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鲁科版高中物理必修第一册第4章素养培优课(二)平衡条件的应用学案
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这是一份鲁科版高中物理必修第一册第4章素养培优课(二)平衡条件的应用学案，共21页。
素养培优课(二) 平衡条件的应用1．掌握解决静态平衡问题的常用方法。2．学会用解析法、图解法、三角形相似法解决动态平衡问题。3．掌握解决临界问题和极值问题的方法。 考点1 静态平衡问题1．静态平衡的定义静态平衡是指物体在共点力的作用下保持静止状态时的平衡。2．静态平衡的理解(1)运动学特征：处于静态平衡的物体速度为零，加速度为零。(2)平衡条件：处于静态平衡的物体所受的合力为零。(3)实例：日常生活中，三角形支架以其优越的平衡稳定性被广泛采用，如大型展览馆、体育馆屋顶的钢架结构，马路边的路灯支架，建筑工地的塔吊支架等静态平衡装置大多采用三角形结构。【典例1】 如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点，设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ。下列关系正确的是( )A．F＝mgtanθ B．F＝mg tan θC．FN＝mgtanθ D．FN＝mg tan θ思路点拨：(1)滑块处于静止状态，所受合外力为零。(2)选取滑块为研究对象可采用合成法、效果分解法、正交分解法求解。A [方法一：合成法滑块受力如图甲所示，由平衡条件知，mgF＝tan θ，mgFN＝sin θ，解得F＝mgtanθ，FN＝mgsinθ。方法二：效果分解法将重力按产生的作用效果分解，如图乙所示，则F＝G2＝mgtanθ，FN＝G1＝mgsinθ。方法三：正交分解法将滑块受的力沿水平、竖直方向分解，如图丙所示，则mg＝FNsin θ，F＝FNcos θ，联立解得F＝mgtanθ，FN＝mgsinθ，综上可知，选项A正确。] 解决静态平衡问题的方法及步骤(1)处理平衡问题，常用的方法有合成法、分解法、正交分解法等。(2)应用平衡条件解题的步骤①明确研究对象(物体、质点或绳的结点等)。②对研究对象进行受力分析。③建立合适的坐标系，应用共点力的平衡条件，选择恰当的方法列出平衡方程。④求解方程，并讨论结果。[跟进训练]1．如图所示，质量为m的小球置于倾角为30°的光滑斜面上，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在小球上，另一端固定在墙上的P点，小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角为30°，则弹簧的伸长量为( )A．mgk B．3mg2k C．3mg3k D．3mgkC [解法一：正交分解法如图甲所示为小球的受力情况，其中F为弹簧的弹力，由几何关系可知，弹力F与斜面之间的夹角为30°。将小球所受的重力mg和弹力F分别沿平行于斜面和垂直于斜面的方向进行正交分解，由共点力的平衡条件知，弹力F沿斜面向上的分力与重力mg沿斜面向下的分力大小相等，即F cos 30°＝mg sin 30°，由胡克定律得F＝kx，联立解得弹簧的伸长量x＝3mg3k，选项C正确。甲 乙解法二：合成法如图乙所示，将弹力F和斜面对小球的支持力FN直接合成，图中的F′即为两力的合力。由几何关系可知，图中α＝120°，β＝30°，由正弦定理可得mgsin120°＝Fsin30°，而弹力F＝kx，联立解得弹簧的伸长量x＝3mg3k。] 考点2 动态平衡问题1．动态平衡(1)所谓动态平衡问题，是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，常利用图解法解决此类问题。(2)基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。2．分析动态平衡问题的方法角度1 解析法和图解法的应用【典例2】 (多选)如图所示，把一个物体用两根等长的细绳Oa和Ob悬挂在半圆环上，O点为半圆环的圆心。让a端固定不动，当b端由最高点向最低点d缓慢移动的过程中，Oa和Ob两绳对物体的拉力T1和T2的大小变化是( )A．T1始终增大B．T1逐渐减小C．T2先增大后减小D．T2先减小后增大AD [作出力T1和T2的示意图，因两绳子的拉力的合力与物体的重力大小相等、方向相反，作出平行四边形如图所示：在Ob转动的过程中，由图可知，Oa的拉力T1一直增大，而Ob的拉力T2先减小后增大，当Ob垂直于Oa时T2最小，故A、D正确，B、C错误。]角度2 三角形相似法的应用【典例3】 一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆B端所受的压力FN的大小变化情况是( )A．FN先减小后增大 B．FN始终不变C．F先减小后增大 D．F始终不变B [取杆BO的B端为研究对象，受到AB间细绳的拉力(大小为F)、杆BO的支持力FN和悬挂重物的细绳的拉力(大小为G)的作用，将FN与G合成，其合力与AB间细绳上拉力F等大反向，如图所示，将三个力相连构成封闭的三角形(如图中画竖线部分)，力的三角形与几何三角形OBA相似，设AO长为H，BO长为L，绳长为l，利用相似三角形可得GH＝FNL＝Fl，式中G、H、L均保持不变，l逐渐变小，则FN不变，F逐渐变小。B正确。][跟进训练]2．(角度1)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态。则把柱状物体A向右缓慢移动少许的过程中，下列判断正确的是( )A．球B对墙的压力增大B．球B对柱状物体A的压力增大C．地面对柱状物体A的摩擦力不变D．地面对柱状物体A的支持力不变D [球B受重力、柱状物体A的支持力F1和墙的支持力F2，如图甲所示，设F1与竖直方向的夹角为θ，将重力G分解为G1和G2，根据平衡条件可知，F1＝G1＝Gcosθ，F2＝G2＝G tan θ。把柱状物体A向右缓慢移动少许的过程中，根据几何关系可知，柱状物体A对球B的支持力F1与竖直方向的夹角θ减小，所以cos θ增大，tan θ减小，即墙壁对球B的支持力F2减小，A对球B的支持力F1减小，则球B对墙的压力减小，球B对柱状物体A的压力也减小，选项A、B错误；对A、B整体进行受力分析，如图乙所示，由平衡条件可知，柱状物体A受地面的摩擦力大小Ff＝F2，则Ff减小，地面对柱状物体A的支持力等于A、B的重力之和，大小不变，选项C错误，D正确。 ]甲 乙3．(角度2)(多选)如图所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小定滑轮，轻绳的一端系一小球，小球靠在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A点移动到半球面的顶点B的过程中，半球形物体对小球的支持力FN和绳对小球的拉力FT的变化情况是( )A．FN变大 B．FN不变C．FT变小 D．FT先变小后变大BC [以小球为研究对象，小球受重力G、绳的拉力FT和半球形物体的支持力FN，作出FN、FT的合力F，如图所示，由平衡条件可知，F＝G，由相似三角形知识得FNAO＝FO1O＝FTO1A，解得FN＝AOO1OG，FT＝O1AO1OG。由题知，缓慢地将小球从A点拉到B点过程中，O1O、AO不变，O1A变小，可见FT变小，FN不变，B、C正确。] 考点3 平衡问题中的临界问题和极值问题1．临界问题(1)问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。(2)问题特点①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。(3)分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。2．极值问题(1)问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。(2)分析方法①解析法：根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或根据物理临界条件求极值。②图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。【典例4】 如图所示，小球的质量为 2 kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于小球上，AC绳水平，AB绳与AC绳成θ＝60°角，在小球上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F，g取10 m/s2。若要使绳都能拉直，求拉力F的大小范围。思路点拨：因为绳都能拉直，所以各个夹角不变化。分两种情况，即第一种是FB＝0时，第二种是FC＝0时，分别解出即可。[解析] 小球受重力mg、AB拉力FB、AC拉力FC和F作用处于平衡状态，如图所示。由Fx合=0Fy合=0有Fcos60°=FC+FBcos60°FBsin60°+Fsin60°=mg要两绳伸直则应满足FB≥0，FC≥0FB≥0时，F≤mgsin60°＝4033 NFC≥0时，F≥mg2sin60°＝2033 N综上所述，F的大小范围为2033 N≤F≤4033 N。[答案] 2033 N≤F≤4033 N 临界与极值问题的分析技巧(1)求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡中的临界点和极值点。(2)临界条件必须在变化中寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题；要把某个物理量推向极端，即极大或极小，并依此作出科学的推理分析，从而做出判断或给出结论。[跟进训练]4．(多选)如图所示，光滑的大圆环固定在竖直平面上，圆心为O点，P为环上最高点，轻弹簧的一端固定在P点，另一端连接一个套在大环上的小球Q，小球静止在图示位置，弹簧与竖直方向的夹角为30°，则( )A．小球受三个力的作用B．大圆环对小球的力的方向一定沿OQ指向外C．弹簧可能处于压缩状态也可能处于伸长状态D．小球所受大圆环的力的大小等于重力大小ABD [对小球进行受力分析，小球受重力、支持力、弹簧的弹力三个力的作用，故A正确；若弹簧处于压缩状态，则小球受向下的重力，由P指向Q的弹力，由Q指向O的支持力，分析得这三力不可能平衡，则弹簧处于伸长状态，大圆环对小球的力的方向一定沿OQ指向外，故B正确，C错误；对小球受力分析，如图所示，根据三角形相似有NOQ＝GOP＝FPQ，由几何关系可得PQ＝3OP＝3OQ，可知大圆环对小球的力等于小球的重力，故D正确。]素养培优练(二) 平衡条件的应用一、选择题1．(多选)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是( )A．绳的右端上移到b′，绳子拉力不变B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移AB [设两段绳子间的夹角为2α，由平衡条件可知，2F cos α＝mg，所以F＝mg2cosα，设绳子总长为L，两杆间距离为s，由几何关系L1sin α＋L2sin α＝s，得sin α＝sL1+L2＝sL，绳子右端上移，L、s都不变，则α不变，绳子张力F也不变，A正确；杆N向右移动一些，s变大，α变大，cos α变小，F变大，B正确；绳子两端高度差变化，不影响s和L，所以F不变，C错误；衣服质量增加，绳子上的拉力增加，由于α不会变化，悬挂点不会右移，D错误。]2．质量为m的物体放在倾角为30°的斜面上，在平行斜面向下的力F作用下处于静止状态，如图所示，下列关于斜面对物体摩擦力大小的说法，不正确的是( )A．一定大于FB．一定等于F＋32mgC．可能等于mgD．可能等于2mgB [设斜面对物体的摩擦力的大小为f，对物体受力分析可知，f的方向沿斜面向上，根据平衡条件可得，F＋mg sin 30°＝f，由于F的大小不确定，故B错误，A、C、D正确。]3．(多选)如图所示，一个质量为m的滑块静置于倾角为30°的粗糙斜面上，一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的P点，另一端系在滑块上，弹簧与竖直方向的夹角为30°，则( )A．滑块可能受到三个力作用B．弹簧一定处于压缩状态C．斜面对滑块的支持力大小可能为零D．斜面对滑块的摩擦力大小一定等于12mgAD [由题可知，弹簧的方向与斜面垂直，因为弹簧的形变情况未知，所以斜面与滑块之间的弹力大小不确定，滑块可能只受重力、斜面的支持力和静摩擦力三个力的作用而平衡，此时弹簧处于原长状态，弹力为零，故A正确，B错误；滑块在沿斜面方向处于平衡状态，所以滑块此时受到沿斜面向上的静摩擦力，且摩擦力大小等于重力沿斜面向下的分力大小，即f＝mg sin 30°＝12mg，所以摩擦力一定不为零，有摩擦力说明必有弹力，所以斜面对滑块的支持力不可能为零，故C错误，D正确。]4．如图所示，重50 N的物体A放在倾角为37°的粗糙斜面上，有一根原长为10 cm，劲度系数为800 N/m 的弹簧，其一端固定在斜面顶端，另一端连接物体A后，弹簧长度为14 cm。现用一测力计沿斜面向下拉物体A，若物体A与斜面间的最大静摩擦力为20 N，当弹簧的长度仍为14 cm时，测力计的读数不可能为(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )A．10 N B．20 NC．30 N D．0C [物体A在斜面上处于静止状态时合外力为零，物体A在斜面上受五个力的作用，分别为重力、支持力、弹簧弹力、摩擦力、拉力F。当摩擦力的方向沿斜面向上时，F＋mg sin 37°≤fmax＋k(14 cm－10 cm)，解得F≤22 N。当摩擦力沿斜面向下时，F最小值为零，即拉力的取值范围为0≤F≤22 N。故选项C正确。]5．如图所示，斜面体P放在水平面上，物体Q放在斜面上。Q受一水平作用力F，Q和P都静止。这时P对Q的静摩擦力和水平面对P的静摩擦力分别为f1、f2。现使力F变大，系统仍静止，则( )A．f1、f2都变大B．f1变大，f2不一定变大C．f2变大，f1不一定变大D．f1、f2都不一定变大C [把P、Q作为整体，受力分析如图所示，可知水平面对P的静摩擦力f2＝F，F变大时，f2一定变大；对Q受力分析，因为F变大之前Q相对于P的滑动趋势不确定，可能沿斜面向上、可能沿斜面向下、也可能无相对滑动趋势，若初始时f1方向沿斜面向上，随着F的增大，f1先减小至零再沿斜面向下增大，若初始时f1为零或方向沿斜面向下，随着F的增大，f1一直增大，综上可知，C正确。]6．如图所示，弹性轻绳的一端固定在O点，另一端拴一个物体，物体静止在水平地面上的B点，并对水平地面有压力，O点的正下方A处有一垂直于纸面的光滑杆，OA为弹性轻绳的自然长度，现在用水平力使物体沿水平面运动，在这一过程中，物体所受水平面的摩擦力的大小的变化情况是( )A．先变大后变小B．先变小后变大C．保持不变D．条件不够充分，无法确定C [假设弹性轻绳和水平方向夹角为θ，lAB＝x，则弹性轻绳的伸长量为xsinθ，弹性绳的弹力T＝kxsinθ，对物体进行受力分析，竖直方向T sin θ＋N＝mg，得N＝mg－T sin θ，物体沿水平面运动过程摩擦力为滑动摩擦力，f＝μN＝μmg－μT sin θ＝μmg－μkx，滑动摩擦力和夹角无关，故选C。]7．(多选)如图所示，格鲁吉亚物理学家安德里亚仅靠摩擦力将25个网球垒成9层高的直立“小塔”。网球A位于“小塔”顶层，下面各层均有3个网球，网球B位于“小塔”的第6层，已知每个网球质量均为m。下列说法正确的是( )A．其他网球对网球B的作用力大小等于网球B的重力大小B．拿掉网球A，“小塔”将无法保持平衡C．第8层的三个网球与网球A间的弹力大小均为mg3D．最底层的3个网球受到地板的支持力均为25mg3ABD [因为网球B处于静止状态，所以网球B的重力与其他网球对网球B作用力的合力等大反向，故A正确；拿掉网球A之后，之前与网球A接触的其他网球的受力情况就会发生变化，平衡条件被破坏，因此“小塔”将无法保持平衡，故B正确；第8层的三个网球各自与网球A间的弹力的合力与网球A的重力相等，但由于第8层的三个网球与网球A间的弹力并不是沿竖直向上的方向，故弹力大小不为mg3，故C错误；最底层的3个网球受到地板的支持力的合力等于全部球的总重力，因此每个网球受到地板的支持力均为25mg3，故D正确。]8．如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其恰能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也恰能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比F1F2为( )A．cos θ＋μsin θ B．cos θ－μsin θC．1＋μtan θ D．1－μtan θB [物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力分析如图所示。将重力mg、力F1和F2沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得F1＝mg sin θ＋f1，N1＝mg cos θ，f1＝μN1，F2cos θ＝mg sin θ＋f2，N2＝mg cos θ＋F2sin θ，f2＝μN2，解得F1＝mg sin θ＋μmg cos θ，F2＝mgsinθ+μmgcosθcosθ-μsinθ，故F1F2＝cos θ－μsin θ，B正确。]9．如图所示，将一光滑轻杆固定在地面上，杆与地面间的夹角θ＝30°，一光滑轻环(不计重力)套在杆上，一个大小和质量都不计的滑轮通过轻绳OP悬挂在天花板上，用另一轻绳绕过滑轮系在轻环上，现用水平向右的力缓慢拉绳，当轻环静止不动时，OP绳与天花板之间的夹角为( )A．30° B．45° C．60° D．75°C [设轻绳OP的张力大小为F，绕过滑轮的绳子张力大小为T。对轻环Q进行受力分析如图1所示，则只有绳子的拉力垂直于杆的方向时，绳子的拉力沿杆的方向没有分力，轻环静止不动；由几何关系可知，绳子与竖直方向之间的夹角是30°。对滑轮进行受力分析如图2所示，由于滑轮的质量不计，则OP对滑轮的拉力与两段绳子上拉力的合力大小相等，方向相反，所以OP的方向一定在绕在滑轮上的两段绳子夹角的平分线上，由几何关系得OP与竖直方向之间的夹角β＝90°+30°2－30°＝30°，则OP与天花板之间的夹角为90°－β＝60°，故选C。]10．(多选)如图所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°。已知M始终保持静止，则在此过程中( )A．水平拉力的大小可能保持不变B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加BD [对N进行受力分析如图所示，因为N的重力与水平拉力F的合力和细绳的拉力T是一对平衡力，从图中可以看出水平拉力的大小逐渐增大，细绳的拉力也一直增大，选项A错误，B正确；M的质量与N的质量的大小关系不确定，设斜面倾角为θ，若mNg≥mMg sin θ，则M所受斜面的摩擦力大小会一直增大，若mNg
素养培优课(二) 平衡条件的应用1．掌握解决静态平衡问题的常用方法。2．学会用解析法、图解法、三角形相似法解决动态平衡问题。3．掌握解决临界问题和极值问题的方法。 考点1 静态平衡问题1．静态平衡的定义静态平衡是指物体在共点力的作用下保持静止状态时的平衡。2．静态平衡的理解(1)运动学特征：处于静态平衡的物体速度为零，加速度为零。(2)平衡条件：处于静态平衡的物体所受的合力为零。(3)实例：日常生活中，三角形支架以其优越的平衡稳定性被广泛采用，如大型展览馆、体育馆屋顶的钢架结构，马路边的路灯支架，建筑工地的塔吊支架等静态平衡装置大多采用三角形结构。【典例1】 如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点，设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ。下列关系正确的是( )A．F＝mgtanθ B．F＝mg tan θC．FN＝mgtanθ D．FN＝mg tan θ思路点拨：(1)滑块处于静止状态，所受合外力为零。(2)选取滑块为研究对象可采用合成法、效果分解法、正交分解法求解。A [方法一：合成法滑块受力如图甲所示，由平衡条件知，mgF＝tan θ，mgFN＝sin θ，解得F＝mgtanθ，FN＝mgsinθ。方法二：效果分解法将重力按产生的作用效果分解，如图乙所示，则F＝G2＝mgtanθ，FN＝G1＝mgsinθ。方法三：正交分解法将滑块受的力沿水平、竖直方向分解，如图丙所示，则mg＝FNsin θ，F＝FNcos θ，联立解得F＝mgtanθ，FN＝mgsinθ，综上可知，选项A正确。] 解决静态平衡问题的方法及步骤(1)处理平衡问题，常用的方法有合成法、分解法、正交分解法等。(2)应用平衡条件解题的步骤①明确研究对象(物体、质点或绳的结点等)。②对研究对象进行受力分析。③建立合适的坐标系，应用共点力的平衡条件，选择恰当的方法列出平衡方程。④求解方程，并讨论结果。[跟进训练]1．如图所示，质量为m的小球置于倾角为30°的光滑斜面上，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在小球上，另一端固定在墙上的P点，小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角为30°，则弹簧的伸长量为( )A．mgk B．3mg2k C．3mg3k D．3mgkC [解法一：正交分解法如图甲所示为小球的受力情况，其中F为弹簧的弹力，由几何关系可知，弹力F与斜面之间的夹角为30°。将小球所受的重力mg和弹力F分别沿平行于斜面和垂直于斜面的方向进行正交分解，由共点力的平衡条件知，弹力F沿斜面向上的分力与重力mg沿斜面向下的分力大小相等，即F cos 30°＝mg sin 30°，由胡克定律得F＝kx，联立解得弹簧的伸长量x＝3mg3k，选项C正确。甲 乙解法二：合成法如图乙所示，将弹力F和斜面对小球的支持力FN直接合成，图中的F′即为两力的合力。由几何关系可知，图中α＝120°，β＝30°，由正弦定理可得mgsin120°＝Fsin30°，而弹力F＝kx，联立解得弹簧的伸长量x＝3mg3k。] 考点2 动态平衡问题1．动态平衡(1)所谓动态平衡问题，是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，常利用图解法解决此类问题。(2)基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。2．分析动态平衡问题的方法角度1 解析法和图解法的应用【典例2】 (多选)如图所示，把一个物体用两根等长的细绳Oa和Ob悬挂在半圆环上，O点为半圆环的圆心。让a端固定不动，当b端由最高点向最低点d缓慢移动的过程中，Oa和Ob两绳对物体的拉力T1和T2的大小变化是( )A．T1始终增大B．T1逐渐减小C．T2先增大后减小D．T2先减小后增大AD [作出力T1和T2的示意图，因两绳子的拉力的合力与物体的重力大小相等、方向相反，作出平行四边形如图所示：在Ob转动的过程中，由图可知，Oa的拉力T1一直增大，而Ob的拉力T2先减小后增大，当Ob垂直于Oa时T2最小，故A、D正确，B、C错误。]角度2 三角形相似法的应用【典例3】 一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆B端所受的压力FN的大小变化情况是( )A．FN先减小后增大 B．FN始终不变C．F先减小后增大 D．F始终不变B [取杆BO的B端为研究对象，受到AB间细绳的拉力(大小为F)、杆BO的支持力FN和悬挂重物的细绳的拉力(大小为G)的作用，将FN与G合成，其合力与AB间细绳上拉力F等大反向，如图所示，将三个力相连构成封闭的三角形(如图中画竖线部分)，力的三角形与几何三角形OBA相似，设AO长为H，BO长为L，绳长为l，利用相似三角形可得GH＝FNL＝Fl，式中G、H、L均保持不变，l逐渐变小，则FN不变，F逐渐变小。B正确。][跟进训练]2．(角度1)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态。则把柱状物体A向右缓慢移动少许的过程中，下列判断正确的是( )A．球B对墙的压力增大B．球B对柱状物体A的压力增大C．地面对柱状物体A的摩擦力不变D．地面对柱状物体A的支持力不变D [球B受重力、柱状物体A的支持力F1和墙的支持力F2，如图甲所示，设F1与竖直方向的夹角为θ，将重力G分解为G1和G2，根据平衡条件可知，F1＝G1＝Gcosθ，F2＝G2＝G tan θ。把柱状物体A向右缓慢移动少许的过程中，根据几何关系可知，柱状物体A对球B的支持力F1与竖直方向的夹角θ减小，所以cos θ增大，tan θ减小，即墙壁对球B的支持力F2减小，A对球B的支持力F1减小，则球B对墙的压力减小，球B对柱状物体A的压力也减小，选项A、B错误；对A、B整体进行受力分析，如图乙所示，由平衡条件可知，柱状物体A受地面的摩擦力大小Ff＝F2，则Ff减小，地面对柱状物体A的支持力等于A、B的重力之和，大小不变，选项C错误，D正确。 ]甲 乙3．(角度2)(多选)如图所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小定滑轮，轻绳的一端系一小球，小球靠在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A点移动到半球面的顶点B的过程中，半球形物体对小球的支持力FN和绳对小球的拉力FT的变化情况是( )A．FN变大 B．FN不变C．FT变小 D．FT先变小后变大BC [以小球为研究对象，小球受重力G、绳的拉力FT和半球形物体的支持力FN，作出FN、FT的合力F，如图所示，由平衡条件可知，F＝G，由相似三角形知识得FNAO＝FO1O＝FTO1A，解得FN＝AOO1OG，FT＝O1AO1OG。由题知，缓慢地将小球从A点拉到B点过程中，O1O、AO不变，O1A变小，可见FT变小，FN不变，B、C正确。] 考点3 平衡问题中的临界问题和极值问题1．临界问题(1)问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。(2)问题特点①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。(3)分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。2．极值问题(1)问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。(2)分析方法①解析法：根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或根据物理临界条件求极值。②图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。【典例4】 如图所示，小球的质量为 2 kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于小球上，AC绳水平，AB绳与AC绳成θ＝60°角，在小球上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F，g取10 m/s2。若要使绳都能拉直，求拉力F的大小范围。思路点拨：因为绳都能拉直，所以各个夹角不变化。分两种情况，即第一种是FB＝0时，第二种是FC＝0时，分别解出即可。[解析] 小球受重力mg、AB拉力FB、AC拉力FC和F作用处于平衡状态，如图所示。由Fx合=0Fy合=0有Fcos60°=FC+FBcos60°FBsin60°+Fsin60°=mg要两绳伸直则应满足FB≥0，FC≥0FB≥0时，F≤mgsin60°＝4033 NFC≥0时，F≥mg2sin60°＝2033 N综上所述，F的大小范围为2033 N≤F≤4033 N。[答案] 2033 N≤F≤4033 N 临界与极值问题的分析技巧(1)求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡中的临界点和极值点。(2)临界条件必须在变化中寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题；要把某个物理量推向极端，即极大或极小，并依此作出科学的推理分析，从而做出判断或给出结论。[跟进训练]4．(多选)如图所示，光滑的大圆环固定在竖直平面上，圆心为O点，P为环上最高点，轻弹簧的一端固定在P点，另一端连接一个套在大环上的小球Q，小球静止在图示位置，弹簧与竖直方向的夹角为30°，则( )A．小球受三个力的作用B．大圆环对小球的力的方向一定沿OQ指向外C．弹簧可能处于压缩状态也可能处于伸长状态D．小球所受大圆环的力的大小等于重力大小ABD [对小球进行受力分析，小球受重力、支持力、弹簧的弹力三个力的作用，故A正确；若弹簧处于压缩状态，则小球受向下的重力，由P指向Q的弹力，由Q指向O的支持力，分析得这三力不可能平衡，则弹簧处于伸长状态，大圆环对小球的力的方向一定沿OQ指向外，故B正确，C错误；对小球受力分析，如图所示，根据三角形相似有NOQ＝GOP＝FPQ，由几何关系可得PQ＝3OP＝3OQ，可知大圆环对小球的力等于小球的重力，故D正确。]素养培优练(二) 平衡条件的应用一、选择题1．(多选)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是( )A．绳的右端上移到b′，绳子拉力不变B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移AB [设两段绳子间的夹角为2α，由平衡条件可知，2F cos α＝mg，所以F＝mg2cosα，设绳子总长为L，两杆间距离为s，由几何关系L1sin α＋L2sin α＝s，得sin α＝sL1+L2＝sL，绳子右端上移，L、s都不变，则α不变，绳子张力F也不变，A正确；杆N向右移动一些，s变大，α变大，cos α变小，F变大，B正确；绳子两端高度差变化，不影响s和L，所以F不变，C错误；衣服质量增加，绳子上的拉力增加，由于α不会变化，悬挂点不会右移，D错误。]2．质量为m的物体放在倾角为30°的斜面上，在平行斜面向下的力F作用下处于静止状态，如图所示，下列关于斜面对物体摩擦力大小的说法，不正确的是( )A．一定大于FB．一定等于F＋32mgC．可能等于mgD．可能等于2mgB [设斜面对物体的摩擦力的大小为f，对物体受力分析可知，f的方向沿斜面向上，根据平衡条件可得，F＋mg sin 30°＝f，由于F的大小不确定，故B错误，A、C、D正确。]3．(多选)如图所示，一个质量为m的滑块静置于倾角为30°的粗糙斜面上，一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的P点，另一端系在滑块上，弹簧与竖直方向的夹角为30°，则( )A．滑块可能受到三个力作用B．弹簧一定处于压缩状态C．斜面对滑块的支持力大小可能为零D．斜面对滑块的摩擦力大小一定等于12mgAD [由题可知，弹簧的方向与斜面垂直，因为弹簧的形变情况未知，所以斜面与滑块之间的弹力大小不确定，滑块可能只受重力、斜面的支持力和静摩擦力三个力的作用而平衡，此时弹簧处于原长状态，弹力为零，故A正确，B错误；滑块在沿斜面方向处于平衡状态，所以滑块此时受到沿斜面向上的静摩擦力，且摩擦力大小等于重力沿斜面向下的分力大小，即f＝mg sin 30°＝12mg，所以摩擦力一定不为零，有摩擦力说明必有弹力，所以斜面对滑块的支持力不可能为零，故C错误，D正确。]4．如图所示，重50 N的物体A放在倾角为37°的粗糙斜面上，有一根原长为10 cm，劲度系数为800 N/m 的弹簧，其一端固定在斜面顶端，另一端连接物体A后，弹簧长度为14 cm。现用一测力计沿斜面向下拉物体A，若物体A与斜面间的最大静摩擦力为20 N，当弹簧的长度仍为14 cm时，测力计的读数不可能为(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )A．10 N B．20 NC．30 N D．0C [物体A在斜面上处于静止状态时合外力为零，物体A在斜面上受五个力的作用，分别为重力、支持力、弹簧弹力、摩擦力、拉力F。当摩擦力的方向沿斜面向上时，F＋mg sin 37°≤fmax＋k(14 cm－10 cm)，解得F≤22 N。当摩擦力沿斜面向下时，F最小值为零，即拉力的取值范围为0≤F≤22 N。故选项C正确。]5．如图所示，斜面体P放在水平面上，物体Q放在斜面上。Q受一水平作用力F，Q和P都静止。这时P对Q的静摩擦力和水平面对P的静摩擦力分别为f1、f2。现使力F变大，系统仍静止，则( )A．f1、f2都变大B．f1变大，f2不一定变大C．f2变大，f1不一定变大D．f1、f2都不一定变大C [把P、Q作为整体，受力分析如图所示，可知水平面对P的静摩擦力f2＝F，F变大时，f2一定变大；对Q受力分析，因为F变大之前Q相对于P的滑动趋势不确定，可能沿斜面向上、可能沿斜面向下、也可能无相对滑动趋势，若初始时f1方向沿斜面向上，随着F的增大，f1先减小至零再沿斜面向下增大，若初始时f1为零或方向沿斜面向下，随着F的增大，f1一直增大，综上可知，C正确。]6．如图所示，弹性轻绳的一端固定在O点，另一端拴一个物体，物体静止在水平地面上的B点，并对水平地面有压力，O点的正下方A处有一垂直于纸面的光滑杆，OA为弹性轻绳的自然长度，现在用水平力使物体沿水平面运动，在这一过程中，物体所受水平面的摩擦力的大小的变化情况是( )A．先变大后变小B．先变小后变大C．保持不变D．条件不够充分，无法确定C [假设弹性轻绳和水平方向夹角为θ，lAB＝x，则弹性轻绳的伸长量为xsinθ，弹性绳的弹力T＝kxsinθ，对物体进行受力分析，竖直方向T sin θ＋N＝mg，得N＝mg－T sin θ，物体沿水平面运动过程摩擦力为滑动摩擦力，f＝μN＝μmg－μT sin θ＝μmg－μkx，滑动摩擦力和夹角无关，故选C。]7．(多选)如图所示，格鲁吉亚物理学家安德里亚仅靠摩擦力将25个网球垒成9层高的直立“小塔”。网球A位于“小塔”顶层，下面各层均有3个网球，网球B位于“小塔”的第6层，已知每个网球质量均为m。下列说法正确的是( )A．其他网球对网球B的作用力大小等于网球B的重力大小B．拿掉网球A，“小塔”将无法保持平衡C．第8层的三个网球与网球A间的弹力大小均为mg3D．最底层的3个网球受到地板的支持力均为25mg3ABD [因为网球B处于静止状态，所以网球B的重力与其他网球对网球B作用力的合力等大反向，故A正确；拿掉网球A之后，之前与网球A接触的其他网球的受力情况就会发生变化，平衡条件被破坏，因此“小塔”将无法保持平衡，故B正确；第8层的三个网球各自与网球A间的弹力的合力与网球A的重力相等，但由于第8层的三个网球与网球A间的弹力并不是沿竖直向上的方向，故弹力大小不为mg3，故C错误；最底层的3个网球受到地板的支持力的合力等于全部球的总重力，因此每个网球受到地板的支持力均为25mg3，故D正确。]8．如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其恰能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也恰能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比F1F2为( )A．cos θ＋μsin θ B．cos θ－μsin θC．1＋μtan θ D．1－μtan θB [物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力分析如图所示。将重力mg、力F1和F2沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得F1＝mg sin θ＋f1，N1＝mg cos θ，f1＝μN1，F2cos θ＝mg sin θ＋f2，N2＝mg cos θ＋F2sin θ，f2＝μN2，解得F1＝mg sin θ＋μmg cos θ，F2＝mgsinθ+μmgcosθcosθ-μsinθ，故F1F2＝cos θ－μsin θ，B正确。]9．如图所示，将一光滑轻杆固定在地面上，杆与地面间的夹角θ＝30°，一光滑轻环(不计重力)套在杆上，一个大小和质量都不计的滑轮通过轻绳OP悬挂在天花板上，用另一轻绳绕过滑轮系在轻环上，现用水平向右的力缓慢拉绳，当轻环静止不动时，OP绳与天花板之间的夹角为( )A．30° B．45° C．60° D．75°C [设轻绳OP的张力大小为F，绕过滑轮的绳子张力大小为T。对轻环Q进行受力分析如图1所示，则只有绳子的拉力垂直于杆的方向时，绳子的拉力沿杆的方向没有分力，轻环静止不动；由几何关系可知，绳子与竖直方向之间的夹角是30°。对滑轮进行受力分析如图2所示，由于滑轮的质量不计，则OP对滑轮的拉力与两段绳子上拉力的合力大小相等，方向相反，所以OP的方向一定在绕在滑轮上的两段绳子夹角的平分线上，由几何关系得OP与竖直方向之间的夹角β＝90°+30°2－30°＝30°，则OP与天花板之间的夹角为90°－β＝60°，故选C。]10．(多选)如图所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°。已知M始终保持静止，则在此过程中( )A．水平拉力的大小可能保持不变B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加BD [对N进行受力分析如图所示，因为N的重力与水平拉力F的合力和细绳的拉力T是一对平衡力，从图中可以看出水平拉力的大小逐渐增大，细绳的拉力也一直增大，选项A错误，B正确；M的质量与N的质量的大小关系不确定，设斜面倾角为θ，若mNg≥mMg sin θ，则M所受斜面的摩擦力大小会一直增大，若mNg
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