[数学]辽宁省丹东市2021年中考真题数学试题(原题版+解析版)

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1. 的相反数是（ ）
A. 5B. C. D. 0.5
【答案】A
【解析】
【分析】由相反数的定义可得答案．
【详解】A：-5的相反数是5，正确，
B：-5的相反数是5，错误，
C：-5的相反数是5，错误，
D：-5的相反数是5，错误．
故选：A．
【点睛】本题考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘､积的乘方､完全平方公式及平方差公式的知识,分别进行各选项的判断,继而可得出答案．
【详解】A．,故A选项错误,
B． ,故B选项错误,
C．, 故C选项错误,
D． ， 故D选项正确．
故选D．
【点睛】此题考查了同底数幂相乘､积的乘方､平方差公式､完全平方公式,解答本题的关键是熟练掌握幂的运算､平方差公式､完全平方公式的运算法则．
3. 如图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据从上面向下看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】从上面向下看是两列，每列有1个小正方形，如图所示：
故选：B．
【点睛】本题考查了简单小立方体堆砌立体图形的三视图，解题时注意从上面向下看，得到的图形是俯视图．
4. 若一组数据1，3，4，6，m的平均数为4，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 4，6B. 4，4C. 3，6D. 3，4
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均数的定义求出m的值，故可得到这组数据的中位数和众数．
【详解】解：依题意可得1+3+4+6+m=5×4，
解得m=6，
故数据为1，3，4，6，6，中位数和众数分别为4、6；
故选A．
【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知中位数和众数的定义．
5. 若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解法求出k、b的值，由一次函数的图像即可求得．
【详解】∵实数k、b是一元二次方程的两个根，且，
∴,
∴一次函数表达式为，
有图像可知，一次函数不经过第三象限．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和一次函数图像．
6. 如图，在矩形中，连接，将沿对角线折叠得到交于点O，恰好平分，若，则点O到的距离为（ ）
A B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】如图，过点O作OF⊥BD于F，可得OF为点O到的距离，根据矩形的性质可得∠A=∠ABC=90°，根据折叠性质可得∠EBD=∠CBD，根据角平分线的定义可得∠ABO=∠EBD，即可得出∠ABO=30°，根据角平分线的性质可得OA=OF，利用∠ABO的正切值求出OA的值即可得答案．
【详解】如图，过点O作OF⊥BD于F，
∴OF为点O到的距离，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵将沿对角线折叠得到△BDE，
∴∠EBD=∠CBD，
∵恰好平分，
∴∠ABO=∠EBD，OA=OF，
∴∠EBD=∠CBD=∠ABO，
∴∠ABO=30°，
∵，
∴OF=OA=AB·tan30°=2，
故选：B．
【点睛】本题考查矩形性质、折叠性质、角平分线的性质及解直角三角形，熟练掌握相关性质，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
7. 如图，点A在曲线到上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴可以得到，转换成反比例函数面积问题即可解题．
【详解】连接OA、OB，设AB与y轴交点为M，
∵轴
∴AB⊥y轴，
∴，
∵
∴
解得
∵点B在双曲线上，且B在第二象限
∴
∴
故选C
【点睛】本题考查反比例函数问题，熟记反比例函数面积与k的关系是解题的关键．
8. 已知抛物线，且．判断下列结论：①；②；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当时，；⑤该抛物线与直线有两个交点，其中正确结论的个数（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】由题意易得，则有，进而可判定①②，当x=1时，则，当x=-1时，则有，然后可判定③，由题意可知抛物线的对称轴为直线，则有当时，y随x的增大而增大，故可得④；联立抛物线及直线解析式即可判断⑤．
【详解】解：∵，
∴两式相减得，两式相加得，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∴，故②正确；
∵当x=1时，则，当x=-1时，则有，
∴当时，则方程的两个根一个小于-1，一个根大于1，
∴抛物线与x轴正半轴必有一个交点，故③正确；
由题意可知抛物线的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，有最小值，即为，故④正确；
联立抛物线及直线可得：，整理得：，
∴，
∴该抛物线与直线有两个交点，故⑤正确；
∴正确的个数有5个；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
第二部分 主观题
二、填空题（每小题3分，共24分）
9. 按照现行贫困标准计算，中国770000000村贫困人口摆脱贫困，将数据770000000用科学记数法表示为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法的形式，其中，n为整数，直接表示即可．
【详解】数字770000000用科学记数法表示为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，确定a的值以及n的值是解题的关键．
10. 在函数中，自变量x的取值范围_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】根据题意得：
，解得
∴自变量x的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
11. 分解因式：＝________．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】解：.
故答案为：
12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
【答案】且．
【解析】
【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得．
又∵该方程为一元二次方程，
，
且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键．
13. 不等式组无解，则m的取值范围_________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：
由②式知：
∵不等式组无解
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，能够根据不等式的解集和已知得出关于m的不等式是解题的关键．
14. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点，点F是的中点，连接、，若，则的周长为_________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质求得∠BEA的度数，然后根据勾股定理求出EC长度，即可求出的周长．
【详解】解：∵ DE是AB的垂直平分线，
∴，BE=AE，
∴，
∵
∴
∴
又∵AC=5，
∴在中，
，
解得：CE=3，
又∵点F是的中点，
∴，
∴的周长=CF+CE+FE=．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质．
15. 如图，在矩形中，连接，过点C作平分线的垂线，垂足为点E，且交于点F；过点C作平分线的垂线，垂足为点H，且交于点G，连接，若，，则线段的长度为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先证明，可得CE=FE，BF=，同理：CH=GH，DG=，从而得HE=，再利用勾股定理得BD=，进而即可求解．
【详解】解：∵BE平分∠DBC，
∴∠CBE=∠FBE，
∵CF⊥BE，
∴∠BEC=∠BEF=90°，
又∵BE=BE，
∴，
∴CE=FE，BF=
同理：CH=GH，DG=，
∴HE是的中位线，
∴HE=，
∵在矩形中，，，
∴BD=，
∴GF= BF+ DG-BD=，
∴=．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，推出HE是的中位线，是解题的关键．
16. 已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则_________；若，P为的费马点，则_________．
【答案】 ①. 5 ②.
【解析】
【分析】①作出图形，过分别作,勾股定理解直角三角形即可
②作出图形，将绕点逆时针旋转60，P为的费马点则四点共线，即，再用勾股定理求得即可
【详解】①如图,过作，垂足为,
过分别作, 则, P为的费马点
5
②如图：

.
将绕点逆时针旋转60
由旋转可得：
是等边三角形，
P为的费马点
即四点共线时候，
=
故答案为：①5，②
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的图形是解题的关键．本题旋转也可，但必须绕顶点旋转．
三、（每小题8分，共16分）
17. 先化简，再求代数式的值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】先通分，然后进行分式的加减运算，化简整理，最后代入求值即可．
【详解】原式
∵
∴将代入原式
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练运用分式运算法则化简是解题的关键，注意代入计算要仔细，属于常考题型．
18. 如图，在中，点O是中点，连接并延长交的延长线于点E，连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见详解；（2）四边形ACDE是菱形，理由见详解．
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形的性质，即可判定，即可得到，再根据CD∥AE，即可证得四边形ACDE是平行四边形；
（2）利用（1）的结论和平行四边形的性质可得AC=CD，由此即可判定是菱形．
【详解】（1）证明：在ABCD中，AB∥CD，
∴，
∵点O为AD的中点，
∴，
在与中，
∵，
，
，
∴，
∴，
又∵BE∥CD ，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）解：由（1）知四边形ACDE是平行四边形，，
∵，
∴，
∴四边形ACDE是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、三角形全等、菱形的判定等，熟练掌握判定定理并融会贯通是解题的关键．
四、（每小题10分，共20分）
19. 某中学为了增强学生体质，计划开设A：跳绳，B：毽球，C：篮球，D：足球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，对部分学生进行抽样调查（每人只能选择一种体育活动），并绘制成如图所示的两幅不完全的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：
（1）求这次抽样调查的学生有多少人？
（2）求出B所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
（3）若该校有800名学生，请根据抽样调查结果估计喜欢B的人数．
【答案】（1）120人；（2）126°，补全条形统计图见解析；（3）280人
【解析】
【分析】（1）根据A的人数和所占的百分数求解即可；
（2）根据B占圆周角的的百分数求解即可；求出C的人数即可补全条形统计图；
（3）由该校人数乘以B所占的百分数即可求解．
【详解】解：（1）由统计图可知，36÷30%=120（人），
答：这次抽样调查的学生有120人；
（2）360°×=126°，120×20%=24（人），
答：B所在扇形圆心角的度数为126°，补全条形统计图如图所示：
（3）800×=280（人），
答：估计喜欢B的人数为280人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体等知识，能从统计图中获取有效信息是解答的关键．
20. 一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球．
（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；
（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高
【解析】
【分析】（1）列表格列出所有可能性；
（2）分别求出甲乙获胜的情况个数后比较大小即可．
【详解】（1）所有可能性如下表：
总共12种情况．
（2）摸到两个小球的颜色相同有4种，摸到两个小球颜色不同有8种
∴甲获胜概率=，乙获胜概率=
∴这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
五、（每小题10分，共20分）
21. 为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造20米，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？
【答案】甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．
【解析】
【分析】根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设甲工程队每天改造的道路长度是x米，
列方程得：，
解得：x=80．
80-20=60．
答：甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．
【点睛】此题考查了分式方程应用题的解法，解题的关键是根据题意找到等量关系并列出方程．
22. 如图，是的外接圆，点D是的中点，过点D作分别交、的延长线于点E和点F，连接、，的平分线交于点M．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段长．
【答案】（1）见详解；（2）2
【解析】
【分析】（1）连接OD，由垂径定理得OD⊥BC，从而得OD⊥EF，进而即可得到结论；
（2）由平行线分线段定理得DN=，再证明，可得BD=2，最后证明∠BMD=∠DBM，进而即可求解．
【详解】（1）证明：连接OD，如图，
∵点D是的中点，
∴，
∴OD⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF为⊙O的切线；
（2）设BC、AD交于点N，
∵，，，
∴，
∴DN=，
∵点D是的中点，
∴∠BAD=∠CAD=∠CBD，
又∵∠BDN=∠ADB，
∴，
∴，即：，
∴BD=2，
∵的平分线交于点M，
∴∠ABM=∠CBM，
∴∠ABM+∠BAD=∠CBM+∠CBD，即：∠BMD=∠DBM，
∴DM=BD=2．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的判定定理相似三角形的判定和性质，平行线分线段定理，等腰三角形的判定和性质，找出相似三角形，是解题的关键．
六、（每小题10分，共20分）
23. 如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为，山顶B在水中的倒影C的俯角为，此时无人机距水面的距离米，求点B到水面距离的高度．
（参考数据：，，，，，）
【答案】110
【解析】
【分析】过点A作交于点H，由题意可得：，设，在中，，在中，，进而可根据，求出x的值，即为BM的值
【详解】过点A作交于点H，由题意可得：
设，则
∵
∴
∴在中，
∵
∴
∴在中，
∴
解得
即
【点睛】本题主要考查了锐角三角形的实际运用，熟练掌握锐角三角形的相关知识点并列出等量关系式是解题的关键，属于常考题型．
24. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
【答案】（1）；（2）70元；（3）80元．
【解析】
【分析】（1）明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可；
（2）根据题意，按照等量关系“销售量（售价成本）”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价；
（3）设每月所获利润为，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
【详解】解：（1）∵依题意得，
∴与的函数关系式为；
（2）∵依题意得，
即，
解得：，，
∵
∴当该商品每月销售利润为，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为元；
（3）设每月总利润为，依题意得
∵，此图象开口向下
∴当时， 有最大值为：（元），
∴当销售单价为元时利润最大，最大利润为元，
故为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为元．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．
七、（本题12分）
25. 已知,在正方形中,点M､N为对角线上的两个动点,且,过点M、N分别作､的垂线相交于点E,垂足分别为F､G,设的面积为,的面积为,的面积为．
（1）如图（1）,当四边形为正方形时,
①求证:;
②求证:;
（2）如图（2）,当四边形为矩形时,写出,,三者之间的数量关系,并说明理由;
（3）在（2）的条件下,若,请直接写出的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）：
【解析】
【分析】（1）①利用两个正方形性质易证；
②连接BD，则BD过点E，且 ， ，由①知AM=CN，易证，可得 BM=BN，进一步证明，从而得到，同理，故；
（2）如图，连接BD交AC于点O，易证，进而得到，仿照上面同样的方法，可证，即，从而得到，故；
（3）在（2）的条件下，有，根据题意可设BG=mx，GC=nx，AB=BC=(m+n)x，先求出BF的长，进而求出AF的长，即可得出答案．
【详解】（1）①在正方形ABCD和正方形EFBG中，
AB=CB，BF=BG， ，，
∴AF=CG，
∴
②如图，连接BD，则BD过点E，且，，
由①知AM=CN，
∵，AB=BC，
∴ ，
∴BM=BN，
∵ ，∴，
∵ ，
∴，
∴FM=ON，，
同理 ，
∵ ，
∴．
（2），理由如下:
如图，连接BD交AC于点O，则，，
，AC=BD=2OB，
∵，，
∴，
∴ ，
同理，
∴，
所以，即 ，
∵ ， ，
∴，
∴，
∴．
（3）根据题意可设BG=mx，GC=nx，AB=BC=(m+n)x，
∴，即，
∴ ，
∴
∴AF：BF=:= ：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定三角形及矩形面积的求解，解题的关键是巧妙的正方形的性质构造全等三角形或相似三角形来解决问题，本题还运用到了类比探究的思想．
八、（本题14分）
26. 如图，已知点，点，直线过点B交y轴于点C，交x轴于点D，抛物线经过点A、C、D，连接、．

（1）求抛物线的表达式；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）E为直线上方的抛物线上一点，且，求点E的坐标；
（4）N为线段上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动到点N，再以每秒个单位长度的速度沿线段运动到点C，又以每秒1个单位长度的速度沿线段向点O运动，当点P运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标．
【答案】（1）；（2）△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，理由见解析；（3）E（，）；（4）运动时间t最小值为，此时N坐标为（﹣6，）
【解析】
【分析】（1）由点B坐标求出m值，进而求得点C坐标，利用待定系数法求抛物线的表达式即可；
（2）由两点间距离公式求得AC2、AB2、BC2，利用勾股定理的逆定理即可做出判断；
（3）由（2）中数据可知∠BCA=∠ECA，延长BA至F，使AF=AB，连接CF，则点E为直线CF与抛物线的交点，求出直线CF的解析式，与抛物线联立方程组，解之即可求得点E坐标；
（4）过N作MN⊥AC于M，过F作⊥BC交AC于，连接FN，则FN=BN，求得MN=，由点P运动时间t===，当F、N、M三点共线时，t最小，进一步求解即可解答．
【详解】解：（1）∵直线过点B交y轴于点C，
∴将代入得：﹣4=2×（﹣5）+m，
解得：m=6，则C（0，6），
将A（﹣8，0）、C（0，6）代入，
得：，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，理由为：
由题意，AB2=（﹣8+5）2+（0+4）2=25，
AC2=（﹣8+0）2+（0﹣6）2=100，BC2=（﹣5+0）2+（﹣4﹣6）2=125，
∴AC2+AB2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°；
（3）由（2）知AB=5，AC=10，
∴tan∠BCA= =tan∠ECA，
∴∠BCA=∠ECA，
延长BA至F，使AF=AB，连接CF，则点B、F关于点A对称，∴F（﹣11，4），
∵∠BAC=∠FAC=90°，AF=AB，AC=AC，
∴△FAC≌△BAC，
∴∠BCA=∠FCA，
∴点E为直线CF与抛物线的交点，
设直线CF的解析式为y=kx+b，
则，解得：，
∴直线CF的解析式为，
联立方程组，解得：或（舍去），
故点E坐标为（，）；
（4）过N作MN⊥BC于M，过F作⊥BC交AC于，连接FN，则FN=BN，
∵AB=5，BC=，
∴sin∠BCA=，
∴MN=，又CO=6，
∴点P运动时间t===≥+6，
当F、N、M三点共线时，t最小，
∵AC=10，BC=，
∴sin∠ABC= ，
∴= ，
∴点P运动时间t的最小值为，
由直线BC的表达式y=2x+6得点D坐标为（﹣3，0），
∵FD=，
∴点D与点重合，则点N（即）为直线FD与直线AC的交点，
由点A（﹣8，0）和C（0，6）得直线AC的表达式为，
由点F（﹣11，4）和D（﹣3，0）得直线FD的表达式为，
联立方程组，解得：，
∴此时N坐标为（﹣6，），
【点睛】
本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求解函数解析式、两点间的距离公式、勾股定理的逆定理、锐角的三角函数、垂线段最短、轴对称性质、解二元二次方程组、解一元一次方程组、全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度较难，解答的关键是弄懂题意，找寻相关知识间的关联点，利用待定系数法和数形结合思想进行探究、推理和计算．
甲
乙
红1
红2
白1
白2
红1
（红，红）
（白，红）
（白，红）
红2
（红，红）
（白，红）
（白，红）
白1
（红，白）
（红，白）
（白，白）
白2
（红，白）
（红，白）
（白，白）