山东省枣庄市滕州市2023-2024学年高一下学期期中质量检测数学试卷

这是一份山东省枣庄市滕州市2023-2024学年高一下学期期中质量检测数学试卷，共8页。

高一数学
2024.4
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，若，则（ ）．
A．2B．4C．D．
2．如图，是的直观图，则是（ ）．
A．正三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
3．设复数z满足，则（ ）．
A．2B．C．D．
4．《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（ ）．
A．B．C．D．
5．在中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（ ）．
A．B．
C．D．
6．已知在中，，，，则（ ）．
A．B．C．D．
7．已知棱长均相等的四面体的外接球的半径为，则这个四面体的棱长为（ ）．
A．B．C．D．4
8．已知，，，平面区域D为由所有满足的点组成的区域（其中，），若区域D的面积为8，则的最小值为（ ）．
A．4B．6C．8D．10
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．定义：，两个向量的叉乘，则（ ）．
A．若，则
B．
C．若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于
D．若，，则的最小值为
10．已知，为复数，则（ ）．
A．B．
C．若，则D．若，则或
11．点O在所在的平面内，则（ ）．
A．若动点P满足，则动点P的轨迹一定经过的垂心
B．若，则点O为的内心
C．若，则点O为的外心
D．若动点P满足，则动点P的轨迹一定经过的重心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在中，若，则__________．
13．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距的两点C，D，测得，，，（A，B，C，D在同一平面内），则两目标A，B间的距离为__________km．
14．已知平面向量，，，满足，，与的夹角为，则的最大值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知向量，满足，，．
（Ⅰ）求与的夹角的余弦值；
（Ⅱ）求．
16．（本小题满分15分）
已知复数，，且为纯虚数．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）设z、在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的坐标．
17．（本小题满分15分）
如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径，设圆柱的底面半径为r．
（Ⅰ）以r为变量，表示圆柱的表面积和体积；
（Ⅱ）当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？
18．（本小题满分17分）
如图，在中，D是边BC上一点，，，．
（Ⅰ）求DC的长；
（Ⅱ）若，求的面积．
19．（本小题满分17分）
如图，中，，，AD为BC边上的中线，点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且线段AE与线段AF的长度乘积为1．
（Ⅰ）已知，请用，表示；
（Ⅱ）求的取值范围．
2023～2024学年第二学期期中质量检测
高一数学试题参考答案及评分标准
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
9．AC 10．ABD 11．BC
三、填空题（每小题5分，共15分）
12． 13． 14．
四、解答题（共77分）
（注意：答案仅提供一种解法，学生的其他正确解法应依据本评分标准，酌情赋分．）
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为，所以．（3分）
所以，故．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．（9分）
所以．（12分）
所以．（13分）
16．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）由已知可得．（3分）
因为为纯虚数，所以，故．
所以．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，．（9分）
即，，所以，．（12分）
所以向量在向量上的投影向量为．（15分）
17．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）记圆柱底面的一条直径为AB，取AB中点，连接．
设圆柱的高为h，则，
所以．（2分）
所以圆柱的底面积为，
侧面积为，（4分）
圆柱的表面积为．（6分）
圆柱的体积为．（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆柱的侧面积
．（13分）
当且仅当时取等号，即当时，
圆柱的侧面积最大，最大值为．（15分）
18．（本小题满分17分）
解：（Ⅰ）在中，由正弦定理，得．（11分）
在中，由正弦定理，得．（2分）
因为，所以，所以．（3分）
从而有，即．
所以．（5分）
（Ⅱ）在中，由余弦定理，得
．（8分）
在中，由余弦定理，得
．（11分）
由，得．
因为，所以．
故有．
解得．（13分）
又，所以，．
；（15分）
．
故的面积．（17分）
19．（本小题满分17分）
解：（Ⅰ）因为且，所以，
设．（2分）
又因为E，G，F共线，所以，解得，
所以．（5分）
（Ⅱ）令，，即，则，，
设．（7分）
又因为E，G，F共线，所以，解得：，
故．（11分）
又因为，
所以，
又因为，所以．（13分）
因为，所以，
令．（15分）
所以时，函数单调递减，
当时，函数取最大值；
当时，函数取最小值．
所以．（17分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
D
B
A
B
D
A