高中4.3 组合课前预习课件ppt

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1.排列数公式(1) =n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)(常用来求值);(2) = (常用来化简或证明).2.组合数公式(1) = = ;(2) = ;(3) =  反映对称性,当m> 时,通常将 转化为  ;(4) = + .
2 | 排列数公式与组合数公式
1.同一个排列中,同一个元素可以重复出现吗?不可以.2.在一个排列中,若交换两个元素的位置,则该排列发生变化吗?发生.排列是有顺序的,元素位置发生变化,排列就会发生变化.  
1.求解此类问题时要注意对公式的选择与灵活应用.2.解有关排列数、组合数的方程或不等式的步骤
1 与排列数、组合数有关的计算
 典例1    (1) + + +…+ 等于 (　    )A. 　　　　    B. C. -1　　　    D. -1(2)解方程:3 =5 ;(3)解不等式: > .
解析    (1) + + +…+ = + + + +…+ - = + + +…+ -1=…= + -1= -1.(2)由排列数公式和组合数公式,知原方程可化为3· =5· ,则 = ,即(x-3)(x-6)=40,解得x=11或x=-2.易知x≥7,则x=11.(3)由 > 得 ⇒ ⇒ ⇒6≤n<10.
因为n∈N+,所以原不等式的解集为{6,7,8,9}.
 典例2　化简求值:(1) ;(2) + + +…+ (n≥2且n∈N+).
解析    (1) = = =3.(2)∵ = - ,∴ + + +…+ = + + +…+ =1- .
1.“在”与“不在”问题　　解决此类问题,常用的方法是特殊位置(元素)分析法,遵循的原则是优先排特 殊位置(元素),即需先满足特殊位置(元素)的要求,再处理其他位置(元素),如果有 两个及以上的约束条件,那么在考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件;当直 接求解困难时,可考虑用间接法解题.2.“相邻”与“不相邻”问题(1)当元素被要求相邻时,通常采用“捆绑法”,即把相邻元素看作一个整体并与 其他元素进行排列.(2)当元素被要求不相邻时,通常采用“插空法”,即先考虑不受限制的元素的排 列,再将不相邻元素插在前面元素形成的空中.
2 有限制条件的排列问题  
3.“定序”问题 　　在排列问题中,某些元素已排定了顺序,对这些元素进行排列时,不再考虑其 顺序.在具体的计算过程中,可采用“除阶乘法”解决,即n个元素的全排列中有m (m≤n)个元素的顺序固定,则满足题意的排法有 种.
 典例1    7名师生站成一排照相留念,其中有1名老师,4名男学生,2名女学生.分别求满足下列情况的不同站法的种数.(1)老师必须站在中间或两端;(2)2名女学生必须相邻而站;(3)4名男学生互不相邻;(4)4名男学生身高都不等,且按从高到低的顺序站.
解析    (1)先考虑老师,有 种站法,再考虑其余6人,有 种站法,故不同站法的种数为  =2 160.(2)2名女学生相邻而站,有 种站法,将她们视为一个整体并与其余5人全排列,有 种站法,所以不同站法的种数为  =1 440.(3)先排老师和女学生,有 种站法,再在老师和女学生站位的空(含两端)中插入男学生,每空一人,则插入方法有 种,所以不同站法的种数为  =144.(4)在7人全排列的所有站法中,4名男学生不考虑身高顺序的站法有 种,而从高到低顺序站有从左到右和从右到左2种,所以不同站法的种数为2× =420.
 典例2　用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个:(1)无重复数字且个位数字不是5的六位数?(2)无重复数字且为5的倍数的五位数?(3)无重复数字的六位数?若这些六位数按照从小到大的顺序排成一列数,则240 1 35是该列数的第几项?
解析    (1)解法一(间接法):0在十万位或5在个位上时都有 种情况,0在十万位且5在个位上时有 种情况.故符合题意的六位数共有 -2 + =504(个).解法二(直接法):当个位数字为0时,符合题意的六位数有 个;当个位数字不为0时,符合题意的六位数有   个.故符合题意的六位数共有 +   =504(个).(2)符合题意的五位数可分为两类:第一类,个位数字是0的五位数,有 个;第二类,个位数字是5的五位数,有  个.故符合题意的五位数的个数为 +  =216.(3)符合题意的六位数共有 - =600(个),
其中十万位数字为1的有 个,十万位数字为2,万位数字为0或1或3的共有3 个,∵ +3 +1=193,∴240 135是该列数的第193项.
易错警示    含有数字“0”的排列问题隐含了数字“0”不能在首位的条件,应将 其视为有限制条件的元素优先排列问题.若在一个题目中,除了数字“0”以外还 有其他受限制的数字,则应考虑受限制的数字对位置的选择会不会影响数字 “0”对位置的选择,若有影响,则应分类讨论.
1.分组问题的求解策略(1)非均匀不编号分组:将n个不同元素分成m(m≤n)组,每组元素数目均不相等,依 次记为m1,m2,…,mm,不考虑各组间的顺序,不管是否分尽,分法种数N= · · ·…· .(2)均匀不编号分组:将n个不同元素分成不编号的m(m≤n)组,假定其中r组元素个 数相等,不管是否分尽,其分法种数为 (其中N为非均匀不编号分组中的分法种数).若再有k组均匀分组,则应再除以 .(3)非均匀编号分组:将n个不同元素分成m(m≤n)组,各组元素数目均不相等,且考 虑各组间的顺序,其分法种数为N· (其中N为非均匀不编号分组中的分法种数).(4)均匀编号分组:将n个不同元素分成m(m≤n)组,其中r组元素个数相等且考虑各
组间的顺序,其分法种数为 · (其中N为非均匀不编号分组中的分法种数).2.相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,那么可看作排成一行的小 球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的 方法对应着小球放入盒子的一种方法,此方法称为隔板法.隔板法专门用于解决 相同元素的分配问题.(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),有 种方法.可理解为(n-1)个空中插入(m-1)块板.
 典例1　把10个相同的小球分别放入编号为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的小球数不小于盒子的编号数,则不同的方法共有　 15　  种.
解析    在编号为2,3的两个盒子中分别放入1,2个小球,这样还剩10-3=7个小球,则 问题变为求把7个相同的小球分别放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子至少 放一个小球的不同方法的种数,由隔板法可知共有 =15种方法.
 典例2　按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方法?(1)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(2)分成三份,一份4本,另外两份每份1本.
解析    (1)先从6本书中选择1本,有 种方法,再从剩余5本书中选择2本,有 种方法,还剩3本书全选,有 种方法,所以总共有   =60种方法,再在此基础上进行分配,所以有    =360种方法.(2)从6本书中选择4本书的方法有 种,从剩余2本书中选择1本书的方法有 种,因为在最后2本书的选择中发生了重复,所以分配方法共有 =15(种).
　　解决排列、组合问题首先要区分是排列问题还是组合问题,有序则用排列知 识求解,无序则用组合知识求解,要遵循两个原则:(1)按元素(或位置)的性质进行分类;(2)按事情发生的过程进行分步.
4 排列、组合的综合问题
 典例　如图,一个正方形花圃被分成5部分.
(1)若给这5个部分种植花,要求相邻两部分种植不同颜色的花,现有红、黄、蓝、 绿4种颜色的花可选,问有多少种不同的种植方法?(2)若在这5个部分放入7个不同的盆栽,要求每个部分都有盆栽,问有多少种不同 的放法?