新高考数学二轮复习讲义第十讲导数与函数的极值、最值（2份打包，原卷版+解析版）

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1．极值点与极值
(1)极小值点与极小值
若函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的函数值 SKIPIF 1 < 0 比它在点 SKIPIF 1 < 0 附近其他点的函数值都小， SKIPIF 1 < 0 ，而且在点 SKIPIF 1 < 0 附近的左侧 SKIPIF 1 < 0 ，右侧 SKIPIF 1 < 0 ，就把 SKIPIF 1 < 0 叫做函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值点， SKIPIF 1 < 0 叫做函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的函数值 SKIPIF 1 < 0 比它在点 SKIPIF 1 < 0 附近其他点的函数值都大， SKIPIF 1 < 0 ，而且在点 SKIPIF 1 < 0 附近的左侧 SKIPIF 1 < 0 ，右侧 SKIPIF 1 < 0 ，就把 SKIPIF 1 < 0 叫做函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值点， SKIPIF 1 < 0 叫做函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值 ．
特别提醒：
（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不一定是极值点
（2）只有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 两侧单调性不同 ， SKIPIF 1 < 0 才是极值点.
(3)求极值点，可以先求 SKIPIF 1 < 0 的点，再列表判断单调性.
2.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：
（1）确定函数的定义域
（2）求方程 SKIPIF 1 < 0 的根
（3）用方程 SKIPIF 1 < 0 的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格
（4）由 SKIPIF 1 < 0 在方程 SKIPIF 1 < 0 的根左右的符号，来判断 SKIPIF 1 < 0 在这个根处取极值的情况
若 SKIPIF 1 < 0 左正右负，则 SKIPIF 1 < 0 为极大值；
若 SKIPIF 1 < 0 左负右正，则 SKIPIF 1 < 0 为极小值；
若 SKIPIF 1 < 0 左右同号，则 SKIPIF 1 < 0 无极值。
3.最大值:
一般地，设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，如果存在实数 SKIPIF 1 < 0 满足：
（1）对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ;
（2）存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
那么，称 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值
4.最小值:
一般地，设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，如果存在实数 SKIPIF 1 < 0 满足：
（1）对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ;
（2）存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
那么，称 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值
【典型题型讲解】
考点一：求函数的极值与极值点
【典例例题】
例1.（2021·广东汕头·高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值；
（2）证明：有且只有两条直线与函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象都相切.
例2.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ……自然对数底数）.
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数f（x）的单调区间；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，
（i）证明： SKIPIF 1 < 0 存在唯一的极值点：
（ii）证明： SKIPIF 1 < 0
【方法技巧与总结】
1．在求函数极值问题中，一定要检验方程 SKIPIF 1 < 0 根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越 SKIPIF 1 < 0 轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
【变式训练】
1．（2022·广东汕头·一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为常数）.
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点个数；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
2.函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的极值；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 有两个零点．
【典型题型讲解】
考点二：根据极值、极值点求参数
【典例例题】
例1．（2022·广东广东·一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，若对 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值．
【方法技巧与总结】
极值点是一个函数导数的零点问题，转化零点问题。
【变式训练】
1.已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无极值，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2.若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的极值点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3.函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无极值，则m＝______．
4.已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 存在两个极小值点 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【典型题型讲解】
考点三：不等式恒成立与存在性问题
【典例例题】
例1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数a的取值范围．
【方法技巧与总结】
在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．
【变式训练】
1.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间；
(2)若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
2．（2021·广东佛山·一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的两个极值点为 SKIPIF 1 < 0 ，2，且在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若对 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求a的取值范围.
4．（2022·广东佛山·高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)设 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线（斜率存在），求切线的斜率；
(2)证明：当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
【巩固练习】
一、单选题
1．已知 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的一个极值点，则 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，a为实数， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在最小值，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
7．已知 SKIPIF 1 < 0 ．则下列说法正确的有（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 有唯一零点 SKIPIF 1 < 0 B．函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0
C．函数 SKIPIF 1 < 0 有极大值 SKIPIF 1 < 0
D．若关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的根．则实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
8．设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极大值点
C． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极小值点D． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极小值点
9．（2022·全国·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
C． SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的极小值点D． SKIPIF 1 < 0 仅有两个零点
三、解答题
10．已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个极值点， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
11．设函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与 SKIPIF 1 < 0 轴平行，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
12．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．（注： SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数）
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 只有一个极值点，求实数a的取值范围；
(3)若存在 SKIPIF 1 < 0 ，对与任意的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
13．（2022·广东·铁一中学高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 的最大值是0，求函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
（2）若对于定义域内任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
14．（2022·广东潮州·高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，在定义域上有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证: SKIPIF 1 < 0
15．（2022·广东东莞·高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
16．（2022·广东深圳·高三期末）已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间；
(2)对于 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求a的取值范围．
17．（2022·广东清远·高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的零点个数．
(2)若 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
18．（2022·广东汕尾·高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，a是常数且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点P SKIPIF 1 < 0 处的切线l的方程；并证明：函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在直线l的下方；
(2)已知函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，求实数a的取值范围．