专题03 一元二次方程及其应用（分层训练）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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【基础训练】
一、单选题
1．（23·24九年级上·陕西西安·阶段练习）一元二次方程2x2+x−34=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【答案】A
【分析】根据Δ=b2−4ac进行判别即可；
【详解】解：Δ=b2−4ac=12−4×2×−34=1+6=7>0，
∴一元二次方程2x2+x−34=0有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别，掌握相关知识是解题的关键．
2．（22·23上·上海·期中）下列方程中是一元二次方程的为( )
A．x2−xy=2B．5xx+1=x5x−1+2
C．3x2−x+1=0D．1x2−2x+1=0
【答案】C
【分析】利用一元二次方程的定义：ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二方程．
【详解】解：A．x2−xy=2，含有x,y两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B．5xx+1=x5x−1+2方程整理得：5x=−x+2，是一元一次方程，不符合题意；
C．3x2−x+1=0是一元二次方程，符合题意；
D．1x2−2x+1=0是分式方程，不符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．
3．（21·22九年级上·山东济南·期末）已知关于x的方程x2−2x−1=0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．不能确定
【答案】C
【分析】先求出“Δ”的值，再根据根的判别式判断即可．
【详解】解：x2-2x-1=0，
∵a=1，b=−2，c=−1，
∴Δ=（-2）2-4×1×（-1）=8＞0，
∵Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
4．（22·23九年级上·北京西城·阶段练习）方程x2−2x+3=0的根的情况是（ ）
A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根
C．方程没有实数根D．无法确定
【答案】C
【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，即可作出判断．
【详解】解：一元二次方程x2−2x+3=0，
∵Δ=(−2)2−4×1×3=4−12=−8<0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2−4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2−4ac＜0时，方程没有实数根；当b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根，反之也成立．
5．（23·24九年级上·广东潮州·阶段练习）若a为方程x2+2x−1=0的解，则2a2+4a+2022的值为（ ）
A．2023B．1C．2024D．2022
【答案】C
【分析】根据方程的根的定义可得：a2+2a−1=0，代入计算即可求解．
【详解】解：根据方程的根的定义可得：a2+2a−1=0，
∴a2+2a=1，
∴2a2+4a−2024=2a2+2a+2022=2×1+2022=2024，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，得出a2+2a−1=0，是解答本题的关键．
6．（22·23上·鄂州·期中）我们知道方程x2−2x−3=0的解是x1=−1，x2=3，现给出另一个一元二次方程(2x+1)2−2(2x+1)−3=0，它的解是（ ）
A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=−1 C．x1=−1，x2=3 D．x1=−1，x2=−3
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的解的定义，可得2x+1=−1或2x+1=3，解方程即可求解．
【详解】解：∵方程x2−2x−3=0的解是x1=−1，x2=3，(2x+1)2−2(2x+1)−3=0
∴2x+1=−1或2x+1=3，
解得x1=1，x2=−1，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．
7．（20·21九年级上·福建龙岩·阶段练习）若实数x、y满足(x2+y2+2)(x2+y2−1)=0，则x2+y2的值是（ ）
A．−2或1B．2C．2或−1D．1
【答案】D
【分析】设x2+y2=a，则方程为a+2a−1=0，解方程求出a=−2或a=1，由此得到答案．
【详解】解：设x2+y2=a，则方程为a+2a−1=0
∴a=−2或a=1，
∵x2+y2≥0，
∴a=1，即x2+y2=1，
故选：D．
【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握方程的特点选择简单的解法是解题的关键．
8．（20·21九年级上·河北廊坊·阶段练习）有一人患了某种流感，在每轮传染中平均一个人传染x个人，在进入第二轮传染之前有两人被及时隔离治疗并治愈，若两轮传染后还有24人患流感，则x=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】根据题意，列方程求解即可．
【详解】解：∵每轮传染中平均一个人传染x个人，
∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x(1+x−2)人被传染，
又∵两轮传染后还有24人患流感，
∴1+x−2+x(1+x−2)=24，
整理得：x2=25，
解得：x1=5，x2=−5（不符合题意，舍去），
∴x的值为5．
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，正确列出方程是解题的关键．
9．（21·22九年级上·四川德阳·期末）已知m是一元二次方程x2−3x−1=0的一个根，则−3m2+9m+2022的值为（ ）
A．2022B．2021C．2020D．2019
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的定义，可得m2−3m=1，整体代入代数式即可求解．
【详解】解：∵m是一元二次方程x2−3x−1=0的一个根，
∴m2−3m=1，
∴−3m2+9m+2022 =−3m2−3m+2022
=−3+2022
=2019．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，整体代入是解题的关键．
10．（21·22八年级下·北京延庆·期末）某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．48(1+x)2=36B．48(1−x)2=36
C．36(1+x)2=48D．36(1−x)2=48
【答案】C
【分析】根据划两年后将杂交水稻种植面积增至48公顷，即可得出关于x的一元二次方程；
【详解】依题意，得：36(1+x)2=48．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．（2022·安徽六安·模拟预测）2021年，某省固定资产投资比2020年增长9.4%，若2022年的增长保持不变，2020年和2022年全省固定资产投资分别为a亿元和b亿元，则可列方程为（ ）
A．a1+9.4%=bB．a1+9.4%×2=b
C．a1+9.4%2=bD．9.4%×2a=b
【答案】C
【分析】根据等量关系：增长后的量=增长前的量×（1+增长率）年数，列出方程即可．
【详解】解：∵2020年到2022年的增长率为9.4%，2020年和2022年全省固定资产投资分别为a亿元和b亿元，
∴可列方程为a1+9.4%2=b，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（22·23九年级上·河南南阳·期中）设x1，x2是关于x的方程x2−3x+k=0的两个根，且x1=2x2，则k的值为（ ）
A．3B．−3C．2D．−6
【答案】C
【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可．
【详解】解：∵x1+x2=3，
∴x1+x2=3x1=2x2，
∴x1=2,x2=1，
∵x1×x2=k，
∴k=2，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，其两根之和为−ba，两根之积为ca．
13．（23·24九年级·山东滨州·期末）若关于x的一元二次方程a+1x2+x+a2−1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．−1C．±1D．0
【答案】A
【分析】把x=0代入方程a+1x2+x+a2−1=0，得出a2−1=0，然后解关于a的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．
【详解】解：把x=0代入方程a+1x2+x+a2−1=0
得a2−1=0，解得a1=1，a2=−1，
而a+1≠0，
所以a=1．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14．（19·20九年级上·全国·课时练习）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3(x+1)2=2(x+1)B．1x2+1x−2=0
C．x2+2y=1D．ax2+bx+c=0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】A. 3(x+1)2=2(x+1)化简完后为3x2+4x+1=0，是一元二次方程；
B. 1x2+1x−2=0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；
C. x2+2y=1化简完后为是二元二次方程，不符合一元二次方程的定义；
D. ax2+bx+c=0，没有注明a≠0，故不一定是一元二次方程.
故答案选A
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
15．（22·23九年级上·云南昆明·期末）中国男子篮球职业联赛（简称：CBA），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有（ ）
A．80个B．120个C．15个D．16个
【答案】D
【分析】根据参赛的每两个队之间都进行两场比赛，共要比赛240场，可列出方程．
【详解】解：设参加比赛的队共有x，
根据题意可得：xx−1=240，
解得：x1=16，x1=−15（舍去），
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
16．（23·24九年级上·全国·单元测试）如果关于x的一元二次方程m−3x2+3x+m2−9=0，有一个解是0，那么m的值是（ ）
A．3B．−3C．±3D．0或−3
【答案】B
【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．
【详解】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得
m2-9=0，
解得m=-3或3，
当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去，
∴m=-3
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键.
17．（21·22九年级上·全国·课时练习）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条宽均为xm的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为551m2，根据图中数据，求得小路宽x的值为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】A
【分析】剩余部分可合成长为（30-x）m，宽为（20-x）m的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为551m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：根据题意，得(30−x)(20−x)=551，
整理，得x2−50x+49=0，
解得x1=1,x2=49，
∵当x2=49时，20−x=−29<0，
∴x2=49舍去，
∴小路宽x的值为1．
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．（2020九年级·浙江宁波·学业考试）如图，将等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形进行拼接，恰能拼成一个没有缝隙的正方形，则正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为( )
A．52B．5+14C．5−14D．5+34
【答案】B
【分析】如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，根据题意得(a+b)2=b(b+a+b)，设a=1，求出b=1+52，进而求出正方形的边长与等腰三角形的底边长的比．
【详解】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，
设a=1，
根据题意，得
(a+b)2=b(b+a+b)，
∵a=1，
∴b2﹣b﹣1=0，
解得b=1±52 (负值舍去)，
∴b=1+52，
∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为：
(a+b)：2b=1+1+52:2×1+52=5+14．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程与图形有关的应用，解此题的关键在于将等腰三角形拆解拼成另一个没有缝隙的矩形，再利用面积相等得到相关边的长度关系.
19．（22·23九年级上·湖北武汉·阶段练习）关于方程3x2−6x−4=0的根的说法错误的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．两实数根的平方和为103
C．两实数根的和为66D．两实数根的积为−43
【答案】C
【分析】根据判别式判断方程根的情况，利用根与系数的关系，判断两根之和与两根之积以及两根的平方和．
【详解】解：A、Δ=b2−4ac=6+4×3×4=54>0，方程有两个不相等的实数根，选项正确，不符合题意；
B、设方程的两个根为：a,b，则：a+b=63,ab=−43，
∴a2+b2=a+b2−2ab=23+83=103，选项正确，不符合题意；
C、设方程的两个根为：a,b，则：a+b=63，选项错误，符合题意；
D、设方程的两个根为：a,b，则：ab=−43，选项正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
20．（2023·重庆·模拟预测）已知两个多项式M=a2+a+1，N=a2−a+1，
①若2N−M=5时，则有a=−1或4；
②若a为整数，且2NM−N+4为整数，则a=−1或5；
③当a≠0时，若M−NN=12，则3a2a4−5a2+1=14；
④若当式子M+ma中a取值为2n2与3n−2时，对应的值相等，则m的最大值为178．
以上结论正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】根据整式、分式的运算法则进行化简，并运用函数思想对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：①∵2N−M=5，
∴2a2−2a+2−a2−a−1=5，
∴a2−3a−4=0，
∴a=−1或4，
∴①的结论正确；
②2NM−N+4=2a2−2a+22a+4=a2−a+1a+2=aa+2−3a+1a+2=a+−3a+2+7a+2=a−3+7a+2
∵2NM−N+4为整数，
∴a−3+7a+2为整数，即7a+2为整数，
a=5，−1，−3，−9．
∴②的结论错误；
③M−NN=12，即2aa2−a+1=12，
化简得，a2−5a+1=0，
∴3a2a4−5a2+1=3a2+1a2−5，
∵a2−5a+1=0，
∴a+1a=5，
∴a+1a2=25，即a2+1a2=23，
∴3a2a4−5a2+1=3a2+1a2−5=323−5=16．
∴③的结论错误；
④M+ma=a2+m+1a+1，
∵M+ma中a取值为2n2与3n−2时，对应的值相等，
∴二次函数y=a2+m+1a+1的对称轴为直线a=−m+12=2n2+3n−22，
∴m=−2n2−3n+1，则当n=−34时，m有最大值178．
∴④的结论正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了整式、分式的运算法则，及二次函数图像性质，综合运用以上知识是解题的关键．
二、填空题
21．（22·23九年级上·辽宁丹东·阶段练习）把一元二次方程x2−4x+1=0，配成x+p2=q的形式，则p、q的值分别是
【答案】−2、3
【分析】利用配方法求解即可．
【详解】解：∵x2−4x+1=0，
∴x2−4x=−1，
∴x2−4x+4=3，
∴x−22=3，
∴p=−2q=3，
故答案为：−2、3．
【点睛】本题主要考查了配方法，熟知配方法是解题的关键．
22．（22·23九年级上·广东广州·期末）一元二次方程x2−7x=0的解是 ．
【答案】x1=0,x2=7
【分析】利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】解：x2−7x=0
∴xx−7=0，
即x=0,x−7=0，
解得：x1=0,x2=7．
故答案为：x1=0,x2=7
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
23．（21·22九年级上·江苏南京·期中）电影《长津湖》首映当日票房已经达到2.06亿元，2天后当日票房达到4.38亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为 ．
【答案】2.06(1＋x)2＝4.38
【分析】设平均每天票房的增长率为x，根据当日票房已经达到2.06亿元，2天后当日票房达到4.38亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：2.06(1＋x)2＝4.38．
故答案为：2.06(1＋x)2＝4.38．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（22·23九年级上·广东珠海·阶段练习）设a为一元二次方程2x2+3x−2022=0的一个实数根，则2−9a−6a2=______
【答案】−6064
【分析】根据一元二次方程解的定义，可得2a2+3a=2022，再代入，即可求解．
【详解】解：∵a为一元二次方程2x2+3x−2022=0的一个实数根，
∴2a2+3a−2022=0，
∴2a2+3a=2022，
∴2−9a−6a2=2−32a2+3a=2−3×2022=−6064．
故答案为：−6064
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解，利用整体的数学思想解答．
25．（21·22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知点（1，0）是y＝x2+bx﹣2的图象上一点，则方程x2+bx﹣2＝0的根是 ．
【答案】x1=−2,x2=1/x1=1,x2=−2
【分析】把(1,0)代入函数解析式，求解b的值，再得方程：x2+x−2=0,再解方程即可得到答案.
【详解】解：∵ 点（1，0）是y＝x2+bx﹣2的图象上一点，
∴1+b−2=0,
∴b=1,
∴ 二次函数的解析式为：y=x2+x−2,
∴x2+x−2=0,
∴(x+2)(x−1)=0,
∴x1=−2,x2=1,
故答案为：x1=−2,x2=1
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，利用因式分解法解一元二次方程，掌握“利用待定系数法求解二次函数的解析式”是解题的关键.
26．（21·22九年级上·江苏扬州·期中）关于x的方程m−1xm2+1+4x+2=0是一元二次方程，则m的值为 ．
【答案】-1
【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的整式方程），求m的值，注意二次项的系数不为0．
【详解】解：∵(m−1)xm2+1+4x+2=0是一元二次方程，
∴m2+1=2
解得：m=±1
∵m−1≠0
∴m≠1，
∴m=−1，
故答案为：-1．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的定义及解一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解题关键．
27．（20·21七年级下·辽宁鞍山·期末）小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为222cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2，则这个长方形的边长分别是 ．
【答案】337cm，237cm
【分析】首先根据长方形的长宽之比设长方形的长为3x，宽为2x，然后根据面积列出方程并求解，最后检验即可．
【详解】∵长方形的长宽之比为3:2
∴设长方形的长为3x，宽为2x，
∵长方形纸片的面积为222cm2，
∴3x⋅2x=222，
解得x=37，
∴长方形的长为337cm，宽为237cm．
∵正方形纸片的面积为400cm2，
∴边长为400=20>337，
故所求长方形的长宽符合题意，
故答案为：337cm，237cm．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是关键．
28．（22·23九年级上·全国·单元测试）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为 ，应邀请 个球队．
【答案】 12x(x−1)=21 7
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），x个球队比赛总场数是12x(x−1)，即可列方程求解．
【详解】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
12xx−1=21，
解得x1=7，x2=−6（舍去）
故答案为：12x(x−1)=21，7．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到等量关系式．
29．（22·23九年级上·浙江宁波·阶段练习）设f(x)＝x2+bx+8（b≠0），g(x)＝x2+cx+d，已知方程f(x)＝0有两个不等的实根x1、x2；方程g(x)＝0有两个根x1+1x2、x2+1x1，若g(1)＝f(1)，则g(1)的值为 ．
【答案】−8
【分析】根据韦达定理，将两个一元二次方程根与系数的关系分别表示出来，再利用g(1)＝f(1)进行求解即可．
【详解】解：根据韦达定理：在x2+bx+8=0中，x1+x2=−b,x1x2=8，
在x2+cx+d=0中，有两个根x1+1x2、x2+1x1，
所以x1+1x2+x2+1x1=−c，(x1+1x2)(x2+1x1)=d
∴化简为x1+x2+1x2+1x1=x1+x2+x1+x2x2x1=(−b)+(−b)8=−9b8，即−c=−9b8
(x1+1x2)(x2+1x1)=x1x2+1x1x2+1+1=8+18+1+1=818，即d=818，
∴ g(x)＝x2+cx+d=x2+9b8x+818，
∵ g(1)＝f(1)
∴ 12+9b8×1+818=1+b+8
解得b=−17
∴ g(1)＝f(1)=1−17+8=−8
故答案为：−8
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练应用韦达定理是解题的关键．
30．（22·23上·宜宾·期中）已知x2+2x−3=0的解是1，−3，则方程(2x+3)2+2(2x+3)−3=0的解为 ．
【答案】x1=−1，x2=−3
【分析】利用换元法，解一元二次方程即可．
【详解】解：令2x+3=y，
则：方程(2x+3)2+2(2x+3)−3=0转化为： y2+2y−3=0，
∵x2+2x−3=0的解是1，−3，
∴y2+2y−3=0的解为：y1=1,y2=−3，
即：2x+3=1或2x+3=−3，
解得：x1=−1，x2=−3；
故答案为：x1=−1，x2=−3．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握换元法解一元二次方程，是解题的关键．
31．（20·21八年级上·上海浦东新·期中）一个小组同学互相握手，规定每个同学都与其他同学握一次手，共计握手120次，设小组共有x人，则可列出方程 ．
【答案】xx−12=120
【分析】先根据题意可得每个人都要与x−1个人握一次手，再根据“共计握手120次”建立方程即可得．
【详解】由题意，可列方程为xx−12=120，
故答案为：xx−12=120．
【点睛】本题考查了列一元二次方程，理解题意，正确找出等量关系是解题关键．
32．（21·22上·乌鲁木齐·阶段练习）某玩具厂2020年1月份生产玩具1000个，后来生产效率逐月提高，第一季度生产玩具3630个，设2、3月份每月平均增长率为x，列方程为 ．
【答案】10001+(1+x)+(1+x)2=3630
【分析】设2、3月份平均每月增产的百分率为x，1月份生产玩具1000个，二月份是：1000(1+x)，三月份是：1000(1+x)(1+x)，由此列方程．
【详解】解：设2、3月份平均每月增产的百分率为x,依题意．得
1000+1000(1+x)+1000(1+x)2=3630，
即10001+(1+x)+(1+x)2=3630
故答案为：10001+(1+x)+(1+x)2=3630．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．解此类题目时常常要先解出前一个月份的产量，再列出所求月份的产量的方程，令其等于已知的条件即可．
33．（22·23九年级上·湖北鄂州·期中）如果关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k≥−1且k≠0
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的不等式组，解之即可得出k的取值范围即可得解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有实数根，
∴k≠0Δ=4+4k≥0 ，
解得：k≥−1且k≠0；
故答案为：k≥−1且k≠0．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，列出关于k的不等式组是解题的关键．
34．（21·22八年级下·安徽合肥·期末）已知：关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1(a、k均为常数，a≠0)．
（1）关于x的方程a(x+k+2)+2022=0的根是 ；
（2）关于x的方程a(x+3k) +2022=0的根为 ．
【答案】 x1=−4，x2=−1 x1=0，x2=−3，
【分析】（1）可把方程a(x+k+2)+2022=0看作关于x+2的一元二次方程，从而得到x+2=−2或x+2=1，然后解两个一元一次方程即可；
（2）把x1=-2，x2=1代入a(x+k)+2022=0，求出a和k的值，再将a和k的值代入a(x+3k) +2022=0，解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）把方程a(x+k+2)+2022=0看作关于x+2的一元二次方程，
而关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1，
∴x+2=−2或x+2=1，
∴x1=−4，x2=−1，
故答案为：x1=−4，x2=−1；
（2）将x1=-2，x2=1代入a(x+k)+2022=0，
得：a−2+k2+2022=0a1+k2+2022=0，
解得：k=12，a=−26963，
代入a(x+3k) +2022=0得−26963x+322+2022=0，
即x+322=94，
∴x+32=32或x+32=−32，
∴x1=0，x2=−3，
故答案为：x1=0，x2=−3．
【点睛】本题考查一元二次方程的解以及解一元二次方程，掌握换元法、直接开方法解一元二次方程的方法步骤并正确计算是解题的关键．
35．（22·23八年级下·重庆北碚·期中）若关于x的一元一次不等式组3x+82≤x+63x+a>4x−5的解集为x≤4，关于x的一元二次方程(a−1)x2+3x+1=0有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】5
【分析】先求出不等式组中不等式的解集，根据不等式组的解集求出a的范围，再根据根的判别式得出Δ>0，求出a的范围，最后取符合条件的整数a即可．
【详解】解：解不等式3x+82≤x+6得：x≤4，
解不等式3x+a>4x−5得：x∵关于x的一元一次不等式组3x+82≤x+63x+a>4x−5的解集为x≤4，
∴a+5>4，解得a>−1，
∵关于x的一元二次方程(a−1)x2+3x+1=0有实数根，
∴Δ=32−4a−1≥0，a−1≠0，
解得a≤134且a≠1，
综上所述，−1∴所有满足条件的整数a的值是0、2、3，
∴所有满足条件的整数a的值之和是0+2+3=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和根的判别式，能求出a的取值范围是解此题的关键，特别注意a≠1．
三、解答题
36．（20·21九年级上·河南信阳·期中）解方程：
(1)x2－x－1＝0；
(2)(x－2)2＝2x－4．
(3)2x2－4x－9＝0．(配方法)
【答案】（1）x1=1+52,x2=1−52；（2）x1＝2，x2＝4；（3）x1＝1＋222，x2＝1－222
【分析】（1）公式法求解即可
（2）将等号右边移项，然后用因式分解法求解
（3）先化二次项系数为1，然后移动常数项在等号右边，进行配方求解．
【详解】解：（1）)x2－x－1＝0
a=1,b=−1,c=−1
△=b2−4ac=(−1)2−4×1×(−1)=5
x=−b±b2−4ac2a=1±52
∴x1=1+52,x2=1−52
（2）(x－2)2＝2x－4
(x－2)2＝2x－4
(x－2)2−2(x－2)=0
(x－2)(x−2−2)=0
x1＝2，x2＝4
（3）2x2－4x－9＝0
2x2－4x－9＝0
x2－2x－92＝0
x2－2x=92
x2－2x+1=92+1
(x－1)2=112
x-1=±112
x1＝1＋222，x2＝1－222
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，其中公式法，因式分解法，配方法是重点掌握内容，掌握各种解法是本题的关键。
37．（21·22九年级上·陕西安康·期末）已知关于x的方程x2+k+1x+k−2=0．求证：不论k取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【答案】见解析
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【详解】证明：b2−4ac=(k+1)2−4(k−2)=k2−2k+9=(k−1)2+8，
∵(k−1)2≥0，
∴(k−1)2+8>0，即b2−4ac>0，
∴不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．
38．（23·24九年级上·江苏苏州·期中）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m+6＝0的两实数根，且x12+x22＝5，求m的值是多少？
【答案】m＝﹣4．
【分析】首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把x21+x22转换为x1+x22−2x1x2，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果．
【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+（m+1）x+m+6＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣（m+1），x1x2＝m+6，
∵x21+x22＝x1+x22−2x1x2＝5，
∴（m+1）2﹣2（m+6）＝5，
解得：m1=4，m2=−4，
又∵方程x2﹣mx+2m﹣1＝0有两个实数根，
∴△＝（m+1）2﹣4（m+6）≥0，
∴当m＝4时，
△＝25﹣40＝﹣15＜0，舍去；
故符合条件的m的值为m＝﹣4．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．通过变形可以得到关于待定系数的方程解决问题．
39．（22·23八年级上·上海闵行·期中）已知：a、b是实数，且满足a−32+b+2=0，求关于x的一元二次方程ax2+bx+12=0的根．
【答案】x1=13，x2=1
【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，然后解一元二次方程即可．
【详解】解：∵a−32+b+2=0，a−32≥0，b+2=≥0，
∴a−32=0，b+2=0，
∴a=32，b=−2，
∴原一元二次方程即为32x2−2x+12=0，整理得：3x2−4x+1=0，
∴3x−1x−1=0，
解得x1=13，x2=1．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，解一元二次方程，正确求出a、b的值是解题的关键．
40．（22·23九年级上·河北廊坊·期中）嘉淇在解一元二次方程x2−2x+■=0时，发现常数项被污染．
(1)若猜出这个常数项为0，请解一元二次方程x2−2x=0；
(2)老师告诉嘉淇这个方程有两个实数根，求被污染的常数项的最大值．
【答案】(1)x1=2，x2=0
(2)1
【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用根的判别式，列式计算即可．
【详解】（1）解：x2−2x=0，
左边因式分解得，x(x−2)=0，
∴x=0或x−2=0，
解得，x1=2，x2=0．
（2）解：设这个常数项为c，依题意得，
Δ=−22−4c≥0 ，
解得c≤1 ，
∴被污染常数项的最大值为1．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
41．（21·22九年级上·江西上饶·阶段练习）解方程x−12﹣5x−1+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为x1＝2，x2＝5．请利用这种方法求下列方程：
(1)2x+52−2x+5-2＝0；
(2)32x﹣4×3x+3＝0．
【答案】(1)x1＝﹣1.5，x2＝﹣3
(2)x1＝0，x2＝1
【分析】（1）设2x+5＝y，将原方程变为y2﹣y﹣2＝0，根据一元二次方程的解法即可求出y的值，代入2x+5＝y求出答案即可；
（2）设3x＝t，则原方程可化为t2﹣4t+3＝0，解根据一元二次方程的解法即可求出t的值，代入3x＝t求出答案即可．
【详解】（1）解：设2x+5＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣2＝0，
∴（y﹣2）（y+1）＝0，
解得y1＝2，y2＝﹣1．
当y＝2时，即2x+5＝2，解得x＝﹣1.5；
当y＝﹣1时，即2x+5＝﹣1，解得x＝﹣3，
所以原方程的解为x1＝﹣1.5，x2＝﹣3．
（2）解：原方程可变形为（3x）2﹣4×3x+3＝0，
设3x＝t，则原方程可化为t2﹣4t+3＝0，
解得t1＝1，t2＝3，
当t＝1时，即3x＝1，解得x＝0；
当t＝3时，即3x＝3，解得x＝1，
所以原方程的解为x1＝0，x2＝1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，换元法解方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
42．（22·23九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在ΔABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，点P到达B点时停止运动．设P点运动时间为t秒．
(1)t为何值时，ΔPBQ为等腰三角形？
(2)t为何值时，四边形PQCA的面积等于28cm2？
【答案】(1)t为2时，ΔPBQ为等腰三角形；
(2)t为4时，四边形PQCA的面积等于28cm2．
【分析】（1）分别用t表示出BP、BQ的长，根据BP=BQ列方程即可求得t的大小，即可解题；
（2）写出ΔPBQ的面积的表达式，根据BP、BQ的关系式和四边形PQCA的面积等于28cm2列出方程并解答．
【详解】（1）解：设t秒后，则BP=6−t，BQ=2t，
ΔPBQ是等腰三角形，
则BP=BQ即6−t=2t，
解得t=2．
答：t为2时，ΔPBQ为等腰三角形；
（2）解：ΔPBQ的面积为12BP⋅BQ=12(6−t)⋅2t=(6−t)t，
根据题意，得12×6×12−(6−t)t=28，
解得t=4（舍去负值）．
答：t为4时，四边形PQCA的面积等于28cm2．
【点睛】本题考查了三角形面积的计算及一元二次方程的应用，考查了等腰三角形腰长相等的性质，本题中正确列出关于t的方程是解题的关键．
43．（20·21九年级上·广东广州·期中）解方程：
(1)x2−2x−1=0；
(2)5x2−3x=x+1．
【答案】(1)x1=1+2，x2=1−2
(2)x1=1，x2=−15
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）先化为一般式，利用公式法求解即可．
【详解】（1）解：x2−2x−1=0，
∴x2−2x=1，
∴x2−2x+1=1+1，
∴x−12=2，
∴x−1=±2，
解得：x1=1+2，x2=1−2；
（2）5x2−3x=x+1，
整理得：5x2−4x−1=0，
∵a=5，b=-4，c=-1，
∴△=16-4×5×（-1）=36＞0，
则x=4±362×5，
解得：x1=1，x2=−15．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
44．（22·23九年级上·江苏无锡·期中）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可推出x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca，请根据这一结论，解决下列问题：
(1)若α，β是方程2x2+x−5=0的两根，则α+β=_____，α⋅β=______；若2，3是方程x2+px+q=0的两根，则p=______，q=______；
(2)已知m，n满足m2+6m−3=0，n2+6n−3=0，求mn+nm的值；
(3)已知a，b，c满足a+b+c=0，abc=7，则正整数c的最小值为______．
【答案】(1)−12，−52，−5，6
(2)−14或2
(3)4
【分析】（1）如果关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是x1，x2，那么可得出x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca，根据这一结论，可以得出答案．
（2）分m≠n和m=n两种情况讨论．
（3）由已知条件变形得到a+b=−c，ab=7c，根据根与系数的关系，可把a、b看作方程x2+cx+7c=0的两个根，再利用判别式的意义得Δ=c2−4×7c≥0，解不等式即可．
【详解】（1）α+β=−12，α⋅β=−52；
−p=2+3=5，p=−5；
q=2×3=6
（2）由题意，m、n是方程x2+6x−3=0的解，
①若m≠n，则m+n=−6，mn=−3，
∴m2+n2=m+n2−2mn=42，
∴mn+nm=m2+n2mn=−14，
②若m=n，则mn+nm=2；
（3）∵a+b+c=0，abc=7
∴a+b=−c，ab=7c
把a、b看作方程x2+cx+7c=0的两个根，
∵Δ=c2−4×7c≥0，
∴c3≥28，且c是正整数，
∴c的最小值是4
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca；也考查了判别式的意义．
45．（21·22九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足5x1+x2＝8，求实数m的值．
【答案】(1)m＜4
(2)3
【分析】（1）由根的判别式Δ＞0，解不等式即可得答案；
（2）利用根与系数的关系，得x1+x2＝4，与5x1+x2＝8组成二元一次方程组，得x1＝1，把x1＝1代入原方程得1﹣4+m＝0，即可得答案．
【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2-4ac＝-42-4×1⋅m＞0，
m＜4，
∴实数m的取值范围是m＜4．
（2）∵x1+x2＝4，5x1+x2＝8，
∴x1＝1，
∵x1是方程的根，把x1＝1代入原方程得1﹣4+m＝0，
∴m＝3，
∴实数m的值是3．
【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
46．（21·22九年级上·福建福州·期中）某工厂2020年生产A产品2000吨，现准备通过改进技术提升生产效率，计划到2022年生产A产品3380吨．现技术攻关小组按要求给出甲、乙两种技术改进方案，其中运用甲方案能使每年产量增长的百分率相同，运用乙方案能使每年增长的产量相同．问运用哪一种方案2021年A产品的产量更高，高多少？
【答案】运用乙方案2021年A产品的产量更高，高90吨
【分析】设甲方案的平均增长率为x，根据题意列出方程，求出x的值，即可求出甲方案2021年产量，再根据题意求出乙方案2021年产量，比较即可得出结论.
【详解】解：设甲方案的平均增长率为x，依题意得
20001+x2=3380，
解得x1=0.3，x2=−2.3（不合题意，舍去），
∴甲方案2021年产量：2000×1+0.3=2600吨，
乙方案2021年产量：2000+12×3380−2000=2690吨
2600<2690，2690−2600=90（吨），
∴运用乙方案能使2021年A产品的产量更高，高90吨．
答：运用乙方案能使2021年A产品的产量更高，高90吨．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握增长率问题的公式是解决此题的关键．
47．（20·21八年级上·四川眉山·阶段练习）选取二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中的两项，配成完全平方公式的过程叫配方．例如：x2−4x+2=(x−2)2−2．
（1）y2+12y+m是完全平方式，则m的值为_______；
（2）对y2−8y+21进行配方，y2−8y+21=(y−___)2+______；
（3）已知m2+n2+2m−6n+10=0，求mn的值．
【答案】（1）36；（2）4，5；（3）mn的值为-1．
【分析】（1）利用完全平方式的特点即可写出m的值；
（2）利用配方法即可填空；
（3）利用配方法把原式写成两个完全平方式的和的形式，再利用非负数的性质可求得m、n的值，即可求出mn的值．
【详解】（1）∵y2+12y+m是完全平方式，
∴m=(122)2=36，
故答案为：36；
（2）y2−8y+21
=y2−8y+42−42+21
=(y−4)2+5，
故答案为：4，5；
（3）∵m2+n2+2m−6n+10=0，
∴m2+2m+1+n2−6n+9=0，
即(m+1)2+(n−3)2=0，
∴m+1=0，n−3=0，
∴m=−1，n=3，
∴mn=(−1)3=−1．
【点睛】本题考查了配方法的应用，读懂阅读材料中的方法并正确运用，是解题的关键．
48．（22·23八年级上·北京西城·期中）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式a2x+bx+c(a≠0)变形为a(x+m)2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：x2+11x+24=x2+11x+(112)2−(112)2+24
=(x+112)2−254
=(x+112+52)(x+112−52)
=(x+8)(x+3)
根据以上材料，解答下列问题：
(1)用多项式的配方法将x2+8x−1化成(x+m)2+n的形式；
(2)把多项式x2−3x−40进行分解因式
【答案】(1)(x+4)2−17
(2)(x+5)(x−8)
【分析】（1）根据配方法，x2+8x−1=(x+4)2−17，可得答案；
（2）根据因式分解法，x2−3x−40=(x−32)2−1694，然后利用平方差公式进行分解，可得答案；
【详解】（1）解：根据题意，则
x2+8x−1=x2+8x+16−16−1=(x+4)2−17；
（2）解：x2−3x−40
=(x−32)2−1694
=(x−32)2−(132)2
=(x−32+132)(x−32−132)
=(x+5)(x−8)；
【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质以及因式分解．正确的利用完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2进行配方是解题关键．
49．（22·23九年级上·河南驻马店·阶段练习）酷暑时期，核酸检测仍然是一字长龙，检测者苦不堪言．针对于此，某医院决定新辟若干条核酸检测通道．经调查发现：1条检测通道最大检测量是580人天，每增加1条检测通道，每条检测通道的最大检测量将减少20人/天．在不超过20条通道的医疗硬件前提下，该医院拟共设置x条核酸检测通道．
(1)每条核酸检测通道的最大检测量是 ___________人/天（用含x的代数式表示，不写取值范围）；
(2)若该医院设置的全部核酸检测通道每天恰好能检测2500人，问该医院需设置多少条检测通道？
【答案】(1)(600−20x)
(2)5
【分析】（1）利用每条核酸检测通道的最大检测量=1条检测通道最大检测量−20×（核酸检测通道数量−1），即可应含x的代数式表示出每条核酸检测通道的最大检测量；
（2）利用全部核酸检测通道每天检测人数=每条核酸检测通道的最大检测量×核酸检测通道数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合不超过20条通道的医疗硬件前提，即可得出结果．
【详解】（1）每条核酸检测通道的最大检测量为：580−20(x−1)=600−20x（人）
故答案为：(600−20x)；
（2）由题意得：(600−20x)x=2500
整理得：x2−30x+125=0
解得：x1=5，x2=25
∵在不超过20条通道的医疗硬件前提下，该医院拟共设置x条核酸检测通道
∴x=5
答：该医院需设置5条检测通道
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
50．（19·20九年级上·山东聊城·阶段练习）已知方程(a−x)2=a(x2+x+a)−8a+16是关于x的一元二次方程．
（1）求a的取值范围；
（2）若该方程的一次项系数为0，求此方程的根．
【答案】（1）a≠1；（2）x1=−4，x2=4
【分析】（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可；
（2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a的值，再代入原方程，解出方程即可.
【详解】解：1化简，得
a−1x2+3ax−8a+16=0．
方程(a−x)2=ax2+x+a−8a+16是关于x的一元二次方程，得
a−1≠0，解得a≠1，
当a≠1时，方程(a−x)2=ax2+x+a−8a+16是关于x的一元二次方程；
2由一次项系数为零，得a=0．
则原方程是−x2+16=0，即x2−16=0．
因式分解得x+4x−4=0，
解得x1=−4，x2=4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程.
【能力提升】
51．（23·24上·淮南·阶段练习）若关于x的一元二次方程x2+2x−m2−m=0．
(1)若α和β分别是该方程的两个根，且αβ=−2，求m的值；
(2)当m=1，2，3，⋅⋅⋅，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，⋅⋅⋅，α2024、β2024，求1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2024+1β2024的值．
【答案】(1)m=1或m=−2；
(2)40482025．
【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=−ba,x1⋅x2=ca可得：1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=2m2+m，进一步可寻找1α2024+1β2024的规律，即可求解．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+2x−m2−m=0，α和β分别是该方程的两个根，
∴αβ=−m2−m
∵αβ=−2，
∴−2=−m2−m
∴m=1或m=−2；
（2）解：设方程x2+2x−m2−m=0的两个根为：x1,x2
则x1+x2=−ba=−2,x1⋅x2=ca=−m2−m，
∴1x1+1x2=x1+x2x1·x2=2m2+m=2mm+1
∴1α1+1β1=21×2，1α2+1β2=22×3，1α3+1β3=23×4
…．．
1α2024+1β2024=22024×2025
∴1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2024+1β2024=2×11×2+12×3+...+12024×2025
=2×1−12+12−13+...+12024−12025
=2×1−12025
=40482025
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及有理数的混合运算等．熟记相关一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
52．（23·24上·佛山·阶段练习）如图1，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=2c，这时我们把关于x的形如ax2+2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：

(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0必有实数根；
(3)如图1，若x=−1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是62，求△ABC面积；
(4)如图2，△ABC的三边分别为a，b，c，∠BCA=60°，且2b>a．求证：关于x的一元二次方程3ax2+22cx+2b−a=0必有实数根．
【答案】(1)3x2+52x+4=0
(2)证明见解析
(3)S△ABC=1
(4)证明见解析
【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式Δ的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，再根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．
（4）如图，由2b>a，∠BCA=60°，过B作BD⊥AC于D，可得CD=12BC=12a，BD=BC2−CD2=32a，D在线段AC上，利用勾股定理可得a2+b2−ab=c2，由Δ=22c2−4×3a2b−a，再证明Δ≥0即可．
【详解】（1）解：当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x2+52x+4=0；
（2）证明：ax2+2cx+b=0，
∴Δ=2c2−4ab=2c2−4ab，
∵a2+b2=c2，
∴2c2−4ab=2a2+b2−4ab=2a−b2≥0
∴Δ≥0，
∴勾系一元二次方程ax2+2cx+b=0必有实数根；
（3）当x=−1时，有a−2c+b=0，即a+b=2c，
∵四边形ACDE的周长是62，
∴2a+2b+2c=62，即2a+b+2c=62，
∴32c=62，
∴c=2，
∴a2+b2=c2=4，a+b=22，
∵a+b2=a2+b2+2ab，
∴222=4+2ab
∴ab=2，
∴S△ABC=12ab=1．
（4）如图，∵2b>a，∠BCA=60°，过B作BD⊥AC于D，
∴CD=12BC=12a，BD=BC2−CD2=32a，D在线段AC上，

∵AD2+BD2=AD2，
∴32a2+b−12a2=c2，
∴a2+b2−ab=c2，
∵3ax2+22cx+2b−a=0，
∴Δ=22c2−4×3a2b−a
=8c2−83ab+43a2
=8a2+b2−ab−83ab+43a2
=24+23a2−24+43ab+2×4b2
=23+12a2−23+1a⋅2b+2b2
=23+1a−2b2≥0，
∴关于x的一元二次方程3ax2+22cx+2b−a=0必有实数根．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，配方法的应用，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键．
53．（23·24九年级上·广东汕头·期中）已知x1是关于x的一元二次方程12mx2+2x+m2=0的一个根，且x1=a+2−8−a+−a2（其中a为实数），求m的值及方程的另一个根．
【答案】m的值为1或−2，方程的另一根为：−2或22
【分析】根据二次根式有意义的条件可得a=0，x1=−2，再代入方程求解m的值，再分情况解一元二次方程即可.
【详解】解：由已知得：−a2≥0，∴a2≤0，
又∵a2≥0，∴a2=0，
∴a=0
∴x1=2−8 =2−22=−2
把x1=−2代入原方程得：12m×−22+2×−2+m2=0
整理得：m2+m−2=0，
解这个方程得：m1=1，m2=−2，
当m1=1时，原方程化为：12x2+2x+1=0，
解得：x1=x2=−2，
当m2=−2时，原方程化为：12×−2x2+2x+−22=0，
∴x2−2x−4=0，
解得：x1=−2，x2=22，
∴m的值为1或−2，方程的另一根为：−2或22．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，二次根式有意义的条件，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键.
54．（23·24九年级上·广东珠海·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
材料2：已知实数m，n满足m2+3m−1=0，n2+3n−1=0，且m≠n，求nm+mn的值．
解：由题知m，n是方程x2+3x−1=0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n=−3，mn=−1，所以nm+mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=9+2−1=−11．
（1）材料理解：一元二次方程2x2−10x+3=0两个根为x1，x2，则：x1+x2= ，x1x2= ．
（2）类比探究：已知实数m，n满足3m2−3m−1=0，3n2−3n−1=0，且m≠n，求m2n+mn2的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足5s2−12s+5=0，5t2−12t+5=0，且st≠1，求2st−s+2t的值．
【答案】（1）5，32；（2）−13；（3）195．
【分析】（1）根据材料1解答即可；
（2）由题可知m，n是方程3x2−3x−1=0的两个不相等的实数根，再根据材料1可得出m+n=1，mn=−13，将所求式子变形为mnm+n，再整体代入求值即可；
（3）等式5t2−12t+5=0两边同时除以t2，得：即5×1t2−12×1t+5=0，即说明实数s和1t可看作方程5x2−12x+5=0的两根，即得出s+1t=125，s×1t=1，将所求式子变形为2s+1t−s×1t，再整体代入求值即可．
【详解】解：（1）∵一元二次方程2x2−10x+3=0两个根为x1，x2，
∴x1+x2=−−102=5，x1x2=32．
故答案为：5，32；
（2）由题知m，n是方程3x2−3x−1=0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n=−−33=1，mn=−13=−13，
所以m2n+mn2=mnm+n=−13×1=−13；
（3）∵要求2st−s+2t的值，
∴t≠0，
∴等式5t2−12t+5=0两边同时除以t2，得：5−12t+5t2=0，即5×1t2−12×1t+5=0，
∴实数s和1t可看作方程5x2−12x+5=0的两根，
∴s+1t=−−125=125，s×1t=55=1，
∴2st−s+2t=2s−s×1t+2t=2s+1t−s×1t=2×125−1=195．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系：x1+x2=−ba和x1⋅x2=ca是解题关键．
55．（23·24九年级上·广东中山·期中）阅读下列解一元二次方程的方法，并解决问题：
解方程xx−2=3．
解：原方程可变形，得x−1+1x−1−1=3，
(x−1)2−12=3，
(x−1)2=4，
方程两边同时开平方，得x−1=±2，解得x1=3,x2=−1．
我们叫这种解法为“和差数法”．
应用：用“和差数法”解方程；x+1x+5=12．
【答案】x1=1,x2=−7
【分析】将方程x+1x+5=12变形成x+3−2x+3+2=12，再进一步转化成可用直接开平方法解答的形式即可．
【详解】解：原方程变形成x+3−2x+3+2=12，
∴ x+32−22=12，
∴ x+32=16，
方程两边同时开平方，得x+3=±4，
解得x1=1,x2=−7．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程中的因式分解法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．