2025高考数学一轮复习-空间几何体的结构特征、表面积与体积-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-空间几何体的结构特征、表面积与体积-专项训练【含解析】，共6页。


1．已知一个圆锥的母线长为4，且其侧面积是其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为( )
A．π B．eq \f(3π,2)
C．eq \f(2π,3)D．eq \f(π,2)
2．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为( )
A．eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)B．1＋eq \f(\r(2),2)
C．1＋eq \r(2)D．2＋eq \r(2)
3．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( )
A．eq \f(16,3)πB．eq \f(32,3)π
C．eq \f(64,3)πD．eq \f(256,3)π
4．如图，一个直三棱柱形状的容器中盛有水，侧棱AA1＝4，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，则水面的高为( )
A．2B．eq \f(5,2)
C．3D．eq \f(7,2)
5．(多选)下列说法正确的是( )
A．棱柱的侧棱长都相等
B．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C．棱台的侧面是等腰梯形
D．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
6．(多选)如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，则( )
A．该圆锥的母线长为5
B．该圆锥的体积为12π
C．该圆锥的表面积为15π
D．三棱锥S­ABC体积的最大值为12
7．一个六棱锥的体积为2eq \r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
8．已知圆台的上、下底面半径分别是r，R，且侧面积等于两底面积之和，则圆台的母线长为________．
9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0．5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________ cm3．
10．若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为eq \f(\r(33),6)a，则此正三棱台的侧面积为( )
A．a2B．eq \f(1,2)a2
C．eq \f(9,2)a2D．eq \f(3,2)a2
11．如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为________．
12．沙漏是一种古代的计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上、下两个相同的圆锥组成，圆锥的高为1，若上面的圆锥中装有高度为eq \f(2,3)的液体，且液体能流入下面的圆锥，则液体流下去后的液面高度为________．
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空间几何体的结构特征、表面积与体积【解析版】
1．已知一个圆锥的母线长为4，且其侧面积是其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为( )
A．π B．eq \f(3π,2)
C．eq \f(2π,3)D．eq \f(π,2)
解析：A 不妨设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，根据题意，则4×eq \f(1,2)×2rh＝πrl，所以h＝eq \f(π,4)l＝eq \f(π,4)×4＝π．
2．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为( )
A．eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)B．1＋eq \f(\r(2),2)
C．1＋eq \r(2)D．2＋eq \r(2)
解析：D 由题意，根据斜二测画法的规则，可得该平面图形是上底长为1，下底长为1＋eq \r(2)，高为2的直角梯形OABC，如图所示，所以计算得面积为S＝eq \f(1,2)(1＋1＋eq \r(2))×2＝2＋eq \r(2)．故选D．
3．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( )
A．eq \f(16,3)πB．eq \f(32,3)π
C．eq \f(64,3)πD．eq \f(256,3)π
解析：B 设这个球的半径为R，则4πR2＝16π，得R＝2，所以这个球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(32,3)π．故选B．
4．如图，一个直三棱柱形状的容器中盛有水，侧棱AA1＝4，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，则水面的高为( )
A．2B．eq \f(5,2)
C．3D．eq \f(7,2)
解析：C 当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱，底面是梯形，面积为S，此时水的体积V＝S·AA1＝4S，当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱，设水面高为h，此时水的体积V＝S△ABC·h，又S＝eq \f(3,4)S△ABC，∴h＝eq \f(4S,S△ABC)＝3，故选C．
5．(多选)下列说法正确的是( )
A．棱柱的侧棱长都相等
B．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C．棱台的侧面是等腰梯形
D．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
解析：AD A正确；B不正确，例如六棱柱的相对侧面也互相平行；C不正确，棱台的侧棱长可能不相等；D正确，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面．故选A、D．
6．(多选)如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，则( )
A．该圆锥的母线长为5
B．该圆锥的体积为12π
C．该圆锥的表面积为15π
D．三棱锥S­ABC体积的最大值为12
解析：ABD 该圆锥的母线长为eq \r(32＋42)＝5，A正确；该圆锥的体积为eq \f(1,3)×π×32×4＝12π，B正确；该圆锥的表面积为π×3×(3＋5)＝24π，C错误；当OB⊥AC时，△ABC的面积最大，此时S△ABC＝eq \f(1,2)×6×3＝9，三棱锥S­ABC体积的最大值为eq \f(1,3)×9×4＝12，D正确．故选A、B、D．
7．一个六棱锥的体积为2eq \r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
解析：设六棱锥的高为h，则V＝eq \f(1,3)Sh，所以eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×4×6h＝2eq \r(3)，解得h＝1．设六棱锥的斜高为h′，则h2＋(eq \r(3))2＝h′2，故h′＝2．所以该六棱锥的侧面积为eq \f(1,2)×2×2×6＝12．
答案：12
8．已知圆台的上、下底面半径分别是r，R，且侧面积等于两底面积之和，则圆台的母线长为________．
解析：设圆台的母线长为l，则圆台的侧面积为S侧＝π(r＋R)l，圆台的两底面积之和为S＝π(r2＋R2)，由已知得π(r＋R)l＝π(r2＋R2)，所以l＝eq \f(r2＋R2,r＋R)．
答案：eq \f(r2＋R2,r＋R)
9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0．5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________ cm3．
解析：正六棱柱的体积为6×eq \f(\r(3),4)×22×2＝12eq \r(3)(cm3)，圆柱的体积为π×0．52×2＝eq \f(π,2)(cm3)，则该六角螺帽毛坯的体积为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12\r(3)－\f(π,2)))cm3．
答案：12eq \r(3)－eq \f(π,2)
10．若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为eq \f(\r(33),6)a，则此正三棱台的侧面积为( )
A．a2B．eq \f(1,2)a2
C．eq \f(9,2)a2D．eq \f(3,2)a2
解析：C 如图，设O1，O分别为上、下底面的中心，D，D1分别是AC，A1C1的中点，过D1作D1E⊥OD于点E．在直角梯形ODD1O1中，OD＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)×2a＝eq \f(\r(3),3)a，O1D1＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)×a＝eq \f(\r(3),6)a，∴DE＝OD－O1D1＝eq \f(\r(3),6)a．在Rt△DED1中，D1E＝eq \f(\r(33),6)a，则D1D＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),6)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(33),6)a))2)＝eq \r(\f(3,36)a2＋\f(33,36)a2)＝a．∴S侧＝3×eq \f(1,2)(a＋2a)a＝eq \f(9,2)a2．
11．如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为________．
解析：由题意知，所求旋转体是一个圆台，从上面挖去一个半球，圆台的上底面面积S1＝4π，下底面面积S2＝16π，∴圆台的体积为V1＝eq \f(1,3)×(4π＋eq \r(4π×16π)＋16π)×3＝28π，又半球的体积为V2＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)×π×23＝eq \f(16π,3)，故旋转体的体积为V1－V2＝28π－eq \f(16π,3)＝eq \f(68π,3)．
答案：eq \f(68π,3)
12．沙漏是一种古代的计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上、下两个相同的圆锥组成，圆锥的高为1，若上面的圆锥中装有高度为eq \f(2,3)的液体，且液体能流入下面的圆锥，则液体流下去后的液面高度为________．
解析：由题意可得，eq \f(V液,V圆锥)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(8,27)，所以eq \f(V圆锥－V液,V圆锥)＝1－eq \f(8,27)＝eq \f(19,27)，又上下两圆锥是对顶的相同圆锥，所以液体流下去后的液面与下圆锥底面形成一个圆台，其体积等于液体未流前小圆锥体积，所以未流下前上圆锥中的空圆台与流下后下圆锥液体上方的空圆锥体积相等，所以液体流下后下圆锥中eq \f(V空,V圆锥)＝eq \f(19,27)，所以V空的高为eq \r(3,\f(19,27))＝eq \f(\r(3,19),3)，即液面的高度为1－eq \f(\r(3,19),3)．
答案：1－eq \f(\r(3,19),3)