新高考数学二轮复习对点题型第2讲复数的概念与运算（2份打包，原卷版+教师版）

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2022新高考一卷第一题
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
知识要点整理
1．数系的扩充与复数的相关概念
(1)复数的引入
为了解决 SKIPIF 1 < 0 +1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：
① SKIPIF 1 < 0 =-1，即i是方程 SKIPIF 1 < 0 +1=0的根；
②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果记作________.注意到所有实数以及i都可以写成________的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
(2)复数的概念
我们把形如________的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.这样，方程 SKIPIF 1 < 0 +1=0在复数集C中就有解x=i了.
(3)复数的表示
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的________与________.
(4)复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做________.
显然，实数集R是复数集C的________，即R SKIPIF 1 < 0 C.
复数z=a+bi可以分类如下：
复数 SKIPIF 1 < 0 ，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.
2．复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当________，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
3．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi SKIPIF 1 < 0 有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b) SKIPIF 1 < 0 平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi SKIPIF 1 < 0 复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3) 复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量 SKIPIF 1 < 0 由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量 SKIPIF 1 < 0 唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi SKIPIF 1 < 0 平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，这是复数的另一种几何意义.
4．复数的模
向量 SKIPIF 1 < 0 的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模等于________（就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r= SKIPIF 1 < 0 (r SKIPIF 1 < 0 0,r∈R).
5．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也复数z的共轭复数用________表示，即若z=a+bi，则________.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
(2)几何意义
互为________的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.

(3)性质
① SKIPIF 1 < 0 =z.
②实数的共轭复数是它本身，即z= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
6．复数的模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以________为圆心，________为半径的圆，|z|r表示圆的外部.
三年真题
一、单选题
1．已知 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．若复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．5C．7D．25
3．设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为实数，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5． SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．若 SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，其中a，b为实数，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．在复平面内，复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，(i为虚数单位)，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．3
12．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
13．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
14．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
15．已知 SKIPIF 1 < 0 是虚数单位，化简 SKIPIF 1 < 0 的结果为_______．
16． SKIPIF 1 < 0 是虚数单位，复数 SKIPIF 1 < 0 _____________．
三年模拟
一、单选题
1．（2022·四川·广安二中模拟预测（文））已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·四川·石室中学模拟预测（文））已知i是虚数单位，复数 SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 的虚部为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2023·广西·南宁二中一模（文））若 SKIPIF 1 < 0 ，则z的虚部为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））已知复数 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·四川南充·一模（理））若复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·全国·模拟预测）复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．（2022·四川成都·一模（理））如图，在复平面内，复数 SKIPIF 1 < 0 对应的向量分别是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．5
8．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））设复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是z的共轭复数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．-3B．-1C．3D．5
9．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（文））设i为虚数单位，复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））设i为虚数单位，复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．（2021·河南三门峡·一模（理））复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
12．（2022·上海宝山·一模）设复数 SKIPIF 1 < 0 （其中i为虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 ______.
13．（2022·上海普陀·一模）若 SKIPIF 1 < 0 （其中i表示虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 ______．
14．（2022·上海长宁·一模）复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （其中i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点 SKIPIF 1 < 0 到原点O的距离为___________
15．（2022·上海虹口·一模）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，若 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的二次方程 SKIPIF 1 < 0 的一个虚根，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
16．（2022·上海杨浦·一模）设i是虚数单位，则复数 SKIPIF 1 < 0 的虚部是________．