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湖南省攸县2022_2023学年高一数学上学期期中试卷
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这是一份湖南省攸县2022_2023学年高一数学上学期期中试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，则
A. B. C. D.
【答案】A
2. 已知命题：“，都有”，则命题的否定是（）
A. ，使得B. ，使得
C. ，使得D. ，使得
【答案】C
3. 若，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
4. 已知，，，则，，的大小关系是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
5. “”是“”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
6. 已知函数，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
7. 如图（1）是反映某条公交线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示.
则下列说法中，正确的是（）
A. 图（2）的建议是：提高成本，并保持票价不变
B. 图（2）的建议是：提高成本，并提高票价
C. 图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变
D. 图（3）的建议是：提高票价，并降低成本
【答案】C
8. 设定义在上的函数的值域为，若集合为有限集，且对任意，存在使得，则满足条件的集合的个数为（）
A. 3B. 5C. 7D. 无穷个
【答案】B
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知集合，则下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
10. 设，且，则下列结论一定正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
11. 已知全集，集合满足，则下列选项中正确的有（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
12. 定义域和值域均为（常数）的函数和图象如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（）
A. 方程有且仅有三个解B. 方程有且仅有三个解
C. 方程有且仅有九个解D 方程有且仅有一个解
【答案】AD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 设全集，集合，则__________．
【答案】或
14. 函数，则_______.
【答案】1
15. 若是R上的单调函数，则实数a的取值范围为________．
【答案】
16. 设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______．
【答案】
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 化简求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：
．
18. （1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.
19. 已知幂函数是偶函数，且.
（1）求的表达式
（2）若函数在与轴有交点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
解：对幂函数，有
故在单调递增，所以
解得，所以或1
当时，，此时为奇函数，舍去.
当时，，此时为偶函数，满足题意.
故.
【小问2详解】
解：由（1）可得，问题转化为在有解，故在有解.
令，
所以在的值域，即求在的值域·
当时，有最小值2；当时，有最大值6.
所以，即.
20 已知函数．
（1）设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增；
（2）当时，解关于x的不等式．
【答案】（1）证明见详解.
（2）当时，；当时，；当时，.
【小问1详解】
因为，所以，
对于任意的，且，
，
由于，且，所以，
故，所以在区间上单调递增；
【小问2详解】
不等式可化简为，
因为，所以上式化简得，
令，解得或，
当时，即时，得；
当时，即时，得；
当时，即时，得；
综上，当时，；
当时，；
当时，.
21. 已知，，且．
（1）求的最大值，以及取最大值时、的值；
（2）求证：．
【答案】（1）的最大值为，取最大值时，
（2）证明见解析
【小问1详解】
由基本不等式，得，
则，得．
当且仅当时，等号成立，
故的最大值为，取最大值时，．
【小问2详解】
证明：
，
当且仅当时，等号成立，
故，当且仅当时，等号成立．
22. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给定函数.
（1）求的对称中心；
（2）已知函数同时满足：①是奇函数；②当时，.若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
解：，
设的对称中心为，
由题意，得函数为奇函数，
则，
即，
即，
整理得，
所以，解得，
所以函数的对称中心为；
【小问2详解】
解：因为对任意的，总存在，使得，
所以函数的值域是函数的值域的子集，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上增函数，
所以的值域为，
设函数的值域为集合，
则原问题转化为，
因为函数是奇函数，所以函数关于对称，
又因为，所以函数恒过点，
当，即时，在上递增，则函数在上也是增函数，
所以函数在上递增，
又，
所以的值域为，即，
又，
所以，解得，
当即时，在上递减，则函数在上也是减函数，
所以函数在上递减，
则，
又，
所以，解得，
当即时，
在上递减，在上递增，
又因函数过对称中心，
所以函数在上递增，在上递减，
故此时，，
要使，
只需要，解得，
综上所述实数m的取值范围为.
1. 设集合，则
A. B. C. D.
【答案】A
2. 已知命题：“，都有”，则命题的否定是（）
A. ，使得B. ，使得
C. ，使得D. ，使得
【答案】C
3. 若，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
4. 已知，，，则，，的大小关系是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
5. “”是“”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
6. 已知函数，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
7. 如图（1）是反映某条公交线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示.
则下列说法中，正确的是（）
A. 图（2）的建议是：提高成本，并保持票价不变
B. 图（2）的建议是：提高成本，并提高票价
C. 图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变
D. 图（3）的建议是：提高票价，并降低成本
【答案】C
8. 设定义在上的函数的值域为，若集合为有限集，且对任意，存在使得，则满足条件的集合的个数为（）
A. 3B. 5C. 7D. 无穷个
【答案】B
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知集合，则下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
10. 设，且，则下列结论一定正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
11. 已知全集，集合满足，则下列选项中正确的有（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
12. 定义域和值域均为（常数）的函数和图象如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（）
A. 方程有且仅有三个解B. 方程有且仅有三个解
C. 方程有且仅有九个解D 方程有且仅有一个解
【答案】AD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 设全集，集合，则__________．
【答案】或
14. 函数，则_______.
【答案】1
15. 若是R上的单调函数，则实数a的取值范围为________．
【答案】
16. 设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______．
【答案】
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 化简求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：
．
18. （1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.
19. 已知幂函数是偶函数，且.
（1）求的表达式
（2）若函数在与轴有交点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
解：对幂函数，有
故在单调递增，所以
解得，所以或1
当时，，此时为奇函数，舍去.
当时，，此时为偶函数，满足题意.
故.
【小问2详解】
解：由（1）可得，问题转化为在有解，故在有解.
令，
所以在的值域，即求在的值域·
当时，有最小值2；当时，有最大值6.
所以，即.
20 已知函数．
（1）设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增；
（2）当时，解关于x的不等式．
【答案】（1）证明见详解.
（2）当时，；当时，；当时，.
【小问1详解】
因为，所以，
对于任意的，且，
，
由于，且，所以，
故，所以在区间上单调递增；
【小问2详解】
不等式可化简为，
因为，所以上式化简得，
令，解得或，
当时，即时，得；
当时，即时，得；
当时，即时，得；
综上，当时，；
当时，；
当时，.
21. 已知，，且．
（1）求的最大值，以及取最大值时、的值；
（2）求证：．
【答案】（1）的最大值为，取最大值时，
（2）证明见解析
【小问1详解】
由基本不等式，得，
则，得．
当且仅当时，等号成立，
故的最大值为，取最大值时，．
【小问2详解】
证明：
，
当且仅当时，等号成立，
故，当且仅当时，等号成立．
22. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给定函数.
（1）求的对称中心；
（2）已知函数同时满足：①是奇函数；②当时，.若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
解：，
设的对称中心为，
由题意，得函数为奇函数，
则，
即，
即，
整理得，
所以，解得，
所以函数的对称中心为；
【小问2详解】
解：因为对任意的，总存在，使得，
所以函数的值域是函数的值域的子集，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上增函数，
所以的值域为，
设函数的值域为集合，
则原问题转化为，
因为函数是奇函数，所以函数关于对称，
又因为，所以函数恒过点，
当，即时，在上递增，则函数在上也是增函数，
所以函数在上递增，
又，
所以的值域为，即，
又，
所以，解得，
当即时，在上递减，则函数在上也是减函数，
所以函数在上递减，
则，
又，
所以，解得，
当即时，
在上递减，在上递增，
又因函数过对称中心，
所以函数在上递增，在上递减，
故此时，，
要使，
只需要，解得，
综上所述实数m的取值范围为.
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