2024年甘肃省陇南市中考模拟联考数学（三）试题（原卷版+解析版）

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（本试题满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义即可求解，解题的关键是正确理解乘积为的两个数互为倒数．
【详解】解：的倒数是，
故选：．
2. 如果二次根式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义条件及分式有意义的条件，根据二次根式有意义被开方式大于或等于0，分式有意义分母不为0直接计算即可得到答案；
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
故选：C．
3. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式的乘除．先计算乘方，再计算除法，即可求解．
详解】解：
故选：C
4. 一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象和系数的关系，牢记当，时图象经过第一、二、四象限是解题的关键．利用一次函数图象和系数的关系，可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限．
【详解】解：∵，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限；
故选：C．
5. 方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：
，
，
，
，
，
故选：．
6. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的应用，先求出大、小正方形的边长，进而列式计算阴影部分的面积即可，解题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：由题意可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为：，
故选：．
7. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则k的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．根据反比例函数的几何意义即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵轴，
∴，
∴
∴
∵反比例函数图象在第二象限，
∴，
∴，
故选：C．
8. 丽江古城是一个闻名遐迩的历史文化名城，春节期间相关部门对游客到丽江观光的出行方式进行随机抽样调查，根据调查情况绘制了如下两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是（ ）
A. 扇形统计图中的为
B. 本次抽样调查的样本容量是1000
C. 在扇形统计图中，“其他”对应的扇形圆心角度数为
D. 选择“公共交通”出行方式的人数为500
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小；根据各部分百分比之和等于1可得a的值；根据“其他”人数及其对应的百分比可得样本容量；用乘可得“其他”对应的圆心角度数；用总人数乘以对应的百分比可得选择“公共交通”出行的人数．
【详解】解：、扇形统计图中的为，故本选项不符合题意；
、本次抽样调查的样本容量是，故本选项不符合题意；
、“其他”对应的扇形圆心角度数为，故本选项不符合题意；
、选择“公共交通”出行方式的人数为人，故本选项符合题意；
故选：．
9. 唐代初期数学家王孝通撰写的《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳头鹿，大圈舍可以容纳头鹿，若每个圈舍都住满，求需要多少圈舍？设需要小圈舍间，大圈舍间，根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程，根据等量关系“今有只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳头鹿，大圈舍可以容纳头鹿”列出方程即可解答，明确题意，找出等量关系、列出相应的方程是解题的关键．
【详解】解：设需要小圈舍间，大圈舍间，
根据题意可列方程为：，
故选：．
10. 如图1，在矩形中，对角线与相交于点，动点从点出发，在线段上匀速运动，到达点时停止．设点运动的路程为，线段的长为与的函数图象如图2所示，则矩形的面积是（ ）
A. 48B. C. 24D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查动点的函数图象，矩形的性质．
根据点P的移动规律，当时取得最小值3，根据矩形的性质求得矩形的长和宽，可得该矩形的面积．
详解】解：根据题意得，当时，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴点P是的中点
∴，
∴．
故选：A
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解，运用公式法分解即可
【详解】解：
，
故答案为：
12. 已知，是方程的两个实数根，则的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
故答案为：．
13. 如果把火箭发射后10秒记为“秒”，那么火箭发射前6秒应记为“______秒”．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正数和负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
根据正负数表示相反意义的量，点火后记为正，可得点火前用负表示．
【详解】解：把火箭发射后10秒记为“秒”，那么火箭发射前6秒应记为“秒”；
故答案：．
14. 如图，已知点，，在上，为的中点，若，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，连接，根据等弧所对的圆心角相等，可得，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得，由此可解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，一个蜜蜂的蜂巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的周长为______cm．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形与圆的性质和等边三角形的判定与性质，连接与交于点，证明为等边三角形，从而，即可得到答案，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．
【详解】如图，连接与交于点，
∵为正六边形，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，
即正六边形的边长为，
∴正六边形的周长为，
故答案为：．
16. 如图，在三角形中，，将沿方向平移的长度得到．已知，，，三角形平移的距离为6，则图中阴影部分的面积是______．
【答案】39
【解析】
【分析】根据平移的性质得到BE=6，BC=EF=8，则BG=5，再证明S阴影部分=S梯形BEFG，然后根据梯形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵三角形ABC沿AB方向平移AD的长度得到三角形DEF，
∴BE=6，BC=EF=8，
∴BG=BC-CG=8-3=5，
∵S阴影部分+S△DBG=S△DBG+S梯形BEFG，
∴S阴影部分=S梯形BEFG=(5+8)×6=39．
故答案为39．
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式乘除法，再计算二次根式加减法即可．
【详解】解：
．
18. 解不等式组
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解不等式组，分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可求解，掌握解不等式组的方法和步骤是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为．
19. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】
．
20. 如图，在坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于y轴对称的图形；
（2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出放大后的图形；
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了轴对称作图、位似图形的作图，准确作图是解题的关键．
（1）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，顺次连接即可；
（2）分别作出点A、B、C的对应点为，顺次连接即可；
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
21. 为了解我国数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》（依次用A，B，C表示）三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本．
（1）小明抽到《九章算术》的概率为_______；
（2）请用列表或画树状图的方法求小红抽到《九章算术》的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了列表法活树状图法求解概率，简单的概率计算：
（1）直接用概率计算公式求解即可；
（2）画树状图得到所有6种等可能的结果，再找到小红抽到《九章算术》的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵一共有3本书，每本书被小明抽到的概率相同，
∴小明抽到《九章算术》的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的结果数，其中小红抽到《九章算术》的结果数有2种，
∴小红抽到《九章算术》的概率为．
22. 某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°．请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．（结果精确到0.1 米，）
【答案】94.6米
【解析】
【分析】先根据题意得出AC=PC，BQ=PQ，CQ=BQ，设BQ=PQ=x，则CQ=BQ=x，根据勾股定理可得BC=x，根据AB+BC=PQ+QC即可得出关于x的方程求解即可．
【详解】∵∠PAC=45°，∠PCA=90°，
∴AC=PC，
∵∠PBC=60°，∠QBC=30°，∠PCA=90°，
∴∠BPQ=∠PBQ=30°，
∴BQ=PQ，CQ=BQ，
设BQ=PQ=x，则CQ=BQ=x，
根据勾股定理可得BC==x，
∴AB+BC=PQ+QC，
即60+x=x+x
解得：，
∴PQ的高度为94.6米．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，找出等量关系是解题关键．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23. 中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅不完整的统计图．
请根据图中信息回答下列问题：
（1）接受随机抽样调查的学生共有______人，条形统计图中的值为______；
（2）“了解很少”的学生所在扇形的圆心角为______度；
（3）若学校共有900名学生，请你根据调查结果，估计该校对心理健康知识“非常了解”的学生人数．
【答案】（1）80，20
（2）
（3）225
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
（1）用“基本了解”的人数除以其所占的百分比即可求出接受随机抽样调查的学生人数；将总人数减去其他三组人数即可求出m的值；
（2）将“了解很少”部分所占比乘以即可求出扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数；
（3）将“非常了解”所占比乘以900，即可估计该校对心理健康知识“非常了解”的学生人数．
【小问1详解】
接受随机抽样调查的学生共有(人)，
（人），
故答案为：80，20；
【小问2详解】
“了解很少”的学生所在扇形的圆心角为：，
故答案为：72；
【小问3详解】
（人），
答：估计该校对心理健康知识“非常了解”的学生人数有225人．
24. 如图，直线与反比例函数的图像交于
（1）求，的值；
（2）根据函数图像，求当时，的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，
（1）将点代入反比例函数求出，将代入直线解析式求出值即可；
（2）根据图像直接写出不等式的解集即可；
理解和掌握两个函数图像的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，
解得：，
∴，
∵点在直线上，
∴，
解得：；
【小问2详解】
∵直线与反比例函数的图像交于点，，
∴，
解得：或，
∴，
根据图像可知：当时，的取值范围为：或．
25. 如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若．
（1）连接，求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，圆的相关性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些性质．
（1）连接，由圆性质可得，根据，可得，由垂径定理可得，然后借助角关系转化可得结论；
（2）在由勾股定理可求解．
【小问1详解】
解：连接，
，
，
，
，
为的下半圆弧的中点，
，
，
，
；
【小问2详解】
在中，，
，
（不合题意舍去）或，
的半径为．
26. 如图，在四边形中，，，E为对角线的中点，F为边的中点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接交于点G，若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）4
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理：
（1）先由线段中点的定义和三角形中位线定理得到，，，进而根据推出，再证明四边形是平行四边形，即可证明四边形是菱形；
（2）先由菱形的性质可得，，，利用勾股定求出，则，则可得到．
【小问1详解】
证明：为的中点，F为的中点，
，，，
，
．
又∵，
，，
四边形是平行四边形，
是菱形．
【小问2详解】
解：四边形是菱形，且，
，，，
，
，
．
27. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，点是抛物线上第一象限内的点，过点作直线轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当直线是抛物线的对称轴时，求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】本题考查二次函数与几何图形的综合，待定系数法，面积问题，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题关键.．
（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点M、N的坐标，然后利用求出面积即可；
【小问1详解】
抛物线经过点，点，
，
解得：，
∴抛物线的函数解析式是：．
【小问2详解】
，
∴当是抛物线的对称轴时，抛物线的顶点是，点．
连接，
点，点，
，，，
．