2024年山东省青岛市九年级中考三模数学试题（解析版）

这是一份2024年山东省青岛市九年级中考三模数学试题（解析版），共42页。

说明：
1．本试题，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共23小题．第Ⅰ卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为非选择题，共16小题，93分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
第Ⅰ卷（选择题，共 27 分）
一、选择题（本大题共 9 小题，每题 3 分，共27 分）
1. 下列用于证明勾股定理的图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【详解】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；
C中的图形是轴对称图形，故C符合题意；
故选：C．
2. 爱达·魔都号，是中国第一艘国产大型邮轮，全长米，总吨位为万吨，可搭载乘客5246人．将万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：万．
故选：B．
3. 中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
找到从几何体的上看所得到的图形即可．
【详解】解：这个“堑堵”的俯视图是A图，
故选：A．
4. 某校计划对教室进行多媒体安装改造，现安排两家公司共同完成．已知A公司的工作效率是B公司工作效率的1.2倍，B公司安装30间教室比A公司安装同样数量的教室多用2天．若设B公司每天安装x间教室，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查利用分式方程解决实际应用问题，解题的关键是找到等量关系式．根据“B公司安装30间教室比A公司安装同样数量的教室多用2天”列式即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
故选A.
5. 如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与y轴、x轴分别交于C，D两点，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 当时，D. 连接，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数解析式，也考查了三角函数；
先求出，，即可判定A、B，再根据图象即可判断C，求出即可判断D；
【详解】令一次函数中分别为0，
解出，
，A错误；
，
，B错误；
根据图象可得，当或时，，C错误；
，
即，D正确；
故选：D．
6. 反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示．则函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数的图象与性质，由反比例函数的图象可得，由一次函数的图象可得，且，可得函数过点，从而可得答案．
【详解】解：由反比例函数的图象可得，由一次函数的图象可得，
且当时，，
∴，
∵，
当时，，
∴函数过点；
∴A符合题意，
故选：A．
7. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，，，若，，则的度数为（ ）
A. B. °C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，三角形外角的性质等知识，利用直径所对的圆周角是直角求出，进而求出，利用圆周角定理求出，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解∶∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
8. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③方程的两个实数根为，且，则，；④若为任意实数，则．正确结论的序号为（ ）
A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①③
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，熟练运用数形结合思想．
首先对称性的得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后画出示意图，将代入解析式根据图象即可判断①；根据题意得到，进而可判断②；根据题意画出直线的图象，然后根据图象即可判断③；首先有对称轴得到，然后将代入解析式得到，进而得到，然后由时，y有最大值，即可判断④．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
∴开口向下，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴画出示意图如下，
∴当时，，故①正确；
∵
∴，故②错误；
如图所示，抛物线和直线有两个交点，
∴方程的两个实数根为，，且，
∴，，故③正确；
∵对称轴为直线，
∴
∴
∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，
∴
∴
∴
∴
∵抛物线开口向下，对称轴为
∴当时，y有最大值
∴若为任意实数，，故④正确．
综上可知，正确的有①③④，
故选B．
9. 1的绝对值是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的概念．熟练掌握绝对值的概念，是解决问题的关键．绝对值的概念：数轴上表示数的点距离原点的距离叫做这个数的绝对值；绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
根据绝对值的概念或性质回答即可.
【详解】1的绝对值是1．
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题，共 93 分）
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
10. 南山植物园坐落在省级南山风景名胜区群山之中，与重庆主城区夹长江面峙，是一个以森林为基础；每到春季，上山赏花的人络绎不绝，开办了植物花卉门市；将A、B、C三种花卉包装成“如沐春风”、“懵懂少女”、“粉色回忆”三种不同的礼盒进行销售；用A花卉2支、B花卉4支、C种花卉10支包装成“如沐春风”礼盒；用A花卉2支、B花卉2支、C种花卉4支包装成“懵懂少女”礼盒；用A花卉2支、B花卉3支、C花卉6支包装成“粉色回忆”礼盒，且每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍；该商家将三种礼盒均以利润率50%进行定价销售；某周末，该门市为了加大销量，将“如沐春风”、“懵懂少女”两种礼盒打八折进行销售，且两种礼盒的销量相同，“粉色回忆”礼盒打九折销售，三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍，则该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】设C花卉一支x元，A花卉一支y元，则B花卉一支4x元，根据每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍，可得，得到，从而设A花卉一支x元，B花卉一支元，则C花卉一支元，设“如沐春风”、“懵懂少女”这两种礼盒都销售了a盒，“粉色回忆”礼盒销售了盒，根据三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍可得：，
解得： ，即可得该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值．
【详解】解：设C花卉一支x元，A花卉一支y元，
每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍，
，
化简整理得，
A花卉一支x元，C花卉一支x元，
“如沐春风”礼盒每盒成本为（元），以利润率50%定价为（元），
“懵懂少女”礼盒每盒成本为（元），以利润率50%定价为（元），
“粉色回忆”礼盒每盒成本为（元），以利润率50%定价为（元），
由某周末，该门市为了加大销量，将“如沐春风”、“懵懂少女”两种礼盒打八折进行销售，设这两种礼盒都销售了a盒，“粉色回忆”礼盒销售了盒，根据三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍可得：，
化简整理得： ，
该周末“粉色回忆”礼盒的总利润为，
该周末三种礼盒的总利润为，
该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程（组）的应用，解题的关键是读清题意，用含未知数的式子表示题中的量，再根据已知列方程解决问题．
11. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点（点在轴上），与轴交于点，且，那么本抛物线的表达式为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，先分别求出，，设，利用勾股定理得到，，，则，解方程求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：在中，当时，，
∴，
在中，当时，，
∴，
设，
∴，，
，
∵，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
把，代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
故答案为：．
12. 如图，将长方形纸片沿，折叠成图1，使与在一条直线上，再沿折叠成图2，使点落在点处，若，则的度数为__________．
【答案】63
【解析】
【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理．由得，再结合折叠的性质可得，，最后根据三角形内角和定理可得到答案．
【详解】解：在图1中，
,
由折叠的性质得：
,
,
在图2中，由折叠的性质得：
．
故答案为：63．
13. 如图，矩形中，点在边上，且，平分．作于点，连接，，的延长线交于点，交于点．以下结论：①；②；③；④若，则．正确的有__________．（填写序号）

【答案】①③##③①
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质．
①四边形是矩形，平分易得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形即可；
②由是等腰直角三角形得，，故，得；
③先求，得，故，再由，，得，故即可；
④设，则，先证得，再证得，故，解出，再算出即可．
【详解】解：四边形是矩形
平分
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
，①正确；
是等腰直角三角形
，②不正确；
,
，
，③正确；
,
设，则
，④不正确．
故答案为：①③．
14. 已知，求值：=_______________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的运算化简求值，先对分子和分母因式分解，将除式的分子、分母交换位置将除法转化为乘法，然后约分、化简，再通分化简，把已知变形为整体代入计算即可．熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
【详解】解：



∵，
∴
∴原式．
故答案为：．
15. 如图，在正方形中，以为直径作半圆，以为圆心，为半径作，与半圆交于点，我们称：点为正方形的一个“奇妙点”，过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．连接、、、，并延长交AB于点．下列结论中：①；②；③；④；其中正确的结论的序号为______．
【答案】①②③④
【解析】
【分析】①连结，根据等腰三角形的性质和正方形的性质证明，从而证明是的切线，再证明AB、CD都是的切线，用切线长定理即可证明，所以①正确；②和都是等腰三角形，根据三角形内角和定理可证得（），所以②正确；③设正方形的边长为，连接，过点作于点，于点，根据正切定义可得，用含的代数式表示和，它们均为，所以③正确；④由前面得到的结论，可得，，求得，所以④正确．
【详解】解：①如图，连接，则．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
∵，，
∴AB、CD都是的切线，
∴，
∵，
∴．故①正确；
②∵，
∴，，
∴[]．
故②正确；
③如图，设正方形的边长为，连接、交于点，作于点，于点，则，四边形为矩形．
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵是半圆的直径，
∴
∴，
∴，
∴CE，CE，
∴，整理，得，
∴，，
∴．
∵，，
∴．
故③正确；
④如图，∵，，，
∴．
故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、矩形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质、圆的切线的判定、切线长定理、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，设正方形的边长为，将有关线段用含的代数式表示．
三、作图题（本大题共1小题，共4分）
16. 设计一个有关青岛旅游宣传的图案，使它既是中心对称图形，又是轴对称图形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
【详解】根据中心对称图形和轴对称图形的定义可得：
四、解答题（本大题共7小题，共72分）
17. 计算
（1）解不等式组；
（2）化简．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了不等式组的求解以及分式的化简；
（1）解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．
（2）根据分式的运算法则，求解即可．
【小问1详解】
解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
【小问2详解】
解：
18. 已知：以为直径的中，弦，垂足为，，．
（1）如图，求的周长；
（2）如图，为优弧上一动点（不与、、三点重合），为半径的中点，连接，若，弧的长为，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）如图，在（2）的条件下，过点作于点，连接，当时，求的长，并判断以为直径的圆与直线的位置关系．
【答案】（1）
（2）（）
（3），以为直径的圆与直线的位置关系为相交
【解析】
【分析】（1）连接，设，则，根据垂径定理，得，利用勾股定理，得，求得x，继而计算的周长．
（2）根据，得到，结合为半径的中点，得到，继而得到，，根据，利用弧长公式计算解答即可．
（3）当点P在上时，过点M作于点H，过点O作于点G，证明四边形是矩形，，设，结合，得到，利用勾股定理，得，即得；当点P在上时，同理可证．
【小问1详解】
解：如图，连接，设，则，
根据垂径定理，得，
根据勾股定理，得，
解得
∴的周长为．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵为半径的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，

∴，
根据（1）得，，
∴当P与D重合时，，
∴是等边三角形，
∴
∴．
故，且．
【小问3详解】
解：当点P在上时，过点M作于点H，过点O作于点G，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∵为半径的中点，
∴，
∴,
∴，；
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理，得，
∴，
解得，
∴，
∴；
过点M作于点K，
根据直角三角形的斜边大于任何一条直角边，得，
故满足，
∴以为直径的圆与直线的位置关系是相交．
同理可证，当点P在上时，结论不变，且依然成立．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形相似的判定和性质，解直角三角形的应用，直线与圆的位置关系，直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理，三角形相似的判定和性质，解直角三角形的应用，直线与圆的位置关系是解题的关键．
19. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C0,1，抛物线的对称轴交x轴于点D．过点B作直线轴，连接，过点D作，交直线l于点E，作直线．

（1）求抛物线的函数表达式并直接写出直线的函数表达式；
（2）如图，点P为抛物线上第二象限内的点，设点P的横坐标为m，连接与交于点Q，当点Q为线段的中点时，求m；
（3）若点M为x轴上一个动点，点N为抛物线上一动点，试判断是否存在这样点M，使得以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为；
（2）；
（3）点的坐标为或或或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；证明，求得，得到点，再利用待定系数法即可求得直线的函数表达式；
（2）作轴，轴，根据直角三角形斜边中线的性质求得是的中位线，用分别表示的坐标，利用，列式计算即可求解；
（3）由题意得即轴，求得解方程，求得，得到点的坐标，根据平行四边形的性质即可求得点的坐标．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点和点C0,1，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
对称轴直线，
∴点，
∵点，
∴点，
∴，，，
由题意得，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴点，
设直线的函数表达式为，
把代入得，解得，
∴直线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：作轴，轴，垂足分别为，连接，

∵，点为线段的中点，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵点的横坐标为，
∴点，，
∴，
当时，，
∴，
∴，，
∴，
解得（舍去正值），
∴；
【小问3详解】
解：由题意得即轴，

∵点，
∴点纵坐标为6，
解方程，得，
∴点或，
当点时，，
∴当四边形是平行四边形时，点的坐标为，
当四边形是平行四边形时，点的坐标为；

当点时，，

∴当四边形是平行四边形时，点的坐标为；
当四边形是平行四边形时，点的坐标为；

综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、解一元二次方程、平行四边形的性质、三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
20. 阅读以下信息，完成下列小题
材料一：对数是高中数学必修一中的一个重要知识点，是高中运算的基础．
材料二：对数的基本运算法则：对数公式是数学中的一种常见公式，如果（a>0，且），则x叫做以a为底N的对数，记做，其中要写于右下．其中叫做对数的底，叫做真数．通常以10为底的对数叫做常用对数，记作；以e为底的对数称为自然对数，记作．
（1）请把下列算式写成对数的形式：，，
（2）平方运算是对数运算的基础．完成下列运算：
（3）对数和我们在初中阶段学习的平方根的运算也有相似之处．请完成有关平方根的知识点的填空．
平方根，又叫二次方根，表示为〔 〕，其中属于 的平方根称之为算术平方根（arithmetic square rt），是一种方根．一个正数有 个实平方根，它们互为 ，负数在 范围内没有平方根，0的平方根是0
【答案】（1），，
（2），，27
（3），，两，相反数，实数
【解析】
【分析】本题考查了幂的运算，对数与幂的转化，平方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据对数的定义，结合示例即可求得写出；
（2）根据对数的定义，结合示例即可求得写出；
（3）根据平方根，算术平方根的定义填空即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∵，
∴，
∴；
∵，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，，27；
【小问3详解】
解：平方根，又叫二次方根，表示为，其中属于的平方根称之为算术平方根（arithmetic square rt），是一种方根．一个正数有 两个实平方根，它们互为 相反数，负数在 实数范围内没有平方根，0的平方根是0，
故答案为：，，两，相反数，实数．
21. 已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．
（1）求函数的“升幂函数”的函数表达式；
（2）如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标；
（3）点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为．
①若点与点重合，求的值；
②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式；
③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）
（3）①或；②；③或
【解析】
【分析】（1）根据“升幂函数”的定义，可得，即可求解，
（2）设，根据“升幂点”的定义得到，由，在点上方，得到，即可求解，
（3）①由，，点与点重合，得到，即可求解，②由，得到对称轴为，、关于对称轴对称，结合，则，得到，进而得到，，由点在点的上方，得到点在点的上方，，解得：， ，当，，，当， ，，即可求解，③根据②中结论得到，，，将，，代入，得到，，，结合图像可得，当时，直线与函数的图象有3个交点，当时，直线与函数的图象有2个交点，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，结合，可得，当时，，解得：，由，得到，解得：，即可求解，
【点睛】本题考查了，求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数综合，根据系数关系，解题的关键是：熟练掌握二次函数的性质，将题目所给条件进行转化．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
故答案为：，
【小问2详解】
解：设点，则，
∵，在点上方，
∴， 解得：，
∴；
【小问3详解】
解：①根据题意得：，则，
∵点与点重合，
∴，解得：或，
②根据题意得：，
∴对称轴为，、关于对称轴对称，
∵，则，
∴，解得：，
∴，，
∵点在点的上方，
∴，解得：，
∴，
当，点在点右侧时，，，
当，点在点左侧时，，，
∴，
③∵，
∴，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴，，，
当时，直线与函数的图象有3个交点，
当时，直线与函数的图象有2个交点，
直线与函数交于、两点，，即：，
∴，，，
直线与函数交于、两点，，即：，
∴，，，
∵，
∴，整理得：，
当时，
，解得：或（舍），
∴，
∴，解得：，
∴，
或．
22. 在平行四边形中，，，将沿对角线翻折，点的对应点为点，线段与边交于点．
（1）如图，，求的度数；
（2）若是以为腰的等腰三角形，求线段的长；
（3）如图，连接，的延长线交于点，的延长线交于点，当点至的距离最小值时，求出此时的面积．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，再根据轴对称的性质得出，然后根据得出结论即可；
（2）分和两种情况分别求出的长度即可；
（3）先得出当时，点到的距离最小，求出此时的面积即可．
【小问1详解】
解：在平行四边形中，，
，
根据轴对称的性质可知，，
，
的度数是；
【小问2详解】
解：分两种情况：
若，
如图，延长交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在平行四边形中，，
，
，
根据轴对称的性质可知，，
，
，
，
，，
和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
根据轴对称的性质可知，，，
，
，
；
若，
如图，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
根据轴对称的性质可知，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
综上所述，线段的长为或；
【小问3详解】
解：如图，过点作于点，
则，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
若要最小，则最小即可，
即当时，最小，过点作于点，过点作于点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
根据轴对称的性质可知，，
又，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
又，
根据轴对称的性质可知，，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
当点至的距离最小值时，此时的面积为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键．
23. 阅读材料，完成下列小题．
集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象．集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素．现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体．
我们把这个抽象的概念具体化：关于1+1= 这个算式答案的集合，我们表示为{2}．
交集指的是两个集合的共同部分，用“∩”表示；比如“小于4大于1的实数”这个集合与“小于5大于2的实数”的交集就是{3}
并集指是把两个集合合并在一起，用“∪”表示；比如“小于4大于1的实数”这个集合与“小于5大于2的实数”的并集就是{4，3，2}
【开胃小菜】请表示不等式组的解集．
【拓展延伸】集合论在离散数学中有着非常重要的地位．对于非空集合和，定义和集，用符号表示和集内的元素个数．
（1）已知集合，，，若，求的值；
（2）记集合，，，为中所有元素之和，n是正整数，求证：；
（3）若与都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列．
【知识卡片】“∈”的意思是属于，的意思是正整数．
【答案】（1）
（2）见详解 （3）见详解
【解析】
【分析】（1），结合集合中的元素满足互异性以及定义可得，，分别是5，7，9，即可求解；
（2）根据等差数列求和公式先求出的通项公式，然后再表示出，再利用裂项求和计算即可；
（3）设，设，根据不等式的同向可加性得到，可得这里有个元素，则上面为集合的所有元素，同理：，这里有个元素，则上面为集合的所有元素，发现可找出，故，由上得，，同理：，故，因此，故证毕．
【小问1详解】
解：∵，，
∴；
∵，
∴，
又∵，，，，，是中的元素，
∴，，分别是5，7，9，
∴,
∴，
【小问2详解】
证明：由题意得，
，
，
∴
∴
，
∵当无穷大时，趋近于0，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
证明：设，
设，
∴，
∴这里有个元素，
∵，
∴上面为集合的所有元素，
同理：，
∴这里有个元素，
∴上面为集合的所有元素，
∴，
∴，
由上得，，
同理：，
∴，
∴，
∴若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列．
【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程，有理数的加法运算，不等式的性质，二次根式的加减运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．