新高考数学二轮复习对点题型第21讲双曲线（2份打包，原卷版+教师版）

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2022新高考一卷第21题
已知点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为0．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的斜率；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
知识要点整理
知识点一 双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
3．焦点：两个 .
4．焦距： 的距离，表示为|F1F2|.
知识点二 双曲线标准方程
知识点三 双曲线的性质
知识点四 等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是 ，离心率为eq \r(2).
知识点五 直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±eq \f(b,a)时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线 ．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±eq \f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．
知识点六 弦长公式
若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).
试题亮点
圆锥曲线是高中数学中重要且基本的学习内容，同时也是高考考查的重点．试题分步设问，逐步推进，注重对基本概念、基本方法的考查，考查内容由浅入深，层次分明，重点突出，能很好地引导中学数学教学回归教材，试题对考生的逻辑推理、直观想象等数学核心素养，以及灵活地应用解析几何的基本方法将问题合理转化的能力有一定的要求.因此，试题不仅有利于高校选拔人才，也有利于中学教学创新，对培养学生数学学科核心素养有积极的引导作用.
三年真题
1．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 SKIPIF 1 < 0 在C上，且 SKIPIF 1 < 0 ．过P且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与过Q且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在 SKIPIF 1 < 0 上；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
2．如图， SKIPIF 1 < 0 为椭圆的两个顶点， SKIPIF 1 < 0 为椭圆的两个焦点．
(1)写出椭圆的方程及准线方程；
(2)过线段 SKIPIF 1 < 0 上异于O，A的任一点K作 SKIPIF 1 < 0 的垂线，交椭圆于P， SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点M．求证：点M在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上．
3．如图， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是平面上的两点，动点P满足： SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求点P的坐标．
4．设动点P到两定点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的距离分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
(2)如图，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线C的右支交于 SKIPIF 1 < 0 两点．问：是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，说明理由．
5．已知中心在原点的双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点是 SKIPIF 1 < 0 ，一条渐近线的方程是 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若以 SKIPIF 1 < 0 为斜率的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求k的取值范围．
6．如图，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 之间的阴影区域（不含边界）记为 SKIPIF 1 < 0 ，其左半部分记为 SKIPIF 1 < 0 ，右半部分记为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)分别用不等式组表示 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若区域 SKIPIF 1 < 0 中的动点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离之积等于 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(3)设不过原点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与（2）中的曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且与 SKIPIF 1 < 0 分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点．求证 SKIPIF 1 < 0 的重心与 SKIPIF 1 < 0 的重心重合．
7．如图，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是x轴上的两点过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线于另一点E．证明：直线 SKIPIF 1 < 0 垂直于x轴．
8．已知 SKIPIF 1 < 0 是过点 SKIPIF 1 < 0 的两条互相垂直的直线，且 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 各有两个交点，分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的方程.
9．已知双曲线C的实半轴长与虚半轴的乘积为 SKIPIF 1 < 0 ，C的两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，直线l过 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，l与线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线的交点是P，线段 SKIPIF 1 < 0 与双曲线C的交点为Q，且 SKIPIF 1 < 0 ，求双曲线C的方程．
10．双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，双曲线右焦点且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线交双曲线于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求双曲线的方程.
11．如图，已知两条直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．有一动圆（圆心和半径都在变动）与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都相交，并且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．求圆心 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程，并说出轨迹的名称．
12．设 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右两个焦点．
(1)若椭圆C上的点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程；
(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段 SKIPIF 1 < 0 的中点的轨迹方程；
(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率都存在，并记为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 时，那么 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线 SKIPIF 1 < 0 写出具有类似特性的性质，并加以证明．
三年模拟
1．（2022·陕西·咸阳市高新一中模拟预测（文））已知焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的双曲线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求弦长 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022·全国·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ）的左, 右焦点, SKIPIF 1 < 0 ,若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 点的右支有公共点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的离心率的最小值;
(2)当双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率最小时,直线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,求 SKIPIF 1 < 0 的值.
3．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，A，B分别是C的左､右顶点，点 SKIPIF 1 < 0 在C上，点 SKIPIF 1 < 0 ，直线AD，BD与C的另一个交点分别为P，Q．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)证明：直线PQ经过定点．
4．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离比到 SKIPIF 1 < 0 的距离大2，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率不为0的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称，求直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 斜率的比值.
5．（2022·河南新乡·一模（理））在平面直角坐标系xOy中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点C满足直线AC与直线BC的斜率乘积为3．
(1)求动点C的轨迹方程E．
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作直线l交曲线E于P，Q两点（P，Q在y轴两侧），过原点O作直线 SKIPIF 1 < 0 的平行线 SKIPIF 1 < 0 交曲线E于M，N两点（M，N在y轴两侧），试问 SKIPIF 1 < 0 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
6．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（理））已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 与x轴的正半轴交于点M，动直线l与双曲线C交于A，B两点，当l过双曲线C的右焦点且垂直于x轴时， SKIPIF 1 < 0 ，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求点M到直线l距离的最大值．
7．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）已知动圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 及圆 SKIPIF 1 < 0 中的一个外切，另一个内切．
(1)求动圆圆心 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与轨迹 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过轨迹 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴的交点 SKIPIF 1 < 0 ，证明直线 SKIPIF 1 < 0 经过一个不在轨迹 SKIPIF 1 < 0 上的定点，并求出该定点的坐标．
8．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，记点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，直线与轨迹 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．
①过 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，试确定 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
②在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，无论直线 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 怎样转动，使 SKIPIF 1 < 0 恒成立？如果存在，求出定点 SKIPIF 1 < 0 ；如果不存在，请说明理由．
9．（2022·云南云南·模拟预测）己知双曲线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的渐近线，A，F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的左､右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点， SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
10．（2022·浙江绍兴·一模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左焦点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的一点.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)已知过坐标原点且斜率为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 .
11．（2022·上海崇明·二模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为F，圆C的圆心在y轴正半轴上，且经过坐标原点O，圆C与双曲线Γ的右支交于A、B两点．
(1)当△OFA是以F为直角顶点的直角三角形，求△OFA的面积；
(2)若点A的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，求直线AB的方程；
(3)求证：直线AB与圆x2+y2＝2相切．
12．（2023·浙江温州·模拟预测）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，P是直线 SKIPIF 1 < 0 上不同于原点O的一个动点，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于C，D两点．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，问是否存在点P，满足 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1( )
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1( )
焦点


a，b，c的关系
c2＝
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
a，b，c间的关系
c2＝ (c>a>0，c>b>0)