2021年辽宁省抚顺市中考数学真题 含解析
展开1.下列各数中,比﹣1大的数是( )
A.﹣3B.﹣2C.﹣1D.0
2.如图是由5个相同的正方体搭成的几何体,这个几何体的左视图是( )
A.B.C.D.
3.如图,直线a∥b,∠1=50°,∠2的度数为( )
A.100°B.120°C.130°D.150°
4.下列运算正确的是( )
A.x5+x5=x10B.(x3y2)2=x5y4
C.x6÷x2=x3D.x2•x3=x5
5.某校为加强学生出行的安全意识,学校每月都要对学生进行安全知识测评,随机选取15名学生在五月份的测评成绩如表:
则这组数据的中位数和众数分别为( )
A.95,95B.95,96C.96,96D.96,97
6.某校举行学生会成员的竞选活动,对竞选者从民主测评和演讲两个方面进行考核,两项成绩均按百分制计,规定民主测评的成绩占40%,演讲的成绩占60%,小新同学的民主测评和演讲的成绩分别为80分和90分,则他的最终成绩是( )
A.83分B.84分C.85分D.86分
7.如图,直线y=2x与y=kx+b相交于点P(m,2),则关于x的方程kx+b=2的解是( )
A.x=B.x=1C.x=2D.x=4
8.如图,在⊙O中,弦CD与直径AB相交于点E,连接OC,BD.若∠ABD=20°,∠AED=80°,则∠COB的度数为( )
A.80°B.100°C.120°D.140°
9.自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯.某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯,用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同,已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元.设甲种水杯的单价为x元,则列出方程正确的是( )
A.B.
C.D.
10.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,E是CD的中点,射线AE与BC的延长线相交于点F,点M从A出发,沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止.过点M作MN⊥AF于点N.设AN的长为x,△AMN的面积为S,则能大致反映S与x之间函数关系的图象是( )
A.B.
C.D.
二、填空题(本题共8个小题,每小题3分,共24分)
11.在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻,我国脱贫攻坚战取得了全面胜利,现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫,将数据98990000用科学记数法表示为 .
12.27的立方根为 .
13.在平面直角坐标系中,点M(﹣2,4)关于原点对称的点的坐标是 .
14.在一个不透明袋子中,装有3个红球,5个白球和一些黄球,这些球除颜色外无其他差别,从袋中随机摸出一个球是白球的概率为,则袋中黄球的个数为 .
15.如图,△ABC中,∠B=30°,以点C为圆心,CA长为半径画弧,交BC于点D,分别以点A,D为圆心,大于AD的长为半径画弧两弧相交于点E,作射线CE,交AB于点F,FH⊥AC于点H.若FH=,则BF的长为 .
16.如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点A与点C重合,折痕EF与AC相交于点O,连接BO.若AB=4,CF=5,则OB的长为 .
17.如图,△AOB中,AO=AB,OB在x轴上C,D分别为AB,OB的中点,连接CD,E为CD上任意一点,连接AE,OE,反比例函数y=(x>0)的图象经过点A.若△AOE的面积为2,则k的值是 .
18.如图,在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=90°,∠BAC=∠EDC=60°,AC=2cm,DC=1cm.则下列四个结论:①△ACD∽△BCE;②AD⊥BE;③∠CBE+∠DAE=45°;④在△CDE绕点C旋转过程中,△ABD面积的最大值为(2+2)cm2.其中正确的是 .(填写所有正确结论的序号)
三、解答题(第19题10分,第20题12分,共22分)
19先化简,再求值:,其中m=.
20某校以“我最喜爱的书籍”为主题,对全校学生进行随机抽样调查,每个被调查的学生必须从“科普”、“绘画”、“诗歌”、“散文”四类书籍中选择最喜欢的一类,学校的调查结果如图:
图中信息解答下列问题
(1)本次被调查的学生有 人;
(2)根据统计图中“散文”类所对应的圆心角的度数为 ,请补充条形统计图.
(3)最喜爱“科普”类的4名学生中有1名女生,3名男生,现从4名学生中随机抽取两人参加学校举办的科普知识宣传活动,请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好都是男生的概率.
四、解答题(第21题12分,第22题12分,共24分)
21某市公交公司为落实“绿色出行,低碳环保”的城市发展理念,计划购买A,B两种型号的新型公交车,已知购买1辆A型公交车和2辆B型公交车需要165万元,2辆A型公交车和3辆B型公交车需要270万元.
(1)求A型公交车和B型公交车每辆各多少万元?
(2)公交公司计划购买A型公交车和B型公交车共140辆,且购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用,那么该公司最多购买多少辆A型公交车?
22某景区A、B两个景点位于湖泊两侧,游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达.观测得景点B在景点A的北偏东30°,从景点A出发向正北方向步行600米到达C处,测得景点B在C的北偏东75°方向.
(1)求景点B和C处之间的距离;(结果保留根号)
(2)当地政府为了便捷游客游览,打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥.大桥修建后,从景点A到景点B比原来少走多少米?(结果保留整数.参考数据:≈1.414,≈1.732)
五、解答满分12分
23某厂家生产一批遮阳伞,每个遮阳伞的成本价是20元,试销售时发现:遮阳伞每天的销售量y(个}与销售单价x(元)之间是一次函数关系,当销售单价为28元时,每天的销售量为260个;当销售单价为30元时,每天的销量为240个.
(1)求遮阳伞每天的销出量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)设遮阳伞每填的销售利润为w(元),当销售单价定为多少元时,才能使每天的销售润最大?最大利润是多少元?
六、解答题(满分12分)
24如图,在⊙O中,∠AOB=120°,=,连接AC,BC,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,DA与BO的延长线相交于点E,DO与AC相交于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,求线段DF的长.
七、解答题(满分12分)
25如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点,点E在直线BC上(点E不与点B,C重合),连接DE,过点D作DF⊥DE交直线AC于点F,连接EF.
(1)如图1,当点F与点A重合时,请直接写出线段EF与BE的数量关系;
(2)如图2,当点F不与点A重合时,请写出线段AF,EF,BE之间的数量关系,并说明理由;
(3)若AC=5,BC=3,EC=1,请直接写出线段AF的长.
八、解答题(满分14分)
26直线y=﹣x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,抛物线y=ax2+2x+c经过点A,B,与x轴的另一个交点为C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,点D是第一象限内抛物线上的一个动点,过点D作DE∥y轴交AB于点E,DF⊥AB于点F,FG⊥x轴于点G.当DE=FG时,求点D的坐标;
(3)如图2,在(2)的条件下,直线CD与AB相交于点M,点H在抛物线上,过H作HK∥y轴,交直线CD于点K.P是平面内一点,当以点M,H,K,P为顶点的四边形是正方形时,请直接写出点P的坐标.
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.下列各数中,比﹣1大的数是( )
A.﹣3B.﹣2C.﹣1D.0
【分析】有理数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小,据此判断即可.
【解答】解:∵﹣3<﹣1,﹣2<﹣1,﹣1=﹣1,0>﹣1,
∴所给的各数中,比﹣1大的数是0.
故选:D.
2.如图是由5个相同的正方体搭成的几何体,这个几何体的左视图是( )
A.B.C.D.
【分析】左视图是从物体的左边观察得到的图形,结合选项进行判断即可.
【解答】解:从左边看,有两列,从左到右第一列是两个正方形,第二列底层是一个正方形.
故选:A.
3.如图,直线a∥b,∠1=50°,∠2的度数为( )
A.100°B.120°C.130°D.150°
【分析】根据“直线a∥b,∠1=50°”得到∠3的度数,再根据∠2+∠3=180°即可得到∠2的度数.
【解答】解:∵a∥b,∠1=50°,
∴∠3=∠1=50°,
∵∠2+∠3=180°,
∴∠2=130°,
故选:C.
4.下列运算正确的是( )
A.x5+x5=x10B.(x3y2)2=x5y4
C.x6÷x2=x3D.x2•x3=x5
【分析】根据合并同类项,积的乘方,同底数幂的除法,同底数幂的乘法法则进行计算,从而作出判断.
【解答】解:A、x5+x5=2x5,故此选项不符合题意;
B、(x3y2)2=x6y4,故此选项不符合题意;
C、x6÷x2=x4,故此选项不符合题意;
D、x2•x3=x5,正确,故此选项符合题意;
故选:D.
5.某校为加强学生出行的安全意识,学校每月都要对学生进行安全知识测评,随机选取15名学生在五月份的测评成绩如表:
则这组数据的中位数和众数分别为( )
A.95,95B.95,96C.96,96D.96,97
【分析】根据中位数、众数的意义分别求出中位数、众数即可.
【解答】解:将这15名学生成绩从小到大排列,处在中间位置的一个数,即第8个数是96,因此中位数是96,
这15名学生成绩出现次数最多的是96,共出现4次,因此众数是96,
故选:C.
6.某校举行学生会成员的竞选活动,对竞选者从民主测评和演讲两个方面进行考核,两项成绩均按百分制计,规定民主测评的成绩占40%,演讲的成绩占60%,小新同学的民主测评和演讲的成绩分别为80分和90分,则他的最终成绩是( )
A.83分B.84分C.85分D.86分
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可.
【解答】解:他的最终成绩为80×40%+90×60%=86(分),
故选:D.
7.如图,直线y=2x与y=kx+b相交于点P(m,2),则关于x的方程kx+b=2的解是( )
A.x=B.x=1C.x=2D.x=4
【分析】首先利用函数解析式y=2x求出m的值,然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b=2的解可得答案.
【解答】解:∵线y=2x与y=kx+b相交于点P(m,2),
∴2=2m,
∴m=1,
∴P(1,2),
∴当x=1时,y=kx+b=2,
∴关于x的方程kx+b=2的解是x=1,
故选:B.
8.如图,在⊙O中,弦CD与直径AB相交于点E,连接OC,BD.若∠ABD=20°,∠AED=80°,则∠COB的度数为( )
A.80°B.100°C.120°D.140°
【分析】根据三角形的外角性质求出∠D,根据圆周角定理得出∠D=COB,求出∠COB=2∠D,再代入求出答案即可.
【解答】解:∵∠ABD=20°,∠AED=80°,
∴∠D=∠AED﹣∠ABD=80°﹣20°=60°,
∴∠COB=2∠D=120°,
故选:C.
9.自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯.某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯,用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同,已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元.设甲种水杯的单价为x元,则列出方程正确的是( )
A.B.
C.D.
【分析】设甲种水杯的单价为x元,则乙种水杯的单价为(x﹣15)元,利用数量=总价÷单价,结合用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同,即可得出关于x的分式方程,此题得解.
【解答】解:设甲种水杯的单价为x元,则乙种水杯的单价为(x﹣15)元,
依题意得:=.
故选:A.
10.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,E是CD的中点,射线AE与BC的延长线相交于点F,点M从A出发,沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止.过点M作MN⊥AF于点N.设AN的长为x,△AMN的面积为S,则能大致反映S与x之间函数关系的图象是( )
A.B.
C.D.
【分析】先证明△ADE≌△FCE得到,BF=8,由勾股定理求出AF=10.当点M在AB上时,根据三角函数求出NM=,
从而得到△AMN的面积S==;当点M在BF上时,先利用三角函数求出MN,再求出此时S关于x的函数关系式,即可得到答案.
【解答】解:如图,∵E是CD的中点,
∴CE=DE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=∠DCF=90°,AD=BC=4,
在△ADE与△FCE中,
,
∴△ADE≌△FCE(SAS),
∴CF=AD=4,
∴BF=CF+BC=8,
∴AF=,
当点M在AB上时,
在Rt△AMN和Rt△AFB中,
tan∠NAM=,
∴NM=,
∴△AMN的面积S==,
∴当点M在AB上时,函数图象是开口向上、经过原点的抛物线的一部分;
当点M在BF上时,如图,
AN=x,NF=10﹣x,
在Rt△FMN和Rt△FBA中,
tan∠F=,
∴=﹣,
∴△AMN的面积S=
=﹣,
∴当点M在BF上时,函数图象是开口向下的抛物线的一部分;
故选:B.
二.填空题(共8小题)
11.在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻,我国脱贫攻坚战取得了全面胜利,现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫,将数据98990000用科学记数法表示为 9.899×107 .
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是非负数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:98990000=9.899×107,
故答案为:9.899×107.
12.27的立方根为 3 .
【分析】找到立方等于27的数即可.
【解答】解:∵33=27,
∴27的立方根是3,
故答案为:3.
13.在平面直角坐标系中,点M(﹣2,4)关于原点对称的点的坐标是 (2,﹣4) .
【分析】根据关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数,可得答案.
【解答】解:点(﹣2,4)关于原点对称的点的坐标为(2,﹣4).
故答案为:(2,﹣4).
14.在一个不透明袋子中,装有3个红球,5个白球和一些黄球,这些球除颜色外无其他差别,从袋中随机摸出一个球是白球的概率为,则袋中黄球的个数为 7 .
【分析】设有黄球x个,根据概率公式得:=,解得x的值即可.
【解答】解:设有黄球x个,
根据题意得:=,
解得:x=7,
经检验x=7是原方程的解,
故答案为:7.
15.如图,△ABC中,∠B=30°,以点C为圆心,CA长为半径画弧,交BC于点D,分别以点A,D为圆心,大于AD的长为半径画弧两弧相交于点E,作射线CE,交AB于点F,FH⊥AC于点H.若FH=,则BF的长为 2 .
【分析】过F作FG⊥BC于G,由作图知,CF是∠ACB的角平分线,根据角平分线的性质得到FG=FH=,根据直角三角形的性质即可得到结论.
【解答】解:过F作FG⊥BC于G,
由作图知,CF是∠ACB的角平分线,
∵FH⊥AC于点H.FH=,
∴FG=FH=,
∵∠FGB=90°,∠B=30°.
∴BF=2FG=2,
故答案为:2.
16.如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点A与点C重合,折痕EF与AC相交于点O,连接BO.若AB=4,CF=5,则OB的长为 2 .
【分析】连接AF,过O作OH⊥BC于H,由将矩形纸片ABCD折叠,使点A与点C重合,折痕EF与AC相交于点O,可得AF=CF=5,BF==3,BC=BF+CF=8,根据折叠可知OH是△ABC的中位线,故BH=BC=4,OH=AB=2,在Rt△BOH中,用勾股定理即得OB=2.
【解答】解:连接AF,过O作OH⊥BC于H,如图:
∵将矩形纸片ABCD折叠,使点A与点C重合,折痕EF与AC相交于点O,
∴AF=CF=5,
在Rt△ABF中,BF===3,
∴BC=BF+CF=8,
∵OA=OC,OH⊥BC,AB⊥BC,
∴O为AC中点,OH∥AB,
∴OH是△ABC的中位线,
∴BH=CH=BC=4,OH=AB=2,
在Rt△BOH中,OB===2,
故答案为:2.
17.如图,△AOB中,AO=AB,OB在x轴上C,D分别为AB,OB的中点,连接CD,E为CD上任意一点,连接AE,OE,反比例函数y=(x>0)的图象经过点A.若△AOE的面积为2,则k的值是 4 .
【分析】根据等腰△AOB,中位线CD得出AD⊥OB,S△AOE=S△AOD=2,应用|k|的几何意义求k.
【解答】解:
如图:连接AD,
△AOB中,AO=AB,OB在x轴上,C、D分别为AB,OB的中点,
∴AD⊥OB,AO∥CD,
∴S△AOE=S△AOD=2,
∴k=4.
故答案为:4.
18.如图,在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=90°,∠BAC=∠EDC=60°,AC=2cm,DC=1cm.则下列四个结论:①△ACD∽△BCE;②AD⊥BE;③∠CBE+∠DAE=45°;④在△CDE绕点C旋转过程中,△ABD面积的最大值为(2+2)cm2.其中正确的是 ①②④ .(填写所有正确结论的序号)
【分析】先证明△ACD∽△BCE,再用对应角∠EBC=∠DAC,即可判断①②③,再由D到直线AB的最大距离为CH+CD=(+1)cm,即可求得△ABD面积的最大值为=(2+2)cm2,故可判断④.
【解答】解:∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,
∴∠BCE=∠ACD,
∵∠BAC=∠EDC=60°,AC=2cm,DC=1cm,
∴tan∠BAC==,tan∠BAC==,
∴BC=2cm,CE=cm,
∴==2,
∴△ACD∽△BCE,故①正确;
∵△ACD∽△BCE,
∴∠EBC=∠DAC,
如图,记BE与AD、AC分别交于F、G,
∵∠AGF=∠BGC,
∴∠BCG=∠BFA=90°,
∴AD⊥BE,故②正确;
∵∠EBC=∠DAC,
∴∠CBE+∠DAE=∠DAC+∠DAE=∠CAE不一定等于45°,故③错误;
如图,过点C作CH⊥AB于H,
∵∠ABC=30°,
∴CH=BC=cm,
∴D到直线AB的最大距离为CH+CD=(+1)cm,
∴△ABD面积的最大值为=(2+2)cm2,故④正确.
故答案为:①②④.
三、解答题(第19题10分,第20题12分,共22分)
19先化简,再求值:,其中m=.
【考点】分式的化简求值;负整数指数幂.
【专题】分式;运算能力.
【答案】,.
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后将m的值代入化简后的式子即可解答本题.
【解答】解:
=•
=
=
=,
当m==4时,原式==.
20某校以“我最喜爱的书籍”为主题,对全校学生进行随机抽样调查,每个被调查的学生必须从“科普”、“绘画”、“诗歌”、“散文”四类书籍中选择最喜欢的一类,学校的调查结果如图:
图中信息解答下列问题
(1)本次被调查的学生有 人;
(2)根据统计图中“散文”类所对应的圆心角的度数为 ,请补充条形统计图.
(3)最喜爱“科普”类的4名学生中有1名女生,3名男生,现从4名学生中随机抽取两人参加学校举办的科普知识宣传活动,请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好都是男生的概率.
【考点】扇形统计图;条形统计图;列表法与树状图法.
【专题】概率及其应用;应用意识.
【答案】(1)50;
(2)72°;
(3).
【分析】(1)用最喜欢“诗歌”类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数;
(2)用360°乘以“散文”类的人数所占的百分比得到“散文”类所对应的圆心角的度数,然后计算最喜欢“绘画”类的人数后补全条形统计图;
(3)通过树状图展示所有12种等可能的结果,找出所选的两人恰好都是男生的结果数,然后根据概率公式计算.
【解答】解:(1)20÷40%=50(人),
所以本次被调查的学生有50人;
故答案为50;
(2)“散文”类所对应的圆心角的度数为360°×=72°;
最喜欢“绘画”类的人数为50﹣4﹣20﹣10=16(人),
条形统计图补充为:
故答案为72°;
(3)画树状图为:
共有12种等可能的结果,其中所选的两人恰好都是男生的结果数为6,
所以所选的两人恰好都是男生的概率==.
四、解答题(第21题12分,第22题12分,共24分)
21某市公交公司为落实“绿色出行,低碳环保”的城市发展理念,计划购买A,B两种型号的新型公交车,已知购买1辆A型公交车和2辆B型公交车需要165万元,2辆A型公交车和3辆B型公交车需要270万元.
(1)求A型公交车和B型公交车每辆各多少万元?
(2)公交公司计划购买A型公交车和B型公交车共140辆,且购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用,那么该公司最多购买多少辆A型公交车?
【考点】二元一次方程组的应用;一元一次不等式的应用.
【专题】一次方程(组)及应用;一元一次不等式(组)及应用;运算能力;推理能力;应用意识.
【答案】(1)A型公交车每辆45万元,B型公交车每辆60万元;
(2)该公司最多购买80辆A型公交车.
【分析】(1)设A型公交车每辆x万元,B型公交车每辆y万元,由题意:购买1辆A型公交车和2辆B型公交车需要165万元,2辆A型公交车和3辆B型公交车需要270万元.列出二元一次方程组,解方程组即可;
(2)设该公司购买m辆A型公交车,则购买(140﹣m)辆B型公交车,由题意:购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用,列出一元一次不等式,解不等式即可.
【解答】解:(1)设A型公交车每辆x万元,B型公交车每辆y万元,
由题意得:,
解得:,
答:A型公交车每辆45万元,B型公交车每辆60万元;
(2)设该公司购买m辆A型公交车,则购买(140﹣m)辆B型公交车,
由题意得:45m≤60(140﹣m),
解得:m≤80,
答:该公司最多购买80辆A型公交车.
22某景区A、B两个景点位于湖泊两侧,游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达.观测得景点B在景点A的北偏东30°,从景点A出发向正北方向步行600米到达C处,测得景点B在C的北偏东75°方向.
(1)求景点B和C处之间的距离;(结果保留根号)
(2)当地政府为了便捷游客游览,打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥.大桥修建后,从景点A到景点B比原来少走多少米?(结果保留整数.参考数据:≈1.414,≈1.732)
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题.
【专题】解直角三角形及其应用;运算能力;推理能力;模型思想.
【答案】(1)300m;
(2)204m.
【分析】(1)通过作辅助线,构造直角三角形,在Rt△ACD中,可求出CD、AD,根据外角的性质可求出∠B的度数,在Rt△BCD中求出BC即可;
(2)计算AC+BC和AB的长,计算可得答案.
【解答】解:(1)过点C作CD⊥AB于点D,
由题意得,∠A=30°,∠BCE=75°,AC=600m,
在Rt△ACD中,∠A=30°,AC=600,
∴CD=AC=300(m),
AD=AC=300(m),
∵∠BCE=75°=∠A+∠B,
∴∠B=75°﹣∠A=45°,
∴CD=BD=300(m),
BC=CD=300(m),
答:景点B和C处之间的距离为300m;
(2)由题意得.
AC+BC=600+300≈1024(m),
AB=AD+BD=300+300≈820(m),
1024﹣820=204(m),
答:大桥修建后,从景点A到景点B比原来少走约204m.
五、解答满分12分
23某厂家生产一批遮阳伞,每个遮阳伞的成本价是20元,试销售时发现:遮阳伞每天的销售量y(个}与销售单价x(元)之间是一次函数关系,当销售单价为28元时,每天的销售量为260个;当销售单价为30元时,每天的销量为240个.
(1)求遮阳伞每天的销出量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)设遮阳伞每填的销售利润为w(元),当销售单价定为多少元时,才能使每天的销售润最大?最大利润是多少元?
【考点】二次函数的应用.
【专题】一次函数及其应用;二次函数的应用;应用意识.
【答案】(1)y=﹣10x+540;
(2)当销售单价定为37元时,才能使每天的销售润最大,最大利润是2890元.
【分析】(1)设函数关系式为y=kx+b,由当销售单价为28元时,每天的销售量为260个;当销售单价为30元时,每天的销量为240个.可列方程组,即可求解;
(2)由每天销售利润=每个遮阳伞的利润×销售量,列出函数关系式,由二次函数的性质可求解.
【解答】解:(1)设函数关系式为y=kx+b,
由题意可得:,
解得:,
∴函数关系式为y=﹣10x+540;
(2)由题意可得:w=(x﹣20)y=(x﹣20)(﹣10x+540)=﹣10(x﹣37)2+2890,
∵﹣10<0,
∴当x=37时,w有最大值为2890,
答:当销售单价定为37元时,才能使每天的销售润最大,最大利润是2890元.
六、解答题(满分12分)
24如图,在⊙O中,∠AOB=120°,=,连接AC,BC,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,DA与BO的延长线相交于点E,DO与AC相交于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,求线段DF的长.
【考点】切线的判定与性质;相似三角形的判定与性质.
【专题】矩形 菱形 正方形;与圆有关的位置关系;解直角三角形及其应用;运算能力;推理能力;模型思想.
【答案】(1)详见解答;
(2).
【分析】(1)由=,可得AC=BC,进而可证出△OAC≌△OBC,从而得出四边形OACB是菱形,由OA∥BD,AD⊥BD,可得出OA⊥DE,得出DE是切线;
(2)根据特殊锐角的三角函数值,可求出CD、AD,进而在Rt△AOD中,由勾股定理求出OD,再根据△CFD∽△AFO,可得==,进而得到DF=OD即可.
【解答】解:(1)如图,连接OC,
∵=,
∴AC=BC,
又∵OA=OB,OC=OC,
∴△OAC≌△OBC(SSS),
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°,
∴△AOC、△BOC是等边三角形,
∴OA=AC=CB=OB,
∴四边形OACB是菱形,
∴OA∥BD,
又∵AD⊥BD,
∴OA⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(2)由(1)得AC=OA=2,∠OAC=60°,∠DAC=90°﹣60°=30°,
在Rt△ACD中,∠DAC=30°,AC=2,
∴DC=AC=1,AD=AC=,
在Rt△AOD中,由勾股定理得,
OD===,
∵OA∥BD,
∴△CFD∽△AFO,
∴=,
又∵=sin30°=,AC=OA=2,
∴=,
∴=,
即DF=OD=.
七、解答题(满分12分)
25如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点,点E在直线BC上(点E不与点B,C重合),连接DE,过点D作DF⊥DE交直线AC于点F,连接EF.
(1)如图1,当点F与点A重合时,请直接写出线段EF与BE的数量关系;
(2)如图2,当点F不与点A重合时,请写出线段AF,EF,BE之间的数量关系,并说明理由;
(3)若AC=5,BC=3,EC=1,请直接写出线段AF的长.
【考点】三角形综合题.
【专题】作图题;推理能力.
【答案】(1)EF=EB.
(2)结论:AF2+BE2=EF2,证明见解析部分.
(3)AF的长为或1.
【分析】(1)结论:EF=BE.利用线段的垂直平分线的性质证明即可.
(2)结论:AF2+BE2=EF2如图2中,过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J,连接FJ.证明△AJD≌△BED(AAS),推出AJ=BE,DJ=DE,再证明FJ=EF,可得结论.
(3)分两种情形:如图3﹣1中,当点E在线段BC上时,如图3﹣2中,当点E在线段BC的延长线上时,设AF=x,则CF=5﹣x.构建方程求解即可.
【解答】解:(1)结论:EF=BE.
理由:如图1中,
∵AD=DB,DE⊥AB,
∴EF=EB.
(2)结论:AF2+BE2=EF2.
理由:如图2中,过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J,连接FJ.
∵AJ⊥AC,EC⊥AC,
∴AJ∥BE,
∴∠AJD=∠DEB,
在△AJD和△BED中,
,
∵△AJD≌△BED(AAS),
∴AJ=BE,DJ=DE,
∵DF⊥EJ,
∴FJ=EF,
∵∠FAJ=90°,
∴AF2+AJ2=FJ2,
∴AF2+BE2=EF2.
(3)如图3﹣1中,当点E在线段BC上时,设AF=x,则CF=5﹣x.
∵BC=3,CE=1,
∴BE=2,
∵EF2=AF2+BE=CF2+CE2,
∴x2+22=(5﹣x)2+12,
∴x=,
∴AF=.
如图3﹣2中,当点E在线段BC的延长线上时,设AF=x,则CF=5﹣x.
∵BC=3,CE=1,
∴BE=4,
∵EF2=AF2+BE=CF2+CE2,
∴x2+42=(5﹣x)2+12,
∴x=1,
∴AF=1,
综上所述,满足条件的AF的长为或1.
八、解答题(满分14分)
26直线y=﹣x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,抛物线y=ax2+2x+c经过点A,B,与x轴的另一个交点为C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,点D是第一象限内抛物线上的一个动点,过点D作DE∥y轴交AB于点E,DF⊥AB于点F,FG⊥x轴于点G.当DE=FG时,求点D的坐标;
(3)如图2,在(2)的条件下,直线CD与AB相交于点M,点H在抛物线上,过H作HK∥y轴,交直线CD于点K.P是平面内一点,当以点M,H,K,P为顶点的四边形是正方形时,请直接写出点P的坐标.
【考点】二次函数综合题.
【专题】二次函数图象及其性质;运算能力;推理能力.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)(2,3);(5,2)或(﹣1,2)或(1,2+)或(1,2﹣).
【分析】(1)令x=0,求点B(0,3),令y=0,求点A(3,0),将点A、点B代入抛物线y=ax2+2x+c即可求解;
(2)设D(m,﹣m2+2m+3),由DE∥y轴交AB于点E,则E(m,﹣m+3),再由OA=OB,可知∠OAB=45°,则有AG=FG=DE=AG,连接GE,延长DE交x轴于点T,可证四边形FGED是平行四边形,△AEG为等腰直角三角形,可求AT=ET=GT=3﹣m,AG=FG=6﹣2m,OG=2m﹣3,求出FG=﹣2m+6,DT=﹣3m+9,得到﹣m2+2m+3=﹣3m+9,即可求D(2,3);
(3)先求出C(﹣1,0),直线CD的解析式为y=x+1,联立x+1=﹣x+3,求出M(1,2),分两种情况讨论:①当MH⊥MK时,H点在AB上,K点在CD上,可确定H(3,0)或H(0,3),当H(3,0)时,K(3,4),P(5,2);当H(0,3)时,K(0,1),P(﹣1,2);②当MH⊥HK时,此时MH⊥y轴,H(1+,2)或H(1﹣,2),当H(1+,2)时,P(1,2+);当H(1﹣,2)时,P(1,2﹣).
【解答】解:(1)令x=0,则y=3,
∴B(0,3),
令y=0,则x=3,
∴A(3,0),
∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A,B,
∴,
∴,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)设D(m,﹣m2+2m+3),
∵DE∥y轴交AB于点E,
∴E(m,﹣m+3),
∵OA=OB,
∴∠OAB=45°,
∴AG=FG,
∵DE=FG,
∴DE=AG,
连接GE,延长DE交x轴于点T,
∴四边形FGED是平行四边形,
∵DF⊥AB,
∴EG⊥AB,
∴△AEG为等腰直角三角形,
∴AT=ET=GT=3﹣m,
∴AG=FG=6﹣2m,
∴OG=3﹣(6﹣2m)=2m﹣3,
∴F点横坐标为2m﹣3,
∴FG=﹣2m+6,
∴DT=﹣2m+6+3﹣m=﹣3m+9,
∴﹣m2+2m+3=﹣3m+9,
解得m=2或m=3(舍),
∴D(2,3);
(3)令y=0,则﹣x2+2x+3=0,
解得x=3或x=﹣1,
∴C(﹣1,0),
设CD的解析式为y=kx+b,将C(﹣1,0)、D(2,3)代入,
∴,
∴,
∴y=x+1,
∴∠ACM=45°,
∴CM⊥AM,
联立x+1=﹣x+3,
解得x=1,
∴M(1,2),
∵以点M,H,K,P为顶点的四边形是正方形,
①当MH⊥MK时,H点在AB上,K点在CD上,
∵H点在抛物线上,
∴H(3,0)或H(0,3),
当H(3,0)时,MH=2,
∴KH=4,
∴K(3,4)
∴HK的中点为(3,2),则MP的中点也为(3,2),
∴P(5,2);
当H(0,3)时,MH=,
∴KH=2,
∴K(0,1),
∴HK的中点为(0,2),则MP的中点也为(0,2),
∴P(﹣1,2);
②当MH⊥HK时,此时MH⊥y轴,
∴H(1+,2)或H(1﹣,2),
当H(1+,2)时,MH=,
∴P(1,2+);
当H(1﹣,2)时,MH=,
∴P(1,2﹣);
综上所述:当以点M,H,K,P为顶点的四边形是正方形时,P点坐标为(5,2)或(﹣1,2)或(1,2+)或(1,2﹣).
成绩(分)
90
91
95
96
97
99
人数(人)
2
3
2
4
3
1
成绩(分)
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人数(人)
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3
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