高考物理一轮复习专题08抛体运动模型(原卷版+解析)

这是一份高考物理一轮复习专题08抛体运动模型(原卷版+解析)，共48页。试卷主要包含了平抛运动的基本规律，平抛运动的临界、极值问题，斜面上的平抛问题，有约束条件的平抛运动模型，斜抛运动的理解和分析，类平抛运动，平抛中的功能与动量等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc9575" 题型一 平抛运动的基本规律 PAGEREF _Tc9575 \h 1
\l "_Tc18047" 题型二 平抛运动的临界、极值问题 PAGEREF _Tc18047 \h 4
\l "_Tc12428" 题型三 斜面上的平抛问题 PAGEREF _Tc12428 \h 6
\l "_Tc20500" 类型1.顺着斜面平抛斜面倾斜角是“位移”偏向角 PAGEREF _Tc20500 \h 6
\l "_Tc18273" 类型2.顺着斜面（圆弧）平抛斜面倾斜角是“速度”偏向角 PAGEREF _Tc18273 \h 9
\l "_Tc21247" 类型3.对着斜面平抛“垂直”打在斜面上斜面倾斜角为“速度”偏向角的余角 PAGEREF _Tc21247 \h 11
\l "_Tc16897" 类型4 对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上斜面倾斜角为“位移”偏向角的余角 PAGEREF _Tc16897 \h 13
\l "_Tc19482" 题型四 有约束条件的平抛运动模型 PAGEREF _Tc19482 \h 14
\l "_Tc16996" 类型1 对着竖直墙壁的平抛运动 PAGEREF _Tc16996 \h 14
\l "_Tc5107" 类型2 半圆内的平抛问题 PAGEREF _Tc5107 \h 16
\l "_Tc27507" 题型五 斜抛运动的理解和分析 PAGEREF _Tc27507 \h 19
\l "_Tc1051" 题型六 类平抛运动 PAGEREF _Tc1051 \h 21
\l "_Tc4507" 题型七 平抛中的功能与动量 PAGEREF _Tc4507 \h 23
题型一 平抛运动的基本规律
【解题指导】1.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
2.研究方法：运动的合成与分解
（1）水平方向：匀速直线运动。
（2）竖直方向：自由落体运动。
3.基本规律（如图）
（1）速度eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(水平方向：vx＝v0,竖直方向：vy＝gt))
合速度的大小v＝eq \r(veq \\al(2,x)＋veq \\al(2,y))＝eq \r(veq \\al(2,0)＋g2t2)
设合速度的方向与水平方向的夹角为θ，有
tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(gt,v0)。
（2）位移eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(水平方向：x＝v0t,竖直方向：y＝\f(1,2)gt2))
合位移的大小s＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(（v0t）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)gt))\s\up12(2))
设合位移的方向与水平方向的夹角为α，有
tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0)。
（3）三个重要结论：①合速度方向与水平方向的夹角θ和合位移方向与水平方向的夹角α的关系，tan θ＝2tan α。
②做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，即xOC＝eq \f(x,2)。
③速度变化：平抛运动是匀变速曲线运动，故在相等的时间内，速度的变化量（Δv＝gΔt）相等，且必沿竖直方向，如图所示。任意两时刻的速度与速度的变化量Δv构成三角形，Δv沿竖直方向。
【例1】(2022·浙江金华十校4月模拟)图甲是消防车正在机场进行水柱灭火演练的情景，小刘模拟消防水柱的示意图如图乙所示。水在空中运动，A、B为其运动轨迹上的两点，已知水在A点时的速度大小为v＝6 m/s，速度方向与竖直方向的夹角为45°，它运动到B点时，速度方向与竖直方向的夹角为37°(sin 37°＝0.6)，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A.图中A点是水在空中运动过程的最高点
B.水在空中运动过程为变加速曲线运动
C.水在B点时的速度大小为8 m/s
D.A、B两点间的高度差为0.7 m
【例2】(2022·河南三市第二次质检)篮球技巧表演赛是展示组织后卫水平的比赛，其中一个环节是传球技巧，要求运动员拿球要准确传入正对面的球洞中。运动员在距球洞前5 m处传球，篮球以与水平面成45°的倾角准确落入球洞中心。若传球点和球洞中心正好在同一水平面上，不考虑空气阻力，取g＝10 m/s2。则篮球传出后的最高点相对球洞中心的竖直高度是( )
m m
m m
【例3】．某物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角为θ，其正切值tan θ随时间t变化的图象如图所示，(g取10 m/s2)则 ( )
A．第1 s物体下落的高度为5 m
B．第1 s物体下落的高度为10 m
C．物体的初速度为5 m/s
D．物体的初速度为15 m/s
【例4】．(2022·内蒙古集宁一中模拟)如图所示，某一小球以v0＝10 m/s的速度水平抛出，在落地之前经过空中A、B两点，在A点小球速度方向与水平方向的夹角为45°，在B点小球速度方向与水平方向的夹角为60°(空气阻力忽略不计，g取10 m/s2)．以下判断中正确的( )
A．小球经过A、B两点间的时间t＝eq \r(3) s
B．小球经过A、B两点间的时间t＝1 s
C．A、B两点间的高度差h＝10 m
D．A、B两点间的高度差h＝15 m
题型二 平抛运动的临界、极值问题
【解题指导】1．平抛运动的临界问题有两种常见情形：(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)物体的速度方向恰好达到某一方向．
2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”、“刚好飞过壕沟”、“速度方向恰好与斜面平行”、“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题．
【例1】 (2022·山东滨州第二次模拟)如图所示为一网球发球机，可以将网球以不同的水平速度射出，打到竖直墙上。O、A、B是竖直墙上三点，O与出射点处于同一水平线上，A、B两点分别为两次试验时击中的点，OA＝h1，OB＝h2，出射点到O点的距离为L，当地重力加速度为g，空气阻力忽略不计，网球可看作质点。下列说法正确的是( )
A.出射速度足够大，网球可以击中O点
B.发球间隔时间足够短，两个网球在下落过程中可相遇
C.击中A点的网球的初速度大小为Leq \r(\f(2h1,g))
D.网球击中B点时速度大小为eq \r(\f(L2g,2h2)＋2gh2)
【例2】(多选)(2022·海南省模拟)将小球从如图所示的阶梯状平台上以一定的水平初速度v0水平抛出，所有台阶的高度和宽度均为1.0 m，取g＝10 m/s2，要使小球抛出后落到第三级台阶上，则v0可能为( )
A．2eq \r(3) m/s B．3.5 m/s
C．4 m/s D．2eq \r(5) m/s
【例3】(2022·广东五校一联)某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示.模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平.现让小球由最高点静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为( )
A.0 B.0.1 m C.0.2 m D.0.3 m
【例4】(多选)中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述正确的是( )
A.运动的时间都相同
B.速度的变化量都相同
C.落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍
D.若初速度为v0，则Leq \r(\f(g,2h))＜v0＜3Leq \r(\f(g,2h))
题型三 斜面上的平抛问题
类型1.顺着斜面平抛斜面倾斜角是“位移”偏向角
(1)落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下(如图)
处理方法：分解位移.
x＝v0t
y＝eq \f(1,2)gt2
tan θ＝eq \f(y,x)
可求得t＝eq \f(2v0tan θ,g).
(2)物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下(如图)
处理方法：分解速度
vx＝v0，vy＝gt
tan θ＝eq \f(vy,v0)
t＝eq \f(v0tan θ,g).
【例1】如图所示，两个高度相同的斜面，倾角分别为30°和60°，小球A、B分别由斜面顶端以相同大小的水平速度v0抛出，若两球均落在斜面上，不计空气阻力，则A、B两球平抛运动过程( )
A．飞行的时间之比为1∶3
B．水平位移大小之比为1∶9
C．竖直下落高度之比为1∶3
D．落至斜面时速度大小之比为1∶3
【例2】(2022·安徽合肥模拟)跳台滑雪的比赛场地由滑门、助滑坡、着陆坡、停止区组成，若将着陆坡简化为如图所示的倾角为37°的斜面，运动员经起跳点后的腾空飞行简化为平抛运动，下列说法正确的是( )
A．运动员在空中的飞行时间与初速度成正比
B．运动员在空中的飞行时间与初速度的平方成正比
C．运动员起跳的初速度越大，落在着陆坡上时速度与斜面的夹角越小
D．运动员起跳的初速度越大，落在着陆坡上时速度与斜面的夹角越大
【例3】(2022·山西朔州市怀仁市期末)2022年北京冬奥会高山滑雪项目是从高山上向山下以滑雪板、滑雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具的竞技运动．如图为某次训练中，运动员(可视为质点)从水平平台上以20 m/s的速度冲向倾角为45°的倾斜雪道面，落点仍在该斜面上，忽略空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，则运动员距雪道面的最远距离约为( )
A．5.1 m B．10.2 m
C．14.1 m D．21.1 m
【例4】.(2022·浙江稽阳联谊学校联考)冬奥会跳台滑雪比赛，它是利用山势特点建造的一个特殊跳台。简化模型如图所示，一运动员穿着专用滑雪板，在助滑路上获得高速后从A点水平飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆。已知可视为质点的运动员水平飞出的速度v0＝20 m/s，山坡看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力，(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，取g＝10 m/s2)则关于运动员以下说法正确的是( )
A.在空中飞行的时间为1.5 s
B.落到斜面上B点时离A点的距离为60 m
C.若运动员水平飞出速度减半，则落到斜面上时离A点的距离减半
D.若运动员水平飞出速度减半，则落到斜面上时速度方向不变
【例5】如图所示，在同一竖直平面内，倾角θ＝37°的斜滑道AB与水平滑道BC平滑衔接，可视为质点的运动员踩着滑雪板从A点以速度v0＝20 m/s沿水平方向飞出，恰好落到B处后顺势屈腿缓冲，他垂直于水平面的分速度迅速减小为零，滑雪板和水平面间的动摩擦因数为μ＝0.2，不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，则运动员在空中飞行的时间和在水平长直滑道上运动的最大距离分别为( )
A．3 s 50 m B．3 s 100 m
C．6 s 50 m D．6 s 100 m
类型2.顺着斜面（圆弧）平抛斜面倾斜角是“速度”偏向角
1.从斜面外恰好与斜面平行的方向落到斜面(如图)：
合速度与水平速度的夹角等于斜面倾角，常用速度关系tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(gt,v0).
2.从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向
分解速度tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)
【例1】一滑雪运动员以一定的初速度从一平台上滑出，刚好落在一斜坡上的B点，且与斜坡没有撞击，则平台边缘A点和斜坡B点连线与竖直方向夹角α跟斜坡倾角θ的关系为( )
A．tan θ·ct α＝2 B．tan θ·tan α＝2
C．ct θ·tan α＝2 D．ct θ·ct α＝2
【例2】如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道．已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为( )
A.eq \f(v02tan α,g) B.eq \f(2v02tan α,g) C.eq \f(v02,gtan α) D.eq \f(2v02,gtan α)
【例3】(2022·海南琼海市嘉积中学高三期中)如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨迹的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道，O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角，则( )
A.eq \f(tan θ2,tan θ1)＝2 B.eq \f(1,tan θ1tan θ2)＝2
C.tan θ1tan θ2＝2 D.eq \f(tan θ1,tan θ2)＝2
类型3.对着斜面平抛“垂直”打在斜面上斜面倾斜角为“速度”偏向角的余角
对着斜面平抛
垂直撞在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下(如图)
处理方法：分解速度.
vx＝v0
vy＝gt
tan θ＝eq \f(vx,vy)＝eq \f(v0,gt)
可求得t＝eq \f(v0,gtan θ).
【例1】(多选) (2022·河北石家庄市二模)如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度处有一小球以水平速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上，已知重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A.小球从抛出到落在斜面上的运动时间为eq \f(\r(3)v0,g)
B.小球从抛出到落在斜面上的运动时间为eq \f(\r(3)v0,3g)
C.小球抛出时距斜面底端的高度为eq \f(5veq \\al(2,0),g)
D.小球抛出时距斜面底端的高度为eq \f(5veq \\al(2,0),2g)
【例2】如图，倾角为θ的斜面体ABC固定在水平地面上，在A点正上方的P点，以速度v0水平抛出一个小球，小球落在斜面上的Q点(图中未画出)，且落到斜面上时速度方向与斜面垂直，重力加速度为g，不计空气阻力，则Q点离地面的高度为( )
A.eq \f(v\\al(02),g)sin θ B.eq \f(v\\al(02),g)cs θ
C.eq \f(v\\al(02),g)tan θ D.eq \f(v\\al(02),g)
【例3】如图所示，倾角为37°的粗糙斜面的底端有一质量m＝1 kg的凹槽小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25.现小滑块以某一初速度v从斜面底端上滑，同时在斜面正上方有一小球以速度v0水平抛出，经过0.4 s，小球恰好垂直斜面落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中．空气阻力不计，已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
(1)小球水平抛出的速度v0的大小；
(2)小滑块的初速度v的大小．
类型4 对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上斜面倾斜角为“位移”偏向角的余角
在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面
分解位移tan θ＝eq \f(x,y)＝eq \f(v0t,\f(1,2)gt2)＝eq \f(2v0,gt)
【例1】.(多选)如图所示，将一个小球以速度v水平抛出，要使小球从抛出到打到斜面上的位移与斜面垂直，斜面与水平方向的夹角为α。下列说法正确的是( )
A.若保持水平速度v不变，斜面与水平方向的夹角α越大，小球的飞行时间越短
B.若保持水平速度v不变，斜面与水平方向的夹角α越小，小球的飞行时间越短
C.若保持斜面倾角α不变，水平速度v越大，小球的飞行时间越短
D.若保持斜面倾角α不变，水平速度v越小，小球的飞行时间越短
【例2】.如图所示，一小球从某固定位置以一定初速度水平抛出，已知当抛出速度为v0时，小球落到一倾角为θ＝60°的斜面上，且球发生的位移最小，不计空气阻力，则( )
A.小球从抛出到落到斜面的时间为eq \f(\r(3)v0,3g)
B.小球从抛出到落到斜面的时间为eq \f(2\r(3)v0,3g)
C.小球的抛出点到斜面的距离为eq \f(4veq \\al(2,0),3g)
D.小球的抛出点到斜面的距离为eq \f(2veq \\al(2,0),3g)
题型四 有约束条件的平抛运动模型
类型1 对着竖直墙壁的平抛运动
如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝eq \f(d,v0)。
【例1】(多选)(2022·石家庄市质检)如图所示，水平放置的网球发球机正对着竖直墙面发射网球，两次发射的网球分别在墙上留下A、B两点印迹。测得OA＝AB，OP为水平线，若忽略网球在空中受到的阻力，下列说法正确的是( )
A．两球发射的初速度vA∶vB＝1∶2
B．两球发射的初速度vA∶vB＝eq \r(2)∶1
C．两球从P点发射到碰到墙面所用的时间tA∶tB＝1∶eq \r(2)
D．两球从P点发射到碰到墙面所用的时间tA∶tB＝1∶2
【例2】.如图所示，将一小球从水平面MN上方A点以初速度v1向右水平抛出，经过时间t1打在前方竖直墙壁上的P点，若将小球从与A点等高的B点以初速度v2向右水平抛出，经过时间t2落在竖直墙角的N点，不计空气阻力，下列选项中正确的是( )
A.v1＞v2 B.v1＜v2
C.t1＞t2 D.t1＝t2
【例3】(2022·云南二模)“飞镖”是一项深受人们喜爱的运动。镖靶如图所示，一同学练习投镖，若他每次都是将飞镖水平投出，飞镖在空中运动可视为平抛运动。某次飞镖打在了靶中心的正上方某处，该同学下次打靶时做出调整，可能让飞镖打在靶中心的是（ ）
A. 保持飞镖出手点距地高度和出手速度不变，减小飞镖出手点到靶的水平距离
B. 保持飞镖出手点到靶的水平距离和出手速度不变，降低飞镖出手点距地高度
C. 保持飞镖出手点距地高度和到靶的水平距离不变，增大飞镖的出手速度
D. 保持飞镖出手点距地高度和到靶的水平距离不变，减小飞镖的出手速度
类型2 半圆内的平抛问题
【例1】如图所示，科考队员站在半径为10 m的半圆形陨石坑(直径水平)边，沿水平方向向坑中抛出一石子(视为质点)，石子在坑中的落点P与圆心O的连线与水平方向的夹角为37°，已知石子的抛出点在半圆形陨石坑左端的正上方，且到半圆形陨石坑左端的高度为1.2 m．取sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力．则石子抛出时的速度大小为( )
A．9 m/s B．12 m/s
C．15 m/s D．18 m/s
【例2】(多选)(2022·山东济宁市第一次模拟)如图所示，在竖直平面内固定一半圆形轨道，O为圆心，AB为水平直径，有一可视为质点的小球从A点以不同的初速度向右水平抛出，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A.初速度越大，小球运动时间越长
B.初速度不同，小球运动时间可能相同
C.小球落到轨道的瞬间，速度方向可能沿半径方向
D.小球落到轨道的瞬间，速度方向一定不沿半径方向
【例3】(2022·四川宜宾市第二次诊断)如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2沿BA方向平抛另一相同质量的小球并也能击中D点，已知∠COD＝60°，且不计空气阻力，则( )
A.两小球同时落到D点
B.两小球初速度大小之比为eq \r(6)∶3
C.两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等
D.两小球落到D点时的瞬时速率之比为eq \r(2)∶1
【例4】(2022·贵州安顺市网上调研)如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道MNO顶端和斜面顶端O点以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，则( )
A.b球一定先落在斜面上
B.a球一定先落在半圆轨道上
C.a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上
D.b球落到斜面最底端时，a球恰好落在半圆轨道上最低点
题型五 斜抛运动的理解和分析
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动．
4．基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
初速度可以分解为v0x＝v0cs θ，v0y＝v0sin θ.
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x＝v0xt＝(v0cs θ)t①
vx＝v0x＝v0cs θ②
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
y＝v0yt－eq \f(1,2)gt2＝(v0sin θ)t－eq \f(1,2)gt2③
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt④
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(1)斜抛运动中的极值
在最高点，vy＝0，由④式得到t＝eq \f(v0sin θ,g)⑤
将⑤式代入③式得物体的射高ym＝eq \f(v02sin2θ,2g)⑥
物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，
由③式得总时间t总＝eq \f(2v0sin θ,g)⑦
将⑦式代入①式得物体的射程xm＝eq \f(v02sin 2θ,g)
当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大．
所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大．
(2)逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题．
【例1】(2022·浙江杭州质检)如图所示，从水平地面上的A、B两点分别斜抛出两小球，两小球均能垂直击中前方竖直墙面上的同一点P。已知点P距地面的高度h＝0.8 m，A、B两点距墙的距离分别为0.8 m和0.4 m。不计空气阻力，则从A、B两点抛出的两小球( )
A．从抛出到击中墙壁的时间之比为2∶1
B．击中墙面的速率之比为1∶1
C．抛出时的速率之比为eq \r(17)∶2eq \r(5)
D．抛出时速度方向与地面夹角的正切值之比为1∶2
【例2】(2022·广东惠州市调研)如图所示，一运动员将篮球从地面上方B点以速度v0斜向上抛出，恰好垂直击中竖直篮板上A点。后来该运动员后撤到更远的C点投篮，仍然将球垂直击中篮板上A点，关于两次投篮的比较，下列说法正确的是( )
A．在C点抛出速度v0更小，同时抛射角θ更大
B．在C点抛出速度v0更小，同时抛射角θ更小
C．在C点抛出速度v0更大，同时抛射角θ更大
D．在C点抛出速度v0更大，同时抛射角θ更小
【例3】(2022·保山市5月质检)某同学在练习投篮时将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直放置的篮板上，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，关于这两次篮球从抛出到撞击篮板的过程( )
A．两次在空中运动的时间相等
B．两次抛出时的速度相等
C．第1次抛出时速度的水平分量小
D．第2次抛出时速度的竖直分量大
题型六 类平抛运动
1.类平抛运动的特点
(1)有时物体的运动与平抛运动很相似，也是物体在某方向做匀速直线运动，在垂直匀速直线运动的方向上做初速度为零的匀加速直线运动。对这种像平抛又不是平抛的运动，通常称为类平抛运动。
(2)受力特点：物体所受的合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
(3)运动特点：在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝eq \f(F合,m)。
如图所示，将质量为m的小球从倾角为θ的光滑斜面上A点以速度v0水平抛出(v0的方向与CD平行)，小球运动到B点的过程中做的就是类平抛运动。
2.类平抛运动与平抛运动的规律相类似，两者的区别
(1)运动平面不同：类平抛运动→任意平面；平抛运动→竖直面。
(2)初速度方向不同：类平抛运动→任意方向；平抛运动→水平方向。
(3)加速度不同：类平抛运动→a＝eq \f(F,m)，与初速度方向垂直；平抛运动→重力加速度g，竖直向下。
【例1】 如图所示，A、B两质点以相同的水平速度v抛出，A在竖直面内运动，落地点在P1；B在光滑的斜面上运动，落地点在P2，不计空气阻力，比较两质点的运动时间、沿x轴方向的位移是否相同。
【例2】如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：(重力加速度为g)
(1)物块由P运动到Q所用的时间t；
(2)物块由P点水平射入时的初速度v0的大小；
(3)物块离开Q点时速度的大小v。
【例3】如图所示的光滑斜面长为L，宽为s，倾角为θ＝30°，一小球(可视为质点)从斜面右上方顶点A处水平射入，恰好从底端B点离开斜面，重力加速度为g.则下列说法正确的是( )
A．小球运动的加速度为g
B．小球由A运动到B所用的时间为eq \r(\f(2L,g))
C．小球由A点水平射入时初速度v0的大小为seq \r(\f(g,2L))
D．小球离开B点时速度的大小为eq \r(\f(g,4L)s2＋4L2)
题型七 平抛中的功能与动量
【例1】.(2022·江苏盐城市高三一模)如图甲为2020年中国排球联赛的某个场景，排球飞行过程可简化为图乙。运动员某次将飞来的排球从a点水平击出，球击中b点；另一次将飞来的排球从a点的正下方且与b点等高的c点斜向上击出，也击中b点，排球运动的最高点d，与a点的高度相同。不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A.两个过程中，排球在空中飞行的时间相等
B.两个过程中，排球击中b点时的动能相等
C.运动员两次击球对排球所做的功可能相等
D.排球两次击中b点前瞬间，重力的功率一定不相等
【例2】.(2022·浙江嘉兴市高三期末)“二师兄”刀削面机器人问世后大大减轻了人的负担，它每次削出的面条质量相同。设从同一位置依次削出三块面条，分别落在水面上A、B、C三点，运动轨迹如图3所示，忽略空气阻力的影响，面条被削离后可视为平抛运动，下列说法正确的是( )
A.三块面条被削离时速度相等
B.三块面条被削离时的动量相等
C.落在A点的小面条在空中运动时间最短
D.三块面条落在水面时重力的功率相等
【例3】(2022·山东潍坊市高三下3月一模)质量为m的物块从某一高度以动能E水平抛出，落地时动能为3E.不计空气阻力，重力加速度为g.则物块( )
A．抛出点的高度为eq \f(3E,mg)
B．落地点到抛出点的水平距离为eq \f(2E,mg)
C．落地时重力的功率为geq \r(6mE)
D．整个下落过程中动量变化量的大小为2eq \r(mE)
【例4】 (多选)(2022·四川凉山州第二次诊断)质量m＝2 kg 的小物块在某一高度以v0＝5 m/s的速度开始做平抛运动，若g＝10 m/s2，当运动到竖直位移与水平位移相等时，对于物块( )
A.此时的瞬时速度大小为5eq \r(2) m/s
B.此时重力的瞬时功率大小为200 W
C.此过程动量改变大小为10(eq \r(5)－1) kg·m/s
D.此过程重力的冲量大小为20 N·s
【例5】（2022届云南省昆明市高三（下）“三诊一模”摸底诊断测试理综物理试题）跳台滑雪是一项勇敢者的滑雪运动，图甲是2022年北京冬奥会跳台滑雪的主跳台“雪如意”，图乙是其部分赛道及运动情况简化示意图。现有一运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡上b处着陆，测得ab间的距离为40m，斜坡与水平方向的夹角为30°，运动员（包括装备）质量为60kg，且可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度g=10m/s2，则运动员（包括装备）（ ）
A. 从a处运动到b处的时间为2s
B. 落到b处前瞬间动能为2.1×103J
C. 从a处运动到b处过程中动量变化率不变
D. 在空中距离斜坡最大距离为
【例6】抗震救灾时，地面交通被阻断，可用直升机向灾区投放救灾物资。某次投放时，低空匀速水平飞行的直升机，将一救灾物资相对直升机由静止释放，不考虑空气阻力的影响，救灾物资投放后在空中运动的第内动量变化量为、动能变化量为，第内动量变化量为、动能变化量为。则下列关系式正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
利用位移关系
从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，位移大小等于半径R
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝v0t,y＝\f(1,2)gt2,x2＋y2＝R2))
从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝R＋Rcs θ,x＝v0t,y＝Rsin θ,＝\f(1,2)gt2,x－R2＋y2,＝R2))
专题08 抛体运动模型
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc9575" 题型一 平抛运动的基本规律 PAGEREF _Tc9575 \h 1
\l "_Tc18047" 题型二 平抛运动的临界、极值问题 PAGEREF _Tc18047 \h 4
\l "_Tc12428" 题型三 斜面上的平抛问题 PAGEREF _Tc12428 \h 6
\l "_Tc20500" 类型1.顺着斜面平抛斜面倾斜角是“位移”偏向角 PAGEREF _Tc20500 \h 6
\l "_Tc18273" 类型2.顺着斜面（圆弧）平抛斜面倾斜角是“速度”偏向角 PAGEREF _Tc18273 \h 9
\l "_Tc21247" 类型3.对着斜面平抛“垂直”打在斜面上斜面倾斜角为“速度”偏向角的余角 PAGEREF _Tc21247 \h 11
\l "_Tc16897" 类型4 对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上斜面倾斜角为“位移”偏向角的余角 PAGEREF _Tc16897 \h 13
\l "_Tc19482" 题型四 有约束条件的平抛运动模型 PAGEREF _Tc19482 \h 14
\l "_Tc16996" 类型1 对着竖直墙壁的平抛运动 PAGEREF _Tc16996 \h 14
\l "_Tc5107" 类型2 半圆内的平抛问题 PAGEREF _Tc5107 \h 16
\l "_Tc27507" 题型五 斜抛运动的理解和分析 PAGEREF _Tc27507 \h 19
\l "_Tc1051" 题型六 类平抛运动 PAGEREF _Tc1051 \h 21
\l "_Tc4507" 题型七 平抛中的功能与动量 PAGEREF _Tc4507 \h 23
题型一 平抛运动的基本规律
【解题指导】1.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
2.研究方法：运动的合成与分解
（1）水平方向：匀速直线运动。
（2）竖直方向：自由落体运动。
3.基本规律（如图）
（1）速度eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(水平方向：vx＝v0,竖直方向：vy＝gt))
合速度的大小v＝eq \r(veq \\al(2,x)＋veq \\al(2,y))＝eq \r(veq \\al(2,0)＋g2t2)
设合速度的方向与水平方向的夹角为θ，有
tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(gt,v0)。
（2）位移eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(水平方向：x＝v0t,竖直方向：y＝\f(1,2)gt2))
合位移的大小s＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(（v0t）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)gt))\s\up12(2))
设合位移的方向与水平方向的夹角为α，有
tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0)。
（3）三个重要结论：①合速度方向与水平方向的夹角θ和合位移方向与水平方向的夹角α的关系，tan θ＝2tan α。
②做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，即xOC＝eq \f(x,2)。
③速度变化：平抛运动是匀变速曲线运动，故在相等的时间内，速度的变化量（Δv＝gΔt）相等，且必沿竖直方向，如图所示。任意两时刻的速度与速度的变化量Δv构成三角形，Δv沿竖直方向。
【例1】(2022·浙江金华十校4月模拟)图甲是消防车正在机场进行水柱灭火演练的情景，小刘模拟消防水柱的示意图如图乙所示。水在空中运动，A、B为其运动轨迹上的两点，已知水在A点时的速度大小为v＝6 m/s，速度方向与竖直方向的夹角为45°，它运动到B点时，速度方向与竖直方向的夹角为37°(sin 37°＝0.6)，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A.图中A点是水在空中运动过程的最高点
B.水在空中运动过程为变加速曲线运动
C.水在B点时的速度大小为8 m/s
D.A、B两点间的高度差为0.7 m
【答案】 D
【解析】 图中A点速度方向不是水平的，则图中A点不是水在空中运动过程的最高点，选项A错误；水在空中运动过程中，加速度恒定为g，则水在空中运动，为匀加速曲线运动，选项B错误；水在A、B两点时水平速度相同，则vAsin 45°＝vBsin 37°，解得B点时水的速度大小为vB＝5eq \r(2) m/s，选项C错误；A、B两点间的高度差为h＝eq \f(（vBcs 37°）2－（vAcs 45°）2,2g)＝0.7 m，选项D正确。
【例2】(2022·河南三市第二次质检)篮球技巧表演赛是展示组织后卫水平的比赛，其中一个环节是传球技巧，要求运动员拿球要准确传入正对面的球洞中。运动员在距球洞前5 m处传球，篮球以与水平面成45°的倾角准确落入球洞中心。若传球点和球洞中心正好在同一水平面上，不考虑空气阻力，取g＝10 m/s2。则篮球传出后的最高点相对球洞中心的竖直高度是( )
m m
m m
【答案】 A
【解析】 篮球水平方向做匀速直线运动，竖直方向先做加速度为g的匀减速直线运动，到达最高点后再做自由落体运动，因为竖直方向加速度没变，可以得出，篮球从传出到达最高点的时间和从最高点到达球洞的时间是相等的，这两段过程完全对称，篮球传出时与水平方向的夹角也是45°，由几何关系可知，篮球传出时竖直方向和水平方向的速度大小是相等的，设篮球最高点相对球洞中心的竖直高度为h，从传出到最高点的运动的时间为t，则竖直方向上有veq \\al(2,y)＝2gh，eq \f(1,2)gt2＝h，水平方向有vx·2t＝5 ，vx＝vy ，解得h＝1.25 m，故B、C、D错误，A正确。
【例3】．某物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角为θ，其正切值tan θ随时间t变化的图象如图所示，(g取10 m/s2)则 ( )
A．第1 s物体下落的高度为5 m
B．第1 s物体下落的高度为10 m
C．物体的初速度为5 m/s
D．物体的初速度为15 m/s
【答案】：A
【解析】：因tan θ＝eq \f(gt,v0)＝eq \f(g,v0)t，对应图象可得eq \f(g,v0)＝1，v0＝10 m/s，C、D错误；第1 s内物体下落的高度h＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(1,2)×10×12 m＝5 m，A正确，B错误．
【例4】．(2022·内蒙古集宁一中模拟)如图所示，某一小球以v0＝10 m/s的速度水平抛出，在落地之前经过空中A、B两点，在A点小球速度方向与水平方向的夹角为45°，在B点小球速度方向与水平方向的夹角为60°(空气阻力忽略不计，g取10 m/s2)．以下判断中正确的( )
A．小球经过A、B两点间的时间t＝eq \r(3) s
B．小球经过A、B两点间的时间t＝1 s
C．A、B两点间的高度差h＝10 m
D．A、B两点间的高度差h＝15 m
【答案】：C
【解析】：根据运动的合成与分解知，vyA＝v0＝10 m/s，vyB＝v0tan 60°＝eq \r(3)v0＝10eq \r(3) m/s，则小球由A到B的时间间隔Δt＝eq \f(vyB－vyA,g)＝eq \f(10\r(3)－10,10) s＝(eq \r(3)－1) s，故A、B错误．A、B的高度差h＝eq \f(veq \\al(2,yB)－veq \\al(2,yA),2g)＝eq \f(300－100,20) m＝10 m，故C正确，D错误．
题型二 平抛运动的临界、极值问题
【解题指导】1．平抛运动的临界问题有两种常见情形：(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)物体的速度方向恰好达到某一方向．
2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”、“刚好飞过壕沟”、“速度方向恰好与斜面平行”、“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题．
【例1】 (2022·山东滨州第二次模拟)如图所示为一网球发球机，可以将网球以不同的水平速度射出，打到竖直墙上。O、A、B是竖直墙上三点，O与出射点处于同一水平线上，A、B两点分别为两次试验时击中的点，OA＝h1，OB＝h2，出射点到O点的距离为L，当地重力加速度为g，空气阻力忽略不计，网球可看作质点。下列说法正确的是( )
A.出射速度足够大，网球可以击中O点
B.发球间隔时间足够短，两个网球在下落过程中可相遇
C.击中A点的网球的初速度大小为Leq \r(\f(2h1,g))
D.网球击中B点时速度大小为eq \r(\f(L2g,2h2)＋2gh2)
【答案】 D
【解析】 网球做平抛运动，不论出射速度多大，竖直方向的位移也不为零，所以网球不能击中O点，故A错误；发球间隔时间足够短，但两个网球的水平位移不相等，竖直位移不相等，所以两个网球在下落过程中不可能相遇，故B错误；对于击中A点的网球，根据平抛运动的规律可得L＝v0At1，h1＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，解得击中A点的网球的初速度大小为v0A＝Leq \r(\f(g,2h1))，故C错误；网球击中B点时，据平抛运动的规律可得L＝v0Bt2，h2＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，解得击中B点的网球的初速度大小为v0B＝Leq \r(\f(g,2h2))，网球击中B点时速度大小为vB＝eq \r(veq \\al(2,0B)＋2gh2)＝eq \r(\f(L2g,2h2)＋2gh2)，故D正确。
【例2】(多选)(2022·海南省模拟)将小球从如图所示的阶梯状平台上以一定的水平初速度v0水平抛出，所有台阶的高度和宽度均为1.0 m，取g＝10 m/s2，要使小球抛出后落到第三级台阶上，则v0可能为( )
A．2eq \r(3) m/s B．3.5 m/s
C．4 m/s D．2eq \r(5) m/s
【答案】 AB
【解析】 小球抛出后越过第二台阶，根据平抛运动的特点水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运动可知h2＝2L＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，x2＝v0t2＞2L；小球抛出后不会越过第三台阶，有h3＝3L＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,3)，x3＝v0t3≤3L，解得eq \r(10) m/s＜v0≤eq \r(15) m/s，故选项A、B正确。
【例3】(2022·广东五校一联)某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示.模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平.现让小球由最高点静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为( )
A.0 B.0.1 m C.0.2 m D.0.3 m
【答案】 C
【解析】 小球从最高点到右端出口，满足机械能守恒，有mg(H－h)＝eq \f(1,2)mv2，从右端出口飞出后小球做平抛运动，有x＝vt，h＝eq \f(1,2)gt2，联立解得x＝2eq \r((H－h)h)，根据数学知识知，当H－h＝h时，x最大，即h＝1 m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh＝1 m－0.8 m＝0.2 m，故C正确.
【例4】(多选)中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述正确的是( )
A.运动的时间都相同
B.速度的变化量都相同
C.落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍
D.若初速度为v0，则Leq \r(\f(g,2h))＜v0＜3Leq \r(\f(g,2h))
【答案】 ABD
【解析】 削出的小面圈的运动可视为平抛运动，在竖直方向有h＝eq \f(1,2)gt2，可知所有小面圈在空中运动的时间都相同，故选项A正确；由Δv＝gt可知，所有小面圈在空中运动速度的变化量都相同，故选项B正确；小面圈都落入锅中的条件为L＜x＜3L，即L＜v0t＜3L，联立h＝eq \f(1,2)gt2解得Leq \r(\f(g,2h))＜v0＜3Leq \r(\f(g,2h))，故选项D正确；小面圈都落入锅中时水平方向的最大速度是最小速度的3倍，但是落入锅中时，速度v＝eq \r(veq \\al(2,x)＋veq \\al(2,y))，所以最大速度不是最小速度的3倍，故选项C错误。
题型三 斜面上的平抛问题
类型1.顺着斜面平抛斜面倾斜角是“位移”偏向角
(1)落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下(如图)
处理方法：分解位移.
x＝v0t
y＝eq \f(1,2)gt2
tan θ＝eq \f(y,x)
可求得t＝eq \f(2v0tan θ,g).
(2)物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下(如图)
处理方法：分解速度
vx＝v0，vy＝gt
tan θ＝eq \f(vy,v0)
t＝eq \f(v0tan θ,g).
【例1】如图所示，两个高度相同的斜面，倾角分别为30°和60°，小球A、B分别由斜面顶端以相同大小的水平速度v0抛出，若两球均落在斜面上，不计空气阻力，则A、B两球平抛运动过程( )
A．飞行的时间之比为1∶3
B．水平位移大小之比为1∶9
C．竖直下落高度之比为1∶3
D．落至斜面时速度大小之比为1∶3
【答案】 A
【解析】 对于A球，tan 30°＝eq \f(yA,xA)＝eq \f(\f(1,2)gtA2,v0tA)，解得tA＝eq \f(2v0tan 30°,g)，对于B球，tan 60°＝eq \f(yB,xB)＝eq \f(\f(1,2)gtB2,v0tB)，解得tB＝eq \f(2v0tan 60°,g)，所以eq \f(tA,tB)＝eq \f(tan 30°,tan 60°)＝eq \f(1,3)，由x＝v0t可知水平位移大小之比为1∶3，由y＝eq \f(1,2)gt2，可知竖直下落高度之比为1∶9，故A正确，B、C错误；落在斜面上的竖直分速度vyA＝gtA＝2v0tan 30°，vyB＝gtB＝2v0tan 60°，vA2＝vyA2＋v02，vB2＝vyB2＋v02，则落至斜面时vA＝eq \r(\f(7,3))v0，vB＝eq \r(13)v0，速度大小之比为eq \r(7)∶eq \r(39)，故D错误．
【例2】(2022·安徽合肥模拟)跳台滑雪的比赛场地由滑门、助滑坡、着陆坡、停止区组成，若将着陆坡简化为如图所示的倾角为37°的斜面，运动员经起跳点后的腾空飞行简化为平抛运动，下列说法正确的是( )
A．运动员在空中的飞行时间与初速度成正比
B．运动员在空中的飞行时间与初速度的平方成正比
C．运动员起跳的初速度越大，落在着陆坡上时速度与斜面的夹角越小
D．运动员起跳的初速度越大，落在着陆坡上时速度与斜面的夹角越大
【答案】 A
【解析】 运动员经起跳点后的腾空飞行简化为平抛运动，水平方向x＝v0t，竖直方向h＝eq \f(1,2)gt2，由题意tan 37°＝eq \f(h,x)，可得t＝eq \f(2v0tan 37°,g)，即运动员在空中的飞行时间与初速度成正比，故A正确，B错误；设运动员落在着陆坡上时速度与水平方向的夹角为θ，由平抛运动的推论知tan θ＝2tan 37°，运动员起跳的初速度不同，落在着陆坡上时速度与水平方向的夹角相同，与斜面的夹角也相同，故C、D错误．
【例3】(2022·山西朔州市怀仁市期末)2022年北京冬奥会高山滑雪项目是从高山上向山下以滑雪板、滑雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具的竞技运动．如图为某次训练中，运动员(可视为质点)从水平平台上以20 m/s的速度冲向倾角为45°的倾斜雪道面，落点仍在该斜面上，忽略空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，则运动员距雪道面的最远距离约为( )
A．5.1 m B．10.2 m
C．14.1 m D．21.1 m
【答案】 C
【解析】 把运动员的初速度分解为沿斜面方向和垂直于斜面方向，垂直于斜面方向的分速度vy＝eq \f(\r(2),2)v，同理将加速度也分解为沿斜面和垂直于斜面方向，其中垂直于斜面方向的加速度gy＝eq \f(\r(2),2)g，当沿垂直斜面方向的分速度为零时，运动员距离斜面最远，则有y＝eq \f(v\\al(y2),2gy)≈14.1 m，故选C.
【例4】.(2022·浙江稽阳联谊学校联考)冬奥会跳台滑雪比赛，它是利用山势特点建造的一个特殊跳台。简化模型如图所示，一运动员穿着专用滑雪板，在助滑路上获得高速后从A点水平飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆。已知可视为质点的运动员水平飞出的速度v0＝20 m/s，山坡看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力，(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，取g＝10 m/s2)则关于运动员以下说法正确的是( )
A.在空中飞行的时间为1.5 s
B.落到斜面上B点时离A点的距离为60 m
C.若运动员水平飞出速度减半，则落到斜面上时离A点的距离减半
D.若运动员水平飞出速度减半，则落到斜面上时速度方向不变
【答案】 D
【解析】 运动员由A到B做平抛运动，落在山坡上时，水平方向的位移为x＝v0t，竖直方向的位移为y＝eq \f(1,2)gt2，且有tan 37°＝eq \f(y,x)，联立解得运动员在空中飞行的时间为t＝eq \f(2v0tan 37°,g)＝eq \f(2×20×\f(3,4),10) s＝3 s，由运动学公式得x＝v0t＝20×3 m＝60 m，则A、B间的距离为s＝eq \f(x,cs 37°)＝eq \f(60,0.8) m＝75 m，故A、B错误；若运动员水平飞出速度减半，根据飞行时间t＝eq \f(2v0tan 37°,g)，可知在空中飞行时间减为原来的一半，根据运动学公式x＝v0t可知水平位移减小为原来的四分之一，则A、B间的距离为s＝eq \f(x,cs 37°)，也减为原来的四分之一，故C错误；运动员落在山坡时速度方向与水平方向的夹角的正切值为tan α＝eq \f(gt,v0)＝eq \f(g·\f(2v0tan 37°,g),v0)＝2tan 37°，与初速度无关，所以运动员水平飞出速度减半，则落到斜面上时速度方向不变，故D正确。
【例5】如图所示，在同一竖直平面内，倾角θ＝37°的斜滑道AB与水平滑道BC平滑衔接，可视为质点的运动员踩着滑雪板从A点以速度v0＝20 m/s沿水平方向飞出，恰好落到B处后顺势屈腿缓冲，他垂直于水平面的分速度迅速减小为零，滑雪板和水平面间的动摩擦因数为μ＝0.2，不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，则运动员在空中飞行的时间和在水平长直滑道上运动的最大距离分别为( )
A．3 s 50 m B．3 s 100 m
C．6 s 50 m D．6 s 100 m
【答案】 B
【解析】 设运动员在空中飞行的时间为t，则根据平抛运动规律有x＝v0t，h＝eq \f(1,2)gt2，根据几何关系有tan 37°＝eq \f(h,x)，联立以上三式解得t＝3 s．设运动员在水平长直滑道上运动的最大距离为s，运动员质量为m，由题意知运动员到B点后速度为v0，根据动能定理有－μmgs＝0－eq \f(1,2)mv02，解得s＝100 m．故选B.
类型2.顺着斜面（圆弧）平抛斜面倾斜角是“速度”偏向角
1.从斜面外恰好与斜面平行的方向落到斜面(如图)：
合速度与水平速度的夹角等于斜面倾角，常用速度关系tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(gt,v0).
2.从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向
分解速度tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)
【例1】一滑雪运动员以一定的初速度从一平台上滑出，刚好落在一斜坡上的B点，且与斜坡没有撞击，则平台边缘A点和斜坡B点连线与竖直方向夹角α跟斜坡倾角θ的关系为( )
A．tan θ·ct α＝2 B．tan θ·tan α＝2
C．ct θ·tan α＝2 D．ct θ·ct α＝2
【答案】：B
【解析】：运动员从A点飞出后，做平抛运动，在B点速度与水平方向的夹角为θ，从A到B点的位移与竖直方向的夹角为α，则ct α＝eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2)vyt,v0t)＝eq \f(vy,2v0)，tan θ＝eq \f(vy,v0)，因此tan θ＝2ct α，即tan θ·tan α＝2，B项正确．
【例2】如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道．已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为( )
A.eq \f(v02tan α,g) B.eq \f(2v02tan α,g) C.eq \f(v02,gtan α) D.eq \f(2v02,gtan α)
【答案】 A
【解析】 由小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道可知，小球在B点时的速度方向与水平方向的夹角为α.由tan α＝eq \f(gt,v0)，x＝v0t，联立解得A、B之间的水平距离为x＝eq \f(v02tan α,g)，选项A正确．
【例3】(2022·海南琼海市嘉积中学高三期中)如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨迹的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道，O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角，则( )
A.eq \f(tan θ2,tan θ1)＝2 B.eq \f(1,tan θ1tan θ2)＝2
C.tan θ1tan θ2＝2 D.eq \f(tan θ1,tan θ2)＝2
【答案】 C
【解析】 做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动.由题知，速度方向与水平方向的夹角为θ1，则tan θ1＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)，位移方向与竖直方向的夹角为θ2，则tan θ2＝eq \f(x,y)＝eq \f(v0t,\f(1,2)gt2)＝eq \f(2v0,gt)，所以tan θ1tan θ2＝2，所以选C.
类型3.对着斜面平抛“垂直”打在斜面上斜面倾斜角为“速度”偏向角的余角
对着斜面平抛
垂直撞在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下(如图)
处理方法：分解速度.
vx＝v0
vy＝gt
tan θ＝eq \f(vx,vy)＝eq \f(v0,gt)
可求得t＝eq \f(v0,gtan θ).
【例1】(多选) (2022·河北石家庄市二模)如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度处有一小球以水平速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上，已知重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A.小球从抛出到落在斜面上的运动时间为eq \f(\r(3)v0,g)
B.小球从抛出到落在斜面上的运动时间为eq \f(\r(3)v0,3g)
C.小球抛出时距斜面底端的高度为eq \f(5veq \\al(2,0),g)
D.小球抛出时距斜面底端的高度为eq \f(5veq \\al(2,0),2g)
【答案】 AD
【解析】 设小球恰好垂直打到斜面上的时间为t，根据几何关系可得
tan 60°＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)
解得t＝eq \f(\r(3)v0,g)，故A正确，B错误；
小球垂直打到斜面上，根据平抛运动规律，则有
x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2
小球落在斜面上，根据几何关系得
tan 30°＝eq \f(h－y,x)
将t＝eq \f(\r(3)v0,g)代入，联立解得h＝eq \f(5veq \\al(2,0),2g)，故C错误，D正确。
【例2】如图，倾角为θ的斜面体ABC固定在水平地面上，在A点正上方的P点，以速度v0水平抛出一个小球，小球落在斜面上的Q点(图中未画出)，且落到斜面上时速度方向与斜面垂直，重力加速度为g，不计空气阻力，则Q点离地面的高度为( )
A.eq \f(v\\al(02),g)sin θ B.eq \f(v\\al(02),g)cs θ
C.eq \f(v\\al(02),g)tan θ D.eq \f(v\\al(02),g)
【答案】 D
【解析】 当小球落到斜面上时，设竖直方向的分速度为vy，则有vy＝eq \f(v0,tan θ)，又vy＝gt，x＝v0t，联立解得x＝eq \f(v\\al(02),gtan θ)，则Q点离地面的高度h＝xtan θ＝eq \f(v\\al(02),g)，故选D.
【例3】如图所示，倾角为37°的粗糙斜面的底端有一质量m＝1 kg的凹槽小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25.现小滑块以某一初速度v从斜面底端上滑，同时在斜面正上方有一小球以速度v0水平抛出，经过0.4 s，小球恰好垂直斜面落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中．空气阻力不计，已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
(1)小球水平抛出的速度v0的大小；
(2)小滑块的初速度v的大小．
【答案】：(1)3 m/s (2)5.35 m/s
【解析】：(1)设小球落入凹槽时竖直速度为vy，则
vy＝gt＝10×0.4 m/s＝4 m/s
v0＝vytan 37°＝3 m/s.
(2)小球落入凹槽时的水平位移x＝v0t＝3×0.4 m＝1.2 m
则小滑块的位移为s＝eq \f(1.2,cs 37°) m＝1.5 m
小滑块上滑时，由牛顿第二定律有mgsin 37°＋μmgcs 37°＝ma
解得a＝8 m/s2
根据公式s＝vt－eq \f(1,2)at2
解得v＝5.35 m/s.
类型4 对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上斜面倾斜角为“位移”偏向角的余角
在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面
分解位移tan θ＝eq \f(x,y)＝eq \f(v0t,\f(1,2)gt2)＝eq \f(2v0,gt)
【例1】.(多选)如图所示，将一个小球以速度v水平抛出，要使小球从抛出到打到斜面上的位移与斜面垂直，斜面与水平方向的夹角为α。下列说法正确的是( )
A.若保持水平速度v不变，斜面与水平方向的夹角α越大，小球的飞行时间越短
B.若保持水平速度v不变，斜面与水平方向的夹角α越小，小球的飞行时间越短
C.若保持斜面倾角α不变，水平速度v越大，小球的飞行时间越短
D.若保持斜面倾角α不变，水平速度v越小，小球的飞行时间越短
【答案】 AD
【解析】 小球水平抛出后只在重力作用下做平抛运动，可将平抛运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。若保持水平速度v不变，斜面与水平方向的夹角α 越大，小球的竖直位移越小，所以飞行时间越短，故A正确，B错误；满足题设条件的情况下，若保持斜面倾角α不变，则eq \f(2v,gt)为定值，水平速度v越大，小球的飞行时间越长，故C错误，D正确。
【例2】.如图所示，一小球从某固定位置以一定初速度水平抛出，已知当抛出速度为v0时，小球落到一倾角为θ＝60°的斜面上，且球发生的位移最小，不计空气阻力，则( )
A.小球从抛出到落到斜面的时间为eq \f(\r(3)v0,3g)
B.小球从抛出到落到斜面的时间为eq \f(2\r(3)v0,3g)
C.小球的抛出点到斜面的距离为eq \f(4veq \\al(2,0),3g)
D.小球的抛出点到斜面的距离为eq \f(2veq \\al(2,0),3g)
【答案】 BC
【解析】 球平抛的位移最小，则抛出点和落点的连线与斜面垂直，分解位移，如图所示。
设平抛时间为t，结合几何关系知，tan θ＝eq \f(x,y)，x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2，解得t＝eq \f(2\r(3)v0,3g)，故选项A错误，B正确；s＝eq \f(x,sin θ)＝eq \f(v0t,sin θ)＝eq \f(4veq \\al(2,0),3g)，选项C正确，D错误。
题型四 有约束条件的平抛运动模型
类型1 对着竖直墙壁的平抛运动
如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝eq \f(d,v0)。
【例1】(多选)(2022·石家庄市质检)如图所示，水平放置的网球发球机正对着竖直墙面发射网球，两次发射的网球分别在墙上留下A、B两点印迹。测得OA＝AB，OP为水平线，若忽略网球在空中受到的阻力，下列说法正确的是( )
A．两球发射的初速度vA∶vB＝1∶2
B．两球发射的初速度vA∶vB＝eq \r(2)∶1
C．两球从P点发射到碰到墙面所用的时间tA∶tB＝1∶eq \r(2)
D．两球从P点发射到碰到墙面所用的时间tA∶tB＝1∶2
【答案】 BC
【解析】 设OA＝AB＝h，忽略空气阻力，则网球做平抛运动，竖直方向上有h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,A)，2h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,B)，整理可得tA∶tB＝1∶eq \r(2)，选项C正确，D错误；网球在水平方向上做匀速运动，而且水平位移大小相等，则有x＝vAtA＝vBtB，整理可得vA∶vB＝eq \r(2)∶1，选项A错误，B正确。
【例2】.如图所示，将一小球从水平面MN上方A点以初速度v1向右水平抛出，经过时间t1打在前方竖直墙壁上的P点，若将小球从与A点等高的B点以初速度v2向右水平抛出，经过时间t2落在竖直墙角的N点，不计空气阻力，下列选项中正确的是( )
A.v1＞v2 B.v1＜v2
C.t1＞t2 D.t1＝t2
【答案】 A
【解析】 小球在竖直方向上为自由落体运动，则根据t＝eq \r(\f(2h,g))可知，t1＜t2；在水平方向上为匀速直线运动，根据v＝eq \f(x,t)，因x1＞x2，则v1＞v2，故选项A正确。
【例3】(2022·云南二模)“飞镖”是一项深受人们喜爱的运动。镖靶如图所示，一同学练习投镖，若他每次都是将飞镖水平投出，飞镖在空中运动可视为平抛运动。某次飞镖打在了靶中心的正上方某处，该同学下次打靶时做出调整，可能让飞镖打在靶中心的是（ ）
A. 保持飞镖出手点距地高度和出手速度不变，减小飞镖出手点到靶的水平距离
B. 保持飞镖出手点到靶的水平距离和出手速度不变，降低飞镖出手点距地高度
C. 保持飞镖出手点距地高度和到靶的水平距离不变，增大飞镖的出手速度
D. 保持飞镖出手点距地高度和到靶的水平距离不变，减小飞镖的出手速度
【答案】BD
【解析】A．保持飞镖出手点距地高度和出手速度不变，减小飞镖出手点到靶的水平距离，则运动到靶的时间变短，竖直位移更短，落点在靶中心的正上方，A错误；
B．保持飞镖出手点到靶的水平距离和出手速度不变，则运动到靶的时间不变，竖直位移不变，由于降低飞镖出手点距地高度，落点可能在靶中心，故B正确
C．保持飞镖出手点距地高度和到靶水平距离不变，增大飞镖的出手速度，则运动到靶的时间变短，竖直位移更短，落点在靶中心的正上方，故C错误；
D．保持飞镖出手点距地高度和到靶的水平距离不变，减小飞镖的出手速度，则运动到靶的时间变长，竖直位移变长，落点可能在靶中心，故D正确；
故选BD
类型2 半圆内的平抛问题
【例1】如图所示，科考队员站在半径为10 m的半圆形陨石坑(直径水平)边，沿水平方向向坑中抛出一石子(视为质点)，石子在坑中的落点P与圆心O的连线与水平方向的夹角为37°，已知石子的抛出点在半圆形陨石坑左端的正上方，且到半圆形陨石坑左端的高度为1.2 m．取sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力．则石子抛出时的速度大小为( )
A．9 m/s B．12 m/s
C．15 m/s D．18 m/s
【答案】 C
【解析】 由题意可知，小石子竖直方向的位移为h＝h1＋Rsin 37°，根据公式可得h＝eq \f(1,2)gt2，代入数据解得t＝1.2 s．小石子水平方向的位移为x＝R＋Rcs 37°，又x＝v0t，代入数据可得石子抛出时的速度大小为v0＝15 m/s，故选C.
【例2】(多选)(2022·山东济宁市第一次模拟)如图所示，在竖直平面内固定一半圆形轨道，O为圆心，AB为水平直径，有一可视为质点的小球从A点以不同的初速度向右水平抛出，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A.初速度越大，小球运动时间越长
B.初速度不同，小球运动时间可能相同
C.小球落到轨道的瞬间，速度方向可能沿半径方向
D.小球落到轨道的瞬间，速度方向一定不沿半径方向
【答案】 BD
【解析】 平抛运动的时间由高度决定，与水平初速度无关，初速度大时，与半圆接触时下落的距离不一定比速度小时下落的距离大，故A错误；初速度不同的小球下落的高度可能相等，如碰撞点关于半圆过O点的竖直轴对称的两个点，运动的时间相等，故B正确；若小球落到半圆形轨道的瞬间垂直撞击半圆形轨道，即速度方向沿半径方向，则速度方向与水平方向的夹角是位移方向与水平方向夹角的2倍，因为同一位置速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的两倍，两者相互矛盾，则小球的速度方向不会沿半径方向，故C错误，D正确。
【例3】(2022·四川宜宾市第二次诊断)如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2沿BA方向平抛另一相同质量的小球并也能击中D点，已知∠COD＝60°，且不计空气阻力，则( )
A.两小球同时落到D点
B.两小球初速度大小之比为eq \r(6)∶3
C.两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等
D.两小球落到D点时的瞬时速率之比为eq \r(2)∶1
【答案】 B
【解析】 由于A、C两点到D点的竖直高度不同，两球在空中运动时间不同，选项A错误；设圆弧形槽半径为R，对从A点抛出的小球，R＝v1tA，tA＝eq \r(\f(2R,g))，则v1＝Req \r(\f(g,2R))＝eq \r(\f(1,2)gR)，对从C点抛出的小球，Rsin 60°＝v2tC，tC＝eq \r(\f(（R－Rcs 60°）×2,g))＝eq \r(\f(R,g))，则v2＝eq \f(\r(3)R,2)eq \r(\f(g,R))＝eq \r(\f(3,4)gR)，v1∶v2＝eq \r(6)∶3，选项B正确；设在D点速度方向与OD线夹角为θ，竖直分速度为vy，水平分速度为v0，则tan θ＝eq \f(v0,vy)，由v1∶v2＝eq \r(6)∶3和vy1∶vy2＝tA∶tC＝eq \r(2)∶1知tan θ1≠tan θ2，选项C错误；设A、C两点抛出球落到D点时的瞬时速率分别为vA、vC，vA＝eq \r(veq \\al(2,1)＋veq \\al(2,y1))＝eq \r(\f(5,2)gR)，vC＝eq \r(veq \\al(2,2)＋veq \\al(2,y2))＝eq \r(\f(7,4)gR)，则vA∶vC＝eq \r(10)∶eq \r(7)，选项D错误。
【例4】(2022·贵州安顺市网上调研)如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道MNO顶端和斜面顶端O点以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，则( )
A.b球一定先落在斜面上
B.a球一定先落在半圆轨道上
C.a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上
D.b球落到斜面最底端时，a球恰好落在半圆轨道上最低点
【答案】 C
【解析】 如图甲，将半圆轨道和斜面轨道重叠在一起可知，若小球初速度合适，两小球可同时落在距离出发点高度相同的半圆轨道和斜面交点A处，改变初速度，可以a球先落在半圆轨道上，也可以b球先落在斜面上，故A、B错误，C正确；若b球落到斜面最底端时，由图乙所画轨迹可判断a球已经打在半圆轨道的P点了，故a球不可能落在半圆轨道上最低点，故D错误.

题型五 斜抛运动的理解和分析
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动．
4．基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
初速度可以分解为v0x＝v0cs θ，v0y＝v0sin θ.
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x＝v0xt＝(v0cs θ)t①
vx＝v0x＝v0cs θ②
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
y＝v0yt－eq \f(1,2)gt2＝(v0sin θ)t－eq \f(1,2)gt2③
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt④
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(1)斜抛运动中的极值
在最高点，vy＝0，由④式得到t＝eq \f(v0sin θ,g)⑤
将⑤式代入③式得物体的射高ym＝eq \f(v02sin2θ,2g)⑥
物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，
由③式得总时间t总＝eq \f(2v0sin θ,g)⑦
将⑦式代入①式得物体的射程xm＝eq \f(v02sin 2θ,g)
当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大．
所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大．
(2)逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题．
【例1】(2022·浙江杭州质检)如图所示，从水平地面上的A、B两点分别斜抛出两小球，两小球均能垂直击中前方竖直墙面上的同一点P。已知点P距地面的高度h＝0.8 m，A、B两点距墙的距离分别为0.8 m和0.4 m。不计空气阻力，则从A、B两点抛出的两小球( )
A．从抛出到击中墙壁的时间之比为2∶1
B．击中墙面的速率之比为1∶1
C．抛出时的速率之比为eq \r(17)∶2eq \r(5)
D．抛出时速度方向与地面夹角的正切值之比为1∶2
【答案】 D
【解析】 两小球做逆向平抛运动的时间由高度决定，即两小球运动时间相等，A项错误；两小球水平位移xA＞xB，运动时间相等，故击中墙面时vA＞vB，B项错误；由平抛运动规律可知，A球抛出时速度大于B球抛出时速度，C项错误；两小球位移与水平方向夹角正切值之比为1∶2，而速度方向与水平方向夹角正切值为位移与水平方向夹角正切值的2倍，故D正确。
【例2】(2022·广东惠州市调研)如图所示，一运动员将篮球从地面上方B点以速度v0斜向上抛出，恰好垂直击中竖直篮板上A点。后来该运动员后撤到更远的C点投篮，仍然将球垂直击中篮板上A点，关于两次投篮的比较，下列说法正确的是( )
A．在C点抛出速度v0更小，同时抛射角θ更大
B．在C点抛出速度v0更小，同时抛射角θ更小
C．在C点抛出速度v0更大，同时抛射角θ更大
D．在C点抛出速度v0更大，同时抛射角θ更小
【答案】 D
【解析】 将运动倒过来相当于从篮板做平抛运动，第一次抛到B点，第二次抛到C点，下落的高度相同，因此运动时间相同，竖直分速度相同，落到C点时水平速度更大，速度与水平夹角更小，因此篮球在C点抛出速度v0更大，同时抛射角θ更小，选项D正确。
【例3】(2022·保山市5月质检)某同学在练习投篮时将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直放置的篮板上，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，关于这两次篮球从抛出到撞击篮板的过程( )
A．两次在空中运动的时间相等
B．两次抛出时的速度相等
C．第1次抛出时速度的水平分量小
D．第2次抛出时速度的竖直分量大
【答案】 C
【解析】 将篮球的运动反向处理，即为平抛运动．由题图可知，第2次运动过程中的高度较小，所以运动时间较短，故A错误．平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，第2次运动过程中的高度较小，故第2次抛出时速度的竖直分量较小，故D错误．平抛运动在水平方向是匀速直线运动，水平射程相等，由x＝v0t可知，第2次抛出时水平分速度较大，第1次抛出时水平分速度较小，故C正确．水平分速度第2次大，竖直分速度第1次大，根据速度的合成可知，两次抛出时的速度大小关系不能确定，故B错误．
题型六 类平抛运动
1.类平抛运动的特点
(1)有时物体的运动与平抛运动很相似，也是物体在某方向做匀速直线运动，在垂直匀速直线运动的方向上做初速度为零的匀加速直线运动。对这种像平抛又不是平抛的运动，通常称为类平抛运动。
(2)受力特点：物体所受的合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
(3)运动特点：在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝eq \f(F合,m)。
如图所示，将质量为m的小球从倾角为θ的光滑斜面上A点以速度v0水平抛出(v0的方向与CD平行)，小球运动到B点的过程中做的就是类平抛运动。
2.类平抛运动与平抛运动的规律相类似，两者的区别
(1)运动平面不同：类平抛运动→任意平面；平抛运动→竖直面。
(2)初速度方向不同：类平抛运动→任意方向；平抛运动→水平方向。
(3)加速度不同：类平抛运动→a＝eq \f(F,m)，与初速度方向垂直；平抛运动→重力加速度g，竖直向下。
【例1】 如图所示，A、B两质点以相同的水平速度v抛出，A在竖直面内运动，落地点在P1；B在光滑的斜面上运动，落地点在P2，不计空气阻力，比较两质点的运动时间、沿x轴方向的位移是否相同。
【答案】 两质点的运动时间、沿x轴方向的位移均不相同
【解析】 A质点做平抛运动，由平抛运动规律知，x1＝vt1，h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，而B质点在斜面上做类平抛运动，其运动可分解为沿x轴方向的匀速直线运动和沿斜面向下的匀加速直线运动，设斜面与水平面的夹角为θ，eq \f(h,sin θ)＝eq \f(1,2)gsin θ·teq \\al(2,2)，x2＝vt2，可得t1≠t2，x1≠x2，所以两者均不相同。
【例2】如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：(重力加速度为g)
(1)物块由P运动到Q所用的时间t；
(2)物块由P点水平射入时的初速度v0的大小；
(3)物块离开Q点时速度的大小v。
【答案】 (1)eq \r(\f(2l,gsin θ)) (2)beq \r(\f(gsin θ,2l)) (3)eq \r(\f(（b2＋4l2）gsin θ,2l))
【解析】 (1)沿斜面向下，有
mgsin θ＝ma
l＝eq \f(1,2)at2
联立解得t＝eq \r(\f(2l,gsin θ))。
(2)沿水平方向，有b＝v0t
v0＝eq \f(b,t)＝beq \r(\f(gsin θ,2l))。
(3)物块离开Q点时的速度大小
v＝eq \r(veq \\al(2,0)＋（at）2)＝eq \r(\f(（b2＋4l2）gsin θ,2l))。
【例3】如图所示的光滑斜面长为L，宽为s，倾角为θ＝30°，一小球(可视为质点)从斜面右上方顶点A处水平射入，恰好从底端B点离开斜面，重力加速度为g.则下列说法正确的是( )
A．小球运动的加速度为g
B．小球由A运动到B所用的时间为eq \r(\f(2L,g))
C．小球由A点水平射入时初速度v0的大小为seq \r(\f(g,2L))
D．小球离开B点时速度的大小为eq \r(\f(g,4L)s2＋4L2)
【答案】 D
【解析】 依据曲线运动条件，初速度与合力方向垂直，且合力大小恒定，则小球做匀变速曲线运动，再根据牛顿第二定律得，小球的加速度为a＝eq \f(mgsin θ,m)＝gsin θ＝eq \f(1,2)g，故A错误；根据L＝eq \f(1,2)at2，有t＝eq \r(\f(2L,a))＝eq \r(\f(2L,gsin θ))＝eq \r(\f(4L,g))，选项B错误；在B点的平行斜面方向向下的分速度为vBy＝at＝eq \f(1,2)g×eq \r(\f(4L,g))＝eq \r(gL)；根据s＝v0t，有v0＝eq \f(s,t)＝seq \r(\f(g,4L))；故小球离开B点时速度的大小v＝eq \r(v\\al(02)＋v\\al(By2))＝eq \r(\f(g,4L)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(s2＋4L2)))，故C错误，D正确．
题型七 平抛中的功能与动量
【例1】.(2022·江苏盐城市高三一模)如图甲为2020年中国排球联赛的某个场景，排球飞行过程可简化为图乙。运动员某次将飞来的排球从a点水平击出，球击中b点；另一次将飞来的排球从a点的正下方且与b点等高的c点斜向上击出，也击中b点，排球运动的最高点d，与a点的高度相同。不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A.两个过程中，排球在空中飞行的时间相等
B.两个过程中，排球击中b点时的动能相等
C.运动员两次击球对排球所做的功可能相等
D.排球两次击中b点前瞬间，重力的功率一定不相等
【答案】 C
【解析】 由于从c处抛出的球能到达的最高点为d点，从d到地面竖直方向做自由落体运动，根据竖直方向的运动可知vya＝vyc，tc＝2ta，由于水平方向的位移相同，根据vx＝eq \f(x,t) 可知，vxa＞vxc，根据速度的合成可知，a抛出时的速度va0＝vxa，c抛出时的初速度vc0＝eq \r(veq \\al(2,ya)＋veq \\al(2,xc))，故两过程中，小球的初速度大小可能相等，根据动能定理可得W＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，运动员两次击球对排球所做的功可能相等，故A错误，C正确；落地时，根据运动的对称性可知，排球从c处击出时的速度大小与落地时速度大小相等，a球落地时的速度va＝eq \r(veq \\al(2,xa)＋veq \\al(2,ya))，故排球从a点击出击中b点时的速度较大，根据Ek＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)可知，两个过程中，排球击中b点时动能不同，故B错误；由于从a点水平击出的排球做平抛运动，从c点击出的排球到达d点后也做平抛运动，竖直方向做的都是自由落体运动，下落的高度相同，故落地时竖直方向的速度相同，则重力的瞬时功率P＝mgvy相同，故D错误。
【例2】.(2022·浙江嘉兴市高三期末)“二师兄”刀削面机器人问世后大大减轻了人的负担，它每次削出的面条质量相同。设从同一位置依次削出三块面条，分别落在水面上A、B、C三点，运动轨迹如图3所示，忽略空气阻力的影响，面条被削离后可视为平抛运动，下列说法正确的是( )
A.三块面条被削离时速度相等
B.三块面条被削离时的动量相等
C.落在A点的小面条在空中运动时间最短
D.三块面条落在水面时重力的功率相等
【答案】 D
【解析】 平抛运动的时间由高度决定，面条落入锅中的过程中，下落高度都相同，根据h＝eq \f(1,2)gt2 可知，三块面条下落时间都相同，水平位移不同，由x＝v0t可知三块面条初速度不同，故A、C错误； 三块面条初速度不同，由动量p＝mv0可知三块面条被削离时的动量不同，故B错误；重力的功率P＝mgvy＝mg2t ，t相同，则三块面条落在水面时重力的功率相等，故D正确。
【例3】(2022·山东潍坊市高三下3月一模)质量为m的物块从某一高度以动能E水平抛出，落地时动能为3E.不计空气阻力，重力加速度为g.则物块( )
A．抛出点的高度为eq \f(3E,mg)
B．落地点到抛出点的水平距离为eq \f(2E,mg)
C．落地时重力的功率为geq \r(6mE)
D．整个下落过程中动量变化量的大小为2eq \r(mE)
【答案】 D
【解析】 由动能定理得 mgh＝3E－E＝2E，故抛出点的高度为h＝eq \f(2E,mg)，故A错误；由E＝eq \f(1,2)mv02，水平方向x＝v0t，竖直方向h＝eq \f(1,2)gt2，解得落地点到抛出点的水平距离为x＝eq \f(2\r(2)E,mg)，故B错误；落地时速度的竖直分量vy＝eq \r(2gh)＝2eq \r(\f(E,m))，故落地时重力的功率为P＝mgvy＝2geq \r(Em)，故C错误；整个下落过程中动量变化量的大小为Δp＝mΔvy＝m·2eq \r(\f(E,m))＝2eq \r(mE)，故D正确．
【例4】 (多选)(2022·四川凉山州第二次诊断)质量m＝2 kg 的小物块在某一高度以v0＝5 m/s的速度开始做平抛运动，若g＝10 m/s2，当运动到竖直位移与水平位移相等时，对于物块( )
A.此时的瞬时速度大小为5eq \r(2) m/s
B.此时重力的瞬时功率大小为200 W
C.此过程动量改变大小为10(eq \r(5)－1) kg·m/s
D.此过程重力的冲量大小为20 N·s
【答案】 BD
【解析】 物块做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，当运动到竖直位移与水平位移相等时，有eq \f(1,2)gt2＝v0t，解得t＝1 s，竖直方向的速度为vy＝gt＝10 m/s，则此时的速度为v＝eq \r(veq \\al(2,0)＋veq \\al(2,y))＝5eq \r(5) m/s，故A错误；此时的重力瞬时功率为P＝mgvy＝200 W，故B正确；根据动量定理I＝ΔP＝mgt＝20 kg·m/s，故C错误；此过程重力的冲量大小为I＝mgt＝20 N·s，故D正确。
【例5】（2022届云南省昆明市高三（下）“三诊一模”摸底诊断测试理综物理试题）跳台滑雪是一项勇敢者的滑雪运动，图甲是2022年北京冬奥会跳台滑雪的主跳台“雪如意”，图乙是其部分赛道及运动情况简化示意图。现有一运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡上b处着陆，测得ab间的距离为40m，斜坡与水平方向的夹角为30°，运动员（包括装备）质量为60kg，且可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度g=10m/s2，则运动员（包括装备）（ ）
A. 从a处运动到b处的时间为2s
B. 落到b处前瞬间动能为2.1×103J
C. 从a处运动到b处过程中动量变化率不变
D. 在空中距离斜坡最大距离为
【答案】ACD
【解析】A．由a到b过程，运动员做平抛运动在竖直方向
解得
A正确；
B．在水平方向
解得
运动员在b点处的竖直速度为
运动员在b点处的速度大小为
落到b处前瞬间动能
B错误；
C．从a处运动到b处过程中
解得
C正确；
D．沿斜面方向和垂直斜面方向建立直角坐标系，沿垂直斜面初速度的分量为 ，重力加速度g垂直斜面的分量为 ．设所求最大距离为H，在垂直斜面方向，根据运动学公式得
得
D正确。
故选ACD。
【例6】抗震救灾时，地面交通被阻断，可用直升机向灾区投放救灾物资。某次投放时，低空匀速水平飞行的直升机，将一救灾物资相对直升机由静止释放，不考虑空气阻力的影响，救灾物资投放后在空中运动的第内动量变化量为、动能变化量为，第内动量变化量为、动能变化量为。则下列关系式正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】在平抛运动中，不考虑空气阻力，其外力为重力，重力的冲量等于物体动量的改变量，满足动量定理
而，故
第内动能的变化量
第内的动能变化量
据平抛运动的规律得
，
而，，故
故选B。
利用位移关系
从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，位移大小等于半径R
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝v0t,y＝\f(1,2)gt2,x2＋y2＝R2))
从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝R＋Rcs θ,x＝v0t,y＝Rsin θ,＝\f(1,2)gt2,x－R2＋y2,＝R2))