高考数学二轮专题复习向量

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结论:设是两个平面向量,则有恒等式,在三角形中,也可以用三角形的中线来表示,.
极化恒等式的作用主要在于,它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量之和或之差,因此,当两个向量之和或之差为定值时,常常可以考虑利用极化恒等式进行转化求解.
典型例题
例1.(2012浙江15)在中,是的中点,,则
解方法1:设,则.又,
.
故答案为.
方法2:由极化恒等式得.
例2.如图,在中,是的中点,是上的两个三等分点,,则的值是
解方法是的中点,是上的两个三等分点,
,,
又,
,
故答案为.
方法2:由极化恒等式得
分别解出和的值,即可求解.
例3.已知为圆的直径,为圆的弦上一动点,,则的取值范围是 .
解方法
以所在的直线为轴,以线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,且圆的直径为,设,则,;,
又是圆的弦上一动点,且,
所以,即,
其中最小值在的中点时取得,
所以的取值范围是.
故答案为.
方法2:直接使用极化恒等式得,
例4.(2013•浙江)设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有,则( )
A. B. C. D.
解方法1:设,则,
过点作的垂线,垂足为,在上任取一点,设,
则由数量积的几何意义可得,
,
于是恒成立,
整理得恒成立,
只需即可,于是,
因此我们得到,即是的中点,
故是等腰三角形,所以.故选D.
方法
因为所以
从而,过作交于,
则考虑,
所以,故,
选
例5.(2021•温州二模)如图,矩形中,,点分别为边上的动点,且,则的最小值是( )
A.13
B.15
C.17
D.19
解方法
以为坐标轴建立平面直角坐标系,
设,则
令,则
令,解得.
当时,,当时,
在上单调递减,在上单调递增,
.
.
故选B.
方法2:
如图为的中点,由极化恒等式,.
显然,的轨迹是以点为圆心,1为半径的圆周在矩形内部的圆弧.
所以
例6.(2021•淮安二模)如图,在平面四边形中,为的中点,且,若,则的值是 .
解方法1:平面四边形中,为的中点,且
若,则
;
方法2:如图,得,
又
例7.已知直线与抛物线交于两点,为的中点,为抛物线上一个动点,若满足,则下列一定成立的是( )
A.
B.,其中是抛物线过的切线
C.
D.
解方法1:
,
即求
.其中是抛物线过的切线.
故选.
方法2:由得,
由极化恒等式,,即,
即抛物线上所有点到的距离最近的点为,
故以为圆心,为半径的圆与抛物线内切,
故选.
例8.如图,已知正三角形内接于半径为2的圆为线段上一动点,延长交圆于点,则的取值范围是
解方法1:取的中点,则.
则
.
当点与点重合时,点和点重合,,即的取值为6.
当点与点重合时,点和点重合,,即的取值为0,
即的取值范围是,故答案为:.
方法2:如图6,过点作,垂足为,则是中点连接有,
由极化恒等式,
因为点在劣弧上,有,
所以.
例9.(2021•衡阳三模)在三棱雉中,两两垂直且,点为三棱锥的外接球上任意一点,则的最大值为
解方法1:如图所示:

图1 图2
因为两两垂直且,
所以三棱锥的外接球就是分别以为棱的正方体的外接球(如图1),外接球的球心为正方体的体对角线的中点,易知球的半径为.
设线段的中点为
而
,当取得最大值时,有最大值.
而当在同一个大圆上且,
点与线段在球心的异侧时,最大(如图2),
此时,.
得:的最大值为.
故答案为:
方法2:由极化恒等式有
如图,当在同一个大圆上且,点与线段在球心的异侧时,最大,此时线段长为,
所以
所以的最大值为
例10.(2021•湖州二模)正方体的棱长为是它的内切球的一条弦(把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),为正方体表面上的动点,当弦最长时.的最大值为
解方法1:设点是此正方体的内切球的球心,半径.
当弦最长时,为球的直径,
此时,而
,
当且仅当点为正方体的一个顶点时上式取得最大值,
.
故答案为2.
方法2:由正方体的棱长为2,得内切球半径为1,正方体的体对角线为.
当弦的长度最大时,为球的直径.
设内切球的球心为,则.
由于为正方体表面上的动点,故.所以.
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1.(2021•浙江二模)如图放置的边长为1的正方形的顶点分别在轴、轴正半轴上(含原点)上滑动,则的最大值是 .
第1题图
2.(2018•天津)如图,在平面四边形中,,,.若点为边上的动点,则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.3
第2题图
3.(2017•新课标II)已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
4.(2021春•龙山区校级月考)已知圆为的内切圆,,过圆心的直线交圆于两点,则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
5.(2021•绍兴一模)已知点分别在直线上,为坐标原点,且.当取到最小值时,的值为( )
A.0
B.2
C.3
D.6
6.(2021•日照一模)在锐角中,已知,则的取值范围是 .
7.(2021•绍兴二模)设锐角的面积为1,边的中点分别为为线段上的动点,则最小值为 .
8.(2021秋•苏州期末)如图,在中,已知,点分别在边,上,且,点为中点,则的值为 .
9.(2021•浙江模拟)已知的斜边的长为4,设是以为圆心1为半径的圆上的任意一点,则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
10.(2021•江苏模拟)已知为圆的直径,为圆的弦上一动点,,则.的取值范围是 .
11.(2021•闵行区校级模拟)已知点是棱长为1的正方体的底面上一点(包括边界),则的取值范围是 .
12.(2021•上城区校级模拟)已知点为单位圆上的动点,点为坐标原点,点在直线上,则的最小值为 .
13.在中,,当分别在平面直角坐标系的轴、轴上运动时,的最大值是 .
(2021-余杭区校级模拟)如图,是边长为4的正方形,动点在以为直径的圆弧上,则的取值范围是__________.
答案：方法 1: 以 中点为坐标原点, 所在直线为 轴建立如图坐标系，则圆弧 方程为
因此设 ,
,
由此可得
化简得
∵
∴ 当 或 时, ;
当 时, .
由此可得 的取值范围是 故答案为:
方法 2:取 中点 , 由极化恒等式得: .
15.已知过原点的直线交椭圆于两点,若点为抛物线上的一个动点,则的最小值为( )
A.1
B.2
C.2
D.
答案：
方法 1: 如图, 设 , 则 ,
∴,
∴.
.
∵.∴ 当 时, 有最小值为 . 故选 .
方法 2 : 根据极化恒等式 , 要求最小值, 最小, 最大, 此时 ,
16.(2021-衡中高三测试题)已知为椭圆的一条动弦,且经过原点,为直线上的一个动点,则的最小值为( )
A.
B.
C.5
D.8
答案：
如图, 连接 , 根据极化恒等式有
这样考虑到 取最小值且 取最大值
时, 曲线动点问题便得以化解
设 为原点 到直线 的距离,
则 ,
因此 .