2025高考数学一轮复习-8.2-两条直线的位置关系-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.2-两条直线的位置关系-专项训练【含解析】，共10页。

A. 4x+2y−5=0 B. 4x−2y−5=0 C. x+2y−5=0
D. x−2y−5=0
2. 已知直线l 经过直线l1:x+y=2 与l2:2x−y=1 的交点，且直线l 的斜率为−23 ，则直线l 的方程是( )
A. 3x−2y−1=0 B. 3x−2y+1=0 C. 2x+3y−5=0
D. 2x−3y+1=0
3.已知直线l 与直线3x−2y=6 平行，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，则直线l 的方程为( )
A. 15x−10y−6=0 B. 15x−10y+6=0
C. 6x−4y−3=0 D. 6x−4y+3=0
4.当点P3,2 到直线mx−y+1−2m=0 的距离最大时，m 的值为( )
A. 3 B. 0 C. −1 D. 1
5. 若m ,n 满足m+2n−1=0 ，则直线mx+3y+n=0 过定点( )
A. 12,16 B. 12,−16 C. 16,−12 D. −16,12
6. 已知点A1,3 ，B5,−2 ，在x 轴上有一点P ，若AP−BP 最大，则P 点坐标为( )
A. 3,0 B. 13,0 C. 5,0 D. −13,0
7. （多选）已知直线l1:x+my−1=0 ,l2:m−2x+3y+3=0 ,则下列说法正确的是( )
A. 若l1//l2 ,则m=−1 或m=3 B. 若l1//l2 ,则m=3
C. 若l1⊥l2 ,则m=−12 D. 若l1⊥l2 ，则m=12
8.（多选）若三条直线x+3y+7=0 ，x−y−1=0 ,x+2ny+n=0 能围成一个三角形，则n 的值不可能是( )
A. 32 B. 1 C. −13 D. −12
9. 已知直线l1:ax+y−1=0 ，直线l2:x−y−3=0 ,若直线l1 的倾斜角为π4 ,则a= ;若l1⊥l2 ，则a= ；若l1//l2 ，则两平行直线间的距离为 .
10. 直线2x+4y−5=0 关于直线x=2 对称的直线的方程为 .
11.直线x+y−1=0 与直线x−2y−4=0 交于点P ，则点P 到直线kx−y+1+2k=0k∈R 的最大距离为 .
12. 已知直线l 过直线l1:x−3y+1=0 和l2:3x+y−3=0 的交点A ，且原点到直线l 的距离为12 ，则直线l 的方程为 .
[B级 综合运用]
13. 设△ABC 的一个顶点是A3,−1 ,内角B ，C 的平分线的方程分别是x=0 ,y=x ，则直线BC 的方程是( )
A. y=3x+5 B. y=2x+3 C. y=2x+5 D. y=−x2+52
14.已知直线l1:x−my+1=0 过定点A ，直线l2:mx+y−m+3=0 过定点B ，l1 与l2 相交于点P ，则PA2+PB2= ( )
A. 10 B. 13 C. 16 D. 20
15. 若直线l1:y=kx−6−2 与直线l2 关于点2,1 对称，则直线l2 恒过定点 .
16. 已知光线经过直线l1:3x−y+7=0 和l2:2x+y+3=0 的交点M ，且射到x 轴上一点N1,0 后被x 轴反射.
（1） 求点M 关于x 轴的对称点P 的坐标；
（2） 求反射光线所在的直线l3 的方程；
（3） 求与l3 距离为10 的直线方程.
[C级 素养提升]
17.已知直线l:x−2y−8=0 和A−2,0 ,B2,4 两点，若直线l 上存在点M 使得MA+MB 最小，则点M 的坐标为 .
18. 已知直线l 经过直线2x+y−5=0 与x−2y=0 的交点.
（1） 若点A5,0 到l 的距离为3，求l 的方程；
（2） 求点A5,0 到l 的距离的最大值.
2025高考数学一轮复习-8.2-两条直线的位置关系-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1.已知点A1,2 ，B3,1 ，则线段AB 的垂直平分线方程为( B )
A. 4x+2y−5=0 B. 4x−2y−5=0 C. x+2y−5=0 D. x−2y−5=0
[解析]选B.由题设，kAB=1−23−1=−12 ，故线段AB 的垂直平分线的斜率为2，又线段AB 的中点坐标为2,32 ，所以线段AB 的垂直平分线方程为y−32=2x−2 ，整理得4x−2y−5=0 .
2. 已知直线l 经过直线l1:x+y=2 与l2:2x−y=1 的交点，且直线l 的斜率为−23 ，则直线l 的方程是( C )
A. 3x−2y−1=0 B. 3x−2y+1=0 C. 2x+3y−5=0 D. 2x−3y+1=0
[解析]选C.解方程组x+y=2，2x−y=1， 得x=1,y=1， 所以两直线的交点为1,1 .
因为直线l 的斜率为−23 ，所以直线l 的方程为y−1=−23x−1 ，即2x+3y−5=0 .
3.已知直线l 与直线3x−2y=6 平行，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，则直线l 的方程为( A )
A. 15x−10y−6=0 B. 15x−10y+6=0
C. 6x−4y−3=0 D. 6x−4y+3=0
[解析]选A.若直线l 过原点，则直线l 在两坐标轴上的截距相等，不符合题意.设直线l 的方程为xa+1+ya=1 ，其中a≠0 且a≠−1 ，则直线l 的斜率为k=−1a+11a=−aa+1=32 ，解得a=−35 ，所以直线l 的方程为x25−y35=1 ，即15x−10y−6=0 .
4.当点P3,2 到直线mx−y+1−2m=0 的距离最大时，m 的值为( C )
A. 3 B. 0 C. −1 D. 1
[解析]选C.直线mx−y+1−2m=0 可化为y=mx−2+1 ，故直线过定点Q2,1 ，当PQ 和直线垂直时，距离取得最大值，故m⋅kPQ=m⋅2−13−2=−1 ，解得m=−1 ，故选C.
5. 若m ,n 满足m+2n−1=0 ，则直线mx+3y+n=0 过定点( B )
A. 12,16 B. 12,−16 C. 16,−12 D. −16,12
[解析]选B.因为m+2n−1=0 ,所以m+2n=1 .因为mx+3y+n=0 ,所以mx+n+3y=0 ,当x=12 时，mx+n=12m+n=12 ,所以3y=−12 ,所以y=−16 ,故直线过定点12,−16 .故选B.
6. 已知点A1,3 ，B5,−2 ，在x 轴上有一点P ，若AP−BP 最大，则P 点坐标为( B )
A. 3,0 B. 13,0 C. 5,0 D. −13,0
[解析]选B.由题知A 点关于x 轴的对称点为A'1,−3 ，则A'B 所在直线方程为x−4y−13=0 .令y=0 得x=13 ,所以点P 的坐标为13,0 .
7. （多选）已知直线l1:x+my−1=0 ,l2:m−2x+3y+3=0 ,则下列说法正确的是( BD )
A. 若l1//l2 ,则m=−1 或m=3 B. 若l1//l2 ,则m=3
C. 若l1⊥l2 ,则m=−12 D. 若l1⊥l2 ，则m=12
[解析]选BD.若l1//l2 ,则1×3−mm−2=0 ,解得m=3 或m=−1 ,当m=−1 时，l1:x−y−1=0 ，l2:x−y−1=0 ，l1 与l2 重合，所以m=−1 （舍去），故m=3 ,故A不正确，B正确；若l1⊥l2 ，则1×m−2+m×3=0 ,解得m=12 ,故C不正确，D正确.
8.（多选）若三条直线x+3y+7=0 ，x−y−1=0 ,x+2ny+n=0 能围成一个三角形，则n 的值不可能是( ACD )
A. 32 B. 1 C. −13 D. −12
[解析]选ACD.由x+3y+7=0，x−y−1=0， 得x=−1，y=−2，
所以两条直线交于点−1,−2 .
当x+2ny+n=0 也过−1,−2 时，−1+2n×−2+n=0 ，
解得n=−13 ，
此时三条直线交于同一点，不能构成三角形；
当x+3y+7=0 与x+2ny+n=0 平行时，有2n=3 ，
则n=32 ，不能构成三角形；
当x−y−1=0 与x+2ny+n=0 平行时，有2n=−1 ，
则n=−12 ，不能构成三角形，
所以n≠32 且n≠−12 且n≠−13 .
9. 已知直线l1:ax+y−1=0 ，直线l2:x−y−3=0 ,若直线l1 的倾斜角为π4 ,则a= −1 ;若l1⊥l2 ，则a= 1；若l1//l2 ，则两平行直线间的距离为22 .
[解析]若直线l1 的倾斜角为π4 ,则−a=tanπ4=1 ，故a=−1 ;若l1⊥l2 ,则a×1+1×−1=0 ,故a=1 ;若l1//l2 ,则a=−1 ,l1:x−y+1=0 ，两平行直线间的距离d=1−−32=22 .
10. 直线2x+4y−5=0 关于直线x=2 对称的直线的方程为2x−4y−3=0 .
[解析]设直线2x+4y−5=0 上任意一点Px0,y0 关于直线x=2 对称的点为Qx,y ，
则x0+x2=2，y0=y， 所以x0=4−x，y0=y， 代入2x0+4y0−5=0 ，得24−x+4y−5=0 ，整理得2x−4y−3=0 .
11.直线x+y−1=0 与直线x−2y−4=0 交于点P ，则点P 到直线kx−y+1+2k=0k∈R 的最大距离为25 .
[解析]由x+y−1=0，x−2y−4=0， 解得x=2，y=−1， 即P2,−1 .又kx−y+1+2k=0 ，即kx+2−y+1=0 ，所以直线kx−y+1+2k=0 恒过定点Q−2,1 ，则点P 到直线kx−y+1+2k=0k∈R 的最大距离为PQ=2+22+−1−12=25 .
12. 已知直线l 过直线l1:x−3y+1=0 和l2:3x+y−3=0 的交点A ，且原点到直线l 的距离为12 ，则直线l 的方程为x=12 或x−3y+1=0 .
[解析]由x−3y+1=0,3x+y−3=0, 解得x=12,y=32, 故A12,32 .
①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x=12 ,原点0,0 到直线x=12 的距离为12 ，符合题意.
②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y−32=kx−12 ,即kx−y−12k+32=0 .由原点0,0 到直线l 的距离d=−12k+321+k2=12 ,解得k=33 ,故直线l 的方程为x−3y+1=0 .综上所述，直线l 的方程为x=12 或x−3y+1=0 .
[B级 综合运用]
13. 设△ABC 的一个顶点是A3,−1 ,内角B ，C 的平分线的方程分别是x=0 ,y=x ，则直线BC 的方程是( C )
A. y=3x+5 B. y=2x+3 C. y=2x+5 D. y=−x2+52
[解析]选C.A 关于直线x=0 的对称点是A'−3,−1 ,关于直线y=x 的对称点是A″−1,3 ，由角平分线的性质可知，点A' ，A″ 均在直线BC 上，所以直线BC 的方程为y=2x+5 .故选C.
14.已知直线l1:x−my+1=0 过定点A ，直线l2:mx+y−m+3=0 过定点B ，l1 与l2 相交于点P ，则PA2+PB2= ( B )
A. 10 B. 13 C. 16 D. 20
[解析]选B.直线l1:x−my+1=0 过定点A ，令y=0 ，得x=−1 ,所以A−1,0 ；直线l2:mx+y−m+3=0 过定点B ，直线l2 的方程可化为mx−1+y+3=0 ,令x=1 ,得y=−3 ,所以B1,−3 .因为1⋅m−m⋅1=0 ，所以l1⊥l2 .因为l1 与l2 相交于点P ，所以△PAB 是以AB 为斜边的直角三角形，由勾股定理可得PA2+PB2=AB2=−1−12+0+32=13 ，故选B.
15. 若直线l1:y=kx−6−2 与直线l2 关于点2,1 对称，则直线l2 恒过定点−2,4 .
[解析]由题意得直线l1 恒过定点P6,−2 ，设点P6,−2 关于点2,1 对称的点为Qx,y ，所以2=6+x2，1=−2+y2， 解得x=−2，y=4， 所以直线l2 恒过定点−2,4 .
16. 已知光线经过直线l1:3x−y+7=0 和l2:2x+y+3=0 的交点M ，且射到x 轴上一点N1,0 后被x 轴反射.
（1） 求点M 关于x 轴的对称点P 的坐标；
[答案]由3x−y+7=0，2x+y+3=0， 解得x=−2，y=1，
所以M−2,1 .
所以点M 关于x 轴的对称点P 的坐标为−2,−1 .
（2） 求反射光线所在的直线l3 的方程；
[答案]方法一：设直线MN 的倾斜角为α ,则直线l3 的倾斜角为180∘−α ，易知kMN=0−11−−2=−13 ,所以直线l3 的斜率k3=13 .故反射光线所在的直线l3 的方程为y=13x−1 ,即x−3y−1=0 .
方法二：由题意知反射光线所在的直线l3 的方程就是直线PN 的方程.易知直线PN 的方程为y−0−1−0=x−1−2−1 ,整理得x−3y−1=0 .故反射光线所在的直线l3 的方程为x−3y−1=0 .
（3） 求与l3 距离为10 的直线方程.
[答案]设与l3 平行的直线方程为x−3y+b=0 ，
根据两平行线之间的距离公式得b+11+−32=10 ,解得b=9 或b=−11 ,所以与l3 距离为10 的直线方程为x−3y+9=0 或x−3y−11=0 .
[C级 素养提升]
17.已知直线l:x−2y−8=0 和A−2,0 ,B2,4 两点，若直线l 上存在点M 使得MA+MB 最小，则点M 的坐标为2,−3 .
[解析]如图，作出点A 关于直线l 的对称点A' ，连接A'B ，
则MA=MA' ，所以MA+MB=MA'+MB≥A'B ，当A' ,B ,M 三点共线时取等号，即A' ,B ,M 三点共线时，MA+MB 最小.
设A'a,b ，则ba+2⋅12=−1，a−22−2⋅b2−8=0， 解得a=2，b=−8，
即A'2,−8 ,因为B2,4 ，所以直线A'B 的方程为x=2 .由x=2，x−2y−8=0， 解得x=2，y=−3， 即M2,−3 .
18. 已知直线l 经过直线2x+y−5=0 与x−2y=0 的交点.
（1） 若点A5,0 到l 的距离为3，求l 的方程；
[答案]解：经过两条已知直线交点的直线系方程为2x+y−5+λx−2y=0 .
即2+λx+1−2λy−5=0 .
所以10+5λ−52+λ2+1−2λ2=3 .
即2λ2−5λ+2=0 ,所以λ=2 或λ=12 .
所以l 的方程为x=2 或4x−3y−5=0 .
（2） 求点A5,0 到l 的距离的最大值.
[答案]由2x+y−5=0，x−2y=0 解得交点P2,1 ，如图，过P 作任一直线l ,
设d 为点A 到l 的距离，则d≤PA （当l⊥PA 时等号成立）.
所以dmax=PA=10 .