新高考数学一轮复习 导数专项重点难点突破专题04 利用导数求函数的极值（2份打包，原卷版+解析版）

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1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 有极小值，无极大值B． SKIPIF 1 < 0 有极大值，无极小值
C． SKIPIF 1 < 0 既有极小值又有极大值D． SKIPIF 1 < 0 无极小值也无极大值
【解析】由题意函数 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数取得极大值；当 SKIPIF 1 < 0 时，函数取得极小值.故选：C.
2．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处有极值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处有极值，不一定有 SKIPIF 1 < 0 ，如 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 处无导数，但 SKIPIF 1 < 0 是极小值点；反之，若 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处不一定有极值，如 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处满足 SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处无极值．所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处有极值”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
3．关于函数的极值，下列说法正确的是（ ）
A．导数为零的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值
D．若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数
【解析】对于A选项，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 不是函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点，故A不正确；
极值是函数的局部性质，极大值与极小值之间一般来说没有大小关系，故B不正确；
一个函数在它的定义域内可能有多个极大值和极小值，故C不正确；
若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数，D正确.
故选：D.
4．函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点的个数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．无数个
【解析】由题， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 无极值点，故选：A
二、多选题
5．设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，以下结论一定正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的最小值点 B． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极大值点
C． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极大值点 D． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极大值点
【解析】对A， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，不一定是最小值点，故A错误；
对B，因函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于x轴对称，故 SKIPIF 1 < 0 应是 SKIPIF 1 < 0 的极大值点，故B正确；
对C，因函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于y轴对称，故 SKIPIF 1 < 0 应是 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，故C错误；
对D，因函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于原点对称，故 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极大值点，故D正确.
故选：BD.
6．设 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 没有极大值，有极小值
B．当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 既有极大值也有极小值
C．当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有极大值，没有极小值
D．当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 没有极值
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
选项A：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则可令 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
则函数 SKIPIF 1 < 0 没有极大值，有极小值.判断正确；
选项B：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则可令 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
则函数 SKIPIF 1 < 0 没有极大值，有极小值.判断错误；
选项C：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增
又 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
则函数 SKIPIF 1 < 0 没有极大值，有极小值.判断错误；
选项D：当 SKIPIF 1 < 0 时，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增
则当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取极小值
SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
故函数 SKIPIF 1 < 0 没有极值.判断正确.
故选：AD
7．下列说法正确的是（ ）
A．极值点处的导数值为 SKIPIF 1 < 0
B．极大值一定比极小值大
C．可导函数在闭区间内的最大值必在极值点或区间端点处取得
D．如果函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A，函数的极值点处未必可导，如 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极值点，但 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处不可导，A错误；
对于B，函数的极大值和极小值可能有无数个，是由函数的单调性得到的，大小关系不确定，B错误；
对于C，可导函数在闭区间内连续，其最值必在极值点或区间端点处取得，则最大值也必在极值点或区间端点处，C正确；
对于D，由单调性可知，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有唯一的极小值点 SKIPIF 1 < 0 ，且根据单调性可知其为最小值点，即最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：CD.
8．对于定义在R上的可导函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为其导函数，下列说法不正确的是（ ）
A．使 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 一定是函数的极值点
B． SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增是 SKIPIF 1 < 0 在R上恒成立的充要条件
C．若函数 SKIPIF 1 < 0 既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大
D．若 SKIPIF 1 < 0 在R上存在极值，则它在R一定不单调
【解析】A选项， SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 不一定是函数的极值点，比如 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处导函数的值为0，但 SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 的极值点，A说法错误；
SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增，可能会在某点导函数等于0，比如 SKIPIF 1 < 0 为单调递增函数， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处导函数值为0，故 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增不是 SKIPIF 1 < 0 在R上恒成立的充要条件，B说法错误；
若函数 SKIPIF 1 < 0 既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，比如 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值-2，在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值2，极小值大于极大值，故C说法错误；
根据极值点和极值的定义可以判断，若 SKIPIF 1 < 0 在R上存在极值，则它在R一定不单调，D说法正确.
故选：ABC
三、填空题
9．函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值点为______．
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 可得函数 SKIPIF 1 < 0 增区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得函数 SKIPIF 1 < 0 的减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值点为2.
专项突破二 求已知函数的极值(极值点)
一、单选题
1．函数 SKIPIF 1 < 0 有（ ）
A．极大值为5，无极小值B．极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值
C．极大值为5，极小值为 SKIPIF 1 < 0 D．极大值为5，极小值为 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时，取得极大值 SKIPIF 1 < 0 ，无极小值.故选：A
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的极大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故
所以 SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B.
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，无极小值B．函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值
C．函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值点为 SKIPIF 1 < 0 ，无极小值点D．函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值点为 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值点
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 递增；在区间 SKIPIF 1 < 0 递减.
所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极大值，无极小值.极大值点为 SKIPIF 1 < 0 ，无极小值点.故选：A
4．函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点为（ ）
A．0，1， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】由已知，得 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 舍去 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极小值，故 SKIPIF 1 < 0 的极小值点为 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值点，故选：B．
5．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两个极值点，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点，即 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，所以 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由已知得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两根，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C.
6．已知 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的一个极值点，则 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 故选：D
7．函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的极小值点是（ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题设 SKIPIF 1 < 0 ，所以在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减，
在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递增，所以极小值点为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
8．已知曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率为3，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极值点，则函数的另一个极值点为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，由题意有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数的另一个极值点为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
9．若 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的一个极值点，则 SKIPIF 1 < 0 的极大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．5D．1
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
10．设 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增 B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减
C． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有极大值 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有极小值 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，显然当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单增，故A，B错误； SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有极小值 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有极小值 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；D正确.
故选：D.
二、填空题
11．若 SKIPIF 1 < 0 的两个极值点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______．
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以函数的极值点为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .故答案为：0
三、解答题
12．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求曲线y = f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
(2)求函数f（x）的单调区间与极值；
【解析】(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此曲线y = f（x）在点（1， SKIPIF 1 < 0 ）处的切线的斜率为1；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，解得：x = 0或2．
所以 f（x）在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 内是减函数，在 SKIPIF 1 < 0 内是增函数．
因此函数f（x）在x = 0处取得极小值f（0），且f（0）= 0，函数f（x）在x = 2处取得极大值，且f（2）= SKIPIF 1 < 0 ；
综上： SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，极小值为0，极大值为 SKIPIF 1 < 0 .
13．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值．
【解析】(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 变化的情况如下：
可知 SKIPIF 1 < 0 的单调减区间是 SKIPIF 1 < 0 ，增区间是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，极小值为 SKIPIF 1 < 0 .
14．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值.
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，
下面分两种情况讨论：
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则－2a＜a－2，当x变化时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的变化情况如下表：
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上是增函数，在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 在x＝－2a处取得极大值 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在x＝a－2处取得极小值 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则－2a＞a－2，当x变化时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的变化情况如下表：
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上是增函数，在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 在x＝a－2处取得极大值 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在x＝－2a处取得极小值 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，极小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，极小值为 SKIPIF 1 < 0 .
15．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线平行于 SKIPIF 1 < 0 轴，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值．
【解析】(1)由题设 SKIPIF 1 < 0 ，又曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线平行于 SKIPIF 1 < 0 轴，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)①当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 无极值．
②当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值．
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 无极值；当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值．
16．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)设函数 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的极值.
【解析】(1)由已知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由已知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递增，没有极值.
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时，取到极小值 SKIPIF 1 < 0 ，没有极大值，
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在定义域单调递增，没有极值；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，没有极大值.
17．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处切线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的极值．
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 ，
因为曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处切线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .所以， SKIPIF 1 < 0 .
(2)函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
故令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的变化情况如下表：
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时，有极大值 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，有极小值 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，函数无极值.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的变化情况如下表：
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时，有极小值 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，有极大值 SKIPIF 1 < 0 .
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时，极大值 SKIPIF 1 < 0 ，极小值 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数无极值；
当 SKIPIF 1 < 0 时，极小值 SKIPIF 1 < 0 ，极大值 SKIPIF 1 < 0 .
18．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线也与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切．
(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内的极小值．
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为其也与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，则联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递增，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．又 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内的极小值点．∵当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 递减，即 SKIPIF 1 < 0 递减，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内没有极小值点． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的极小值是 SKIPIF 1 < 0 ．
专项突破三 函数(导函数)与极值(点)的关系
一、单选题
1．已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 ，其导函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
① SKIPIF 1 < 0 ；
②函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值，在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值；
③函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值，在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值；
④函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
A．③B．①②C．③④D．④
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 的图像可得，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增．
对于①，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以①不正确．
对于②，由题意得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值，在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值，故②不正确．
对于③，由②的解析可得正确．
对于④，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 不是最小值，故④不正确．
综上可得③正确．故选：A．
2．函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为开区间 SKIPIF 1 < 0 ，导函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内的图像如图所示，则函数 SKIPIF 1 < 0 在开区间 SKIPIF 1 < 0 内有极小值点（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 个B． SKIPIF 1 < 0 个C． SKIPIF 1 < 0 个D． SKIPIF 1 < 0 个
【解析】由导函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内的图象可知，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴有四个公共点，
在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，
在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在开区间 SKIPIF 1 < 0 内的极小值点有 SKIPIF 1 < 0 个，故选：A.
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数的图象如图所示，则 SKIPIF 1 < 0 极值点的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解析】对于处处可导的函数，函数的极值点要满足两个条件，一个是该点的导数为0，另一个是该点左、右的导数值异号，
由图象可知，导函数与 SKIPIF 1 < 0 轴有5个交点，因为在0附近的左侧 SKIPIF 1 < 0 ，右侧 SKIPIF 1 < 0 ，所以0不是 SKIPIF 1 < 0 极值点．其余四个点的左、右的导数值异号，所以是极值点，
故 SKIPIF 1 < 0 极值点的个数是4.故选：A.
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由函数 SKIPIF 1 < 0 的图象知： SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的根，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由结合图象可得 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点，
即 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两个根，即 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两个实数根，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
5．如图所示，已知直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于两点，函数 SKIPIF 1 < 0 ，则对函数 SKIPIF 1 < 0 描述正确的是（ ）
A．有极小值点，没有极大值点B．有极大值点，没有极小值点
C．至少有两个极小值点和一个极大值点D．至少有一个极小值点和两个极大值点
【解析】由题设， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于两点且横坐标为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的两个零点为 SKIPIF 1 < 0 ，由图知：存在 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 有三个不同零点 SKIPIF 1 < 0 ，
由图： SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减， SKIPIF 1 < 0 上递增， SKIPIF 1 < 0 上递减， SKIPIF 1 < 0 上递增.
故 SKIPIF 1 < 0 至少有两个极小值点和一个极大值点.故选：C.
6．如图，可导函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极大值点
B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极小值点
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 的极大值点
D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极值点
【解析】由题得， SKIPIF 1 < 0 的几何意义为当x取同值时， SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离．
根据题意，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，故选:B．
二、多选题
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，则下列判断正确的（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时取极小值B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时取极大值
C． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 极小值点D． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 极小值点
【解析】由导函数 SKIPIF 1 < 0 的图像可得，
当 SKIPIF 1 < 0 时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时取极小值，所以A正确，
当 SKIPIF 1 < 0 时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 极小值点，所以C正确，
而 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，左右两边的导数值同号，所以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 不是函数的极值点，所以BD错误，
故选：AC
8．函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 的图像如图所示，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的极大值点B． SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的极小值点
C．2为 SKIPIF 1 < 0 的极大值点D． SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的极小值点
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 图像可得，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
函数在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值，在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值，故选：AB
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
x
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
2
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
－
0
+
0
－
SKIPIF 1 < 0
↘
极小值
↗
极大值
↘
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
x
SKIPIF 1 < 0
－2a
SKIPIF 1 < 0
a－2
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
＋
0
－
0
＋
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
极大值
SKIPIF 1 < 0
极小值
SKIPIF 1 < 0
x
SKIPIF 1 < 0
a－2
SKIPIF 1 < 0
－2a
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
＋
0
－
0
＋
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
极大值
SKIPIF 1 < 0
极小值
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增