高考物理一轮复习专题09圆周运动常考模型(原卷版+解析)

这是一份高考物理一轮复习专题09圆周运动常考模型(原卷版+解析)，共36页。试卷主要包含了圆周运动中的运动学分析，水平面内的圆周运动，竖直面内的圆周运动，圆周运动中的临界极值问题，竖直面内圆周运动与图像结合问题等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc21304" 题型一 圆周运动中的运动学分析 PAGEREF _Tc21304 \h 1
\l "_Tc17797" 题型二 水平面内的圆周运动 PAGEREF _Tc17797 \h 3
\l "_Tc27934" 类型1 圆锥摆模型 PAGEREF _Tc27934 \h 4
\l "_Tc13381" 类型2 生活中的圆周运动 PAGEREF _Tc13381 \h 6
\l "_Tc14507" 题型三 竖直面内的圆周运动 PAGEREF _Tc14507 \h 8
\l "_Tc8916" 题型四 圆周运动中的临界极值问题 PAGEREF _Tc8916 \h 9
\l "_Tc12155" 类型1 水平面内圆周运动的临界问题 PAGEREF _Tc12155 \h 9
\l "_Tc21651" 类型2 竖直面内的圆周运动的临界问题 PAGEREF _Tc21651 \h 13
\l "_Tc16079" 类型3 斜面上圆周运动的临界问题 PAGEREF _Tc16079 \h 16
\l "_Tc897" 题型五 竖直面内圆周运动与图像结合问题 PAGEREF _Tc897 \h 18
题型一 圆周运动中的运动学分析
【解题指导】1．对公式v＝ωr的理解
当ω一定时，v与r成正比．
当v一定时，ω与r成反比．
2．对an＝eq \f(v2,r)＝ω2r的理解
在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比．
3．常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(3)同轴转动：如图所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．
【例1】游乐场的旋转木马是小朋友们非常喜欢的游玩项目。如图7所示，一小孩坐在旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，圆周运动的半径为3.0 m，小孩旋转5周用时1 min，则下列说法正确的是 ( )
A．小孩做圆周运动的角速度为eq \f(π,3) rad/s
B．小孩做圆周运动的线速度为2π m/s
C．小孩在1 min内通过的路程为15π m
D．小孩做圆周运动的向心加速度为eq \f(π,12)2 m/s2
【例2】(2022·河北衡水中学模拟)穿梭于大街小巷的共享单车解决了人们出行的“最后一公里”问题。单车的传动装置如图所示，链轮的齿数为38，飞轮的齿数为16，后轮直径为660 mm。已知齿轮的齿数比等于半径比，若小明以5 m/s匀速骑行，则脚踩踏板的角速度约为( )
A．3.2 rad/s B．6.4 rad/s
C．12.6 rad/s D．18.0 rad/s
【例3】(2022·资阳诊断)如图所示，水平放置的两个用相同材料制成的轮P和Q靠摩擦传动，两轮的半径R∶r ＝2∶1.当主动轮Q匀速转动时，在Q轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在Q轮边缘上，此时Q轮转动的角速度为ω1，木块的向心加速度为a1，若改变转速，把小木块放在P轮边缘也恰能静止，此时Q轮转动的角速度为ω2，木块的向心加速度为a2，则( )
A.eq \f(ω1,ω2)＝eq \f(1,2) B.eq \f(ω1,ω2)＝eq \f(\r(2),1)
C.eq \f(a1,a2)＝eq \f(1,1) D.eq \f(a1,a2)＝eq \f(1,2)
题型二 水平面内的圆周运动
【解题指导】1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
(2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
3．几种典型运动模型
4方法技巧：求解圆周运动问题必须进行的三类分析,
类型1 圆锥摆模型
1.如图所示，向心力F向＝mgtan θ＝meq \f(v2,r)＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝eq \r(gLtan θsin θ)，ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ)).
2．稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝eq \f(mg,cs θ)和运动所需向心力也越大．
【例1】(2022·辽宁六校联考)四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动．如图甲所示，其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动(连接B球的绳较长)；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同(连接D球的绳较长)，则下列说法错误的是( )
A．小球A、B角速度相等
B．小球A、B线速度大小相同
C．小球C、D向心加速度大小相同
D．小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等
【例2】(2022·安徽合肥一中段考)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔(小孔光滑)的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动，现使小球在一个更高的水平面上做匀速圆周运动，而金属块Q始终静止在桌面上的同一位置，则改变高度后与原来相比较，下面的判断中正确的是( )
A．细线所受的拉力不变
B．小球P运动的线速度变大
C．小球P运动的周期不变
D．Q受到桌面的静摩擦力变小
【例3】．如图所示，质量相等的甲、乙两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速圆周运动，甲在乙的上方．则( )
A．球甲的角速度一定大于球乙的角速度
B．球甲的线速度一定大于球乙的线速度
C．球甲的运动周期一定小于球乙的运动周期
D．球甲对筒壁的压力一定大于球乙对筒壁的压力
【例4】如图所示，质量均为m的a、b两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为θ，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．a、b 两小球都是所受合外力充当向心力
B．a、b两小球圆周运动的半径之比为tan θ
C．b小球受到的绳子拉力为eq \f(mg,cs θ)
D．a小球运动到最高点时受到的绳子拉力为eq \f(mg,sin θ)
类型2 生活中的圆周运动
【例2】(2022·哈尔滨师大附中期中)在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看做是做半径为R的在水平面内的圆周运动．如图，设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )
A.eq \r(\f(ghR,L)) B.eq \r(\f(ghR,d))
C.eq \r(\f(gLR,h)) D.eq \r(\f(gdR,h))
【例2】(2022·河南洛阳名校联考)在室内自行车比赛中，运动员以速度v在倾角为θ的赛道上做匀速圆周运动．已知运动员的质量为m，做圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则下列说法正确的是 ( )
A．将运动员和自行车看作一个整体，整体受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
B．运动员受到的合力大小为meq \f(v2,R)，做圆周运动的向心力大小也是meq \f(v2,R)
C．运动员做圆周运动的角速度为vR
D．如果运动员减速，运动员将做离心运动
(2022·山东大学附中质检)如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．物块A、B的运动属于匀变速曲线运动
B．B的向心力是A的向心力的2倍
C．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D．若B先滑动，则B与A之间的动摩擦因数μA小于盘与B之间的动摩擦因数μB
题型三 竖直面内的圆周运动
【例1】(2022·山东省实验中学高三月考)如图所示，地球可以看成一个巨大的拱形桥，桥面半径R＝6 400 km，地面上行驶的汽车中驾驶员的重力G＝800 N，在汽车的速度可以达到需要的任意值，且汽车不离开地面的前提下，下列分析正确的是( )
A．汽车的速度越大，则汽车对地面的压力也越大
B．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅的压力大小都等于800 N
C．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅的压力大小都小于他自身的重力
D．如果某时刻速度增大到使汽车对地面的压力为零，则此时驾驶员会有超重的感觉
【例2】(2021·大庆中学期中)如图所示，两个内壁光滑、半径不同的半圆轨道固定于地面，一个小球先后在与球心在同一水平高度的A、B两点由静止开始下滑，通过轨道最低点时( )
A．A球对轨道的压力小于B球对轨道的压力
B．A球对轨道的压力等于B球对轨道的压力
C．A球的角速度小于B球的角速度
D．A球的向心加速度小于B球的向心加速度
题型四 圆周运动中的临界极值问题
类型1 水平面内圆周运动的临界问题
三种临界情况
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力FN＝0.
(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值．
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是FT＝0.
【例1】(多选)(2022·西安八校联考)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是( )
A．当ω＞ eq \r(\f(2Kg,3L))时，A、B相对于转盘会滑动
B．当ω＞ eq \r(\f(Kg,2L))时，绳子一定有弹力
C．ω在 eq \r(\f(Kg,2L))＜ω＜ eq \r(\f(2Kg,3L))范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．ω在0＜ω＜ eq \r(\f(2Kg,3L))范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
【例2】.(2022·湖南怀化联考)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．a绳的张力可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω> eq \r(\f(gct θ,l))，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
【例3】(多选) (2022·湖北省高考模拟)如图所示，竖直杆AB在A、B两点通过光滑铰链连接两等长轻杆AC和BC，AC和BC与竖直方向的夹角均为θ，轻杆长均为L，在C处固定一质量为m的小球，重力加速度为g，在装置绕竖直杆AB转动的角速度ω从0开始逐渐增大过程中，下列说法正确的是( )
A．当ω＝0时，AC杆和BC杆对球的作用力都表现为拉力
B．AC杆对球的作用力先增大后减小
C．一定时间后，AC杆与BC杆上的力的大小之差恒定
D．当ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ))时，BC杆对球的作用力为0
【例4】(多选)如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°.一根长为l＝1 m的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则( )
A．小球受重力、支持力、拉力和向心力
B．小球可能只受拉力和重力
C．当ω0＝eq \f(5,2)eq \r(2) rad/s时，小球对锥体的压力刚好为零
D．当ω＝2eq \r(5) rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用
【例5】(2022·河北廊坊市摸底)如图所示，暗室中一水平转台上，距离转轴OO′长为L的位置嵌入一物块(可视为质点)。在常亮光源照射下从上往下看，转台逆时针匀速转动，如果用频闪光源照射转台，发现物块做顺时针匀速转动。已知物块质量为m，频闪光源闪光频率为N，观察到物块做顺时针圆周运动的周期为T，当地重力加速度的大小为g。求：
(1)水平转台的最小转速n；
(2)转台以最小转速转动时给物块的作用力大小。
类型2 竖直面内的圆周运动的临界问题
1．两类模型对比
2．解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系；
(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力．
【例1】如图所示，一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力大小为(重力加速度为g)( )
A．2mg B．3mg C．4mg D．5mg
【例2】(2022·山东枣庄八中月考)如图，轻杆长2l，中点装在水平轴O上，两端分别固定着小球A和B，A球质量为m，B球质量为2m，重力加速度为g，两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动．
(1)若A球在最高点时，杆的A端恰好不受力，求此时B球的速度大小；
(2)若B球到最高点时的速度等于第(1)问中的速度，求此时O轴的受力大小、方向；
(3)在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？若不能，请说明理由；若能，求出此时A、B球的速度大小．
【例3】(2022·山西吕梁模拟)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是 ( )
A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝eq \r(g（R＋r）)
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【例4】(2022·贵州安顺市网上调研)如图所示，质量为m＝1.0 kg的小球绕O点在竖直平面内沿半径r＝0.2 m的圆弧运动．小球运动到最低点时，细线刚好达到所能承受的最大拉力被拉断，小球水平飞出．已知细线能承受的最大拉力为小球重力的3倍，O点离水平地面的高度h＝1.0 m，取重力加速度g＝10 m/s2.
(1)求小球在地面上的落点离O点的水平距离；
(2)若细线断裂的瞬间，小球同时受到水平向左的恒力F的作用，最终小球恰好落在地面上的A点(A点在O点的正下方)，求恒力F的大小．
类型3 斜面上圆周运动的临界问题
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化．
【例1】(多选)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),2)，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则以下说法中正确的是( )
A．小物体随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到三个力的作用
B．小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大
C．小物体受到的摩擦力可能背离圆心
D．ω的最大值是1.0 rad/s
【例2】．(2022·沈阳东北育才中学模拟)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上，长为L的细线一端固定，另一端连接质量为m的小球，小球在斜面上做圆周运动，A、B分别是圆弧的最高点和最低点，若小球在A、B点做圆周运动的最小速度分别为vA、vB，重力加速度为g，则( )
A．vA＝0 B．vA＝eq \r(gL)
C．vB＝eq \f(1,2)eq \r(10gL) D．vB＝eq \r(3gL)
【例3】．(2022·河南开封模拟)如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN调节其与水平面所成的倾角．板上一根长为l＝0.60 m的轻细绳，它的一端系住一质量为m的小球P，另一端固定在板上的O点．当平板的倾角固定为α时，先将轻绳平行于水平轴MN拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v0＝3.0 m/s.若小球能保持在板面内做圆周运动，倾角α的值应在什么范围内？(重力加速度g取10 m/s2)
题型五 竖直面内圆周运动与图像结合问题
【例1】如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接绕定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点的速度大小为v，此时绳子拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图像中的数据a和b以及重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是( )
A.数据a与小球的质量有关
B.数据b与小球的质量无关
C.比值eq \f(b,a)只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关
D.利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径
【例2】 如图所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN－v2图像如图所示。下列说法正确的是( )
A.当地的重力加速度大小为eq \f(R,b)
B.小球的质量为eq \f(a,b)R
C.v2＝c时，杆对小球弹力方向向上
D.若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a
【例3】(多选)(2022·湖北重点中学模拟)如图甲所示，小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心O点做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F­v2图象如图乙所示，g取10 m/s2，则( )
A．小球的质量为4 kg
B．固定圆环的半径R为0.8 m
C．小球在最高点的速度为 4 m/s时，小球受圆环的弹力大小为20 N，方向向上
D．若小球恰好做圆周运动，则其承受的最大弹力为100 N
【题后感悟】
1.清楚圆周运动中绳、杆模型的物理规律，列出正确的物理方程。
2.对一次函数y＝kx＋b要非常熟练，会用会画。
3.熟练地将数学和物理结合起来，用图像法来解决物理问题。
【数理思想与模型建构】
1.数理思想是基于物理现象的数学模型，利用数学知识解决物理问题的科学思维方法。
2.模型建构
(1)轻绳模型：①v＞eq \r(gR)时绳子的弹力F＝meq \f(v2,R)－mg，方向竖直向下
②v＝eq \r(gR)时绳子的弹力为零，是安全通过最高点的临界条件
(2)轻杆模型
①v＞eq \r(gR)时轻杆对物体的弹力F＝meq \f(v2,R)－mg ，方向竖直向下
②v＝eq \r(gR)时轻杆对物体的弹力为零，是物体所受弹力方向变化的临界速度。
③v＜eq \r(gR)时轻杆对物体的弹力FN＝mg－meq \f(v2,R)，方向竖直向上。
【思维建构】
1.根据物理现象列出物理方程。如例1：FT＋mg＝meq \f(v2,r)。
2.根据物理方程整理成函数关系。如例1：FT＝eq \f(m,r)v2－mg。
3.将物理方程与一次函数相对应。如例1：FT＝eq \f(m,r)v2－mgeq \(――→,\s\up7(对应))y＝kx＋b。
4.根据函数思想对应物理图像分析求解。
运动模型
向心力的来源图示
运动模型
向心力的来源图示
飞机水平转弯
圆锥摆
火车转弯
飞车走壁
汽车在
水平路
面转弯
水平转台
几何分析
目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析
目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析
目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力
概述
如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F向＝FN－mg＝meq \f(v2,r)
规律
桥对车的支持力FN＝mg＋meq \f(v2,r)＞mg，汽车处于超重状态
概述
如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F向＝mg－FN＝meq \f(v2,r)
规律
桥对车的支持力FN＝mg－meq \f(v2,r)＜mg，汽车处于失重状态．若v＝eq \r(gr)，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动
轻绳模型(最高点无支撑)
轻杆模型(最高点有支撑)
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示
受力示意图

F弹向下或等于零
F弹向下、等于零或向上
力学方程
mg＋F弹＝meq \f(v2,R)
mg±F弹＝meq \f(v2,R)
临界特征
F弹＝0
mg＝meq \f(vmin2,R)
即vmin＝eq \r(gR)
v＝0
即F向＝0
F弹＝mg
讨论分析
(1)最高点，若v≥eq \r(gR)，F弹＋mg＝meq \f(v2,R)，绳或轨道对球产生弹力F弹
(2)若v(1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心
(2)当0(3)当v＝eq \r(gR)时，F弹＝0
(4)当v>eq \r(gR)时，mg＋F弹＝meq \f(v2,R)，F弹指向圆心并随v的增大而增大
专题09 圆周运动常考模型
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc21304" 题型一 圆周运动中的运动学分析 PAGEREF _Tc21304 \h 1
\l "_Tc17797" 题型二 水平面内的圆周运动 PAGEREF _Tc17797 \h 3
\l "_Tc27934" 类型1 圆锥摆模型 PAGEREF _Tc27934 \h 4
\l "_Tc13381" 类型2 生活中的圆周运动 PAGEREF _Tc13381 \h 6
\l "_Tc14507" 题型三 竖直面内的圆周运动 PAGEREF _Tc14507 \h 8
\l "_Tc8916" 题型四 圆周运动中的临界极值问题 PAGEREF _Tc8916 \h 9
\l "_Tc12155" 类型1 水平面内圆周运动的临界问题 PAGEREF _Tc12155 \h 9
\l "_Tc21651" 类型2 竖直面内的圆周运动的临界问题 PAGEREF _Tc21651 \h 13
\l "_Tc16079" 类型3 斜面上圆周运动的临界问题 PAGEREF _Tc16079 \h 16
\l "_Tc897" 题型五 竖直面内圆周运动与图像结合问题 PAGEREF _Tc897 \h 18
题型一 圆周运动中的运动学分析
【解题指导】1．对公式v＝ωr的理解
当ω一定时，v与r成正比．
当v一定时，ω与r成反比．
2．对an＝eq \f(v2,r)＝ω2r的理解
在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比．
3．常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(3)同轴转动：如图所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．
【例1】游乐场的旋转木马是小朋友们非常喜欢的游玩项目。如图7所示，一小孩坐在旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，圆周运动的半径为3.0 m，小孩旋转5周用时1 min，则下列说法正确的是 ( )
A．小孩做圆周运动的角速度为eq \f(π,3) rad/s
B．小孩做圆周运动的线速度为2π m/s
C．小孩在1 min内通过的路程为15π m
D．小孩做圆周运动的向心加速度为eq \f(π,12)2 m/s2
【答案】 D
【解析】 小孩做圆周运动的周期T＝eq \f(t,n)＝12 s，则角速度为ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6) rad/s，A错误；线速
度为v＝eq \f(2πr,T)＝eq \f(π,2) m/s，B错误；在1 min内通过的路程s＝n·2πr＝30π m，C错误；向心加速度为an＝ω2r＝eq \f(π2,12) m/s2，D正确。
【例2】(2022·河北衡水中学模拟)穿梭于大街小巷的共享单车解决了人们出行的“最后一公里”问题。单车的传动装置如图所示，链轮的齿数为38，飞轮的齿数为16，后轮直径为660 mm。已知齿轮的齿数比等于半径比，若小明以5 m/s匀速骑行，则脚踩踏板的角速度约为( )
A．3.2 rad/s B．6.4 rad/s
C．12.6 rad/s D．18.0 rad/s
【答案】 B
【解析】 飞轮和后轮角速度ω1相等，链轮和飞轮的边缘线速度v相等，链轮和踏板角速度ω2相等，可得ω2＝eq \f(N1v,N2R)＝6.4 rad/s，故B正确，A、C、D错误。
【例3】(2022·资阳诊断)如图所示，水平放置的两个用相同材料制成的轮P和Q靠摩擦传动，两轮的半径R∶r ＝2∶1.当主动轮Q匀速转动时，在Q轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在Q轮边缘上，此时Q轮转动的角速度为ω1，木块的向心加速度为a1，若改变转速，把小木块放在P轮边缘也恰能静止，此时Q轮转动的角速度为ω2，木块的向心加速度为a2，则( )
A.eq \f(ω1,ω2)＝eq \f(1,2) B.eq \f(ω1,ω2)＝eq \f(\r(2),1)
C.eq \f(a1,a2)＝eq \f(1,1) D.eq \f(a1,a2)＝eq \f(1,2)
【答案】：C
【解析】：根据题述，a1＝ωeq \\al(2,1)r，ma1＝μmg，联立解得μg＝ωeq \\al(2,1)r.小木块放在P轮边缘也恰能静止，μg＝ω2R＝2ω2r.由ωR＝ω2r，联立解得eq \f(ω1,ω2)＝eq \f(\r(2),2)，选项A、B错误；ma2＝μmg，所以eq \f(a1,a2)＝eq \f(1,1)，选项C正确，D错误．
题型二 水平面内的圆周运动
【解题指导】1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
(2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
3．几种典型运动模型
4方法技巧：求解圆周运动问题必须进行的三类分析,
类型1 圆锥摆模型
1.如图所示，向心力F向＝mgtan θ＝meq \f(v2,r)＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝eq \r(gLtan θsin θ)，ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ)).
2．稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝eq \f(mg,cs θ)和运动所需向心力也越大．
【例1】(2022·辽宁六校联考)四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动．如图甲所示，其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动(连接B球的绳较长)；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同(连接D球的绳较长)，则下列说法错误的是( )
A．小球A、B角速度相等
B．小球A、B线速度大小相同
C．小球C、D向心加速度大小相同
D．小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等
【答案】 B
【解析】 对题图甲A、B分析：设绳与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，小球A、B到悬点O的竖直距离为h，则mgtan θ＝mω2lsin θ，解得ω＝eq \r(\f(g,lcs θ))＝eq \r(\f(g,h))，所以小球A、B的角速度相等，线速度大小不相同，故A正确，B错误；对题图乙C、D分析：设绳与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，绳长为L，绳上拉力为FT，则有mgtan θ＝ma，FTcs θ＝mg得a＝gtan θ，FT＝eq \f(mg,cs θ)，所以小球C、D向心加速度大小相同，小球C、D受到绳的拉力大小也相同，故C、D正确．
【例2】(2022·安徽合肥一中段考)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔(小孔光滑)的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动，现使小球在一个更高的水平面上做匀速圆周运动，而金属块Q始终静止在桌面上的同一位置，则改变高度后与原来相比较，下面的判断中正确的是( )
A．细线所受的拉力不变
B．小球P运动的线速度变大
C．小球P运动的周期不变
D．Q受到桌面的静摩擦力变小
【答案】B
【解析】设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为F，细线的长度为L，P球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图
则有：F＝eq \f(mg,cs θ)，mgtan θ＝mω2Lsin θ，mgtan θ＝meq \f(v2,Lsin θ)，得线速度v＝eq \r(gLtan θsin θ)，角速度ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ))，使小球改到一个更高的水平面上做匀速圆周运动时，θ增大，cs θ减小，sin θ、tan θ增大，则得到细线拉力F增大，角速度ω增大，线速度v增大，根据公式T＝eq \f(2π,ω)可得周期减小，故B正确，A、C错误；对Q球，由平衡条件得知，Q受到桌面的静摩擦力等于细线的拉力大小，故静摩擦力增大，D错误．
【例3】．如图所示，质量相等的甲、乙两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速圆周运动，甲在乙的上方．则( )
A．球甲的角速度一定大于球乙的角速度
B．球甲的线速度一定大于球乙的线速度
C．球甲的运动周期一定小于球乙的运动周期
D．球甲对筒壁的压力一定大于球乙对筒壁的压力
【答案】 B
【解析】 对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，设支持力与竖直方向夹角为θ，根据牛顿第二定律有mgtan θ＝meq \f(v2,R)＝mRω2，解得v＝eq \r(gRtan θ) ，ω＝eq \r(\f(gtan θ,R))，球甲的轨迹半径大，则球甲的角速度一定小于球乙的角速度，球甲的线速度一定大于球乙的线速度，故A错误，B正确；根据T＝eq \f(2π,ω)，因为球甲的角速度一定小于球乙的角速度，则球甲的运动周期一定大于球乙的运动周期，故C错误；因为支持力FN＝eq \f(mg,cs θ)，结合牛顿第三定律，球甲对筒壁的压力一定等于球乙对筒壁的压力，故D错误．
【例4】如图所示，质量均为m的a、b两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为θ，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．a、b 两小球都是所受合外力充当向心力
B．a、b两小球圆周运动的半径之比为tan θ
C．b小球受到的绳子拉力为eq \f(mg,cs θ)
D．a小球运动到最高点时受到的绳子拉力为eq \f(mg,sin θ)
【答案】 C
【解析】 小球a速度变化，只有在最低点时所受合外力充当向心力，而小球b做匀速圆周运动，所受合外力充当向心力，故A错误；由几何关系可知，a、b两小球圆周运动的半径之比为eq \f(1,sin θ)，故B错误；根据矢量三角形可得Fbcs θ＝mg，即Fb＝eq \f(mg,cs θ)，故C正确；a小球到达最高点时速度为零，将重力正交分解有Fa＝mgcs θ，故D错误．
类型2 生活中的圆周运动
【例2】(2022·哈尔滨师大附中期中)在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看做是做半径为R的在水平面内的圆周运动．如图，设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )
A.eq \r(\f(ghR,L)) B.eq \r(\f(ghR,d))
C.eq \r(\f(gLR,h)) D.eq \r(\f(gdR,h))
【答案】：B
【解析】：设路面的斜角为θ，作出汽车的受力图，如图
根据牛顿第二定律，得mgtan θ＝meq \f(v2,R)，又由数学知识得到tan θ＝eq \f(h,d)，联立解得v＝eq \r(\f(ghR,d))，故B选项正确．
【例2】(2022·河南洛阳名校联考)在室内自行车比赛中，运动员以速度v在倾角为θ的赛道上做匀速圆周运动．已知运动员的质量为m，做圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则下列说法正确的是 ( )
A．将运动员和自行车看作一个整体，整体受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
B．运动员受到的合力大小为meq \f(v2,R)，做圆周运动的向心力大小也是meq \f(v2,R)
C．运动员做圆周运动的角速度为vR
D．如果运动员减速，运动员将做离心运动
【答案】：B
【解析】：向心力是整体所受力的合力，选项A错误；做匀速圆周运动的物体，合力提供向心力，选项B正确；运动员做圆周运动的角速度为ω＝eq \f(v,R)，选项C错误；只有运动员加速到所受合力不足以提供做圆周运动的向心力时，运动员才做离心运动，选项D错误．
(2022·山东大学附中质检)如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．物块A、B的运动属于匀变速曲线运动
B．B的向心力是A的向心力的2倍
C．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D．若B先滑动，则B与A之间的动摩擦因数μA小于盘与B之间的动摩擦因数μB
【答案】：C
【解析】：A、B做匀速圆周运动，加速度方向不断变化，属于非匀变速曲线运动，选项A错误；根据Fn＝mrω2，因为两物块的角速度大小相等，转动半径相等，质量相等，则向心力相等，选项B错误；对A、B整体分析，fB＝2mrω2，对A分析，有：fA＝mrω2，知盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍，选项C正确．对A、B整体分析，μB·2mg＝2mrωeq \\al(2,B)，解得ωB＝eq \r(\f(μBg,r))，对A分析，μAmg＝mrωeq \\al(2,A)，解得ωA＝eq \r(\f(μAg,r))，若B先滑动，可知B先达到临界角速度，可知B的临界角速度较小，即μB<μA，选项D错误．
题型三 竖直面内的圆周运动
【例1】(2022·山东省实验中学高三月考)如图所示，地球可以看成一个巨大的拱形桥，桥面半径R＝6 400 km，地面上行驶的汽车中驾驶员的重力G＝800 N，在汽车的速度可以达到需要的任意值，且汽车不离开地面的前提下，下列分析正确的是( )
A．汽车的速度越大，则汽车对地面的压力也越大
B．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅的压力大小都等于800 N
C．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅的压力大小都小于他自身的重力
D．如果某时刻速度增大到使汽车对地面的压力为零，则此时驾驶员会有超重的感觉
【答案】 C
【解析】 汽车的重力和地面对汽车的支持力的合力提供向心力，则有mg－FN＝meq \f(v2,R)，重力是一定的，v越大，则FN越小，故A、B错误；因为驾驶员的一部分重力用于提供驾驶员做圆周运动所需的向心力，所以驾驶员对座椅的压力小于他自身的重力，故C正确；如果速度增大到使汽车对地面的压力为零，说明汽车和驾驶员的重力全部用于提供做圆周运动所需的向心力，处于完全失重状态，此时驾驶员会有失重的感觉，故D错误．
【例2】(2021·大庆中学期中)如图所示，两个内壁光滑、半径不同的半圆轨道固定于地面，一个小球先后在与球心在同一水平高度的A、B两点由静止开始下滑，通过轨道最低点时( )
A．A球对轨道的压力小于B球对轨道的压力
B．A球对轨道的压力等于B球对轨道的压力
C．A球的角速度小于B球的角速度
D．A球的向心加速度小于B球的向心加速度
【答案】B
【解析】下滑过程中由于只有重力做功，所以机械能守恒，设圆轨道半径为R，在最低点时mgR＝eq \f(1,2)mv2，N－mg＝meq \f(v2,R)，联立解得N＝meq \f(v2,R)＋mg＝3mg，即与半径无关，故A错误，B正确；由于在最低点v＝eq \r(2gR)，根据公式ω＝eq \f(v,R)可得ω＝eq \r(\f(2g,R))，故半径越大，角速度越小，故C错误；根据a＝eq \f(v2,R)可得a＝2g，故与半径无关，两种情况下的向心加速度相同，D错误．
题型四 圆周运动中的临界极值问题
类型1 水平面内圆周运动的临界问题
三种临界情况
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力FN＝0.
(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值．
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是FT＝0.
【例1】(多选)(2022·西安八校联考)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是( )
A．当ω＞ eq \r(\f(2Kg,3L))时，A、B相对于转盘会滑动
B．当ω＞ eq \r(\f(Kg,2L))时，绳子一定有弹力
C．ω在 eq \r(\f(Kg,2L))＜ω＜ eq \r(\f(2Kg,3L))范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．ω在0＜ω＜ eq \r(\f(2Kg,3L))范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
【答案】 ABD
【解析】当A、B所受静摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘将会滑动，Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得：ω＝eq \r(\f(2Kg,3L))，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即：Kmg＝mω2·2L，解得：ω＝eq \r(\f(Kg,2L))，B正确；当 eq \r(\f(Kg,2L))<ω< eq \r(\f(2Kg,3L))时，随角速度的增大，绳子拉力不断增大，B所受静摩擦力一直保持最大静摩擦力不变，C项错误；0<ω≤ eq \r(\f(Kg,2L))时，A所受摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2L，静摩擦力随角速度增大而增大，当 eq \r(\f(Kg,2L))<ω< eq \r(\f(2Kg,3L))时，以A、B整体为研究对象，FfA＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，可知A受静摩擦力随角速度的增大而增大，D项正确．
【例2】.(2022·湖南怀化联考)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．a绳的张力可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω> eq \r(\f(gct θ,l))，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
【答案】：C
【解析】：由于小球m的重力不为零，a绳的张力不可能为零，b绳的张力可能为零，选项A错误；由于a绳的张力在竖直方向的分力等于重力，所以a绳的张力随角速度的增大而不变，b绳的张力随角速度的增大而增大，选项B错误；若b绳中的张力为零，设a绳中的张力为F，对小球m，Fsin θ＝mg，Fcs θ＝mω2l，联立解得：ω＝ eq \r(\f(gct θ,l))，即当角速度ω> eq \r(\f(gct θ,l))，b绳将出现弹力，选项C正确；若ω＝ eq \r(\f(gct θ,l))，b绳突然被剪断，则a绳的弹力不发生变化，选项D错误．
【例3】(多选) (2022·湖北省高考模拟)如图所示，竖直杆AB在A、B两点通过光滑铰链连接两等长轻杆AC和BC，AC和BC与竖直方向的夹角均为θ，轻杆长均为L，在C处固定一质量为m的小球，重力加速度为g，在装置绕竖直杆AB转动的角速度ω从0开始逐渐增大过程中，下列说法正确的是( )
A．当ω＝0时，AC杆和BC杆对球的作用力都表现为拉力
B．AC杆对球的作用力先增大后减小
C．一定时间后，AC杆与BC杆上的力的大小之差恒定
D．当ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ))时，BC杆对球的作用力为0
【答案】 CD
【解析】 当ω＝0时，由于小球在水平方向受力平衡，因此AC杆对小球的作用力表现为拉力，BC杆对小球的作用力表现为支持力，且大小相等，选项A错误；当ω逐渐增大时，AC杆对小球的拉力逐渐增大，BC杆对小球的支持力逐渐减小，当BC杆的作用力为0时，有mgtan θ＝mω2Lsin θ，解得ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ))，当ω继续增大时，AC杆对小球的拉力继续增大，BC杆对小球的作用力变为拉力，且逐渐增大，选项B错误，D正确；一定时间后，AC杆和BC杆的作用力都变为拉力，拉力的竖直分力之差等于小球的重力，即F1cs θ－F2cs θ＝mg，则F1－F2＝eq \f(mg,cs θ)，因此AC杆与BC杆上的力的大小之差恒定，选项C正确。
【例4】(多选)如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°.一根长为l＝1 m的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则( )
A．小球受重力、支持力、拉力和向心力
B．小球可能只受拉力和重力
C．当ω0＝eq \f(5,2)eq \r(2) rad/s时，小球对锥体的压力刚好为零
D．当ω＝2eq \r(5) rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用
【答案】 BC
【解析】 转速较小时， 小球紧贴圆锥面，则FTcs θ＋FNsin θ＝mg，FTsin θ－FNcs θ＝mω2lsin θ，随着转速的增加，FT增大，FN减小，当转速达到ω0时支持力为零，支持力恰好为零时有mgtan θ＝mω02lsin θ，解得ω0＝eq \f(5,2)eq \r(2) rad/s，A错误，B、C正确；当ω＝2eq \r(5) rad/s时，小球已经离开斜面，小球受重力、拉力的作用，D错误．
【例5】(2022·河北廊坊市摸底)如图所示，暗室中一水平转台上，距离转轴OO′长为L的位置嵌入一物块(可视为质点)。在常亮光源照射下从上往下看，转台逆时针匀速转动，如果用频闪光源照射转台，发现物块做顺时针匀速转动。已知物块质量为m，频闪光源闪光频率为N，观察到物块做顺时针圆周运动的周期为T，当地重力加速度的大小为g。求：
(1)水平转台的最小转速n；
(2)转台以最小转速转动时给物块的作用力大小。
【答案】 (1)N－eq \f(1,T) (2)meq \r(4π2L2（N－\f(1,T)）2＋g2)
【解析】 (1)水平转台的角速度ω＝2πn
频闪光源闪光一次的时间间隔里转台逆时针转过的角度
θ＝eq \f(1,N)·ω
观察到物块顺时针转过的角度
θ′＝2kπ－θ(k＝1，2，3…)
由角速度的定义有θ′·N＝eq \f(2π,T)
解得n＝kN－eq \f(1,T)(k＝1，2，3…)
k＝1时，转速最小，n1＝N－eq \f(1,T)。
(2)物块做圆周运动所需向心力为
Fn＝mL(2πn)2
转台给物块的作用力为F＝eq \r(Feq \\al(2,n)＋（mg）2)
解得F＝meq \r(4π2L2（N－\f(1,T)）2＋g2)。
类型2 竖直面内的圆周运动的临界问题
1．两类模型对比
2．解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系；
(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力．
【例1】如图所示，一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力大小为(重力加速度为g)( )
A．2mg B．3mg C．4mg D．5mg
【答案】 C
【解析】 小球恰好能通过轨道2的最高点B时，有mg＝eq \f(mvB2,1.8R)，小球在轨道1上经过其最高点A时，有FN＋mg＝eq \f(mvA2,R)，根据机械能守恒定律，有1.6mgR＝eq \f(1,2)mvA2－eq \f(1,2)mvB2，解得FN＝4mg，结合牛顿第三定律可知，小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力大小为4mg，C正确．
【例2】(2022·山东枣庄八中月考)如图，轻杆长2l，中点装在水平轴O上，两端分别固定着小球A和B，A球质量为m，B球质量为2m，重力加速度为g，两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动．
(1)若A球在最高点时，杆的A端恰好不受力，求此时B球的速度大小；
(2)若B球到最高点时的速度等于第(1)问中的速度，求此时O轴的受力大小、方向；
(3)在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？若不能，请说明理由；若能，求出此时A、B球的速度大小．
【答案】 (1)eq \r(gl) (2)2mg，方向竖直向下 (3)能；当A、B球的速度大小为eq \r(3gl)时O轴不受力
【解析】 (1)A在最高点时，对A根据牛顿第二定律得mg＝meq \f(vA2,l)
解得vA＝eq \r(gl)
因为A、B球的角速度相等，半径相等，则vB＝vA＝eq \r(gl)
(2)B在最高点时，对B根据牛顿第二定律得2mg＋FTOB′＝2meq \f(vB2,l)
代入(1)中的vB，可得FTOB′＝0
对A有FTOA′－mg＝meq \f(vA2,l)
可得FTOA′＝2mg
根据牛顿第三定律，O轴所受的力的大小为2mg，方向竖直向下
(3)要使O轴不受力，根据B的质量大于A的质量，设A、B的速度为v，可判断B球应在最高点
对B有FTOB″＋2mg＝2meq \f(v2,l)
对A有FTOA″－mg＝meq \f(v2,l)
轴O不受力时FTOA″＝FTOB″
可得v＝eq \r(3gl)
所以当A、B球的速度大小为eq \r(3gl)时O轴不受力．
【例3】(2022·山西吕梁模拟)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是 ( )
A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝eq \r(g（R＋r）)
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】：BC
【解析】：在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，内管对小球产生弹力，大小为mg，故最小速度为0，故A错误，B正确；小球在水平线ab以下管道运动时，由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，故C正确；小球在水平线ab以上管道运动时，由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力，可能外侧壁对小球有作用力，也可能内侧壁对小球有作用力，故D错误．
【例4】(2022·贵州安顺市网上调研)如图所示，质量为m＝1.0 kg的小球绕O点在竖直平面内沿半径r＝0.2 m的圆弧运动．小球运动到最低点时，细线刚好达到所能承受的最大拉力被拉断，小球水平飞出．已知细线能承受的最大拉力为小球重力的3倍，O点离水平地面的高度h＝1.0 m，取重力加速度g＝10 m/s2.
(1)求小球在地面上的落点离O点的水平距离；
(2)若细线断裂的瞬间，小球同时受到水平向左的恒力F的作用，最终小球恰好落在地面上的A点(A点在O点的正下方)，求恒力F的大小．
【答案】 (1)0.8 m (2)10 N
【解析】 (1)设在细线刚好被拉断时，小球受到的拉力为Fm，速度大小为v0，对小球，由牛顿第二定律有Fm－mg＝meq \f(v\\al(02),r)，由题知Fm＝3mg，
解得v0＝2 m/s.
细线拉断后，小球做平抛运动，设平抛运动的时间为t，落点距离O点的水平距离为x，有水平方向上x＝v0t，
竖直方向上h－r＝eq \f(1,2)gt2，
可得x＝0.8 m.
(2)若细线断裂的同时，小球同时受到水平向左的恒力F的作用，则小球在水平方向先做匀减速运动再做反向匀加速运动，设加速度大小为a，
有F＝ma，
水平方向上v0t－eq \f(1,2)at2＝0，
解得F＝10 N.
类型3 斜面上圆周运动的临界问题
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化．
【例1】(多选)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),2)，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则以下说法中正确的是( )
A．小物体随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到三个力的作用
B．小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大
C．小物体受到的摩擦力可能背离圆心
D．ω的最大值是1.0 rad/s
【答案】 CD
【解析】 当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，合力提供向心力，故A错误；当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，也可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，摩擦力的方向沿斜面向上时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故B错误；当物体在最高点时，摩擦力的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，即可能指向圆心，也可能背离圆心，故C正确；当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，转盘的角速度最大，此时小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圆心的摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力FN＝mgcs θ，摩擦力Ff＝μFN＝μmgcs θ，又μmgcs 30°－mgsin 30°＝mω2R，解得ω＝1.0 rad/s，故D正确．
【例2】．(2022·沈阳东北育才中学模拟)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上，长为L的细线一端固定，另一端连接质量为m的小球，小球在斜面上做圆周运动，A、B分别是圆弧的最高点和最低点，若小球在A、B点做圆周运动的最小速度分别为vA、vB，重力加速度为g，则( )
A．vA＝0 B．vA＝eq \r(gL)
C．vB＝eq \f(1,2)eq \r(10gL) D．vB＝eq \r(3gL)
【答案】：C
【解析】：在A点，对小球，临界情况是绳子的拉力为零，小球靠重力沿斜面方向的分力提供向心力，根据牛顿第二定律得：mgsin θ＝meq \f(veq \\al(2,A),L)，解得A点的最小速度为：vA＝eq \r(\f(1,2)gL)，对AB段过程研究，根据机械能守恒得：eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＋mg·2Lsin 30°＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，解得B点的最小速度为：vB＝eq \r(\f(5gL,2))＝eq \f(1,2)eq \r(10gL)，故C正确，A、B、D错误．
【例3】．(2022·河南开封模拟)如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN调节其与水平面所成的倾角．板上一根长为l＝0.60 m的轻细绳，它的一端系住一质量为m的小球P，另一端固定在板上的O点．当平板的倾角固定为α时，先将轻绳平行于水平轴MN拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v0＝3.0 m/s.若小球能保持在板面内做圆周运动，倾角α的值应在什么范围内？(重力加速度g取10 m/s2)
【答案】：0°≤α≤30°
【解析】：小球在倾斜平板上运动时受到绳子拉力、平板弹力、重力．在垂直平板方向上合力为0，重力在沿平板方向的分量为mgsin α
小球在最高点时，由绳子的拉力和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力，有
FT＋mgsin α＝eq \f(mveq \\al(2,1),l)①
研究小球从释放到最高点的过程，根据动能定理有
－mglsin α＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)②
若恰好能通过最高点，则绳子拉力FT＝0③
联立①②③解得sin α＝eq \f(1,2)，解得α＝30°
故α的范围为0°≤α≤30°.
题型五 竖直面内圆周运动与图像结合问题
【例1】如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接绕定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点的速度大小为v，此时绳子拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图像中的数据a和b以及重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是( )
A.数据a与小球的质量有关
B.数据b与小球的质量无关
C.比值eq \f(b,a)只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关
D.利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径
【答案】 D
【解析】 当v2＝a时，此时绳子的拉力为零，物体的重力提供向心力，则有mg＝meq \f(v2,r)，解得v2＝gr即a＝gr，故与物体的质量无关，A错误；当v2＝2a时，对物体受力分析，则有mg＋b＝meq \f(v2,r)，解得b＝mg，故与小球的质量有关，B错误；根据以上分析可知：eq \f(b,a)＝eq \f(m,r)，与小球的质量有关，与圆周轨道半径有关，C错误；若F＝0，由图知v2＝a，则有mg＝meq \f(v2,r)，解得r＝eq \f(a,g)，当v2＝2a时，则有mg＋b＝meq \f(v2,r)，解得m＝eq \f(b,g)，D正确。
【例2】 如图所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN－v2图像如图所示。下列说法正确的是( )
A.当地的重力加速度大小为eq \f(R,b)
B.小球的质量为eq \f(a,b)R
C.v2＝c时，杆对小球弹力方向向上
D.若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a
【答案】 B
【解析】 通过图分析可知：当v2＝b，FN＝0时，小球做圆周运动的向心力由重力提供，即mg＝meq \f(b,R)，g＝eq \f(b,R)，A错误；当v2＝0，FN＝a时，重力与弹力FN大小相等，即mg＝a，所以m＝eq \f(a,g)＝eq \f(a,b)R，B正确；当v2＞b时，杆对小球的弹力方向与小球重力方向相同，竖直向下，故v2＝c＞b时，杆对小球的弹力方向竖直向下，C错误；若v2＝2b时，mg＋FN＝meq \f(2b,R)，解得FN＝a，方向竖直向下，D错误。
【例3】(多选)(2022·湖北重点中学模拟)如图甲所示，小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心O点做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F­v2图象如图乙所示，g取10 m/s2，则( )
A．小球的质量为4 kg
B．固定圆环的半径R为0.8 m
C．小球在最高点的速度为 4 m/s时，小球受圆环的弹力大小为20 N，方向向上
D．若小球恰好做圆周运动，则其承受的最大弹力为100 N
【答案】BD
【解析】对小球在最高点进行受力分析，速率为0时，F－mg＝0，结合图象可知：20 N－m·10 m/s2＝0，解得小球质量m＝2 kg，选项A错误；当F＝0时，由重力提供向心力可得mg＝eq \f(mv2,R)，结合图象可知mg＝eq \f(8（m/s）2·m,R)，解得固定圆环半径R为0.8 m，选项B正确；小球在最高点的速度为4 m/s时，设小球受圆环的弹力方向向下，由牛顿第二定律得F＋mg＝meq \f(v2,R)，代入数据解得F＝20 N，方向竖直向下，所以选项C错误；小球经过最低点时，其受弹力最大，由牛顿第二定律得F－mg＝meq \f(v2,R)，若小球恰好做圆周运动，由机械能守恒得mg·2R＝eq \f(1,2)mv2，由以上两式得F＝5mg，代入数据得F＝100 N，选项D正确．
【题后感悟】
1.清楚圆周运动中绳、杆模型的物理规律，列出正确的物理方程。
2.对一次函数y＝kx＋b要非常熟练，会用会画。
3.熟练地将数学和物理结合起来，用图像法来解决物理问题。
【数理思想与模型建构】
1.数理思想是基于物理现象的数学模型，利用数学知识解决物理问题的科学思维方法。
2.模型建构
(1)轻绳模型：①v＞eq \r(gR)时绳子的弹力F＝meq \f(v2,R)－mg，方向竖直向下
②v＝eq \r(gR)时绳子的弹力为零，是安全通过最高点的临界条件
(2)轻杆模型
①v＞eq \r(gR)时轻杆对物体的弹力F＝meq \f(v2,R)－mg ，方向竖直向下
②v＝eq \r(gR)时轻杆对物体的弹力为零，是物体所受弹力方向变化的临界速度。
③v＜eq \r(gR)时轻杆对物体的弹力FN＝mg－meq \f(v2,R)，方向竖直向上。
【思维建构】
1.根据物理现象列出物理方程。如例1：FT＋mg＝meq \f(v2,r)。
2.根据物理方程整理成函数关系。如例1：FT＝eq \f(m,r)v2－mg。
3.将物理方程与一次函数相对应。如例1：FT＝eq \f(m,r)v2－mgeq \(――→,\s\up7(对应))y＝kx＋b。
4.根据函数思想对应物理图像分析求解。运动模型
向心力的来源图示
运动模型
向心力的来源图示
飞机水平转弯
圆锥摆
火车转弯
飞车走壁
汽车在
水平路
面转弯
水平转台
几何分析
目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析
目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析
目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力
概述
如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F向＝FN－mg＝meq \f(v2,r)
规律
桥对车的支持力FN＝mg＋meq \f(v2,r)＞mg，汽车处于超重状态
概述
如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F向＝mg－FN＝meq \f(v2,r)
规律
桥对车的支持力FN＝mg－meq \f(v2,r)＜mg，汽车处于失重状态．若v＝eq \r(gr)，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动
轻绳模型(最高点无支撑)
轻杆模型(最高点有支撑)
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示
受力示意图

F弹向下或等于零
F弹向下、等于零或向上
力学方程
mg＋F弹＝meq \f(v2,R)
mg±F弹＝meq \f(v2,R)
临界特征
F弹＝0
mg＝meq \f(vmin2,R)
即vmin＝eq \r(gR)
v＝0
即F向＝0
F弹＝mg
讨论分析
(1)最高点，若v≥eq \r(gR)，F弹＋mg＝meq \f(v2,R)，绳或轨道对球产生弹力F弹
(2)若v(1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心
(2)当0(3)当v＝eq \r(gR)时，F弹＝0
(4)当v>eq \r(gR)时，mg＋F弹＝meq \f(v2,R)，F弹指向圆心并随v的增大而增大