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所属成套资源：勇哥大招高考数学二轮专题复习——七大模块
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高考数学二轮专题复习导数
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这是一份高考数学二轮专题复习导数，文件包含大招22导数与三角函数docx、大招17切线夹docx、大招19放缩取点docx、大招23导数与数列docx、大招11三次函数docx、大招7函数隐零点docx、大招5同构与导数放缩docx、大招18主元法docx、大招24创新题型docx、大招21凹凸反转docx、大招2导数构造秒解大法docx、大招10双变量问题docx、大招1构造函数解不等式docx、大招13极值点偏移定义及判定定理docx、大招6对数单身狗docx、大招20先猜后证docx、大招16拐点偏移docx、大招15对数平均不等式docx、大招14比值或作差代换docx、大招3常用的导数放缩技巧docx、大招4导数与数列不等式docx、大招9双变量问题docx、大招12洛必达法则巧解高考压轴题docx、大招8恒成立问题与端点效应docx等24份试卷配套教学资源，其中试卷共417页， 欢迎下载使用。
基本不等式链: 已知 a>0,b>0,21a+1b⩽ab⩽a+b2⩽a2+b22 (当且仅当 a=b 取等号), 即: 调和平均数<几何平均数<算术平均数<平方平均数, 简记为:调几算方.
对数平均不等式: 对于正数 a,b, 且 a≠b, 定义 a-blna-lnb 为 a,b 的对数平均值, 且若 a>b>0,b<21a+1b证明：
证法 1 (比值代换) 令 t=ab>1, 则 ab⇔t证法 2(主元法) 不妨设 a>b,ab记 f(a)=lna-lnb-ab+ba,a∈(b,+∞), 则 f'(a)=1a-12ab-b2aa=-(a-b)22aab<0, 得 f(a) 在 (b,+∞) 上单调递减, 有 f(a)证法 3 (构造函数法) 先证 : ab要证 ab1, 只需证 2lnx1, 设 f(x)=2lnx-x+1x,x>1, 则 f'(x)=2x-1-1x2=-(x-1)2x2<0, 可得 f(x) 在 (1,+∞) 上单 调递减, ∴f(x)再证: a-blna-lnb要证 a-blna-lnb1, 只需证 x-1x+11 。设 g(x)=1-2x+1-lnx2,x>1, 则 g'(x)=2(x+1)2-12x=-(x-1)22x(x+1)<0, 故 g(x) 在 (1,+∞) 上单调递减, ∴g(x)∴ 常见等价变形: lna-lnb⩾2(a-b)a+b(a⩾b>0);lna-lnb⩽ab-ba(a⩾b>0)
用对数平均数求证极值点偏移问题的步骤 :
(1) 根据 fx1=fx2 建立等量关系;
(2)等量关系中如果含有参数, 可考虑消参; 如果含有指数式, 可考虑两边取对数;
(3) 通过恒等变形转化出对数平均数, 代人对数平均不等式求解.
典型例题
【题型 1】证明极值点偏移问题
例1.)已知函数 f(x)=xe-x, 如果 x1≠x2, 且 fx1=fx2, 证明: x1+x2>2.
解 证明: 即 x1e-x1=x2e-x2,lnx1-x1=lnx2-x2, 则 x1-x2lnx1-lnx2=1 (正数 x1,x2 的对数平均数为 1), 于是 x1x2<12.
例2. 已知函数 f(x)=xlnx 的图像与直线 y=m 交于不同的两点 Ax1,y1,Bx2,y2, 求证: x1x2<1e2.
解 证明: 由 x1lnx1=x2lnx2=m 得 x1=mlnx1x2=mlnx2,x1-x2lnx1-lnx2=mlnx1-mlnx2lnx1-lnx2=-mlnx1lnx2; x1+x2=mlnx1+mlnx2=mlnx1+lnx2lnx1lnx2, 由 对数平均不等式得 -mlnx1lnx2lnx1+lnx2=lnx1x2, 得 x1x2<1e2.
例3. 设函数 f(x)=lnx-ax2+(2-a)x 的两个零点是 x1,x2, 求证: f'x1+x22<0.
解 证明: 由题意得 lnx1-ax12+(2-a)x1=0lnx2-ax22+(2-a)x2=0, 两式相减得 lnx1-lnx2-ax1+x2x1-x2+(2 - a) x1-x2=0,lnx1-lnx2=x1-x2ax1+x2+a-2, 则 x1-x2lnx1-lnx2= 1ax1+x2+a-2>0, 所以 1ax1+x2+a-20 ⇒ax1+x2-2x1+x2+1>0⇒x1+x2>2a⇒f'x1+x22<0
例4. 设函数 f(x)=ex-ax+a, 其图像与 x 轴交于 Ax1,0,Bx2,0 两点, 且 x1解；证明: f'x1x2<0. 证明: f(x)=0 即 ex=a(x-1)a>e2,x=lna+ln(x-1), 则 x1=lna+lnx1-1①x2=lna+lnx2-1② ①-②得 x1-x2=x1-1-x2-1=lnx1-1-lnx2-1, 则 x1-1-x2-1lnx1-1-lnx2-1=1 (正数 x1-1,x2-1 的对数平均数 为 1 ), 于 是, x1-1x2-1<14
①+②得 x1+x2=2lna+lnx1-1x2-1<2lna, 所以 x1x2【题型 2】 b>b-alnb-lna>a(a>0) 的应用
例5. 设函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=xf'(x), 其中 f'(x) 是 f(x) 的导函数, 设 n∈N+, 比较 g(1)+g(2) +⋯+g(n) 与 n-f(n) 的大小, 并加以证明.
解：因为 g(x)=x1+x, 所 以 g(1)+g(2)+⋯+g(n)=12+23+⋯+nn+1=n -12+13+⋯+1n+1,而 n-f(n)=n-ln(n+1), 因此, 比较 g(1)+g(2)+⋯+g(n) 与 n-f(n) 的大小,即只需比较 12+13+⋯+1n+1 与 ln(n+1) 的大小即可. 根据 b>a>0 时, b>b-alnb-lna, 即 1b(b-a)n-f(n).
【说明】本题是高考试题的压轴题, 难度较大, 我们这里应用对数平均数不等式链来证明, 思路简 捷, 别具新意,易于学生理解、掌握, 也可以利用之前讲的数列不等式.
当 b>a>0 时, b-alnb-lna>a, 即 lnb-lna<1a(b-a), 令 a=n,b=n+1, 则 ln(n+1)-lnn<1n, 可得 ln(n+1)<1+12+13+⋯+1n.
例6. 已知函数 f(x)=x-ln(x+a)(a>0) 的最小值为 0 , 证明: ∑i=1n 22i-1-ln(2n+1)<2n∈N*.
解 证明: 易求 a=1, 待证不等式等价于 23+25+27+⋯+22n-1a>0 时, b> b-alnb-lna, 即 1b(b-a)23+25+27+⋯+22n-1+22n+1【题型 3】 a2+b22>b-alnb-lna(b>a>0) 的应用
例7. 设数列 an 的通项 an=1n(n+1)+1, 其前 n 项的和为 Sn, 证明: Sn解 证明 : 根据 b>a>0 时, a2+b22>b-alnb-lna, 即 lnb-lna>2(b-a)a2+b2, 令 b=n+1,a=n, 则 ln(n +1)-lnn>2n2+(n+1)2=22n2+2n+1>22n2+2n+2>an, 易证 Sn【题型 4】 a+b2>b-alnb-lna(b>a>0) 的应用
例8. 设数列 an 的通项 an=1+12+13+⋯+1n, 证明: an解 证明: 根据时, a+b2>b-alnb-lna, 即 lnb-lna>2(b-a)a+b, 令 b=2n+1,a=2n-1, 则 ln(2n+1)- ln(2n-1)>1n, 易证 an【题型 5】 b-alnb-lna>21a+1b(b>a>0) 的应用
例9. 已知函数 f(x)=ax+bx+c(a>0) 的图象在点 (1,f(1)) 处的切线方程为 y=x-1.
证明: 1+12+13+⋯+1n>ln(n+1)+n2(n+1),(n⩾1)
解 证明: 当 b>a>0 时, b-alnb-lna>21a+1b, 即 lnb-lna<121a+1b(b-a),
令 a=n,b=n+1 则 ln(n+1)-lnn<121n+1n+1,
所以 ln2-ln1<1211+12,ln3-ln2<1212+13,⋯,
ln(n+1)-lnn<121n+1n+1, 将以上各不等式左右两边分别相加得：
ln(n+1)<12+12+13+14+⋯+1n+12(n+1),
即 ln(n+1)<1+12+13+14+⋯+1n+ 12(n+1)-12,
故 1+12+13+⋯+1n>ln(n+1)+n2(n+1).
【题型 6】 b-alnb-lna>ab(b>a>0) 的应用
例10. 已知 f(x)=aln(x+1)+1x+1+3x-1.
求证: 24×12-1+34×22-1+44×32-1+⋯+n+14×n2-1>14ln(2n+1) 对一切正整数n均成立.
解证明:根据时,.即.
令,则,变形可得:
将以上各不等式左右两边相加得:对一切正整数均成立.
自我检测
1.已知函数有两个零点,则下列说法错误的是
A.B.C.D.有极小值点,且
解析： 函数 导函数: , 有极值点 , 而极值 正确; 有两个零点: , 即: (2)
(1) -(2)得: , 根据对数平均值不等式: , 而 正确, 错误, 而 (1) +得, 即 成立.
2.设函数的两个零点是,求证:
证明 :
3.已知函数和,若存在两个实数且,满足,求证:
证明 : 由 得 , 则 , 得 ; .
4.已知函数
(1)若时,,求的最小值;
(2)设数列的通项,证明:.
解析：(1) 易得 , 令 , 则 , 若 , 则当 时, 是增函数, 不符合题意; 若 , 则当 时, 是增函数, 不符合题意; 若 , 则当 时, 是减函数, 符合题意; 综上, 的最小值是 .
(2) 当 时, , 即 , 令 , 则 , 所以 , , 将以上各不等式左右两边分别相加得：
即 ,
故 .
基本不等式链: 已知 a>0,b>0,21a+1b⩽ab⩽a+b2⩽a2+b22 (当且仅当 a=b 取等号), 即: 调和平均数<几何平均数<算术平均数<平方平均数, 简记为:调几算方.
对数平均不等式: 对于正数 a,b, 且 a≠b, 定义 a-blna-lnb 为 a,b 的对数平均值, 且若 a>b>0,b<21a+1b
证法 1 (比值代换) 令 t=ab>1, 则 ab
用对数平均数求证极值点偏移问题的步骤 :
(1) 根据 fx1=fx2 建立等量关系;
(2)等量关系中如果含有参数, 可考虑消参; 如果含有指数式, 可考虑两边取对数;
(3) 通过恒等变形转化出对数平均数, 代人对数平均不等式求解.
典型例题
【题型 1】证明极值点偏移问题
例1.)已知函数 f(x)=xe-x, 如果 x1≠x2, 且 fx1=fx2, 证明: x1+x2>2.
解 证明: 即 x1e-x1=x2e-x2,lnx1-x1=lnx2-x2, 则 x1-x2lnx1-lnx2=1 (正数 x1,x2 的对数平均数为 1), 于是 x1x2<1
例2. 已知函数 f(x)=xlnx 的图像与直线 y=m 交于不同的两点 Ax1,y1,Bx2,y2, 求证: x1x2<1e2.
解 证明: 由 x1lnx1=x2lnx2=m 得 x1=mlnx1x2=mlnx2,x1-x2lnx1-lnx2=mlnx1-mlnx2lnx1-lnx2=-mlnx1lnx2; x1+x2=mlnx1+mlnx2=mlnx1+lnx2lnx1lnx2, 由 对数平均不等式得 -mlnx1lnx2
例3. 设函数 f(x)=lnx-ax2+(2-a)x 的两个零点是 x1,x2, 求证: f'x1+x22<0.
解 证明: 由题意得 lnx1-ax12+(2-a)x1=0lnx2-ax22+(2-a)x2=0, 两式相减得 lnx1-lnx2-ax1+x2x1-x2+(2 - a) x1-x2=0,lnx1-lnx2=x1-x2ax1+x2+a-2, 则 x1-x2lnx1-lnx2= 1ax1+x2+a-2>0, 所以 1ax1+x2+a-2
例4. 设函数 f(x)=ex-ax+a, 其图像与 x 轴交于 Ax1,0,Bx2,0 两点, 且 x1
①+②得 x1+x2=2lna+lnx1-1x2-1<2lna, 所以 x1x2
例5. 设函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=xf'(x), 其中 f'(x) 是 f(x) 的导函数, 设 n∈N+, 比较 g(1)+g(2) +⋯+g(n) 与 n-f(n) 的大小, 并加以证明.
解：因为 g(x)=x1+x, 所 以 g(1)+g(2)+⋯+g(n)=12+23+⋯+nn+1=n -12+13+⋯+1n+1,而 n-f(n)=n-ln(n+1), 因此, 比较 g(1)+g(2)+⋯+g(n) 与 n-f(n) 的大小,即只需比较 12+13+⋯+1n+1 与 ln(n+1) 的大小即可. 根据 b>a>0 时, b>b-alnb-lna, 即 1b(b-a)
【说明】本题是高考试题的压轴题, 难度较大, 我们这里应用对数平均数不等式链来证明, 思路简 捷, 别具新意,易于学生理解、掌握, 也可以利用之前讲的数列不等式.
当 b>a>0 时, b-alnb-lna>a, 即 lnb-lna<1a(b-a), 令 a=n,b=n+1, 则 ln(n+1)-lnn<1n, 可得 ln(n+1)<1+12+13+⋯+1n.
例6. 已知函数 f(x)=x-ln(x+a)(a>0) 的最小值为 0 , 证明: ∑i=1n 22i-1-ln(2n+1)<2n∈N*.
解 证明: 易求 a=1, 待证不等式等价于 23+25+27+⋯+22n-1
例7. 设数列 an 的通项 an=1n(n+1)+1, 其前 n 项的和为 Sn, 证明: Sn
例8. 设数列 an 的通项 an=1+12+13+⋯+1n, 证明: an
例9. 已知函数 f(x)=ax+bx+c(a>0) 的图象在点 (1,f(1)) 处的切线方程为 y=x-1.
证明: 1+12+13+⋯+1n>ln(n+1)+n2(n+1),(n⩾1)
解 证明: 当 b>a>0 时, b-alnb-lna>21a+1b, 即 lnb-lna<121a+1b(b-a),
令 a=n,b=n+1 则 ln(n+1)-lnn<121n+1n+1,
所以 ln2-ln1<1211+12,ln3-ln2<1212+13,⋯,
ln(n+1)-lnn<121n+1n+1, 将以上各不等式左右两边分别相加得：
ln(n+1)<12+12+13+14+⋯+1n+12(n+1),
即 ln(n+1)<1+12+13+14+⋯+1n+ 12(n+1)-12,
故 1+12+13+⋯+1n>ln(n+1)+n2(n+1).
【题型 6】 b-alnb-lna>ab(b>a>0) 的应用
例10. 已知 f(x)=aln(x+1)+1x+1+3x-1.
求证: 24×12-1+34×22-1+44×32-1+⋯+n+14×n2-1>14ln(2n+1) 对一切正整数n均成立.
解证明:根据时,.即.
令,则,变形可得:
将以上各不等式左右两边相加得:对一切正整数均成立.
自我检测
1.已知函数有两个零点,则下列说法错误的是
A.B.C.D.有极小值点,且
解析： 函数 导函数: , 有极值点 , 而极值 正确; 有两个零点: , 即: (2)
(1) -(2)得: , 根据对数平均值不等式: , 而 正确, 错误, 而 (1) +得, 即 成立.
2.设函数的两个零点是,求证:
证明 :
3.已知函数和,若存在两个实数且,满足,求证:
证明 : 由 得 , 则 , 得 ; .
4.已知函数
(1)若时,,求的最小值;
(2)设数列的通项,证明:.
解析：(1) 易得 , 令 , 则 , 若 , 则当 时, 是增函数, 不符合题意; 若 , 则当 时, 是增函数, 不符合题意; 若 , 则当 时, 是减函数, 符合题意; 综上, 的最小值是 .
(2) 当 时, , 即 , 令 , 则 , 所以 , , 将以上各不等式左右两边分别相加得：
即 ,
故 .
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