新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第03讲 不等式及性质（2份打包，原卷版+解析版）

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基本不等式
重要不等式 SKIPIF 1 < 0
最大（小）值问题
基本不等式 SKIPIF 1 < 0
基本不等式的应用
扩充不等式
绝对值不等式
柯西不等式
【基础知识全通关】
知识点01：两个重要不等式及几何意义
1．重要不等式：
如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号“=”）.
2．基本不等式：
如果 SKIPIF 1 < 0 是正数，那么 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号“=”）.
【要点诠释】
SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两者的异同：
（1）成立的条件是不同的：前者只要求 SKIPIF 1 < 0 都是实数，而后者要求 SKIPIF 1 < 0 都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号”。
（3） SKIPIF 1 < 0 可以变形为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可以变形为： SKIPIF 1 < 0 .
3.如图， SKIPIF 1 < 0 是圆的直径，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交圆于点D，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
易证 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
这个圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，它大于或等于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，其中当且仅当点 SKIPIF 1 < 0 与圆心重合，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
【要点诠释】
1.在数学中，我们称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的算术平均数，称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.如果把 SKIPIF 1 < 0 看作是正数 SKIPIF 1 < 0 的等差中项， SKIPIF 1 < 0 看作是正数 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
知识点02：用基本不等式 SKIPIF 1 < 0 求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。
知识点03：几个常见的不等式
1） SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当a=b时取“=”号。
2） SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当a=b 时取“=”号。
3） SKIPIF 1 < 0 ；特别地： SKIPIF 1 < 0 ；
4） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
5） SKIPIF 1 < 0 ；
6） SKIPIF 1 < 0 ；
7） SKIPIF 1 < 0
知识点04：绝对值不等式的性质
1. SKIPIF 1 < 0 ；
2. SKIPIF 1 < 0 ；
知识点05：柯西不等式
1. 二维形式的柯西不等式：
（1）向量形式：
设 SKIPIF 1 < 0 是两个向量，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 是零向量或存在实数k，使 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立。
（2）代数形式：
= 1 \* GB3 ①若a、b、c、d都是实数，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当ac=bd时，等号成立；
= 2 \* GB3 ②若a、b、c、d都是正实数，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当ac=bd时，等号成立；
= 3 \* GB3 ③若a、b、c、d都是实数，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当ac=bd时，等号成立；
【要点诠释】
柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；
（3）三角形式：
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 。
2. 三维形式的柯西不等式（代数形式）：
若 SKIPIF 1 < 0 都是实数，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 或存在实数k，使得 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立。
3. 一般形式的柯西不等式（代数形式）：
若 SKIPIF 1 < 0 都是实数，则
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 或存在实数k，使得 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立。
【拓展】
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b>0⇔a>b,a－b＝0⇔a＝b,a－b<0⇔a(2)作商法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,b)>1⇔a>b,\f(a,b)＝1⇔a＝b,\f(a,b)<1⇔a0)
2．不等式的基本性质
微思考
1．两个正数a，b，如果a>b，则eq \r(n,a)与eq \r(n,b)的大小关系如何？
提示 如果a>b>0，则eq \r(n,a)>eq \r(n,b).
2．非零实数a，b，如果a>b，则eq \f(1,a)与eq \f(1,b)的大小关系如何？
提示 如果ab>0且a>b，则eq \f(1,a)如果a>0>b，则eq \f(1,a)>eq \f(1,b).
【考点研习一点通】
考点01：基本不等式 SKIPIF 1 < 0 求最值问题
1．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是
A．1B．2C．3D．4
【解析】
SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取等号.
【答案】D
【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 , 且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值及相应的 SKIPIF 1 < 0 值.
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 , ∴ SKIPIF 1 < 0 , 又 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取等号
∴ 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】求下列函数的最大（或最小）值.
SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(4) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(5) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
(2) ∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
(3) ∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
(4) ∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
(5) ∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
【变式3】已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【解析】方法一： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立）.
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值是16.
方法二：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，此时 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值是16.
方法三：由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值是16.
考点02：利用基本不等式证明不等式
2.已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中至少有一个小于等于 SKIPIF 1 < 0 .
证明：假设 SKIPIF 1 < 0 则有
SKIPIF 1 < 0 〔＊〕
又∵ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 与〔＊〕矛盾
【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都是正数，求证： SKIPIF 1 < 0
【解析】
∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都是正数
∴ SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号）
SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号）
SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号）
∴ SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号）
即 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都是正数，求证： SKIPIF 1 < 0 。
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都是正数 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时,等号成立）
故 SKIPIF 1 < 0 .
考点03：利用绝对值不等式求最值
3. 不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ；
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】求 SKIPIF 1 < 0 的最值
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，最大值为6.
【变式2】不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则常数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ；
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
考点04：利用柯西不等式求最值
4. 设 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0
∴根据柯西不等式
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
此时， SKIPIF 1 < 0
【变式1】求函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【解析】函数的定义域为[1，5]，且y>0，
SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
即 SKIPIF 1 < 0 时函数取最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【考点易错】
易错题型01 比较两个数(式)的大小
1 (1)(2022·首都师范大学附属中学月考)设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系是( )
A．M>N B．M≥N
C．M【答案】 A
【解析】 因为M－N＝2a(a－2)＋7－(a－2)(a－3)＝a2＋a＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，所以M>N.
(2)若a＝eq \f(ln 3,3)，b＝eq \f(ln 4,4)，c＝eq \f(ln 5,5)，则( )
A．aC．c【答案】 B
【解析】 令函数f(x)＝eq \f(ln x,x)，则f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)，
易知当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
因为e<3<4<5，
所以f(3)>f(4)>f(5)，
即c(3)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________．
【答案】 eπ·πe【解析】 eq \f(eπ·πe,ee·ππ)＝eq \f(eπ－e,ππ－e)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e,π)))π－e，
又0∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e,π)))π－e<1，即eq \f(eπ·πe,ee·ππ)<1，即eπ·πe思维升华 比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
【变式】
已知x>0，y>0，M＝eq \f(x2,x＋2y)，N＝eq \f(4x－y,5)，则M和N的大小关系为( )
A．M>N B．MC．M＝N D．以上都有可能
【答案】 A
【解析】 因为x>0，y>0，所以M－N＝eq \f(x2,x＋2y)－eq \f(4x－y,5)＝eq \f(x2－4xy＋8y2,5x＋2y)＝eq \f(x－2y2＋4y2,5x＋2y)>0，即M>N.
(2)已知M＝eq \f(e2 020＋1,e2 021＋1)，N＝eq \f(e2 021＋1,e2 022＋1)，则M，N的大小关系为________．
【答案】 M>N
【解析】 方法一 M－N＝eq \f(e2 020＋1,e2 021＋1)－eq \f(e2 021＋1,e2 022＋1)
＝eq \f(e2 020＋1e2 022＋1－e2 021＋12,e2 021＋1e2 022＋1)
＝eq \f(e2 020＋e2 022－2e2 021,e2 021＋1e2 022＋1)
＝eq \f(e2 020e－12,e2 021＋1e2 022＋1)>0.
∴M>N.
方法二 令f(x)＝eq \f(ex＋1,ex+1＋1)＝eq \f(\f(1,e)ex+1＋1＋1－\f(1,e),ex+1＋1)
＝eq \f(1,e)＋eq \f(1－\f(1,e),ex+1＋1)，
显然f(x)是R上的减函数，
∴f(2 020)>f(2 021)，
即M>N.
易错题型02 不等式的基本性质
2 (1)(2022·新乡模拟)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是( )
A．若aB．若ab>0，bc－ad>0，则eq \f(c,a)－eq \f(d,b)<0
C．若a>b，c>d，则a－d>b－c
D．若a>b，c>d>0，则eq \f(a,d)>eq \f(b,c)
【答案】 C
【解析】 若00，bc－ad>0，则eq \f(bc－ad,ab)>0，即eq \f(c,a)－eq \f(d,b)>0，故选项B错误；若a>b，c>d，则－d>－c，所以a－d>b－c，故选项C正确；若c>d>0，则eq \f(1,d)>eq \f(1,c)>0，若a>b>0，则eq \f(a,d)>eq \f(b,c)，故选项D错误．
(2)(多选)若eq \f(1,a)A.eq \f(1,a＋b)B．|a|＋b>0
C．a－eq \f(1,a)>b－eq \f(1,b)
D．ln a2>ln b2
【答案】 AC
【解析】 由eq \f(1,a)A中，因为a＋b<0，ab>0，所以eq \f(1,a＋b)<0，eq \f(1,ab)>0.故有eq \f(1,a＋b)B中，因为b－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误；
C中，因为b－eq \f(1,b)>0，所以a－eq \f(1,a)>b－eq \f(1,b)，故C正确；
D中，因为ba2>0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2>ln a2，故D错误．
思维升华 判断不等式的常用方法
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
(2)利用特殊值法排除错误答案．
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较．
【变式】(1)若2m>2n，则下列结论一定成立的是( )
A.eq \f(1,m)>eq \f(1,n) B．m|m|>n|n|
C．ln(m－n)>0 D．πm-n<1
【答案】 B
【解析】 ∵2m>2n，
可取m＝2，n＝1，可得ACD不成立．
(2)(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B.eq \f(1,a)>eq \f(1,b)
C.eq \f(a＋2,b＋2)>eq \f(a,b) D．ac3【答案】 ABC
【解析】 因为y＝ SKIPIF 1 < 0 在(0，＋∞)上是增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
因为y＝eq \f(1,x)在(0，＋∞)上是减函数，所以eq \f(1,a)>eq \f(1,b)；
因为eq \f(a＋2,b＋2)－eq \f(a,b)＝eq \f(2b－a,b＋2b)>0，所以eq \f(a＋2,b＋2)>eq \f(a,b)；
当c＝0时，ac3＝bc3，所以D不成立．
易错题型03 不等式性质的综合应用
3 (1)已知－1【答案】 (－4,2) (1,18)
【解析】 ∵－1∴－4由－1∴1<3x＋2y<18.
(2)已知3【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，2))
【解析】 ∵4又3即eq \f(1,3)【变式】 (1)已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，则eq \f(c,a)的取值范围是( )
A．－3C．－2【答案】 A
【解析】 因为a>b>c,2a＋b＋c＝0，
所以a>0，c<0，b＝－2a－c，因为a>b>c，
所以－2a－c－c，解得eq \f(c,a)>－3，
将b＝－2a－c代入b>c中，得－2a－c>c，
即a<－c，得eq \f(c,a)<－1，所以－3(2)已知0<β<α【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
【解析】 ∵0<β又0<α又β<α，∴α－β>0，即0<α－β【巩固提升】
1、（2022届山东省泰安市高三上期末）已知 SKIPIF 1 < 0 均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A错；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，故B对；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故C对；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故D错；
故选：BC．
2、若eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)＜0，给出下列不等式：①eq \f(1,a＋b)＜eq \f(1,ab)；②|a|＋b＞0；③a－eq \f(1,a)＞b－eq \f(1,b)；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
【答案】 C
【解析】方法一 因为eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)＜0，故可取a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.
方法二 由eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以eq \f(1,a＋b)＜0，eq \f(1,ab)＞0.故有eq \f(1,a＋b)＜eq \f(1,ab)，即①正确；
②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
③中，因为b＜a＜0，又eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)＜0，则－eq \f(1,a)＞－eq \f(1,b)＞0，
所以a－eq \f(1,a)＞b－eq \f(1,b)，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确.
3．已知a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．MN
C．M＝N D．不确定
【答案】 B
【解析】 M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，
又a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，
∴a1－1<0，a2－1<0.
∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M>N.
4、（2022·邵东创新实验学校高三月考）下列不等式成立的是（ ）
A．若a＜b＜0，则a2＞b2B．若ab＝4，则a＋b≥4
C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＞b＞0，m＞0，则
【答案】AD
【解析】
对于A，若，根据不等式的性质则，故A正确；
对于B，当，时，，显然B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，，
因为，，所以，，所以
所以，即成立，故D正确．
故选AD．
方法总结：判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：①不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；②不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；③不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等.
5．(多选)已知cA．ab>ac B．c(b－a)>0
C．cb2【答案】 ABD
【解析】 由c0且c<0，b的正负不确定，
由b>c且a>0知ba>ca，故A一定成立；
∵b－a<0且c<0，∴c(b－a)>0，故B一定成立；
当b＝0时，cb2＝ab2＝0，故C不一定成立；
又a－c>0且ac<0，∴ac(a－c)<0，故D一定成立．
6．(多选)有外表一样，重量不同的六个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，e，f，已知a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e>c＋d＋f，a＋b＋fA．b>c>f B．b>e>f
C．c>e>f D．b>e>c
【答案】 ABD
【解析】 因为a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e>c＋d＋f，
所以e－c>c－e，所以e>c，
又因为a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋f所以c－f>f－c，所以c>f，
所以e>c>f，所以C错误；
又因为a＋e所以b>e>c，b>e>f，b>c>f均成立，所以ABD正确.
7、（2021届山东省滨州市三校高三上学期联考）（多选题）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【解析】
当 SKIPIF 1 < 0 ，满足条件．但 SKIPIF 1 < 0 不成立，故A错误，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故B错误，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：CD．
8、（2022江苏盐城中学月考）（多选题）下列命题为真命题的是（ ）.
A．若，则
B．若，，则
C．若，且，则
D．若，且，则
【答案】BCD
【解析】
选项A：当取，时，，∴本命题是假命题.
选项B：已知，，所以，
∴，故，∴本命题是真命题.
选项C：，
∵，∴，∴本命题是真命题.
选项D：，
∵，∴，∴，∴本命题是真命题.
故选：BCD
9、设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.
【答案】[5，10]
【解析】方法一 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋n＝4，,n－m＝－2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝3，,n＝1.))
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故5≤f(－2)≤10.
10、设 SKIPIF 1 < 0 那么 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】：由题设得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
11、(2022·天津模拟)若α，β满足－eq \f(π,2)<α<βA．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<π
C．－eq \f(3π,2)<2α－β【答案】C
【解析】：∵－eq \f(π,2)<α∵－eq \f(π,2)<β∴－eq \f(3π,2)<2α－β又α－β<0，α故－eq \f(3π,2)<2α－β方法总结：求代数式的取值范围
一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围
12．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”)
【答案】 >
【解析】 M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，
故M>N.
13．已知非零实数a，b满足a>b，则下列结论正确的是________(填序号)．
①eq \f(1,a)b3；③2a>2b；④ln a2>ln b2.
【答案】 ②③
【解析】 当a>0，b<0时，eq \f(1,a)>0>eq \f(1,b)，故①不正确；
由函数y＝x3，y＝2x的单调性可知，②③正确；
当a＝1，b＝－1时，ln a2＝ln b2＝ln 1＝0，故④不正确．
14．近来鸡蛋价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优惠)________．(在横线上填甲或乙即可)
【答案】 乙
【解析】 由题意得甲购买产品的平均单价为eq \f(3a＋3b,6)＝eq \f(a＋b,2)，乙购买产品的平均单价为eq \f(20,\f(10,a)＋\f(10,b))＝eq \f(2ab,a＋b)，由条件得a≠b.
∵eq \f(a＋b,2)－eq \f(2ab,a＋b)＝eq \f(a－b2,2a＋b)>0，
∴eq \f(a＋b,2)>eq \f(2ab,a＋b)，
即乙的购买方式更优惠．
15．(2021·浙江宁海中学月考)已知等比数列{a1，a2，a3，a4}满足a1∈(0,1)，a2∈(1,2)，a3∈(2,3)，则a4的取值范围是________．
【答案】 (2eq \r(2)，9)
【解析】 设等比数列{a1，a2，a3，a4}的公比为q，
由a1∈(0,1)，a2∈(1,2)，a3∈(2,3)可知，
0由③÷②可得1③÷①可得q2>2，即q>eq \r(2)或q<－eq \r(2)，
②÷①可得q>1，
所以eq \r(2)16．已知a＋b>0，试比较eq \f(a,b2)＋eq \f(b,a2)与eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的大小．
【解析】解 eq \f(a,b2)＋eq \f(b,a2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq \f(a－b,b2)＋eq \f(b－a,a2)
＝(a－b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq \f(a＋ba－b2,a2b2).
∵a＋b>0，(a－b)2≥0，
∴eq \f(a＋ba－b2,a2b2)≥0.
∴eq \f(a,b2)＋eq \f(b,a2)≥eq \f(1,a)＋eq \f(1,b).
17．(1)若bc－ad≥0，bd>0，求证：eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d)；
(2)已知c>a>b>0，求证：eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b).
【解析】证明 (1)∵bc≥ad，eq \f(1,bd)>0，∴eq \f(c,d)≥eq \f(a,b)，
∴eq \f(c,d)＋1≥eq \f(a,b)＋1，∴eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d).
(2)∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.
∵a>b>0，∴eq \f(1,a)又∵c>0，∴eq \f(c,a)又c－a>0，c－b>0，∴eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b).
18．(多选)若0c>1，则( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,c)))a>1 B.eq \f(c－a,b－a)>eq \f(c,b)
C．ca－1【答案】 AD
【解析】 对于A，∵b>c>1，∴eq \f(b,c)>1.∵0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,c)))0＝1，故正确．
对于B，若eq \f(c－a,b－a)>eq \f(c,b)，则bc－ab>bc－ac，即a(c－b)>0，这与0c>1矛盾，故错误．
对于C，∵0c>1，∴ca－1>ba－1，故错误．
对于D，∵0c>1，∴lgca19．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
(1)男学生人数多于女学生人数；
(2)女学生人数多于教师人数；
(3)教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．
②该小组人数的最小值为________．
【答案】 ①6 ②12
【解析】 设男学生人数为x，女学生人数为y，教师人数为z，由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>y，,y>z，,2z>x，))且x，y，z均为正整数．
①当z＝4时，8>x>y>4，∴x的最大值为7，y的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.
②x>y>z>eq \f(x,2)，当x＝3时，条件不成立，当x＝4时，条件不成立，当x＝5时，5>y>z>eq \f(5,2)，此时z＝3，y＝4.
∴该小组人数的最小值为12.
20．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b【答案】 A
【解析】 c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b，
又b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，
两式相减得2b＝2＋2a2即b＝1＋a2，
∴b－a＝a2＋1－a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，
∴b>a，∴a21．观察以下运算：
1×5＋3×6>1×6＋3×5，
1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.
(1)若两组数a1，a2与b1，b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明．
(2)若两组数a1，a2，a3与b1，b2，b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3进行大小顺序(不需要说明理由)．
【解析】解 (1)成立，证明如下：
∵a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，
又a1≤a2，b1≤b2，∴(a1－a2)(b1－b2)≥0，即a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1.
(2)a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b3.
22、设a>b>0，试比较eq \f(a2－b2,a2＋b2)与eq \f(a－b,a＋b)的大小．
【解析】解法一(作差法)：
eq \f(a2－b2,a2＋b2)－eq \f(a－b,a＋b)＝ SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0 ．
因为a>b>0，所以a＋b>0，a－b>0，2ab>0．
所以 SKIPIF 1 < 0 >0，所以eq \f(a2－b2,a2＋b2)>eq \f(a－b,a＋b)．
解法二(作商法)：
因为a>b>0，所以eq \f(a2－b2,a2＋b2)>0，eq \f(a－b,a＋b)>0．
所以eq \f(\f(a2－b2,a2＋b2),\f(a－b,a＋b))＝ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(a2＋b2＋2ab,a2＋b2)＝1＋eq \f(2ab,a2＋b2)>1．
所以eq \f(a2－b2,a2＋b2)>eq \f(a－b,a＋b)．
23、若a<0，b<0，则p＝eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系为( )
A．pC．p>q D．p≥q
【答案】： B
【解析】(作差法)p－q＝eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)－a－b
＝eq \f(b2－a2,a)＋eq \f(a2－b2,b)＝(b2－a2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－\f(1,b)))
＝eq \f(b2－a2b－a,ab)＝eq \f(b－a2b＋a,ab)，
因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；
若a≠b，则p－q<0，故p综上，p≤q.故选B.
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔b⇔
传递性
a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c>0))⇒ac>bc
注意c的符号
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c<0))⇒ac同向可加性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d
⇒
同向同正可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
a，b同为正数
可开方性
a>b>0⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)(n∈N，n≥2)
a，b同为正数