四川省凉山州会东县2024届九年级下学期中考一诊数学试卷(含解析)

这是一份四川省凉山州会东县2024届九年级下学期中考一诊数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：A．化简后方程的二次项系数是，故此选项不符合题意；
B．方程的二次项系数可能为，故此选项不符合题意；
C．化简后符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意；
D．这个方程不是整式方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
2. 下列四个几何体中，左视图是矩形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：A． 球的左视图是圆，不符合题意；
B． 这个三棱柱的左视图是三角形，不符合题意．
C．圆锥的左视图是等腰三角形，不符合题意；
D． 圆柱的左视图是矩形，符合题意；
故选：D．
3. 下列关于抛物线的判断中，错误的是（ ）
A. 形状与抛物线相同B. 对称轴是直线
C. 当时，y随x的增大而减小D. 当时，
答案：C
解析：解：，，故A选项正确，
对称轴为直线，故B选项正确，
当时，y随x的增大而减小，故C选项不正确，
令，解得：，
∵抛物线开口向下，则当时，，故D选项正确，
故选：C．
4. 如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：∵这批椽的价钱为6210文，这批椽有x株，
∴一株椽的价钱为文，
又∵每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴．
故选：D．
二、填空题：本题共7小题，共30分。
5. 现有分别标有汉字“高”“质”“量”“发”“展”的五张卡片，它们除汉字外完全相同，若把五张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后随机抽出一张，不放回；再随机抽出一张，两次抽出的卡片上的汉字能组成“发展”的概率是_____________．
答案：
解析：解：列表如下：
共有20种等可能的结果数，其中两次摸出的球上的汉字组成“发展”的结果数为2，
∴两次摸出的卡片上的汉字组成发展”的概率
故答案为：.
6. 若有意义，则一次函数的图像经过第______象限．
答案：一、三、四
解析：解：由题意知，，
∴，
∴的图像经过第一、三、四象限，
故答案为：一、三、四．
7. 如图，过作轴，轴，点都在直线上，若双曲线与总有公共点，则k的取值范围是______．
答案：
解析：解：作轴，轴，点，都在直线上，
、，
当反比例函数的图象过点时，把的坐标代入得：；
把代入得：，
，
，
反比例函数的图象与有公共点，
，
解得，
时，，
在、之间，
的范围是，
故答案为：．
8. 如图，直线，与分别相切于点，，为上一点，且，则的度数是______．

答案：
解析：解：令优弧上任意一点E，连接，，，，
∵直线，与分别相切于点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案：．

9. 把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD=_____．
答案：
解析：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B=45°，
∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD=BC=2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF==
∴CD=BF+DF-BC=1+-2=-1，
故答案为-1．
10. 如图，点F是正方形ABCD内一点，DF＝DC，连接CF并延长交AB边于点E，EGBC交DF于点G，若EG＝3，GF＝1，则正方形ABCD的面积为_________．
答案：36
解析：过点作交于，交于，交于，
则∠GHF=∠DCF，
∵，
∴∠DCF=∠DFC，
∴∠GHF=∠DFC，
∴GH=GF=1,又GE=3，
∴，
设，，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=BC=DF=3x，∠A=∠B=90°，
∵MN∥AB，EG⊥MN，
∴∠AMN=∠A=∠B=∠GEB=∠EGN=90°，
∴四边形ABNM、BEGN是矩形，
∴MN=AB=3x，AM=GE=3,GN=BE=x，
∴，，，
在中，由勾股定理得：，
整理得：x2﹣3x+2=0，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：36．
11. 如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为_____．

答案：．
解析：解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，
∵∠EDF＝∠ODM＝90°，
∴∠EDO＝∠FDM，
∵DE＝DF，DO＝DM，
∴△EDO≌△FDM（SAS），
∴FM＝OE＝2，
∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，
∴OC＝，
∴OD＝＝5，
∴OM＝＝5，
∵OF+MF≥OM，
∴OF≥，
∴线段OF长的最小值为．
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共104分。
12. 解方程
（1）
（2）
答案：（1），
（2），
小问1解析：
解：∵，
，
∴，
∴，．
小问2解析：
∵，
，
，
∴或，
解得：，．
13. 在学习解直角三角形以后，某班数学兴趣小组的同学测量了旗杆的高度，如图，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为6米，落在斜坡上的影长为4米，，点、、三点共线，且，同一时刻，光线与旗杆的夹角为，斜坡的坡比为，
（1）求坡角的度数；
（2）旗杆的高度为多少米？（结果保留根号）
答案：（1）；
（2）（米）．
小问1解析：
解：如图，
过作于，过作交于，交与，
，，
，
为矩形，
的坡比为，
，
，
，
；
小问2解析：
由（1）可知，
，
在中，，（米），
（米），
（米），
（米），
（米），
在中，，
，
（米），
（米）．
14. 爱动脑筋的小明在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：来进一步化简．
比如：，
∴当即时，原式；当即时，原式．
（1）仿照上面的例子，请你尝试化简．
（2）判断甲、乙两人在解决问题：“，求的值”时谁的答案正确，并说明理由．
甲的答案：原式；
乙的答案：原式．
（3）化简并求值：，其中．
答案：（1）当时，原式；当时，原式；（2）两个人的答案都不正确，正确结果是：17，理由见解析：；（3），
解析：解：（1）
∴当即时，原式；
当即时，原式，
（2）两个人的答案都不正确，
正确的解法是：
当时，原式；
（3）
，
∵，
∴，
∴
，
当时，原式．
15. 第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，某校开展了“爱成都，迎大运”系列活动，增设篮球，足球，柔道，射击共四个课外活动项目．为了解全校1500名同学对增设的四个活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人限选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：
（1）参加问卷调查的同学共 名，补全条形统计图；
（2）估计该校1500名同学中喜爱篮球运动的人数；
（3）学校准备组建一支校篮球队，某班甲，乙，丙，丁四名同学平时都很喜欢篮球运动，现决定从这四人中任选两名同学加入球队，请你用树状图或列表法求恰好选中甲，乙两名同学概率．
答案：（1），图见解析
（2）人
（3）
小问1解析：
解：参加问卷调查的同学的人数为（名）．
故答案为：60．
喜爱柔道的人数为（名）．
补全条形统计图如图所示．
小问2解析：
（人）．
∴该校1500名同学中喜爱篮球活动的人数大约450人．
小问3解析：
画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
16. 如图，在中，，以为直径作，交于，过作，交于．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，如果的半径为，，求的长；
（3）在（2）的条件下，求的面积．
答案：（1）见解析 （2）
（3）
小问1解析：
证明：如图，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，即，
是的切线．
小问2解析：
解：如图所示，连接，
是直径，
，即，
在中，
，，
，
，
，
∴．
小问3解析：
解：由（2）可知，，
，
，
是中点，即是的中线，
．
17. 随旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加．
（1）该宾馆床位数从2021年底的200个增长到2023年底的288个，求该宾馆这两年（从2021年底到2023年底）拥有的床位数的年平均增长率；
（2）该宾馆打算向游客出售了一款纪念工艺品，每件成本50元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件。若该馆想要每天的销售利润达到4000元，且销量尽可能大，应该如何定价？
答案：（1）
（2）应定价为70元
小问1解析：
设增长率为x，
则可列方程为，
解得（舍）
增长率为
小问2解析：
设降价a元，
则可列方程，
化简得，
解得，
因为销量要尽可能大，所以降价30元，故应定价为70元；
18. 在矩形中，点为射线上一动点，连接．
（1）当点在边上时，将沿翻折，使点恰好落在对角线上点处，交于点．
①如图，若，求的度数；
②如图，当，且时，求的长．
（2）当点在的延长线上时，当，时将矩形沿进行翻折，点的对应点为，当点，，三点共线时，求的长．
答案：（1）①；②
（2）或
小问1解析：
解：①∵四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
由折叠的性质得：，
是等边三角形，
，
；
由折叠的性质得：，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
∽，
，即，
解得：负值已舍去，
即的长为；
小问2解析：
当点，，三点共线时，分两种情况：
、如图
四边形是矩形，
，，，，
，，
由折叠的性质得：，，
，，
≌，
，
，
；
、如图，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
综上所述，的长为或．
19. 如图，为的弦，点C为的中点，的延长线交于点D，连接，过点D作的切线交的延长线于点E.
（1）求证：；
（2）若的半径为3，，求的长.
答案：（1）证明见解析
（2）4
小问1解析：
证明：∵C为弦中点，的延长线交于点D，
∴.
是的切线，
∴.
∴.
小问2解析：
解：在中，，故设，，
∵的半径为3，
∴，
在中，，
解得.，
∵，，
∴.
∴，
解得.
20. 如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交点，连接，抛物线的对称轴交轴于点，交于点，顶点为．

（1）求抛物线解析式及顶点的坐标；
（2）若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标；
（3）已知点是抛物线上的一点，连接，若，求点的坐标．
答案：（1），
（2）
（3）或
小问1解析：
解：将、代入得：
，解得，
抛物线的解析式为，
，
顶点的坐标为；
小问2解析：
解：过点作轴，交于点，如图所示：

设，直线的解析式为，
由（1）可知：，，
，
解得：，
直线的解析式为：，
，
，
轴，
，

，
当时，的值最大，
．
小问3解析：
解：过作交抛物线于，作关于的对称点，连接交于，过作轴于，连接并延长交抛物线于，如图：

，
，是满足条件的点，
，、关于直线对称，
，
，
，，
，
而，，
，
，即，
，
，
又，，
，
，即，
，，
，
，
、关于对称，
是的中点，，
直线与抛物线交点是满足条件的点，
而，
，
设直线为，
则，
解得，
直线为，
由得(舍去)或，
，
综上所述，若，点的坐标为或．
高
质
量
发
展
高
高质
高量
高发
高展
质
质高
质量
质发
质展
量
量高
量质
量发
量展
发
发高
发质
发量
发展
展
展高
展质
展量
展发