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2024年中考数学易错05 四边形（七大易错分析+举一反三+易错题通关）（原卷版）
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这是一份2024年中考数学易错05 四边形（七大易错分析+举一反三+易错题通关）（原卷版），共23页。
易错点一：考虑不全面
易错提醒：一个边形剪去一个角后，若剪去的一个角只经过一个顶点和一边，则剩下的形状是边形，若剪去的一个角经过两条邻边，则剩下的形状是边形，若剪去的一个角经过两个相邻点，则剩下的形状是边形．所以遇到相关题目时，要分类讨论．
例1．一个多边形截去一个角后，形成一个七边形，那么原多边形边数为（ ）．
A．6B．6或7C．6或8D．6或7或8
例2．已知正多边形的每一个内角的度数等于相邻外角的倍．
(1)求这个正多边形的边数．
(2)若截去一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和．
变式1．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为，则原多边形边数为 ．
变式2．若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形内角和为，则原多边形的边数（ ）
A．12B．11或12C．12或13或14D．11或12 或13
变式3．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为（ ）
A．5B．5或6C．6或7D．5或6或7
变式4．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ．
1．若一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是．则原来多边形的边数可能是（ ）
A．10或11B．11C．11或12D．10或11或12
2．一天妈妈给小新出了一道智力题考他．将一个多边形截去一个角后，得到这个多边形的内角和将会（ ）
A．不变B．增加C．减少D．无法确定
3．一个多边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的内角和为，则原多边形有 条边；
4．一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是，则原多边形的边数是 ．
5．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是 ．
6．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为，则原多边形边数为 ；其中边数最少的原多边形从一顶点出发，能做 条对角线．
7．如果一个正多边形的每个外角都为45°．
(1)求这个正多边形的边数；
(2)若截去一个角（截线不经过多边形的顶点），求截完角后所形成的另一个多边形的内角和．
易错点二：混淆判定条件
平行四边形的判定：
①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
③定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
④定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
⑤定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
易错提醒：在应用平行四边形的判定时要注意题目所给边或角是不是对边、对角，否则容易造成判定的错用．
例3．如图，在“V”字形图形中，，，，，，若要求出这个图形的周长，则需添加的一个条件是（ ）
A．的长B．的长C．的长D．与的和
例4．如图，在中，点E，F在对角线上，且．证明：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
变式1．如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，在不添加辅助线的情况下，图中与全等的三角形共有 个．
变式2．在四边形中，．要使四边形是平行四边形，则的长为 ．
变式3．如图，在中，，，求证：
变式4．如图，已知，、相交于点O，延长到点E，使，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形：
(2)连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由．
1．如图，在中，点分别在、、上，连接、，且，，．若四边形的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在等腰梯形中，AB平行CD，对角线于点O，，则 ．
3．如图，在中，，于点D，延长到点E，使，过点E作交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，直接写出的长．
4．如图，在平行四边形中，是的中点，延长到点，使，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长和平行四边形的面积．
5．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，先画的角平分线，再画点C关于直线轴对称的点E；
(2)在图2中，先在上画点F，使，再画．
6．【问题探究】如图，六边形的六个内角均为，分别延长、交于点G，得到．请判断的形状，并证明你的结论．
【结论应用】若，，，，直接写出六边形的周长为 ．
7．如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，．
(1)若，，求的度数；
(2)求证：四边形为平行四边形；
(3)连接，交于点O，若，，直接写出的长度．
易错点三：没有分类讨论
易错提醒：对于没有给出图形的题目，我们要根据题意自己画出图形，这时候就要注意分类讨论，要时刻保持分类讨论的思想，具体问题具体分析．
例5．在平行四边形中，，平分交直线于点，平分交直线于点，且，则的长为（ ）
A．B．C．或D．或
例6．平行四边形中，，，交直线于，若平行四边形的面积为，则的长为 ．
变式1．已知中，cm，cm，过点B作交所在的直线于H，若cm，则 cm．
变式2．已知在中，和的平分线分别交直线交于点E，F，若，则的长为 ．
变式3．过平行四边形对角线交点O作直线m，分别交直线于点E，交直线于点F，若，，则DF的长是 ．
变式4．四边形是平行四边形，，的平分线交直线于点，若，则的周长为 ．
1．四边形是平行四边形，，的平分线交直线于点，若，则四边形的周长为 ．
2．平行四边形的周长为，的角平分线交边所在直线于点，且：：，则 ．
3．在中，的平分线交直线于点，，，则的周长为 ．
4．如图，在平行四边形中，，以点B为圆心，长为半径作弧，交直线与点E，连接，则的度数为 ．
5．四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，∠BAD的平分线交直线BC于点E．若CE＝2，则BC的长为 ．
6．在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD所在直线于E点，若AB=6，ED=3，则边BC的长度为 ．
7．在中，的平分线交直线于点，且．求的周长．
易错点四：混淆各种判定和性质
平行四边形和特殊平行四边形之间的逻辑关系：
①平行四边形有一个角是直角的是矩形，再证明有一组邻边相等的就是正方形；
②平行四边行有一组邻边相等并且有一个角是直角的是正方形；
③平行四边形有一组邻边相等的是菱形，再证明有一个角是直角的就是正方形．
易错提醒：解答特殊平行四边形的相关问题时易错在张冠李戴，如将矩形的判定条件和性质误用到菱形上，为了避免此类错误，首先要须充分理解和熟记平行四边形和特殊平行四边形的判定和性质．
例7．已知点在矩形的对角线上（不与点重合），下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
例8．如图，正方形的边长为15，，，连接，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
变式1．如图，中，，是的角平分线，点为的中点，连接并延长到点，使，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)当满足什么条件时，矩形是正方形，并说明理由．
变式2．如图，分别以的边为边向外作正方形，连接，若，，则 ．
变式3．如图，在中，是 的角平分线．
(1)请用圆规和无刻度的直尺作的垂直平分线，分别交，于点，；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，，试判断四边形的形状，并证明．
变式4．如图，在菱形中，过点作的垂线，垂足为，延长到点，使，连接．求证：四边形是矩形．
1．如图，在等腰中，，为的中点，点在上，是上一个动点，则的最小值为（ ）
A．10B．C．D．
2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，为边的中点，菱形的周长为48，则的长等于 .
3．如图，菱形的边长为17，点是对角线上的一点，且，连挍，在的左侧作为边的正方形，连接，则 ．
4．如图，在菱形中，，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接，．
(1)求证：；
(2)当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论．
5．如图：在菱形中，，过点作于点，交于点，点为的中点，若，求的长．
6．已知：如图，在中，，点E，F分别是的中点．
(1)求证：；
(2)当______时，四边形是正方形？请证明你的结论．
7．如图，在四边形中，，，连接．
(1)求证：，
(2)若，求证：四边形是菱形．
易错点五：无法确定对称轴
易错提醒：做题中不能找出“最短路径”的模型，分析不出题目中哪些是模型中的点、哪些是模型中的线，从而导致解决不了此类问题
例9．如图，菱形的边长为2，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．3
例10．如图，在长方形中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为 ，最大值为 ．
变式1．如图所示，正方形的边长为4，以为边作等边三角形，，若正方形的对角线上有一动点M，则周长的最小值是 ．
变式2．如图，在四边形中， ，，，的面积为24，的垂直平分线分别交，于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ．
变式3．已知如图，．为x轴上一条动线段，D在C点右边且，当的最小值为 .
变式4．图①、图②、图③均是 6×6 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的画图痕迹．
(1)在图①中画出 AC 边上的中线 BD．
(2)在图②中画出 AC 边上的高线 BE．
(3)在图③中，若点 P、Q 分别为线段 AB、AC 上的动点，连结 PC、PQ，当 PC+PQ 取得最小值时，画出点 P、点 Q 的位置．
1．如图，在矩形中，，点E在边上，点F在边上，且，连接，，则的最小值为 ．
2．如图，正方形的边长为2．为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为 ．
3．如图，在等腰直角三角形中，，，的面积等于35，点P在上，点Q在上，，上有一动点M，若要使最小，则该最小值是 ．
4．如图，边长为8的正方形中，为边上一点，且，是对角线上的一个动点，则的最小值为 ．
5．如图，在平行四边形中，点E在边上，平分，点F在边上，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，点P在线段上运动，请直接写出当点P在什么位置时取得最小值，最小值是多少．
6．如图，在□ABCD中，点E在BC边上，AE平分∠BAD，点F在AD边上，EFAB．
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若AB＝2，BC＝3，点P在线段AE上运动，请直接回答当点P在什么位置时，PC+PF取得最小值，最小值是多少．
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝4．BD＝5．点P是线段AO上一动点（不与A，O重合）．点E与点P在AD所在直线的两侧．AE⊥AB．AE＝BD．点F在AD边上，DF＝AP．连接PE，BF．
(1)补全图形，求PE：BF的值；
(2)连接BP，点P在何处时BP+BF取得最小值？并求出这个最小值．
易错点六：变换前后的图形无法结合
易错提醒：四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等动手操作性问题，要弄清变化的过程，注意其中的不变量与变量，有时候往往是利用其中不变的量证明全等或相似后，再求变的量．所以解决此类问题的关键在于确定图形变换过程中不变量和变量，千万不能找错，否则容易造成后续证明中的错误．
例11．如图，矩形的对角线相交于点O，F是上的一点，连接，将沿翻折，点C恰好与点O重合，延长交于点E，连接．则下列结论：①是等边三角形；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
例12．如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到如图的，若两个三角形重叠部分的面积为，
(1)直接写出阴影部分是什么特殊四边形；
(2)求移动的距离．
变式1．如图，菱形的对角线交于点O，将绕点D旋转得到，若菱形的面积为 ，，则 ．
变式2．与平移相同，折叠也不改变图形的大小．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置，D′C′交BC于点G，若∠DEF＝65°，则∠BGD′的度数是 ．
变式3．如图，矩形纸片中，，，点、分别在、上，将、分别沿、翻折，翻折后点与点重合，点与点重合当、、、四点在同一直线上时，线段长为 ．
变式4．“玩转数学”实践活动，是一种非常有效的学习方式，我们一起来动手、动脑玩转数学吧．如图①，折一折：将正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接．
(1)_______°；
转一转：如图②，将图①中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q，连接．
(2)猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由；
(3)若正方形的边长为6，，求的长．
1．如图，已知正方形、正方形的边长分别为4和1，将正方形绕点旋转，连接，点是的中点，连接，则线段的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
2．如图，四边形是菱形，，点为平面内一点，连接，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，连接． 点在直线上，，则线段的长为 ．
3．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，以AB为斜边在矩形内部构造等腰直角三角形APB，将△ABP沿BC方向平移得到△A'B'P'，当AB与CD重合时停止，连接P'A，P'D．当△AP'D是等腰三角形时，平移的距离是 ．
4．如图，在，，，，点D在边上，连接，将沿着翻折，点C的对应点为点E，连接，如果，那么的长等于 ．
5．如图，矩形纸片的对角线，相交于点，，将矩形纸片翻折，使点恰好落在点处，折痕为，点在边上，则的长为 ．
6．如图，在菱形中，对角线、交于点O，，将沿方向平移，使点B落到点C处．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
7．如图（1），是的边上的中线，将沿直线翻折得到，连接，．
(1)求证：是直角三角形．
(2)如图（2），若，，求的大小．
(3)若是直角三角形，是等边三角形，探究与的数量关系．
易错点七：找不到变量间的关系
动点问题：在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变．
易错提醒：动点问题可转化为寻找定直线或定点，需要学习如何画辅助线找到定直线或定点
例13．如图，在中，，，，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是 ．
例14．在四边形中，，，，，点从出发以的速度向运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t．
若是上一点，且，t取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？
变式1．如图，P是的斜边（不与点A、C重合）上一动点，分别作于点M，于点N，O是的中点，若，，当点P在上运动时，的最小值是 ．
变式2．如图，在中，，，，点是半径为4的上一动点，连接，点是的中点，当点落在线段上时，则的长度为 ；若点在上运动，当取最大值时，的长度是 ．
变式3．如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒．
(1)用含的式子表示；
(2)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
(3)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？
变式4．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括），作，垂足为，且，过点作射线．
(1)请直接写出C点的坐标；
(2)在M点的运动过程中，试证明的度数为定值；
(3)连接交于，连接，下列两个结论：①的长度不变；②平分，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明．
1．如图，长方形两边长，两顶点A、B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上运动，则顶点D到原点O的距离最大值是 ．
2．如图，在矩形中，点P在边上运动（可与端点重合），连接，E、F分别为、的中点，连接，若，则线段的最小值为 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，是的中点，已知，，，，点是线段上的一个动点，当的长为 时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
4．如图，在中，，，，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)_______．
(2)当点P在斜边上时，
①当点P运动到的中点时，则___________．
②当点P运动到最短时，则________．
(3)当P在边上时，的长为________．（用含t的代数式表示）
(4)若点P在的角平分线上，求t的值．
5．如图，在矩形中，，，动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为．
(1)用含t的代数式表示 ；
(2)若四边形为矩形，求t的值；
(3)是否存在t值，使线段的长为？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．
6．如图1，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，动点A从原点O出发，沿着x轴正方向移动，是以为斜边的等腰直角三角形（点A、B、P顺时针方向排列）．
(1)当点A与点O重合时，得到等腰直角（此时点P与点C重合），则______．当时，点P的坐标是______；
(2)设动点A的坐标为．
①点A在移动过程中，作轴于M，于N，求证：四边形是正方形；
②用含t的代数式表示点P的坐标为：（______，______）；
(3)在上述条件中，过点A作y轴的平行线交的延长线于点Q，如图2，是否存在这样的点A，使得的面积是的面积的3倍？若存在，请求出A的坐标，若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以，为边作矩形.动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点A，移动.当移动时间为4秒时，求的值.
易错点一：考虑不全面
易错提醒：一个边形剪去一个角后，若剪去的一个角只经过一个顶点和一边，则剩下的形状是边形，若剪去的一个角经过两条邻边，则剩下的形状是边形，若剪去的一个角经过两个相邻点，则剩下的形状是边形．所以遇到相关题目时，要分类讨论．
例1．一个多边形截去一个角后，形成一个七边形，那么原多边形边数为（ ）．
A．6B．6或7C．6或8D．6或7或8
例2．已知正多边形的每一个内角的度数等于相邻外角的倍．
(1)求这个正多边形的边数．
(2)若截去一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和．
变式1．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为，则原多边形边数为 ．
变式2．若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形内角和为，则原多边形的边数（ ）
A．12B．11或12C．12或13或14D．11或12 或13
变式3．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为（ ）
A．5B．5或6C．6或7D．5或6或7
变式4．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ．
1．若一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是．则原来多边形的边数可能是（ ）
A．10或11B．11C．11或12D．10或11或12
2．一天妈妈给小新出了一道智力题考他．将一个多边形截去一个角后，得到这个多边形的内角和将会（ ）
A．不变B．增加C．减少D．无法确定
3．一个多边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的内角和为，则原多边形有 条边；
4．一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是，则原多边形的边数是 ．
5．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是 ．
6．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为，则原多边形边数为 ；其中边数最少的原多边形从一顶点出发，能做 条对角线．
7．如果一个正多边形的每个外角都为45°．
(1)求这个正多边形的边数；
(2)若截去一个角（截线不经过多边形的顶点），求截完角后所形成的另一个多边形的内角和．
易错点二：混淆判定条件
平行四边形的判定：
①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
③定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
④定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
⑤定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
易错提醒：在应用平行四边形的判定时要注意题目所给边或角是不是对边、对角，否则容易造成判定的错用．
例3．如图，在“V”字形图形中，，，，，，若要求出这个图形的周长，则需添加的一个条件是（ ）
A．的长B．的长C．的长D．与的和
例4．如图，在中，点E，F在对角线上，且．证明：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
变式1．如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，在不添加辅助线的情况下，图中与全等的三角形共有 个．
变式2．在四边形中，．要使四边形是平行四边形，则的长为 ．
变式3．如图，在中，，，求证：
变式4．如图，已知，、相交于点O，延长到点E，使，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形：
(2)连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由．
1．如图，在中，点分别在、、上，连接、，且，，．若四边形的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在等腰梯形中，AB平行CD，对角线于点O，，则 ．
3．如图，在中，，于点D，延长到点E，使，过点E作交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，直接写出的长．
4．如图，在平行四边形中，是的中点，延长到点，使，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长和平行四边形的面积．
5．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，先画的角平分线，再画点C关于直线轴对称的点E；
(2)在图2中，先在上画点F，使，再画．
6．【问题探究】如图，六边形的六个内角均为，分别延长、交于点G，得到．请判断的形状，并证明你的结论．
【结论应用】若，，，，直接写出六边形的周长为 ．
7．如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，．
(1)若，，求的度数；
(2)求证：四边形为平行四边形；
(3)连接，交于点O，若，，直接写出的长度．
易错点三：没有分类讨论
易错提醒：对于没有给出图形的题目，我们要根据题意自己画出图形，这时候就要注意分类讨论，要时刻保持分类讨论的思想，具体问题具体分析．
例5．在平行四边形中，，平分交直线于点，平分交直线于点，且，则的长为（ ）
A．B．C．或D．或
例6．平行四边形中，，，交直线于，若平行四边形的面积为，则的长为 ．
变式1．已知中，cm，cm，过点B作交所在的直线于H，若cm，则 cm．
变式2．已知在中，和的平分线分别交直线交于点E，F，若，则的长为 ．
变式3．过平行四边形对角线交点O作直线m，分别交直线于点E，交直线于点F，若，，则DF的长是 ．
变式4．四边形是平行四边形，，的平分线交直线于点，若，则的周长为 ．
1．四边形是平行四边形，，的平分线交直线于点，若，则四边形的周长为 ．
2．平行四边形的周长为，的角平分线交边所在直线于点，且：：，则 ．
3．在中，的平分线交直线于点，，，则的周长为 ．
4．如图，在平行四边形中，，以点B为圆心，长为半径作弧，交直线与点E，连接，则的度数为 ．
5．四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，∠BAD的平分线交直线BC于点E．若CE＝2，则BC的长为 ．
6．在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD所在直线于E点，若AB=6，ED=3，则边BC的长度为 ．
7．在中，的平分线交直线于点，且．求的周长．
易错点四：混淆各种判定和性质
平行四边形和特殊平行四边形之间的逻辑关系：
①平行四边形有一个角是直角的是矩形，再证明有一组邻边相等的就是正方形；
②平行四边行有一组邻边相等并且有一个角是直角的是正方形；
③平行四边形有一组邻边相等的是菱形，再证明有一个角是直角的就是正方形．
易错提醒：解答特殊平行四边形的相关问题时易错在张冠李戴，如将矩形的判定条件和性质误用到菱形上，为了避免此类错误，首先要须充分理解和熟记平行四边形和特殊平行四边形的判定和性质．
例7．已知点在矩形的对角线上（不与点重合），下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
例8．如图，正方形的边长为15，，，连接，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
变式1．如图，中，，是的角平分线，点为的中点，连接并延长到点，使，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)当满足什么条件时，矩形是正方形，并说明理由．
变式2．如图，分别以的边为边向外作正方形，连接，若，，则 ．
变式3．如图，在中，是 的角平分线．
(1)请用圆规和无刻度的直尺作的垂直平分线，分别交，于点，；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，，试判断四边形的形状，并证明．
变式4．如图，在菱形中，过点作的垂线，垂足为，延长到点，使，连接．求证：四边形是矩形．
1．如图，在等腰中，，为的中点，点在上，是上一个动点，则的最小值为（ ）
A．10B．C．D．
2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，为边的中点，菱形的周长为48，则的长等于 .
3．如图，菱形的边长为17，点是对角线上的一点，且，连挍，在的左侧作为边的正方形，连接，则 ．
4．如图，在菱形中，，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接，．
(1)求证：；
(2)当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论．
5．如图：在菱形中，，过点作于点，交于点，点为的中点，若，求的长．
6．已知：如图，在中，，点E，F分别是的中点．
(1)求证：；
(2)当______时，四边形是正方形？请证明你的结论．
7．如图，在四边形中，，，连接．
(1)求证：，
(2)若，求证：四边形是菱形．
易错点五：无法确定对称轴
易错提醒：做题中不能找出“最短路径”的模型，分析不出题目中哪些是模型中的点、哪些是模型中的线，从而导致解决不了此类问题
例9．如图，菱形的边长为2，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．3
例10．如图，在长方形中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为 ，最大值为 ．
变式1．如图所示，正方形的边长为4，以为边作等边三角形，，若正方形的对角线上有一动点M，则周长的最小值是 ．
变式2．如图，在四边形中， ，，，的面积为24，的垂直平分线分别交，于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ．
变式3．已知如图，．为x轴上一条动线段，D在C点右边且，当的最小值为 .
变式4．图①、图②、图③均是 6×6 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的画图痕迹．
(1)在图①中画出 AC 边上的中线 BD．
(2)在图②中画出 AC 边上的高线 BE．
(3)在图③中，若点 P、Q 分别为线段 AB、AC 上的动点，连结 PC、PQ，当 PC+PQ 取得最小值时，画出点 P、点 Q 的位置．
1．如图，在矩形中，，点E在边上，点F在边上，且，连接，，则的最小值为 ．
2．如图，正方形的边长为2．为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为 ．
3．如图，在等腰直角三角形中，，，的面积等于35，点P在上，点Q在上，，上有一动点M，若要使最小，则该最小值是 ．
4．如图，边长为8的正方形中，为边上一点，且，是对角线上的一个动点，则的最小值为 ．
5．如图，在平行四边形中，点E在边上，平分，点F在边上，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，点P在线段上运动，请直接写出当点P在什么位置时取得最小值，最小值是多少．
6．如图，在□ABCD中，点E在BC边上，AE平分∠BAD，点F在AD边上，EFAB．
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若AB＝2，BC＝3，点P在线段AE上运动，请直接回答当点P在什么位置时，PC+PF取得最小值，最小值是多少．
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝4．BD＝5．点P是线段AO上一动点（不与A，O重合）．点E与点P在AD所在直线的两侧．AE⊥AB．AE＝BD．点F在AD边上，DF＝AP．连接PE，BF．
(1)补全图形，求PE：BF的值；
(2)连接BP，点P在何处时BP+BF取得最小值？并求出这个最小值．
易错点六：变换前后的图形无法结合
易错提醒：四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等动手操作性问题，要弄清变化的过程，注意其中的不变量与变量，有时候往往是利用其中不变的量证明全等或相似后，再求变的量．所以解决此类问题的关键在于确定图形变换过程中不变量和变量，千万不能找错，否则容易造成后续证明中的错误．
例11．如图，矩形的对角线相交于点O，F是上的一点，连接，将沿翻折，点C恰好与点O重合，延长交于点E，连接．则下列结论：①是等边三角形；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
例12．如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到如图的，若两个三角形重叠部分的面积为，
(1)直接写出阴影部分是什么特殊四边形；
(2)求移动的距离．
变式1．如图，菱形的对角线交于点O，将绕点D旋转得到，若菱形的面积为 ，，则 ．
变式2．与平移相同，折叠也不改变图形的大小．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置，D′C′交BC于点G，若∠DEF＝65°，则∠BGD′的度数是 ．
变式3．如图，矩形纸片中，，，点、分别在、上，将、分别沿、翻折，翻折后点与点重合，点与点重合当、、、四点在同一直线上时，线段长为 ．
变式4．“玩转数学”实践活动，是一种非常有效的学习方式，我们一起来动手、动脑玩转数学吧．如图①，折一折：将正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接．
(1)_______°；
转一转：如图②，将图①中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q，连接．
(2)猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由；
(3)若正方形的边长为6，，求的长．
1．如图，已知正方形、正方形的边长分别为4和1，将正方形绕点旋转，连接，点是的中点，连接，则线段的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
2．如图，四边形是菱形，，点为平面内一点，连接，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，连接． 点在直线上，，则线段的长为 ．
3．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，以AB为斜边在矩形内部构造等腰直角三角形APB，将△ABP沿BC方向平移得到△A'B'P'，当AB与CD重合时停止，连接P'A，P'D．当△AP'D是等腰三角形时，平移的距离是 ．
4．如图，在，，，，点D在边上，连接，将沿着翻折，点C的对应点为点E，连接，如果，那么的长等于 ．
5．如图，矩形纸片的对角线，相交于点，，将矩形纸片翻折，使点恰好落在点处，折痕为，点在边上，则的长为 ．
6．如图，在菱形中，对角线、交于点O，，将沿方向平移，使点B落到点C处．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
7．如图（1），是的边上的中线，将沿直线翻折得到，连接，．
(1)求证：是直角三角形．
(2)如图（2），若，，求的大小．
(3)若是直角三角形，是等边三角形，探究与的数量关系．
易错点七：找不到变量间的关系
动点问题：在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变．
易错提醒：动点问题可转化为寻找定直线或定点，需要学习如何画辅助线找到定直线或定点
例13．如图，在中，，，，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是 ．
例14．在四边形中，，，，，点从出发以的速度向运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t．
若是上一点，且，t取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？
变式1．如图，P是的斜边（不与点A、C重合）上一动点，分别作于点M，于点N，O是的中点，若，，当点P在上运动时，的最小值是 ．
变式2．如图，在中，，，，点是半径为4的上一动点，连接，点是的中点，当点落在线段上时，则的长度为 ；若点在上运动，当取最大值时，的长度是 ．
变式3．如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒．
(1)用含的式子表示；
(2)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
(3)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？
变式4．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括），作，垂足为，且，过点作射线．
(1)请直接写出C点的坐标；
(2)在M点的运动过程中，试证明的度数为定值；
(3)连接交于，连接，下列两个结论：①的长度不变；②平分，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明．
1．如图，长方形两边长，两顶点A、B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上运动，则顶点D到原点O的距离最大值是 ．
2．如图，在矩形中，点P在边上运动（可与端点重合），连接，E、F分别为、的中点，连接，若，则线段的最小值为 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，是的中点，已知，，，，点是线段上的一个动点，当的长为 时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
4．如图，在中，，，，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)_______．
(2)当点P在斜边上时，
①当点P运动到的中点时，则___________．
②当点P运动到最短时，则________．
(3)当P在边上时，的长为________．（用含t的代数式表示）
(4)若点P在的角平分线上，求t的值．
5．如图，在矩形中，，，动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为．
(1)用含t的代数式表示 ；
(2)若四边形为矩形，求t的值；
(3)是否存在t值，使线段的长为？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．
6．如图1，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，动点A从原点O出发，沿着x轴正方向移动，是以为斜边的等腰直角三角形（点A、B、P顺时针方向排列）．
(1)当点A与点O重合时，得到等腰直角（此时点P与点C重合），则______．当时，点P的坐标是______；
(2)设动点A的坐标为．
①点A在移动过程中，作轴于M，于N，求证：四边形是正方形；
②用含t的代数式表示点P的坐标为：（______，______）；
(3)在上述条件中，过点A作y轴的平行线交的延长线于点Q，如图2，是否存在这样的点A，使得的面积是的面积的3倍？若存在，请求出A的坐标，若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以，为边作矩形.动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点A，移动.当移动时间为4秒时，求的值.
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