2024年中考数学易错06 圆（六大易错分析+举一反三+易错题通关）（原卷版）

这是一份2024年中考数学易错06 圆（六大易错分析+举一反三+易错题通关）（原卷版），共19页。试卷主要包含了如图，四边形内接于，，，如图，四边形内接于等内容，欢迎下载使用。


易错点一：忽略了两个圆周角
易错提醒：在同一个圆中，一条弦对着两种圆周角，这两种圆周角互补。
例1．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
A．B．
C．或D．或
例2．在半径为1的中，弦，则弦所对的圆周角的度数为（ ）．
A．B．C．或D．或
易错警示：圆周角定理是重点，同弧（等弧）所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角。直角的圆周角所对的弦是直径，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
变式1．圆中一条弦所对的圆心角是，则这条弦所对的圆周角的度数是 ．
变式2．已知为O的弦，沿折叠O，圆心O恰好落在O上，则弦所对的圆周角的度数为 ．
变式3．如图，的半径为1，是的一条弦，且，则弦AB所对的圆周角的度数为 ．
变式4．线段AB是圆内接正十边形的一条边，则AB所对的圆周角的度数是 度．
1．已知弦把的周长分成的两部分，则弦所对的圆周角的度数为 ．
2．已知是半径为6的圆的一条弦，若，则所对圆周角的度数是（ ）
A．B．或C．或D．
3．在半径为的中，弦，则弦所对的圆周角的度数为 ．
4．在中，，则弦所对的圆周角的度数为 ．
5．已知⊙O 半径为r，弦AB＝r，则AB 所对圆周角的度数为 ．
6．如图，四边形内接于，，．
(1)求点到的距离；
(2)求出弦所对的圆周角的度数．
7．如图，四边形内接于．
(1)求点O到的距离；
(2)直接写出弦所对的圆周角的度数．
易错点二：忽略两弦与圆心的位置
易错提醒：求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧．
例3．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升 cm．
例4．已知⊙O的直径为20， AB， CD分别是⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=16，CD=10，则AB，CD之间的距离是 ．
变式1．如图，的半径为4，，是的弦，且，，，则和之间的距离为 ．
变式2．在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，油面AB上升（ ）
A．1分米B．4分米
C．3分米D．1分米或7分米
变式3．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（ ）
A．2B．14C．2或14D．7或1
变式4．已知的半径为13，弦平行于，，求和之间的距离．
1．在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm．
2．已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为17cm，，，则AB、CD间的距离为 ．
3．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ．
4．若弦AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为13，AB=10，CD=24，则AB，CD之间的距离为
A．7B．17C．5或12D．7或17
5．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（ ）
A．1或7B．7C．1D．3或4
6．已知的半径长为，弦与弦平行，，，求间的距离．
7．已知的半径为，弦，，，求与间的距离．
易错点三：理解不准确
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
切线性质定理及推论：①圆的切线垂直于过切点的半径；②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
易错提醒：运用判定和性质时，要严格根据方法及定理进行说明，不能凭主观进行判断．
例5．如图，是的直径，弦，垂足为点E，为的切线，交于点G，若，，，则（ ）

A．B．3C．D．
例6．如图，是的切线，B为切点，连接．若，，则的长度是（ ）
A．3B．C．D．4
变式1．（1）如图①，中，平分交于点，点在边上，且经过、两点，分别交、于点、．求证：是的切线：
（2）如图②，中，，用直尺和圆规作，使它满足以下条件：圆心在边上，经过点，且与边相切．（保留作图痕迹，不用写出作法）
变式2．如图，是的直径，A是延长线上的一点，点E在上，，交的延长线于点C，交于点F，且点E是的中点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
变式3．如图，已知等腰，，以为直径作交于点D，过D作于点E，交延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
变式4．如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．
(1)求证：是的切线；
(2)如果，，求的长．
1．一个边长为的等边三角形与等高，如图放置，与相切于点C，与相交于点 E，则的长为
2．如图，正方形的边长为4，点是边上的一点，将沿着折叠至，若、恰好与正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为（ ）

A．B．5C．D．以上都不对
3．如图，在中，，平分，交于点D，以为直径作，交于点E，交于点F，连接交于点G，连接交于点P，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求：
①的值；
②线段的长．
4．如图，在中，，于点D，E是AC上一点，以为直径的交于点F，连接，，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
5．如图．正方形顶点A，B在上．与交于点E，经过上一点P，且平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
6．如图，是的直径，点C是上一点，于点D，点E是圆外一点，平分．
(1)若，，求的长；
(2)求证：是的切线．
7．如图，中，以为直径的交于点D，是的切线，且，垂足为E，延长交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
易错点四：易忽略多种情况
圆与圆的位置关系：由两圆的圆心距d与半径长的关系来判断
易错提醒：两圆相切有两种情况：内切和外切，两圆没有交点也有两种情况：外离和内含
例7．相交两圆的公共弦长为，若两圆的半径长分别为和，则这两圆的圆心距为（ ）
A．B．C．或D．
例8．两圆的直径分别为4和6，若两圆有唯一公共点，这两圆的圆心距是 ．
变式1．点P到⊙O的最近点的距离为2cm，最远点的距离为7cm，则⊙O的半径是（ ）
A．5cm或9cmB．2.5cm
C．4.5cmD．2.5cm或4.5cm
变式2．如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（ ）
A．2≤x≤10B．4≤x≤16C．4≤x≤4D．2≤x≤8
变式3．已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为 ．
变式4．如图，在等边中，，如果以为直径的和以A为圆心的相切，那么的半径r的值是 ．
1．如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（ ）

A．B．C．D．
2．已知圆、圆的半径不相等，圆的半径长为5，若圆上的点A满足，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交或相切B．相切或相离C．相交或内含D．相切或内含
3．已知两圆半径分别为3和5，圆心距为d，若两圆没有交点，则d的取值范围是
4．若三个圆两两相切，半径分别为 ，则以这三个圆的圆心为顶点的三角形的周长是 ．
5．如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ．

6．已知⊙O和⊙O＇的半径分别为5cm和7cm，且⊙O和⊙O＇相切，则圆心距OO＇为
7．两个圆的半径分别是8和，圆心距为5，如果两圆内切，则的值是 ．
易错点五：易重复或减少面积
计算不规则图形的面积：主要有以下方法：
（1）和差法：适用于图中有一部分空白是一个规则的几何图形，而这部分空白与阴影部分的结合也是一个规则的几何图形或几个规则几何图形的组合；
（2）割补法：适用于可将图中部分阴影通过对称分割，然后通过旋转和平移，补到另外一块阴影部分上去，构成一个规则的几何图形，如扇形，矩形，三角形；
（3）等积法：适用于①图中某些空白部分和阴影部分面积相等，可通对称、旋转，使之成为较为规则图形；②用同底等高的三角形等积替换．
易错提醒：将不规则面积转化为规则图形的面积，防止重复或少减面积，以免出错
例9．如图，将扇形沿方向平移，使点O移到的中点处，得到扇形．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．6B．C．D．
例10．如图，的内接正六边形，以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，已知的半径为2，则边与，围成的阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
变式1．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
变式2．如图，扇形的半径，将扇形绕点逆时针旋转得扇形，当点落在上时旋转停止，则扇形中空白部分的面积为 ．
变式3．如图，扇形的圆心角，将扇形沿方向平移得到扇形，此时点与点重合，经过点．若，则阴影部分的面积为 ．
变式4．如图，在中，经过A、B两点的与边交于点E，圆心O在上，过点O作交于点D，连接交于点F，且．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
1．如图所示，扇形的圆心角是直角，半径为，为边上一点，将沿边折叠，圆心恰好落在弧上的点处，则阴影部分的面积为 ．
2．如图，在半径为2的中，沿弦折叠，恰好经过圆心O，则图中阴影部分的面积为（结果保留π） ．
3．如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点E（E不与A，B重合），交于点F．以点O为圆心，为半径的圆交直线于点M，N．若，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．B．C．D．
4．如图，在菱形中，对角线，分别以点为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
5．如图，在中，，以为直径的与交于点，连接．
(1)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹），连接交于点，并证明：；
(2)若的半径等于4，且与相切于点，求劣弧的长度和阴影部分的面积（结果保留π）．
6．如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，垂足为，交于，连接．

(1)判断与的位置关系，并证明你的结论；
(2)若，求的长；
(3)若是弧的中点，，求图中阴影部分的面积．
7．如图，是的直径，为的切线，D为上的一点，，延长交的延长线于点E．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留）
易错点六：混淆两心的构成
易错提醒：三角形的内心是指三角形内切圆的圆心，是三角形 3 条角平分线的交点;三角形的外心是指三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点
例11．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②；③若，则；④若点为的中点，则垂直平分．其中一定正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
例12．在中，，点是的内心，连接，延长交于点，若，，则的长为 ．
变式1．等腰中，，，，点，分别是的内心和外心，则 ．
变式2．如图，点分别是锐角的外心、内心，若，则 °
变式3．已知为平面上一点，是的内心，也是的外心，．则的度数为 ．
变式4．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．
(1)求证：；
(2)如果，于．求证：．
1．如图，是⊙O的直径，是⊙O的弦，I是的内心，连接，若，则的长是（ ）

A．B．C．D．
2．如图，在中，的平分线交的外接圆于点，点E是的内心，连接，则 度．
3．若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ．
4．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．
(1)求证：EB=EI；
(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．
5．如图，在RtABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，⊙O是以BC为直径的圆，如果⊙O与⊙A相切，那么⊙A的半径长为 ．
6．如图1，为的直径，弦垂直平分，在的延长线上取一点，使得．
(1)求证：是的切线；
(2)如图2，若，点在上，且的内心是上的点，求线段的长度．
7．如图，的直径为，点是内切圆的内心，的延长线交于点．

(1)求的长；
(2)求的长；
(3)求弦、劣弧所围成的图形面积；
图示
d与的关系
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含