2022-2023学年湖南省湘东名校（茶陵一中、攸县一中、株洲市二中、醴陵二中）高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省湘东名校（茶陵一中、攸县一中、株洲市二中、醴陵二中）高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知全集U={1,3,5,7,9},集合A={1,|a-5|,9},∁UA={5,7},则a的值是(　　)

A．2 B．8 C．-2或8 D．2或8

【答案】D

【详解】由由已知得；故选D.

2．设p：-1≤x<2，q：x<a，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（    ）

A．a≤-1 B．a≤-1或a≥2 C．a≥2 D．-1≤a<2

【答案】C

【分析】根据必要条件，分析条件与结论得关系，从而求得参数的取值范围

【详解】因为p：-1≤x<2，q：x<a，若q是p的必要条件，所以a≥2

故选：C

【点睛】考查根据充分必要条件，求参数范围

3．已知函数则的值为（    ）

A． B．6 C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（2）＝6，进而可得＝f（），由解析式计算可得答案．

【详解】根据题意，函数，则f（2）＝22+2×2﹣2＝6，

则＝f（）＝2﹣（）2＝.

故选D．

【点睛】本题考查分段函数的求值，涉及分段函数的解析式，属于基础题．

4．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（    ）

A．a>b B．a<b

C．a≥b D．a≤b

【答案】C

【分析】作差比较可得答案.

【详解】a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，

所以a≥b.

故选：C.

5．已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（    ）

A．2 B． C．4 D．2或

【答案】B

【分析】利用幂函数的定义求出m值，再由单调性验证即得.

【详解】因函数是幂函数，则，即，解得或，

当时，函数在上递增，则，

当时，函数在上递减，不符合要求，

实数.

故选：B

6．已知定义在（0，）上的函数满足：对任意正数a､b，都有，且当时，，则下列结论正确的是（    ）

A．是增函数，且 B．是增函数，且

C．是减函数，且 D．是减函数，且

【答案】D

【分析】法一：找到一个函数满足题干中的条件，从而得到单调性和值域，求出答案；法二：根据题干中条件，利用赋值法和定义法来求解函数的单调性和值域，进而得到答案.

【详解】法一：取，满足题干条件，则是减函数，且；

法二：当时，.设，则，由已知，.

所以，即，所以是减函数，

故选：D.

7．若是一个三角形的三边长,则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据两边之和大于第三边,两边之差小于第三边求出a的取值范围即可.

【详解】解:由题知是一个三角形的三边长,故有

,即,

解得: ,故,

故选:A.

8．已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为，则实数a的值为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【解析】先画出两个函数的图象，得到的图象，根据最小值为进行数形结合可知，交点处函数值为，计算即得结果.

【详解】依题意，先作两个函数的草图，

因为，故草图如下：可知在交点A出取得最小值，

令，得，故，代入直线，得，

故.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于弄明白函数的图象意义，通过数形结合确定在交点处取得最值，计算即可突破.

二、多选题

9．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】ABD

【分析】根据不等式的性质，判断选项.

【详解】A.，则，，则，故A正确；

B.若，，则，故B正确；

C.当，，，满足，但，故C错误；

D. 若，，不等式两边同时乘以，不等号改变，即，故D正确.

故选：ABD

10．下列选项中正确的是（    ）

A． B． C．

D．

【答案】BC

【分析】根据空集的概念以及元素和集合的关系，逐项分析判断即可得解.

【详解】对A，空集没有任何元素，故A错误；

对B，空集是任何集合的子集，故B正确；

对C，方程无解，故C正确；

对D，由元素构成的集合并不是空集，故D错误.

故选：BC

11．下列各组函数是同一函数的是（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

【答案】AD

【分析】根据两函数相等的三要素一一判断即可.

【详解】对于A, 的定义域为,

的定义域为,

且两个函数的对应关系相同,所以是同一函数,故A正确;

对于B, 的定义域为,

的定义域为,

所以不是同一函数,故B错误;

对于C，

与对应关系不相同,故C错误;

且定义域为,

定义域为,所以两个函数是同一函数,故D正确.

故选:AD.

12．定义域和值域均为（常数）的函数和图象如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（    ）

A．方程有且仅有三个解

B．方程有且仅有三个解

C．方程有且仅有九个解

D．方程有且仅有一个解

【答案】AD

【分析】通过利用或，结合函数和的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析外层零点对应的直线与内层函数图象的交点个数，即可得出结论.

【详解】解：对于A中，设，则由，即，

由图象知方程有三个不同的解，设其解为，，，

由于是减函数，则直线与函数只有1个交点，

所以方程，，分别有且仅有一个解，

所以有三个解，故A正确；

对于B中，设，则由，即，

由图象可得有且仅有一个解，设其解为b，可知，

则直线与函数只有2个交点，

所以方程只有两个解，所以方程有两个解，故B错误；

对于C中，设，若，即，

方程有三个不同的解，设其解为，，，设，

则由函数图象，可知，，

由图可知，直线和直线分别与函数有3个交点，

直线与函数只有1个交点，

所以或或共有7个解，

所以共有七个解，故C错误；

对于D中，设，若，即，

由图象可得有且仅有一个解，设其解为b，可知，

因为是减函数，则直线与函数只有1个交点，

所以方程只有1解，所以方程只有一个解，故D正确.

故选：AD.

【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：

（1）确定内层函数和外层函数；

（2）确定外层函数的零点；

（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.

三、填空题

13．已知则实数的值为_____________

【答案】5

【分析】根据集合中元素的确定性讨论和，再结合元素互异性即可求解.

【详解】因为，

当时，那么，不满足集合元素的互异性，不符合题意，

当时，，此时集合为符合题意，

所以实数的值为，

故答案为：．

14．定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的解集________.

【答案】

【分析】利用偶函数，单调性解抽象不等式

【详解】因为为定义在上的偶函数，且在上单调递减，

所以，

所以，

即，

故答案为：

15．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】由题意可得函数在[2，＋∞）时的值域包含于函数在（−∞，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数在x∈[2，＋∞）时的值域，当x∈（−∞，2）时，对a分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a的取值范围．

【详解】解：设函数的值域为，函数的值域为，

因为对任意的，都存在唯一的，满足，

则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.

当时，，

因为，当且仅当，即时，等号成立，

所以，

当时，

①当时，，此时，

，解得，

②当时，，

此时在上是减函数，取值范围是，

在上是增函数，取值范围是，

，解得，

综合得.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.

四、双空题

16．使命题“若，则”为假命题的一组，的值分别为__________，_________.

【答案】     1     （答案不唯一）

【分析】只要，，原命题都是假命题.

【详解】若命题“若，则”为假命题，

则可使，，命题为假命题,

可设.

故答案为：1，（答案不唯一）

五、解答题

17．（1）设数轴上点与数对应，点与数对应，已知线段的中点到原点的距离不大于，求的取值范围；

（2）求方程组的解集.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求出的中点对应的数，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围；

（2）解方程组，即可得出该方程组的解集.

【详解】解：（1）因为的中点对应的数为，

所以由题意可知，即，解得，

所以的取值范围是；

（2）将代入整理可得，解得或，

当时，；当时，.

因此，原方程组的解集为.

18．（1）计算：；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）1；（2）65.

【分析】根据指数运算法则，对（1）（2）进行计算即可.

【详解】（1）

．

（2）因为，所以，

所以，

所以．

19．已知函数，.

（1）判断该函数在区间上的单调性，并给予证明；

（2）求该函数在区间上的最大值与最小值.

【答案】（1）在区间上是减函数；证明见解析；（2），.

【分析】（1）直接利用函数的单调性的定义证明即可；

（2）利用函数的单调性，直接求解函数的最值即可．

【详解】解：（1）在区间上是减函数.（导数法也可以）

证明任意取，且，

则，.

.

∵，

∴，，.

∴，∴.

∴在区间上是减函数.

（2）由（1）可知在区间上是递减的，故对任意的均有，

∴，

.

【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力，中档题．

20．（1）已知，求的最小值；

（2）已知，且，求的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由，利用基本不等式直接求得结果；

（2）根据配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得结果.

【详解】（1），，（当且仅当，即时取等号），

的最小值为；

（2），（当且仅当，即时取等号），

的最小值为.

21．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.

(1)求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；

(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.

【答案】(1)

(2)当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元

【分析】（1）由题意可知时，R=4000，代入函数中可求出，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式，

（2）分别当和求出函数的最大值，比较即可得答案

【详解】（1）由题意知，当时，，所以a=300.

当时，；

当时，.

所以，

（2）当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740；

当时，，

当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.

因为，

所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.

22．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给定函数.

(1)求的对称中心；

(2)已知函数同时满足：①是奇函数；②当时，.若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设的对称中心为，根据对称性得到关于的方程，解得即可得解；

（2）易求得的值域为，设函数的值域为集合，则问题可转化为，分，和三种情况讨论，从而可得出答案.

【详解】（1）解：，

设的对称中心为，

由题意，得函数为奇函数，

则，

即，

即，

整理得，

所以，解得，

所以函数的对称中心为；

（2）解：因为对任意的，总存在，使得，

所以函数的值域是函数的值域的子集，

因为函数在上都是增函数，

所以函数在上是增函数，

所以的值域为，

设函数的值域为集合，

则原问题转化为，

因为函数是奇函数，所以函数关于对称，

又因为，所以函数恒过点，

当，即时，在上递增，则函数在上也是增函数，

所以函数在上递增，

又，

所以的值域为，即，

又，

所以，解得，

当即时，在上递减，则函数在上也是减函数，

所以函数在上递减，

则，

又，

所以，解得，

当即时，

在上递减，在上递增，

又因函数过对称中心，

所以函数在上递增，在上递减，

故此时，，

要使，

只需要，解得，

综上所述实数m的取值范围为.

【点睛】本题考查了函数的对称性单调性及函数的值域问题，考查了转化思想及分类讨论思想，解决本题第二问的关键在于把问题转化为函数的值域是函数的值域的子集，有一定的难度.