[数学][期中]山东省枣庄市滕州市2023-2024学年高一上学期期中考试试题(解析版)

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，解得且，
故函数的定义域为.
故选：D.
2. 命题“，都有”的否定是（ ）
A. ，使得B. ，使得
C. ∀，都有D. ，都有
【答案】A
【解析】由全称命题的否定可知，命题“，都有”的否定是，使得.
故选：A.
3. 若为正实数，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】因为为正实数，，所以，
当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.
故选：D.
4. 设集合，，则的真子集共有（ ）
A. 15个B. 16个C. 31个D. 32个
【答案】A
【解析】由题意得，，，所以，
所以的真子集共有个.
故选：A.
5. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为在单调递减，在单调递增，
故，又，
故，故的值域为.
故选：C.
6. 若关于x的不等式的解集为，则的解集为（ ）
A. B.
C {且}D. {或}
【答案】B
【解析】因为的解集是，
所以是方程的两实数根，且，
由韦达定理，得，所以，
所以不等式，
即，解得.
故选：B.
7. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由f(x)为奇函数可知，＝<0，
而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0，
当x>0时，f(x)<0＝f(1)；
当x<0时，f(x)>0＝f(－1)，
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数，
所以0故选：D.
8. 某位同学经常会和爸爸妈妈一起去加油，经过观察他发现了一个有趣的现象：爸爸和妈妈的加油习惯是不同的.爸爸每次加油都说：“师傅，给我加250元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”.这位同学若有所思，如果爸爸､妈妈都加油两次，两次的加油价格不同，妈妈每次加满油箱；爸爸每次加250元的油，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（ ）
A. 妈妈B. 爸爸C. 一样D. 不确定
【答案】B
【解析】由题意，设第一次加油单价为元，第二次为元，油箱加满为升，
则妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油，
设爸爸两次加油平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升，
则，且，，
所以，即，
所以爸爸的加油方式更合算.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，
所以阴影部分用集合符号可以表示为或.
故选：AD.
10. 设，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】A：由不等式性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式符号不变，
即，正确；
B：因为在定义域内为增函数，由题意知，故有，正确；
C：当时，，故错误；
D：当时，，故错误.
故选：AB.
11. 已知命题：，，则命题成立的一个充分条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】由命题：，成立，得，解得.
故命题成立的一个充分条件是的子集，因此选项A、B、D符合，
故选：ABD.
12. 已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 为偶函数B.
C. 为定值D.
【答案】ACD
【解析】，
令为得即，
解得，，
对于A. ，故为偶函数，
对于B. ，故B错；
C. ，故C对；
D. 当时，，，
当时，，，
，故D对.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. ________．
【答案】
【解析】.
故答案为：
14. 当且时，函数的图象经过的定点坐标为_______.
【答案】
【解析】由题意，令，则，此时，
故所过定点为.
故答案为：.
15. 设函数若，则的单调递增区间是___________；若的值域为，则的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】由题知当时，
，
故在上单调递减，
在上单调递增，
在上单调递减，
故单调递增区间是；
由于在上的值域为，
若的值域为，
只需在上值域包含即可，
故需，即，
此时在上的值域为，
故需，即，
综上：.
故答案为： .
16. 若，则的最小值是__________.
【答案】
【解析】因为，所以，，
所以
，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知全集，集合，．
（1）求；
（2）设非空集合，若，求实数a的取值范围．
解：（1）因为，所以，
由，得.
所以．
（2）因为，，
则
所以，
即实数a的取值范围为.
18. 已知函数．
（1）判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
解：（1）是上的单调减函数，证明如下：
证明：在上任取，且，
，
因为，故可得，，
又，则，故，即，
故在上单调递减.
（2）的定义域为，关于原点对称，又，
故是偶函数，根据（1）中所得在单调递减，
则在上单调递增，显然在也单调递增，
故当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
故的最大值和最小值分别为.
19. 学校决定投资1.2万元在操场建一长方体状体育器材仓库，如下图俯视图，利用围墙靠墙直角而建节省成本长方体一条长和一条宽靠墙角而建. 由于要求器材仓库高度恒定，不靠墙的长和宽所在的面的建造材料造价每米100元不计高度，按长度计算，顶部材料每平方米造价300元. 在预算允许的范围内，如何设计使得仓库占地面积最大？
解：设仓库不靠墙的长为x米，宽为y米，，，
则，
整理得，
，，，当且仅当时等号成立，
，
，
解得：，此时时等号成立，
所以设计仓库的长、宽均为6米时占地面积最大，为平方米.
20. 已知点在幂函数的图象上，.
（1）求的解析式；
（2）若，且方程有解，求实数的取值范围；
（3）当时，解关于的不等式.
解：（1）设幂函数，
由点在幂函数的图象上，
所以，解得，
所以.
（2）时，，
由方程有解，
可得，
解得或.
（3）由得，即，
所以，
当即时，的解集为，
当即时，的解集为，
当即时，的解集为.
21. 已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若时，关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）是奇函数，且定义域为，所以，即，解得.
，，所以是奇函数，
故.
（2），，恒成立，得，
因，所以，
则，所以，
设，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
又，所以，故，
所以，即.
22. 已知函数
（1）若，求函数在上的最小值的解析式；
（2）若对任意，都有，求实数的取值范围.
解：（1）若，则.
①当时，在单调递减，的最小值为；
②当时，在单调递减，在单调递增，
的最小值为；
③当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减，
的最小值为，
由得，，解得；
当时，的最小值为，
当时，的最小值为；
综上所述：的最小值为：.
（2）易知，，故为上的奇函数，
，
①当时，在上单调递增，恒有，符合题意，
②当时，由得：，，
解得：，或者（舍去）.
当时，，
，
又，所以有.
令，
则，
当，即恒成立，
当时，只要，得，所以.
综上所述：的取值范围为或.