重庆市南川中学2023-2024学年八年级数学第一学期期末检测试题【含解析】

这是一份重庆市南川中学2023-2024学年八年级数学第一学期期末检测试题【含解析】，共20页。试卷主要包含了在平面直角坐标系中，将点A，已知，则的值是，如图，图形中x的值为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．若把代数式化为的形式（其中、为常数），则的值为（ ）
A．B．C．4D．2
2．在平面直角坐标系中,点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，AC＝4，，点D在AB上，将△ACD沿CD折叠，点A落在点A1处，A1C与AB相交于点E，若A1D∥BC，则A1E的长为（ ）
A．B．C．D．
4．如果一个多边形的内角和是1800°，这个多边形是（ ）
A．八边形B．十四边形C．十边形D．十二边形
5．在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
6．已知，则的值是（ ）
A．48B．16C．12D．8
7．如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若A点关于B点的对称点为点C，则点C所对应的实数为( )
A．2－1B．1＋C．2＋D．2＋1
8．在分式中，若，都扩大为原来的2倍，则所得分式的值（ ）
A．不变B．是原来的2倍C．是原来的4倍D．无法确定
9．如图，图形中x的值为（ ）
A．60B．75
C．80D．95
10．在平面直角坐标系中，点A(m，- 2)与点B(- 3,n)关于y轴对称，则点(m, n)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
11．若点在第二象限，则点所在象限应该是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
12．满足下列条件的不是直角三角形的是
A．三边之比为1：2：B．三边之比1：：
C．三个内角之比1：2：3D．三个内角之比3：4：5
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x−1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1_____y2（填“＞”，“＜”或“=”）
14．在8×8的格子纸上，1×1小方格的顶点叫做格点．△ABC 的三个顶点都是格点（位置如图）．若一个格点P使得△PBC与△PAC的面积相等，就称P点为“好点”．那么在这张格子纸上共有_____个“好点”．
15．已知、满足，，则的值等于_______．
16．若的乘积中不含的一次项，则常数_________．
17．如图，已知△ABC是等边三角形，分别在AC、BC上取点E、F，且AE=CF，BE、AF交于点D，则∠BDF＝______．
18．已知：，，计算：的值是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）某中学八年级的同学参加义务劳动，其中有两个班的同学在两处参加劳动，另外两个班级在道路两处劳动（如图），现要在道路的交叉区域内设置一个茶水供应点P，使P到的距离相等，且使，请找出点P的位置（要求尺规作图，不写作法，保留痕迹）
20．（8分）王华由，，，，，这些算式发现：任意两个奇数的平方差都是8的倍数
（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
（2）请你用含字母的代数式概括王华发现的这个规律（提示：可以使用多个字母）；
（3）证明这个规律的正确性.
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（1，0）且与y轴平行，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-2，5），B（-4，3），C（-1，1）．
（1）作出△ABC关于x轴对称；
（2）作出△ABC关于直线l对称，并写出三个顶点的坐标．
（3）若点P的坐标是（-m，0），其中m＞0，点P关于直线l的对称点P1，求PP1的长．
22．（10分）如图，锐角的两条高、相交于点，且．
（1）证明：．
（2）判断点是否在的角平分线上，并说明理由．
（3）连接，与是否平行？为什么？
23．（10分）如图，在中，，点为直线上一动点，连接，以为直角边作等腰直角三角形．
（1）如图1，若当点在线段上时（不与点重合），证明：；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，试猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由．
24．（10分）两块等腰直角三角尺与（不全等）如图（1）放置，则有结论：①②；若把三角尺绕着点逆时针旋转一定的角度后，如图（2）所示，判断结论：①②是否都还成立？若成立请给出证明，若不成立请说明理由．
25．（12分）阅读下列解题过程：
已知，，为△ABC的三边长，且满足，试判断△ABC的形状．
解：∵ ， ①
∴ ． ②
∴ ． ③
∴ △ABC是直角三角形． ④
回答下列问题：
（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误?请写出该步的代码为 ．
（2）错误的原因为 ．
（3）请你将正确的解答过程写下来．
26．已知的三个顶点坐标分别是，，．
（1）请在所给的平面直角坐标系中画出．
（2）求的面积．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据完全平方式配方求出m和k的值即可.
【详解】由题知，则m=1，k=-3，则m+k=-2，
故选B.
【点睛】
本题是对完全平方公式的考查，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键.
2、B
【解析】根据平面直角坐标系中点的坐标的符号解答即可．
【详解】∵点横坐标是，纵坐标是，
∴点在第二象限．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
3、B
【解析】利用平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠A1+∠A1DB=90°，即AB⊥CE，再根据勾股定理可得最后利用面积法得出可得进而依据A1C=AC=4，即可得到
【详解】∵A1D∥BC，
∴∠B=∠A1DB，
由折叠可得，∠A1=∠A，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠A1+∠A1DB=90°，
∴AB⊥CE，
∵∠ACB=90°，AC=4，
∴
∵
∴
又∵A1C=AC=4，
∴
故选B．
【点睛】
本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对
称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是
得到CE⊥AB以及面积法的运用．
4、D
【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
【详解】这个正多边形的边数是n，根据题意得：
（n﹣2）•180°=1800°
解得：n=1．
故选D．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n﹣2）×180°．
5、A
【解析】试题分析：已知将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加可得点A′的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1，即A′的坐标为（﹣1，1）．故选A．
考点：坐标与图形变化-平移．
6、A
【分析】先把化成，再计算即可.
【详解】先把化成，
原式=
=
=48，
故选A.
【点睛】
本题是对同底数幂乘除的考查，熟练掌握整式的乘除是解决本题的关键.
7、A
【解析】设点C所对应的实数是．根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解．数轴上两点间的距离等于数轴上表示两个点的数的差的绝对值，即较大的数减去较小的数．
设点C所对应的实数是．
则有
x=
故选A．
8、A
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（除以）同一个不为0的整式，分式的值不发生变化．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质以及正确的运算是解题的关键．
9、A
【分析】根据三角形内角和定理列出方程即可求出结论．
【详解】解：由图可知：x＋x＋15＋x－15=180
解得：x=60
故选A．
【点睛】
此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和定理是解决此题的关键．
10、D
【分析】根据点A(m，- 2)与点B(- 3,n)关于y轴对称求出m、n的值，即可得到点(m, n)的坐标，从而判断其所在的象限．
【详解】∵点A(m，- 2)与点B(- 3,m)关于y轴对称
∴
解得
∴点(3, -2)在第四象限
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了关于y轴对称的点的问题，掌握关于y轴对称的点的性质、象限的定义以及性质是解题的关键．
11、A
【分析】根据平面直角坐标系中，点的坐标特征与所在象限的关系，即可得到答案．
【详解】∵点在第二象限，
∴ a＜0，b＞0，
∴b+5＞0，1-a＞0，
∴点在第一象限，
故选A．
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系中，点的坐标特征与所在象限的关系，掌握各个象限内点的横纵坐标的正负性，是解题的关键．
12、D
【解析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．
【详解】解：A、，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
B、，三边符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
C、根据三角形内角和定理，求得第三个角为90°，所以此三角形是直角三角形；
D、根据三角形内角和定理，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、＜
【分析】根据k=1结合一次函数的性质即可得出y=x﹣1为单调递增函数，再根据x1＜x1即可得出y1＜y1，此题得解．
【详解】∵一次函数y=x﹣1中k=1，
∴y随x值的增大而增大．
∵x1＜x1，∴y1＜y1．
故答案为＜．
14、1
【分析】要使△PBC与△PAC的面积相等，则P点到BC的距离必是P点到AC距离有2倍，通过观察便可确定P的所有位置，从而得出答案．
【详解】解：∵AC＝1，BC＝4，
∴当P到BCBC的距离是P点到AC的距离的2倍时，△PBC与△PAC的面积相等，
满足这样的条件的P点共有如图所示的1个格点，
∴在这张格子纸上共有1个“好点”．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，识图能力，正确理解新定义，确定P到BC，BC的距离是P点到AC的距离的2倍是解题的关键．
15、或．
【分析】分两种情况：当时，由，，构造一元二次方程，则其两根为，利用根与系数的关系可得答案， 当时，代入代数式即可得答案，
【详解】解：时，
、满足，，
、是关于的方程的两根，
，，
则
当时，原式
的值等于或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查的是利用一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值，掌握分类讨论，一元二次方程的构造是解题的关键．
16、1
【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而得出一次项系数为0，求解即可．
【详解】∵的乘积中不含的一次项，
∴=中
∴
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于正确去括号并计算．
17、60°.
【解析】试题分析：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°，AB=AC，
又∵AE=CF，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠ABE=∠CAF，
∴∠BDF=∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAF=∠BAC=60°.
考点：1.等边三角形的性质；2.全等三角形的性质和判定；3.三角形的外角的性质.
18、．
【分析】先利用降幂思想整体代换求解的值，再化简分式，最后代值计算．
【详解】解：由题意得：
∵，
∴
∴原式
故答案为：．
【点睛】
本题考查分式混合运算和降幂思想化简整式求值，分式的运算注意运算顺序是解题关键，在没有具体数值时，整体法是解决多项式求值问题是常用方法，当题目中给出的是高次项与低次项之间的关系时，降幂思想是解题关键．
三、解答题（共78分）
19、见解析
【分析】根据可知，点P在DE的垂直平分线上，再根据P到的距离相等可知，点P在的角平分线上，所以DE的垂直平分线与的角平分线的交点即为所求的点P．
【详解】如图
【点睛】
本题主要考查角平分线和垂直平分线性质的应用，掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图是解题的关键．
20、（1），；（2）；（3）见解析.
【分析】（1）根据已知算式写出符合题意的答案；
（2）利用平方差公式计算，即可得出答案；
（3）先把代数式进行分解因式，然后对m、n的值进行讨论分析，即可得到结论成立.
【详解】解：（1）根据题意，有：，；
∴，；
（2）根据题意，得：（m，n， a都是整数且互不相同）；
(3) 证明：
=
=；
当m、n同是奇数或偶数时，（m-n）一定是偶数，
∴ 4（m-n）一定是8的倍数；
当m、n是一奇一偶时，（m+n+1）一定是偶数，
∴ 4（m+n+1）一定是8的倍数；
综上所述，任意两个奇数的平方差都是8的倍数.
【点睛】
本题考查了因式分解的应用及平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法进行解题.注意：平方差公式是a2-b2=（a+b）（a-b）．
21、（1）答案见解析；（2）答案见解析，点A2（4，5），点B2（6，3），点C2（3，1）；（3）PP1=2+2m
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴对称的点，然后顺次连接；
（2）分别作出点A、B、C关于直线l对称的点，然后顺次连接，并写出△A2B2C2三个顶点的坐标
（3）根据对称的性质即可得出答案．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，
由图可知，点A2的坐标是（4，5），点B2的坐标是（6，3），点C2的坐标是（3，1）；
（3）PP1=2（1+m）=2+2m．
【点睛】
本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
22、（1）见解析（2）点O在∠BAC的角平分线上，理由见解析（3）平行，理由见解析
【分析】（1）根据题意证明△BCE≌△CBD即可求解；
（2）由（1）得到△ABC为等腰三角形，连接AO并延长交BC于F，通过证△AOE≌△AOD，得到∠BAF＝∠CAF，即点O在∠BAC的角平分线上．
（3）连接，根据等腰三角形三线合一即可求解．
【详解】（1）∵锐角的两条高、相交于点，且
BC=CB，
∴△BCE≌△CBD（HL）
∴
（2）解：点O在∠BAC的角平分线上．
理由：∵△BCE≌△CBD
∴∠EBC＝∠DCB,BE=CD
∴△ABC为等腰三角形，
∴AB=AC,
则AB-BE=AC-CD
∴AE=AD
连接AO并延长交BC于F，
在Rt△AOE和Rt△AOD中，
∴Rt△AOE≌Rt△AOD．
∴∠BAF＝∠CAF，
∴点O在∠BAC的角平分线上．
（3）平行，理由如下：
如图，连接，交AF于G点，
∵AE=AD
∴△ADE为等腰三角形，
由（2）得到AF为∠BAC的角平分线
∴AG⊥DE，
又AF⊥BC，
∴DE∥BC.
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质与判定，以及角平分线的判定等知识．此题难度不大，注意等角对等边与三线合一定理的应用．
23、（1）证明见解析；（2）CF=BD，CF⊥BD．理由见解析．
【分析】（1）根据已知条件证明∠CAF=∠BAD，即可得到△ACF≌△ABD；
（2）根据等腰三角形的性质证明∠CAF=∠BAD，证明△ACF≌△ABD，CF=BD，∠ACF=∠B，即可得结果；
【详解】解：（1）∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，AD=AF，
∴∠CAF=∠BAD ，
在△ACF和△ABD中，
AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
（2）CF=BD，CF⊥BD． 理由如下：
∵△ADF是等腰直角三角形，
∴AD=AF，
∵∠CAB=∠DAF=90°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD，
∴CF=BD，CF⊥BD．
【点睛】
本题主要考查了三角形知识点综合，准确根据全等证明是解题的关键．
24、①AC=BD②AC⊥BD都还成立，理由见解析
【分析】利用全等三角形的判定方法（SAS）得出△ACO≌△BDO，进而得出AC=BD，再利用三角形内角和定理得出AC⊥BD．
【详解】解：①AC=BD②AC⊥BD都还成立，理由如下：
如图，设AO、AC与BD分别交于点E、N，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB+∠DOA=∠COD+∠DOA，
即∠COA=∠DOB，
在△ACO和△BDO中，
，
∴△ACO≌△BDO（SAS），
∴AC=BD，∠OBD=∠OAC，
又∵∠BEO=∠AED，
∴∠AOB=∠ANE=90°，
∴AC⊥BD，
综上所述：①AC=BD②AC⊥BD都还成立．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，解题的关键是根据已知得出△ACO≌△BDO．
25、（1）③；（2）忽略了 的可能；（3）见解析
【分析】（1）上述解题过程，从第三步出现错误，错误原因为在等式两边除以，没有考虑是否为0；
（2）正确的做法为：将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；
（3）根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形．
【详解】（1）根据题意可知，
∵由，
∴通过移项得，故③错误；
（2）由（1）可知，错误的原因是：忽略了的可能；
（3）正确的写法为：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∴是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形；
故答案为是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
26、（1）详见解析；（2）16
【分析】（1）在坐标系中标出A，B，C三点，依次连接即可；
（2）S矩形BDEF-，求出即可.
【详解】（1）在坐标系中标出A，B，C三点，依次连接，如图所示
；
（2）由图可知D（-4，-4），E（3，-4），F（3，1），
S矩形BDEF-．
【点睛】
本题是对坐标系知识的考查，熟练掌握坐标系内的点和三角形面积公式是解决本题的关键.