广西桂林市龙胜各族自治县2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份广西桂林市龙胜各族自治县2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试用时：120分钟 满分：120分）
注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；不能使用计算器；考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 下列函数中，属于反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：、是正比例函数，不是反比例函数，此选项不符合题意；
、是反比例函数，此选项符合题意；
、一次函数，不是反比例函数，此选项不符合题意；
、二次函数，不是反比例函数，此选项不符合题意；
故选：．
2. 下列方程： ； ； ； 中，是一元二次方程有（ ）
A. 和B. 和C. 和D. 和
答案：C
解析： 中，左边不是整式，不是一元二次方程；
中有两个未知数，不是一元二次方程；
是一元二次方程；
是一元二次方程；
综上和是一元二次方程，
故选：．
3. 下列各组中的四条线段成比例的是( )
A. 4cm，2cm，1cm，3cm
B. 1cm，2cm，3cm，5cm
C. 3cm，4cm，5cm，6cm
D. 1cm，2cm，2cm，4cm
答案：D
解析：A．从小到大排列，由于，所以不成比例，故此选项不符合题意；
B．从小到大排列，由于，所以不成比例，故此选项不符合题意；
C．从小到大排列，由于，所以不成比例，故此选项不符合题意；
D．从小到大排列，由于，所以成比例，故此选项符合题意；
故选：D．
4. 若点A(3，－4)、B(－2，m)在同一个反比例函数的图像上，则m的值为 （ ）
A. 6B. －6C. 12D. －12
答案：A
解析：解：设反比例函数的解析式为
把A（3，﹣4）代入得：k=﹣12
即
把B（﹣2，m）代入得：m=﹣=6，
故选A．
5. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A. B. 1C. 1或D. 0.5
答案：A
解析：解：因为x的一元二次方程的一个根是0，
所以把代入，
得，
解得，
因为，
即，
所以，
故选：A．
6. 用配方法解方程时，原方程变形正确的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：方程变形得：，
配方得：，即，
故选：A．
7. 若，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
答案：B
解析：解：，
，
．
故选：B．
8. 如图，在中，点，分别在，上，，下列比例式中，不正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：，
，
，
A、选项不符合题意，故不选A，
B、选项不符合题意，故不选B，
C、选项符合题意，故选C，
D、选项不符合题意，故不选D．
9. 三角形的面积为，这时底边上的高与底边之间的函数关系用图像来表示是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：由题意得，即，
又∵，，
∴图象在第一象限，
故选：D．
10. 某班同学毕业时将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2450张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：解：全班有x名同学，
每名同学要送出张；
又是互送照片，
总共送的张数应该是
故选C．
11. 如图，中，，，的垂直平分等线交于点，则下列结论中成立的有（ ）
①；②是的平分线；③是等腰三角形；④

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：D
解析：解：中，，
，
垂直平分，
，
是等腰三角形，
，
，
，
是的平分线，
，为公共角，
．
综上所述：①②③④均正确．
故选：D．
12. 关于x的反比例函数的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．中，轴，轴，与相交于点B．若的面积大于12，则关于x的方程的根的情况是（ ）
A. 2个不相等的实数根B. 2个相等的实数根
C. 1个实数根D. 无实数根
答案：D
解析：解：∵反比例函数的图象位于一、三象限，
∴，
∴，
∵A、P关于原点成中心对称，轴，轴，的面积大于12，
∴，
即，
∴．
∴，
∴关于x的方程没有实数根．
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共24分）
13. 反比例函数的图像过点，则这个反比例函数的解析式为_____．
答案：
解析：解：设反比例函数的解析式为，
把点代入得，，
故此反比例函数的解析式为，
故答案为：．
14. 方程的根是________．
答案：，##，
解析：解：直接开方，得
，
即，．
故答案为：．，．
15. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.
答案：4∶9
解析：解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故答案为：4：9．
考点：相似三角形的性质．
16. 已知有两个不相等的实数根，的取值范围是_____．
答案：且
解析：解：由题意得：，
∵有两个不相等的实数根，
∴且，
即且，
解得：且，
故答案为：且．
17. 如图：点是的斜边上不与、重合的一定点，过点作直线截，使截得的三角形与原相似，这样的直线共有________条．
答案：
解析：当过点M的直线平行于AB和AC时，所截的三角形与△ABC相似，当过M的直线垂直于AC时也相似，所以这样的直线共有三条.
18. 反比例函数的图象如图所示，点是该函数图象上一点，垂直于轴，垂足是点，如果，则的值为______．
答案：
解析：解：根据题意得，
则，
而，
所以．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解方程
（1）
（2）
答案：（1），
（2），
小问1解析：
，
，
或，
解得：，
小问2解析：
，
，
或，
，
20. 如图，请画出的一个位似图形，使与以为位似中心，且相似比为．
答案：见解析．
解析：解：如图：
作法：（1）作射线，，，
（2）在射线，，上分别取点，，，使，，，
（3）连接，，，即为所求．
作法：（1）在射线，，上分别取点，，，使，，，
（2）连接，，，即为所求．
21. 一个水池内原有水升，现在以升分钟的速度向水池内注水，分钟可注满水池．
（1）水池的容积是多少？
（2）若水池为空的，设注水的速度为升分钟，注满水池需要分钟，写出与之间的函数关系式；
（3）若水池为空的，分钟注满水池，则注水的速度应达到多少？
答案：（1）升；
（2）与之间的函数关系式为：；
（3）注水的速度应达到升分钟．
小问1解析：
依题意得：水池的容积（升）；
小问2解析：
依题意得，，
∴；
则与之间的函数关系式为：；
小问3解析：
由（）得：与之间的函数关系式为，
当代入，
，得，
∴注水的速度应达到升分钟．
22. 如图，在中，，D是边上不同于B、C的一动点，过D作，垂足为E，连接．
（1）求证：；
（2）当，，时，求的面积．
答案：（1）见解析 （2）
小问1解析：
证明：在中，，
∵，
∴，
∵，
∴；
小问2解析：
∵在中，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
则．
23. 如图，一幅长，宽的图案中有一横两竖的彩条，横彩条与竖彩条是宽度比为，若图案中的三条彩条面积是，求横、竖彩条的宽度．
答案：竖彩条的宽度为，横彩条的宽度为．
解析：解：设竖彩条的宽度为，横彩条的宽度为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴竖彩条的宽度为，横彩条的宽度为，
答：竖彩条的宽度为，横彩条的宽度为．
24. 已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长．
答案：（1）见解析 （2）
小问1解析：
解：在关于的方程中，，，，
∴
∵
∴无论取何值，方程总有实数根．
小问2解析：
解：是等腰三角形，一边长，另外两边分别为，，且、恰好是这个方程的两个根，
①当时，即方程两根相等，
∴，解得，方程可化为：，解得，
∴三边为长分别为，，，
∵，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去；
②当或者时，即是原方程的一个根，
把代入得，，解得，，
∴原方程可化为：，解得：或，即的一边长为，另一边长为，
∴．
25. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）直接写出一次函数的值大于反比例函数的值自变量的范围；
（3）在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标．
答案：（1），
（2）或
（3）
小问1解析：
点在一次函数上，
，
点的坐标为，
点在反比例函数（为常数，且）上，
，
反比例函数表达式．
联立一次函数表达式与反比例函数表达式，的：
，
解得：，
点B的坐标为．
小问2解析：
当时，
一次函数的图像在反比例函数图像上方，
自变量的取值范围为或．
小问3解析：
作A关于y轴对称点，连接交y轴于点P，此时的值最小．
点，A关于y轴对称点，
，
设直线的表达式为，
则有，
解得：，
直线的表达式为，
令中，则，
点P的坐标为．
26. 如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，如果，分别从，同时出发，秒后停止运动，设运动时间为秒．
（1）填空： ， ；
（2）当为何值时，的面积为？
（3）是否存在某一时间，使得和相似？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由．
答案：（1），；
（2）秒或秒；
（3）存，秒或秒．
小问1解析：
解：∵点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，
∴，，
∴．
小问2解析：
解：设经过秒钟，使的面积为，
∵，，，
∴，
∴，
∴解得：，，
∴如果，分别从，同时出发，经过秒或秒的面积为．
小问3解析：
解：设经过秒钟，使和相似，
∵，
当使时，和相似，
即，
解得：；
当使时，和相似，
即，
解得：．
∴如果，分别从，同时出发，经过秒或秒和相似．