)≥0，(y－y1)(y2－y)≥0时等号成立，即A，B，C三点共线时等号成立．
(2)∵点A(x1，y1)与点B(x2，y2)是在同一条平行于坐标轴的直线上的两个不同的点，可分下列两种情况讨论：
(Ⅰ)若x1＝x2，则y1≠y2，由条件①，得|x－x1|＋|y－y1|＋|x2－x|＋|y2－y|＝|x2－x1|＋|y2－y1|，
∴2|x－x1|＋|y2－y1|＝|y2－y1|，∴|x－x1|＝0，
∴x＝x1．
由条件②，得|x－x1|＋|y－y1|＝|x2－x|＋|y2－y|，
∴|y－y1|＝|y－y2|，∴y＝eq \f(y1＋y2,2)．
因此，所求的点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，\f(y1＋y2,2)))．
(Ⅱ)若y1＝y2，则x1≠x2，类似于(Ⅰ)，可得符合条件的点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，y1))．