数学选择性必修 第一册3.2 双曲线同步练习题

这是一份数学选择性必修 第一册3.2 双曲线同步练习题，共21页。试卷主要包含了已知双曲线W，设F1,F2分别为双曲线C等内容，欢迎下载使用。
题组一 根据双曲线的标准方程研究其几何性质
1.(2020北京石景山期末)双曲线x24-y23=1的离心率是( )
A.32 B.54 C.72 D.52
2.(2022上海浦东期中)双曲线4x2+ky2=4k的虚轴长是实轴长的2倍,则实数k的值是( )
A.16 B.116 C.-16 D.-116
3.(多选)(2022广东云浮期末)已知双曲线W:x22+m-y2m+1=1,则( )
A.m∈(-2,-1)
B.若W的顶点坐标为(0,±2),则m=-3
C.W的焦点坐标为(±1,0)
D.若m=0,则W的渐近线方程为x±2y=0
题组二 由双曲线的几何性质求其标准方程
4.(2021湖南常德二中月考)已知双曲线的一条渐近线的方程为y=2x,且经过点(2,2),则该双曲线的标准方程为( )
A.x24-y2=1 B.y24-x2=1
C.x2-y24=1 D.y2-x24=1
5.以椭圆x24+y23=1的焦点为顶点,左、右顶点为焦点的双曲线的方程为( )
A.y23-x2=1 B.x2-y23=1
C.x24-y23=1 D.x23-y24=1
6.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)为等轴双曲线,且焦点到渐近线的距离为1,则该双曲线的方程为( )
A.x2-y2=12 B.x2-y2=1
C.x2-y2=2 D.x2-y2=2
7.(2022湖南师大附中期中)已知双曲线C与椭圆x29+y225=1有共同的焦点,且它们的离心率之和为145,则双曲线C的方程是 .
题组三 双曲线的渐近线
8.(2022重庆国维外国语学校期中)已知椭圆x25+y2=1与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率之积为2,则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±3x B.y=±3x
C.y=±2x D.y=±2x
9.(2022广东深圳中学期中)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线分别为正方形OABC的边OA,OC所在的直线(其中O为坐标原点),点B为该双曲线的一个焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=( )
A.2 B.3 C.4 D.1
10.(2022山西长治二中期末)设F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若P为C左支上的一点,满足|PF1|=|F1F2|,且F1到直线PF2的距离为7a,则C的渐近线方程为( )
A.y=±73x B.y=±43x
C.y=±3x D.y=±103x
11.(2022北京十二中期末)已知双曲线C:x24-y28=1的右焦点为F,点P在双曲线C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则双曲线C的实轴长为 ;△PFO的面积为 .
题组四 双曲线的离心率
12.(2022湖南雅礼中学期中)已知双曲线x2a2-y22=1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3,则双曲线的离心率为( )
A.233 B.2
C.233或2 D.3
13.(2022广东执信中学期中)点P在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上,F1,F2是双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长满足2|PF1|=|PF2|+|F1F2|,则此双曲线的离心率是( )
A.2 B.3
C.2 D.5
14.(2021湖南衡阳一模)已知F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M,若MF1·MF2>0,则该双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2) B.(3,+∞)
C.(1,2) D.(2,+∞)
题组五 直线与双曲线的位置关系
15.若直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,则实数k的取值范围是( )
A.(-2,-1) B.(1,2)
C.(-2,2) D.(-1,1)
16.(2022福建莆田十五中期末)设离心率为e的双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线l过焦点F,且斜率为k,则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是( )
A.k2-e2>1 B.e2-k2>1
C.k2-e20)的实轴长为4,一条渐近线方程为y=32x.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=k(x-1)与双曲线C相交于不同的两点,求实数k的取值范围.
能力提升练
题组一 双曲线的几何性质及其应用
1.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,点P在直线x=c上运动,若∠A1PA2的最大值为π3,则双曲线的离心率为( )

A.233 B.322 C.2 D.3
2.(多选)(2022湖南邵阳十一中期末)已知双曲线C过点(3,2),且渐近线方程为y=±33x,则下列结论正确的是( )
A.C的方程为x23-y2=1
B.C的离心率为3
C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点
D.直线x-3y-1=0与C有两个公共点
3.(2022山东枣庄期末)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是C的右支上一点,PF1⊥PF2,PF1与y轴交于点M,若|F1O|=2|OM|(O为坐标原点),则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y=±2x B.y=±2x
C.y=±5x D.y=±3x
4.(多选)(2022湖北武昌期末)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,O为坐标原点,若|F1F2|2=16|MA|·|MB|,则( )
A.双曲线C的离心率为2
B.四边形AMBO的面积为12a2
C.双曲线C的渐近线方程为y=±2x
D.直线MA与直线MB的斜率之积为定值
5.(2022湖南怀化期末)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为 .
6.(2022江苏镇江中学期中)设双曲线C:x2-y2b2=1(b>0)的右焦点为F,点Q(0,b),已知点P在双曲线C的左支上,若△PQF的周长的最小值是8,则双曲线C的离心率是 ,此时,点P的坐标为 .
题组二 直线与双曲线的位置关系
7.(2021湖南武冈二中期中)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-c,0),过点F且斜率为1的直线与双曲线C交于A,B两点,若线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(2c,0),则双曲线C的离心率为( )
A.52 B.2
C.3 D.2
8.(2022湖南名校联合体期末联考)设点P为双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上任意一点,双曲线E的离心率为3,右焦点与椭圆G:x2t+6+y2t+3=1(t>0)的右焦点重合.
(1)求双曲线E的标准方程;
(2)过点P作双曲线两条渐近线的平行线,分别与两条渐近线交于点A,B,O为坐标原点,求证:平行四边形OAPB的面积为定值,并求出此定值.
9.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,|PF1|,|PF2|的最小值m1,m2,且满足m1m2=3a2.
(1)求双曲线的离心率;
(2)若a=2,过点F1的直线交双曲线于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点D(异于坐标原点O),求|AB||OD|的最小值.
10.[2021新高考八省(市)联考]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,点A为C上位于第二象限的动点.
(1)若点A的坐标为(-2,3),求双曲线C的方程;
(2)设B,F分别为双曲线C的右顶点、左焦点,是否存在常数λ,使得∠AFB=λ∠ABF?如果存在,请求出λ的值;如果不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C 由双曲线x24-y23=1,得a2=4,b2=3,
∴a=2,c=a2+b2=7,∴e=ca=72,故选C.
2.C 双曲线方程可化为x2k+y24=1,易知k0,解得m>-1或m-1时,c2=(2+m)+(m+1)=2m+3>1,当m1,C错误;当m=0时,双曲线W的标准方程为x22-y2=1,则渐近线方程为y=±22x,即x±2y=0,D正确.故选BD.
4.C 由题意可设双曲线的标准方程是x2-y24=k(k≠0),将(2,2)代入,可得(2)2-224=k,解得k=1,所以双曲线的标准方程为x2-y24=1.故选C.
5.B 易知椭圆x24+y23=1的焦点为(±1,0),左、右顶点分别为(-2,0),(2,0),
∴双曲线的顶点为(±1,0),焦点为(±2,0).
设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),
则a=1,c=2,∴b2=c2-a2=3,
则双曲线的标准方程为x2-y23=1.故选B.
6.B 由题意得a2=b2,则c=a2+b2=2a,所以双曲线的焦点坐标为(±2a,0),渐近线方程为x±y=0,
因为焦点到渐近线的距离为1,所以2a2=1,解得a=1,则双曲线的标准方程为x2-y2=1.故选B.
7.答案 y24-x212=1
解析 因为双曲线C与椭圆x29+y225=1有共同的焦点,所以双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),则c=25-9=4,ca+45=145,解得a=2,所以b2=16-4=12,因此双曲线C的方程是y24-x212=1.
8.D 易得椭圆的离心率为5-15=255,故255×ca=2,即ca=5,则ba=ca2-1=2,所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.故选D.
9.A 由题意可知双曲线的两条渐近线互相垂直,则ba×-ba=-1,即a=b,故渐近线方程为y=±x,∵正方形OABC的边长为2,B为双曲线的一个焦点,∴|OB|=22,即c=22,则a2+b2=c2=8,即2a2=8,解得a=2(负值舍去),故选A.
10.C 由题意知|PF1|=|F1F2|=2c,|PF2|-|PF1|=2a,∴|PF2|=2a+2c,则(2c)2=(a+c)2+(7a)2,得3c2-2ac-8a2=0,3·c2a2-2·ca-8=0,所以ca=2,故a2+b2=4a2,所以ba=3,所以双曲线的渐近线方程为y=±3x.故选C.
11.答案 4;32
解析 由双曲线C的方程可知其实轴长为4,右焦点为F(23,0),又因为|PO|=|PF|,所以点P在线段OF的中垂线上,所以点P的横坐标为3,易得双曲线C:x24-y28=1的渐近线方程为y=±2x,所以点P的纵坐标为±6,即△PFO的高为6,所以△PFO的面积为12×|OF|×6=32.
12.A 双曲线的渐近线方程为y=±2ax,因为两条渐近线的夹角为π3,所以直线y=2ax的倾斜角是π6或π3,即2a=tan π6或2a=tan π3,解得a=6或a=63,又因为a>2,则a=6,所以c=22,所以双曲线的离心率e=ca=233.故选A.
13.D 设点P在双曲线的右支上,F1,F2分别为左、右焦点,则|PF1|-|PF2|=2a,因为|F1F2|=2c,2|PF1|=|PF2|+|F1F2|,所以|PF1|=2c-2a,|PF2|=2c-4a,因为∠F1PF2=90°,所以△F1PF2是直角三角形,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,所以(2c-2a)2+(2c-4a)2=4c2,即c2-6ac+5a2=0,所以e2-6e+5=0,解得e=5或e=1(舍去),所以此双曲线的离心率是5,故选D.
14.D 由题意可设过点F1(-c,0)且与双曲线的一条渐近线y=bax平行的直线的方程为y=bax+bca,与另一条渐近线y=-bax的交点为M-c2,bc2a,由MF1·MF2>0得-c2,-bc2a·3c2,-bc2a>0,即b2a2>3,又因为e=ca=1+b2a2,所以e>2,故选D.
15.D 当直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的渐近线y=±x平行时,k=±1,此时直线l只与双曲线的左支或右支有一个交点,
∵直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,
∴k的取值范围为(-1,1),故选D.
16.B 当直线l的斜率k不存在时,直线l只与双曲线的一支相交,不满足题意,故k存在,由直线l过右焦点F,可设直线l的方程为y=k(x-c),易求得双曲线的渐近线方程为y=±bax,若直线l与双曲线C的左、右两支都相交,则|k|0,
解得-10,所以t+b2t≥2b,当且仅当t=b时等号成立,则tan(α-β)≤ab.因为∠A1PA2的最大值为π3,所以ab=3,即a=3b,则c2=a2+b2=4b2,所以c=2b,故e=ca=233,故选A.
2.AC 由题意可设双曲线的方程为x23-y2=λ(λ>0),把(3,2)代入,得93-2=λ,即λ=1,∴双曲线C的方程为x23-y2=1,故A正确;由a2=3,b2=1,得c=a2+b2=2,∴双曲线C的离心率为23=233,故B错误;令x-2=0,得x=2,则ex-2-1=0,故曲线y=ex-2-1过定点(2,0),故C正确;双曲线的渐近线方程为x±3y=0,因为直线x-3y-1=0与双曲线的一条渐近线平行,所以直线x-3y-1=0与C有1个公共点,故D不正确.故选AC.
3.B 易得F1(-c,0),F2(c,0),因为PF1⊥PF2,所以∠F1PF2=90°,因为∠F1OM=90°,∠MF1O=∠F2F1P,所以△MOF1∽△F2PF1,故|PF1||PF2|=|F1O||OM|=2,所以|PF1|=2|PF2|,因为|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=2a,|PF1|=4a,在Rt△PF2F1中,由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即16a2+4a2=4c2,可得5a2=c2,所以b2=c2-a2=4a2,故b2a2=4,即ba=2,所以渐近线方程为y=±bax=±2x.
4.ABD 设M(x0,y0),则x02a2-y02b2=1,即b2x02-a2y02=a2b2,且双曲线C的两条渐近线的方程分别为bx+ay=0和bx-ay=0,不妨设点A在直线bx+ay=0上,于是得|MA|=|bx0+ay0|a2+b2,|MB|=|bx0-ay0|a2+b2,从而得(2c)2=16·|bx0+ay0|a2+b2·|bx0-ay0|a2+b2=16·b2x02-a2y02c2=16a2b2c2,即c2=2ab,即a2+b2-2ab=0,所以a=b,所以c=2a,故双曲线的离心率e=ca=2,A正确;双曲线的渐近线方程为x±y=0,即两条渐近线互相垂直,四边形AMBO为矩形,其面积为|MA|·|MB|=116·(2c)2=14c2=12a2,B正确,C不正确;因为直线MA⊥MB,且两直线都不垂直于坐标轴,所以直线MA与直线MB的斜率之积为-1,D正确.故选ABD.
5.答案 x23-y29=1
解析 如图,直线CD是双曲线的一条渐近线,其方程为y=bax,即bx-ay=0,且F(c,0),AC⊥CD,BD⊥CD,故四边形ACDB是梯形,作EF⊥CD,垂足为E,因为F是AB的中点,所以|EF|=d1+d22=3,又因为|EF|=bca2+b2=b,所以b=3,因为双曲线的离心率为2,所以ca=2,即a2+b2a2=4,解得a=3(负值舍去),则双曲线的方程为x23-y29=1.
6.答案 5; -52,1
解析 如图,设D为双曲线C的左焦点,连接PD,QD,则|QD|=|QF|,|PF|=|PD|+2,设△PQF的周长为l,则l=|PQ|+|PF|+|QF|=|PQ|+|PD|+|QD|+2,因为|PQ|+|PD|≥|QD|=c2+b2,所以△PQF的周长l≥2c2+b2+2,因为△PQF的周长的最小值是8,所以2c2+b2+2=8,即c2+b2=9,即1+b2+b2=9,所以b=2,所以c=5,所以双曲线C的离心率e=ca=5,其方程为x2-y24=1.当△PQF的周长取最小值时,点P在直线QD上,易得Q(0,2),D(-5,0),所以直线QD的方程为y=255x+2,联立y=255x+2,x2-y24=1,解得x=-52, y=1或x=5,y=4(舍去),
故点P的坐标为-52,1.
7.D 设线段AB的中点坐标为(x0,y0),则有y0x0+c=1,y0x0-2c=-1,解得x0=c2,y0=32c,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,又因为点A,B在双曲线C上,所以x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,两式相减,得(x1-x2)(x1+x2)a2-(y1-y2)(y1+y2)b2=0,可得x0a2-y0b2·1=0,即1a2=3b2,即b2=3a2,∴c=2a,∴e=2.故选D.
8.解析 (1)由题意可得ca=3,c2=a2+b2,c2=3,则a=1,b=2,c=3.
所以双曲线E的标准方程为x2-y22=1.
(2)易求得双曲线渐近线方程为y=±2x.设点P坐标为(x0,y0),过点P且与两条渐近线平行的直线分别为l1,l2,A在l1上,且l1的斜率为2,则l1,l2的方程分别为y-y0=2(x-x0),y-y0=-2(x-x0),
联立y-y0=2(x-x0),y=-2x,
则A2x0-y022,2x0-y0-2,联立y-y0=-2(x-x0),y=2x,
则B2x0+y022,2x0+y02,
又因为渐近线方程为y=±2x,所以sin∠AOB=223,
所以S▱OAPB2=|OA|2×|OB|2×sin2∠AOB
=3(2x0-y0)28·3(2x0+y0)28·89=(2x02-y02)28,
又因为点P在双曲线上,所以x02-y022=1,即2x02-y02=2,
所以S▱OAPB2=12,即平行四边形OAPB的面积为定值,且此定值为22.
9.解析 (1)由题意知F1(-c,0),F2(c,0).
由双曲线的性质知m1=c+a,m2=c-a,
∴m1m2=c2-a2=3a2,∴c=2a,
故双曲线的离心率e=ca=2.
(2)当a=2时,c=4,b2=c2-a2=12.
∴双曲线的方程为x24-y212=1,F1(-4,0).
由题知直线AB的斜率存在,设为k,则k≠±3,直线AB的方程为y=k(x+4).
联立x24-y212=1,y=k(x+4),消去y并整理,得(3-k2)x2-8k2x-16k2-12=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=8k23-k2,x1x2=-16k2-123-k2,
∴|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2
=1+k28k23-k22-4·-16k2-123-k2
=12(1+k2)|3-k2|.
又∵线段AB的中点的坐标为4k23-k2,12k3-k2,
∴线段AB的垂直平分线的方程为y-12k3-k2=-1kx-4k23-k2.令x=0,得y=16k3-k2 ,
∴D点的坐标为0,16k3-k2,∴|OD|=16|k||3-k2|,
∴|AB||OD|=12(1+k2)|3-k2|16|k||3-k2|=3(1+k2)4|k|=34|k|+1|k|≥32,
当且仅当|k|=1,即k=±1时等号成立,
∴|AB||OD|的最小值为32.
10.解析 (1)因为离心率e=ca=2,所以c=2a,
又因为b2=c2-a2=3a2,所以双曲线C的方程为x2a2-y23a2=1,把(-2,3)代入双曲线方程,得4a2-93a2=1,解得a2=1,故双曲线C的方程为x2-y23=1.
(2)存在.由(1)知双曲线C的方程为x2a2-y23a2=1,
故B(a,0),F(-2a,0).
①当直线AF的斜率不存在时,∠AFB=90°,|FB|=3a,|AF|=b2a=3a,所以∠ABF=45°,此时λ=2.
②当直线AF的斜率存在时,设∠AFB=α,∠ABF=β,A(x0,y0),其中x00,
因为e=2,所以c=2a,b=3a,故双曲线C的渐近线方程为y=±3x,
所以α∈0,2π3,β∈0,π3,
又因为tan α=y0x0+2a,tan β=-y0x0-a,
所以tan 2β=-2y0x0-a1--y0x0-a2=-2y0(x0-a)(x0-a)2-y02
=-2y0(x0-a)(x0-a)2-3a2x02a2-1=-2y0(x0-a)(x0-a)2-3(x02-a2)
=-2y0(x0-a)-3(x0+a)=y0x0+2a,
所以tan α=tan 2β,
又因为α,2β∈0,2π3,所以α=2β.
综上,存在常数λ=2满足∠AFB=2∠ABF.