2025高考数学一轮复习-第36讲-空间直角坐标系与空间向量-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-第36讲-空间直角坐标系与空间向量-专项训练【含解析】，共10页。试卷主要包含了故选A等内容，欢迎下载使用。
1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．eq \f(7,5) B．2
C．eq \f(5,3)D．1
2．如图，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM＝2MC′，则下列向量中与eq \(OM,\s\up7(―→))相等的向量是( )
A．－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(7,6)eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AA′,\s\up7(―→))
B．－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(5,6)eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AA′,\s\up7(―→))
C．eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AA′,\s\up7(―→))
D．eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AA′,\s\up7(―→))
3．若两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1和l2的位置关系是( )
A．平行B．相交
C．垂直D．不确定
4．在空间四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(CD,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(DB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝( )
A．－1B．0
C．1D．不确定
5．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若eq \(OP,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))＋zeq \(OC,\s\up7(―→)) (x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的( )
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．(多选)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，则l1∥l2
B．两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，则α⊥β
C．直线l的方向向量a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)，则l⊥α
D．直线l的方向向量a＝(0,3,0)，平面α的法向量是u＝(0，－5,0)，则l∥α
7．若a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，则与a＋b同方向的单位向量是________．
8．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(x，y,15)三点共线，则xy＝________．
9．如图，已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1．
(1)求证：BC1⊥AB1；
(2)求证：BC1∥平面CA1D．
10．(多选)已知向量a·b＝b·c＝a·c，b＝(3,0，－1)，c＝(－1,5，－3)，下列等式中正确的是( )
A．(a·b)c＝b·c
B．(a＋b)·c＝a·(b＋c)
C．(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2
D．eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b－c))
11．如图，已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up7(―→))，eq \(AG,\s\up7(―→))＝2eq \(GA1,\s\up7(―→))，AC1与平面EFG交于点M，则eq \f(AM,AC1)＝________．
12．已知O(0,0,0)，A(1,2,1)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当eq \(QA,\s\up7(―→))·eq \(QB,\s\up7(―→))取最小值时，点Q的坐标是________．
13．如图，棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD．
(1)求证：BD⊥ AA1；
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．
14．(多选)定义向量的外积：a×b叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：(1)a⊥(a×b)，b⊥(a×b)，且a，b和a×b构成右手系(三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致)；(2)a×b的模|a×b|＝|a|·|b|·sin〈a，b〉(〈a，b〉表示向量a，b的夹角)．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，有以下四个结论，不正确的有( )
A．eq \(AB1,\s\up7(―→))×eq \(AC,\s\up7(―→))与eq \(BD1,\s\up7(―→))方向相反
B．eq \(AB,\s\up7(―→))×eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))×eq \(AB,\s\up7(―→))
C．6|eq \(BC,\s\up7(―→))×eq \(AC,\s\up7(―→))|与正方体表面积的数值相等
D．(eq \(AB1,\s\up7(―→))×eq \(AB,\s\up7(―→)))·eq \(CB,\s\up7(―→))与正方体体积的数值相等
15．如图所示，已知四棱锥P­ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，平面PBC⊥底面ABCD．求证：
(1)PA⊥BD；
(2)平面PAD⊥平面PAB．
第36讲-空间直角坐标系与空间向量-专项训练【解析版】
1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．eq \f(7,5) B．2
C．eq \f(5,3)D．1
解析：A 因为a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以a·b＝－1，|a|＝eq \r(2)，|b|＝eq \r(5)，又ka＋b与2a－b互相垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，即2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，即4k＋k－2－5＝0，所以k＝eq \f(7,5)．故选A．
2．如图，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM＝2MC′，则下列向量中与eq \(OM,\s\up7(―→))相等的向量是( )
A．－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(7,6)eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AA′,\s\up7(―→))
B．－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(5,6)eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AA′,\s\up7(―→))
C．eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AA′,\s\up7(―→))
D．eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AA′,\s\up7(―→))
解析：C 因为BM＝2MC′，所以eq \(BM,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(BC′,\s\up7(―→))，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，eq \(OM,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(BM,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(BC′,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)(eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(AA′,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→)))＋eq \f(2,3)(eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(AA′,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AA′,\s\up7(―→))，故选C．
3．若两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1和l2的位置关系是( )
A．平行B．相交
C．垂直D．不确定
解析：A 因为两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，所以v2＝－2v1，即v2与v1共线，所以两条不重合直线l1和l2的位置关系是平行．
4．在空间四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(CD,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(DB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝( )
A．－1B．0
C．1D．不确定
解析：B 如图，令eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，eq \(AD,\s\up7(―→))＝c，则eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(CD,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(DB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0．
5．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若eq \(OP,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))＋zeq \(OC,\s\up7(―→)) (x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的( )
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：B 当x＝2，y＝－3，z＝2时，即eq \(OP,\s\up7(―→))＝2eq \(OA,\s\up7(―→))－3eq \(OB,\s\up7(―→))＋2eq \(OC,\s\up7(―→))．则eq \(AP,\s\up7(―→))－eq \(AO,\s\up7(―→))＝2eq \(OA,\s\up7(―→))－3(eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AO,\s\up7(―→)))＋2(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AO,\s\up7(―→)))，即eq \(AP,\s\up7(―→))＝－3eq \(AB,\s\up7(―→))＋2eq \(AC,\s\up7(―→))，根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设eq \(AP,\s\up7(―→))＝meq \(AB,\s\up7(―→))＋neq \(AC,\s\up7(―→)) (m，n∈R)，即eq \(OP,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝m(eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))＋n(eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))，即eq \(OP,\s\up7(―→))＝(1－m－n)eq \(OA,\s\up7(―→))＋meq \(OB,\s\up7(―→))＋neq \(OC,\s\up7(―→))，即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显然不止2，－3,2．故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．
6．(多选)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，则l1∥l2
B．两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，则α⊥β
C．直线l的方向向量a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)，则l⊥α
D．直线l的方向向量a＝(0,3,0)，平面α的法向量是u＝(0，－5,0)，则l∥α
解析：AB 对于A，两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，则b＝－a，所以l1∥l2，选项A正确；对于B，两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，则u·v＝2×(－3)＋2×4－1×2＝0，所以α⊥β，选项B正确；对于C，直线l的方向向量a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)，则a·u＝1×6－1×4＋2×(－1)＝0，所以l∥α或l⊂α，选项C错误；对于D，直线l的方向向量a＝(0,3,0)，平面α的法向量是u＝(0，－5,0)，则u＝－eq \f(5,3)a，所以l⊥α，选项D错误．故选A、B．
7．若a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，则与a＋b同方向的单位向量是________．
解析：与a＋b同方向的单位向量是eq \f(1,\r(5))(0,1,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))．
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))
8．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(x，y,15)三点共线，则xy＝________．
解析：由三点共线得向量eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(AC,\s\up7(―→))共线，即eq \(AB,\s\up7(―→))＝keq \(AC,\s\up7(―→))，(3,4，－8)＝k(x－1，y＋2,4)，eq \f(x－1,3)＝eq \f(y＋2,4)＝eq \f(4,－8)，解得x＝－eq \f(1,2)，y＝－4，∴xy＝2．
答案：2
9．如图，已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1．
(1)求证：BC1⊥AB1；
(2)求证：BC1∥平面CA1D．
证明：如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．
(1)∵eq \(BC1,\s\up7(―→))＝(0，－2，－2)，eq \(AB1,\s\up7(―→))＝(－2，2，－2)，∴eq \(BC1,\s\up7(―→))·eq \(AB1,\s\up7(―→))＝0－4＋4＝0，∴eq \(BC1,\s\up7(―→))⊥eq \(AB1,\s\up7(―→))，∴BC1⊥AB1．
(2)取A1C的中点E，则E(1,0,1)，∴eq \(ED,\s\up7(―→))＝(0,1,1)，又eq \(BC,\s\up7(―→))1＝(0，－2，－2)，
∴eq \(ED,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,2)eq \(BC1,\s\up7(―→))，且ED和BC1不重合，则ED∥BC1．又ED⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，
故BC1∥平面CA1D．
10．(多选)已知向量a·b＝b·c＝a·c，b＝(3,0，－1)，c＝(－1,5，－3)，下列等式中正确的是( )
A．(a·b)c＝b·c
B．(a＋b)·c＝a·(b＋c)
C．(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2
D．eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b－c))
解析：BCD 由题意知b·c＝－3＋0＋3＝0，所以a·b＝b·c＝a·c＝0，(a·b)c＝0，b·c＝0，不相等，所以A选项错误；(a＋b)·c－a·(b＋c)＝a·c＋b·c－a·b－a·c＝0，所以(a＋b)·c＝a·(b＋c)，所以B选项正确；(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝a2＋b2＋c2，所以C选项正确；(a－b－c)2＝a2＋b2＋c2－2a·b＋2b·c－2a·c＝a2＋b2＋c2，即(a＋b＋c)2＝(a－b－c)2，|a＋b＋c|＝|a－b－c|，所以D选项正确．
11．如图，已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up7(―→))，eq \(AG,\s\up7(―→))＝2eq \(GA1,\s\up7(―→))，AC1与平面EFG交于点M，则eq \f(AM,AC1)＝________．
解析：由题图知，设eq \(AM,\s\up7(―→))＝λeq \(AC1,\s\up7(―→)) (0