2025高考数学一轮复习-对数与对数函数-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-对数与对数函数-专项训练【含解析】，共7页。


1．已知a＝lg23，b＝lg25，则lg415＝( )
A．2a＋2b B．a＋b
C．abD．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b
2．已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝2x的图象关于直线y＝x对称，g(x)为奇函数，且当x＞0时，g(x)＝f(x)－x，则g(－8)＝( )
A．－5B．－6
C．5D．6
3．已知函数f(x)＝lneq \f(x－1,x＋1)＋asin x＋2，且f(m)＝5，则f(－m)＝( )
A．－5B．－3
C．－1D．3
4．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着陆．嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系表达式为v＝2 000lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))．如果火箭的最大速度达到12 km/s，则燃料的质量与火箭的质量的关系是( )
A．M＝e6mB．Mm＝e6－1
C．ln M＋ln m＝6D．eq \f(M,m)＝e6－1
5．若函数f(x)＝lga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是( )
6．(多选)已知函数f(x)＝lg2x的定义域是[4,8]，则下列函数中与f(x)值域相同的函数是( )
A．y＝f(x)＋1B．y＝f(x＋1)
C．y＝－f(x)D．y＝|f(x)|
7．(多选)关于函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(3－x)，下列结论正确的是( )
A．f(x)在(－1,3)上单调递增
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
C．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
D．f(x)的值域为R
8．已知a>0，且a≠1，函数y＝lga(2x－3)＋eq \r(2)的图象恒过点P．若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________．
9．函数f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)的单调递减区间是________．
10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝lga(x＋1)(a>0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若－111．已知函数f(x)＝|lg2x|，当0A．2B．eq \f(5,2)
C．3D．4
12．(多选)函数f(x)＝lga|x－1|在(0,1)上是减函数，那么( )
A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值
B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值
C．f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．∃a＝2 020，满足f(x)在(0,1)上是减函数
13．已知函数f(x)满足：①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；②值域为R；③f(－x)＝f(x)．写出一个满足上述条件的函数f(x)＝________．
已知函数f(x)＝lga(3－ax)(a>0，且a≠1)．
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
15．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a16．函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f(x)在[a，b]上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(b,2)))，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数
f(x)＝lga(ax＋t2)(a＞0，且a≠1)是“半保值函数”，求t的取值范围．
课时过关检测(十)
对数与对数函数【解析版】
1．已知a＝lg23，b＝lg25，则lg415＝( )
A．2a＋2b B．a＋b
C．abD．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b
解析：D lg415＝eq \f(1,2)lg215＝eq \f(1,2)(lg23＋lg25)＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，故选D．
2．已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝2x的图象关于直线y＝x对称，g(x)为奇函数，且当x＞0时，g(x)＝f(x)－x，则g(－8)＝( )
A．－5B．－6
C．5D．6
解析：C 由已知，函数y＝f(x)与函数y＝2x互为反函数，则f(x)＝lg2x．由题设，当x＞0时，g(x)＝lg2x－x，则g(8)＝lg28－8＝3－8＝－5．因为g(x)为奇函数，所以g(－8)＝－g(8)＝5，故选C．
3．已知函数f(x)＝lneq \f(x－1,x＋1)＋asin x＋2，且f(m)＝5，则f(－m)＝( )
A．－5B．－3
C．－1D．3
解析：C 根据题意，函数f(x)＝lneq \f(x－1,x＋1)＋asin x＋2，则f(－x)＝lneq \f(－x－1,－x＋1)＋asin(－x)＋2＝－lneq \f(x－1,x＋1)－asin x＋2，则有f(x)＋f(－x)＝4，故f(m)＋f(－m)＝4，若f(m)＝5，则f(－m)＝－1，故选C．
4．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着陆．嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系表达式为v＝2 000lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))．如果火箭的最大速度达到12 km/s，则燃料的质量与火箭的质量的关系是( )
A．M＝e6mB．Mm＝e6－1
C．ln M＋ln m＝6D．eq \f(M,m)＝e6－1
解析：D 依题意可知v＝2 000lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))＝12 000，可得lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))＝6，即1＋eq \f(M,m)＝e6，可得eq \f(M,m)＝e6－1．如果火箭的最大速度达到12 km/s，则燃料的质量与火箭的质量的关系是eq \f(M,m)＝e6－1．故选D．
5．若函数f(x)＝lga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是( )
解析：D 由f(x)的图象可知06．(多选)已知函数f(x)＝lg2x的定义域是[4,8]，则下列函数中与f(x)值域相同的函数是( )
A．y＝f(x)＋1B．y＝f(x＋1)
C．y＝－f(x)D．y＝|f(x)|
解析：BD 函数f(x)＝lg2x在[4,8]单调递增，f(4)＝lg24＝2，f(8)＝lg28＝3，所以f(x)值域为[2,3]．
对于选项A：y＝f(x)＋1值域为[3,4]，故选项A不正确；
对于选项B：因为f(x)＝lg2x的定义域是[4,8]，所以4≤x＋1≤8，可得3≤x≤7，f(x＋1)＝lg2(x＋1)∈[2,3]，所以y＝f(x＋1)值域为[2,3]，故选项B正确；
对于选项C：y＝－f(x)值域为[－3，－2]，故选项C不正确；
对于选项D：y＝|f(x)|的值域为[2,3]，故选项D正确．故选B、D．
7．(多选)关于函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(3－x)，下列结论正确的是( )
A．f(x)在(－1,3)上单调递增
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
C．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
D．f(x)的值域为R
解析：ACD 函数f(x)的定义域是(－1,3)，f(x)＝lneq \f(x＋1,3－x)． 令t(x)＝eq \f(x＋1,3－x)＝eq \f(－4,x－3)－1(x≠3)，易知t(x)在(－1,3)上单调递增，所以t(x)>t(－1)＝0，所以f(x)＝ln t(x)在(－1,3)上单调递增，且值域为R．故A、D正确．当x∈(－2,2)时，1＋x∈(－1,3)，1－x∈(－1,3)，f(1＋x)＝lneq \f(2＋x,2－x)，f(1－x)＝lneq \f(2－x,2＋x)，所以f(1＋x)＝－f(1－x)，f(1＋x)≠f(1－x)．所以y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．故B错误，C正确．故选A、C、D．
8．已知a>0，且a≠1，函数y＝lga(2x－3)＋eq \r(2)的图象恒过点P．若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________．
解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为函数y＝lga(2x－3)＋eq \r(2)的图象恒过点P(2，eq \r(2))，则2α＝eq \r(2)，所以α＝eq \f(1,2)，故幂函数为f(x)＝x．
答案：x
9．函数f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)的单调递减区间是________．
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2>0，,4－x>0，))得－2答案：(1,4)
10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝lga(x＋1)(a>0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若－1解：(1)当x<0时，－x>0，
由题意知f(－x)＝lga(－x＋1)，
又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴当x<0时，f(x)＝lga(－x＋1)，
∴函数f(x)的解析式为
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lgax＋1，x≥0，,lga－x＋1，x<0))(a>0，且a≠1)．
(2)∵－1∴lgaeq \f(1,a)①当a>1时，原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)<2，,a>2，))解得a>2；
②当02，,a<2，))
解得0综上，实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)．
11．已知函数f(x)＝|lg2x|，当0A．2B．eq \f(5,2)
C．3D．4
解析：D 如图所示，根据函数f(x)＝|lg2x|的图象，得012．(多选)函数f(x)＝lga|x－1|在(0,1)上是减函数，那么( )
A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值
B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值
C．f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．∃a＝2 020，满足f(x)在(0,1)上是减函数
解析：ACD 由题意，函数f(x)＝lga|x－1|在(0,1)上是减函数，即f(x)＝lga(1－x)在(0,1)上是减函数，因为y＝1－x是减函数，根据复合函数的单调性的判定方法，可得a>1，当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝lga|x－1|＝lga(x－1)，因为y＝x－1是增函数，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且无最大值，所以A正确，B错误；又由f(2－x)＝lga|2－x－1|＝lga|x－1|＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以C正确；由a>1可知，当a＝2 020时，函数f(x)在(0,1)上是减函数，所以D正确．故选A、C、D．
13．已知函数f(x)满足：①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；②值域为R；③f(－x)＝f(x)．写出一个满足上述条件的函数f(x)＝________．
解析：f(x)＝ln|x|的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R，且f(－x)＝ln|－x|＝ln|x|＝f(x)，因此f(x)＝ln|x|符合题意．
答案：ln|x|(答案不唯一)
已知函数f(x)＝lga(3－ax)(a>0，且a≠1)．
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，
∵当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．∴3－2a>0，∴a又a>0且a≠1，∴0∴实数a的取值范围为(0,1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))．
(2)由(1)知函数t(x)＝3－ax为减函数．∵f(x)在区间[1,2]上单调递减，∴y＝lgat在区间[1,2]上单调递增，∴a>1，
当x∈[1,2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝lga(3－a)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－2a>0，,lga3－a＝1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<\f(3,2)，,a＝\f(3,2).))
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1．
15．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a解析：由题意知，在(0,10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点(如图)，∴－lg a＝lg b．即ab＝1,0答案：(0,1)
16．函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f(x)在[a，b]上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(b,2)))，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数
f(x)＝lga(ax＋t2)(a＞0，且a≠1)是“半保值函数”，求t的取值范围．
解：∵函数f(x)＝lga(ax＋t2)(a＞0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R，
当a＞1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝lgaz在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；
当0＜a＜1时，f(x)仍为R上的增函数，∴f(x)在定义域R上为增函数，
∴方程lga(ax＋t2)＝eq \f(1,2)x有两个不同的根，∴ax＋t2＝ax，即ax－ax＋t2＝0，
令u＝ax，u＞0，即u2－u＋t2＝0有两个不同的正数根，可得1－4t2＞0，且t2＞0，解得t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))．