重庆北碚区2023年八年级数学第一学期期末学业质量监测试题【含解析】

这是一份重庆北碚区2023年八年级数学第一学期期末学业质量监测试题【含解析】，共21页。试卷主要包含了下列图形中，具有稳定性的是，的平方根是等内容，欢迎下载使用。

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是（ ）
A．（x+a）（x+a）B．x2+a2+2ax
C．（x-a）（x-a）D．（x+a）a+（x+a）x
2．如图是5×5的正方形网络，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
3．如图, 中, ,,则的度数为( )

A．B．C．D．
4．下列各点在函数y=1-2x的图象上的是（ ）
A．B．C．D．
5．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为 （ ）
A．6B．7C．8D．9
6．两张长方形纸片按如图所示的方式叠放在一起，则图中相等的角是（ ）
A．与B．与C．与D．三个角都相等
7．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A．正方形B．长方形C．三角形D．平行四边形
8．下列每组数分别表示三根木棒的长度,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是( )
A．3，3，6B．1，5，5C．1，2，3D．8，3，4
9．若在实数范围内有意义，则x满足的条件是( )
A．x≥B．x≤C．x＝D．x≠
10．的平方根是（ ）
A．2B．－2C．4D．2
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．分解因式：ax2-9a= ．
12．某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095用科学记数法表示为_______________．
13．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是__cm．
14．如图，中，，，把沿翻折，使点落在边上的点处，且，那么的度数为________．
15．如图，在中，，以点为圆心，为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点.设，，若，则__________（用含的式子表示）．
16．如图，一次函数与一次函数的图像相交于点，则关于的不等式的解集为__________．
17．画出一个正五边形的所有对角线，共有_____条．
18．在平行四边形ABCD 中， BC边上的高为4 ，AB=5 ， ，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知求的值；
已知，求的值；
已知，求的值．
20．（6分）已知中，如果过项点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点的一条直线交于点，若，显然直线是的关于点的二分割线．
（1）在图2的中，，．请在图2中画出关于点的二分割线，且角度是 ；
（2）已知，在图3中画出不同于图1，图2的，所画同时满足:①为最小角；②存在关于点的二分割线．的度数是 ；
（3）已知，同时满足：①为最小角；②存在关于点的二分割线．请求出的度数（用表示）．
21．（6分）先化简再求值，其中x=-1．
22．（8分）（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，请探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系是什么？
小明探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．先证明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由条件可得∠EAF＝∠GAF，证明△AEF≌△AGF，进而可得线段BE，EF，FD之间的数量关系是 ．
（2）拓展应用：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．问（1）中的线段BE，EF，FD之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
23．（8分）一个等腰三角形的一边长为5，周长为23，求其他两边的长．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边作正方形，请解决下列问题：
（1）求点和点的坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.
25．（10分）某服装店用4400元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润2800元（毛利润＝售价﹣进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
（1）请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
（2）如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？
26．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC上的一动点，AP=AQ，∠PAQ=90°，连接CQ．
(1)求证：CQ⊥BC．
(2)△ACQ能否是直角三角形？若能，请直接写出此时点P的位置；若不能，请说明理由.
(3)当点P在BC上什么位置时，△ACQ是等腰三角形？请说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【详解】解：根据图可知，S正方形=（x+a）2=x2+2ax+a2=（x+a）a+（x+a）x，
故选C．
2、B
【解析】试题分析：观察图形可知：DE与AC是对应边，B点的对应点在DE上方两个，在DE下方两个共有4个满足要求的点，也就有四个全等三角形．
根据题意，运用SSS可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点．
故选B．
考点：本题考查三角形全等的判定方法
点评：解答本题的关键是按照顺序分析，要做到不重不漏．
3、B
【分析】设∠ADE=x，则∠B+19°=x+14°，可用x表示出∠B和∠C，再利用外角的性质可表示出∠DAE和∠DEA，在△ADE中利用三角形内角和求得x，即可得∠DAE的度数．
【详解】解：设∠ADE=x，且∠BAD=19°，∠EDC=14°，
∴∠B+19°=x+14°，
∴∠B=x-5°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=x-5°，
∴∠DEA=∠C+∠EDC=x-5°+14°=x+9°，
∵AD=DE，
∴∠DEA=∠DAE=x+9°，
在△ADE中，由三角形内角和定理可得
x+ x+9°+ x+9°=180°，
解得x=54°，即∠ADE=54°，
∴∠DAE=63°
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质，用∠ADE表示出∠DAE和∠DEA是解题的关键．
4、C
【解析】把各点的横坐标代入所给函数解析式，看所得函数值是否和点的纵坐标相等即可．
【详解】解：A、当x=0时，y=1-2×0=1≠2，不符合题意；
B、当x=1时，y=1-2×1=-1≠0，不符合题意；
C、当x=1时，y=1-2×1=-1，符合题意；
D、当x=2时，y=1-2×2=-3≠-1，不符合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：一次函数解析式上点的横纵坐标适合该函数解析式．
5、B
【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
则有（n-2）180°=900°，
解得：n=1，
∴这个多边形的边数为1．
故选B．
【点睛】
本题考查了多边形内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键.
6、B
【分析】根据对顶角相等，邻补角互补，以及直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：如图，
∵∠4+∠5=90°，∠6+∠1=90°，∠5=∠6，
∴∠4=∠1．
∵∠1+∠1=180°，∠2+∠4=180°，
∴∠1=∠2．
∵∠8+∠9=90°，∠CAE+∠9=90°，
∴∠8=∠CAE．
∵∠8=180°-∠2，∠CAE=∠1-90°，
∴180°-∠2 =∠1-90°，
∴∠1+∠2=210°，无法说明∠1与∠2相等．
∴图中相等的角是∠1与∠2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，直角三角形两锐角互余，对顶角相等等知识，余角和补角的性质，熟练掌握余角和补角的性质是解答本题的关键．
7、C
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【详解】解：三角形，正方形，平行四边形，长方形中只有三角形具有稳定性．
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．
8、B
【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边．
【详解】解：A、3+3=6，不能组成三角形，故此选项错误；
B、1+5＞5，能组成三角形，故此选项正确；
C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；
D、3+4<8，不能组成三角形，故此选项错误；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系．
9、C
【解析】由题意可知：，解得：x=，
故选C．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
10、D
【分析】根据算术平方根的定义先求出，然后根据平方根的定义即可得出结论．
【详解】解：∵=4
∴的平方根是2
故选D．
【点睛】
此题考查的是求一个数的算术平方根和平方根，掌握算术平方根的定义和平方根的定义是解决此题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】解：ax2-9a=a(-9)=a(x+3)(x-3).
故答案为：
【点睛】
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．
12、9.5×10-1
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：将0.00000095米用科学记数法表示为9.5×10-1，
故答案为：9.5×10-1．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13、1
【解析】根据题意，过A点和B点的平面展开图分三种情况，再根据两点之间线段最短和勾股定理可以分别求得三种情况下的最短路线，然后比较大小，即可得到A点到B点的最短路线，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
当展开前面和右面时，最短路线长是：
当展开前面和上面时，最短路线长是：
当展开左面和上面时，最短路线长是：
∴一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是1cm，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查的就是长方体的展开图和勾股定理的实际应用问题.解决这个问题的关键就是如何将长方体进行展开.在解答这种问题的时候我们需要根据不同的方式来对长方体进行展开，然后根据两点之间线段最短的性质通过勾股定理来求出距离.有的题目是在圆锥中求最短距离，我们也需要将圆锥进行展开得出扇形，然后根据三角形的性质进行求值.
14、
【解析】根据等腰三角形的性质，求得∠C，然后利用三角形内角和求得∠FEC，再根据邻补角的定义求得∠AEF，根据折叠的性质可得∠AED=∠FED=∠AEF，在△ADE中利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵中，，，
∴∠B=∠C=45°
又∵
∴∠FEC=180°-∠EFC-∠C=180°-15°-45°=120°，
∴∠AEF=180°-∠FEC =60°
又∵∠AED=∠FED=∠AEF=30°，∠A=90°，
∴∠ADE=180°-∠AED-∠A=180°-30°-90°=60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形等边对等角，三角形内角和的应用，折叠的性质，找出图形中相等的角和相等的线段是关键．
15、
【分析】根据作图，结合线段的和差关系利用勾股定理求解即可.
【详解】根据作图得，BC=BD=a，AD=AE，
当AD=EC时，即AE=EC，
∴E点为AC边的中点，
∵AC=b，
∴AD=，
在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，AB=，
∴
解得，a=.
故答案为：.
【点睛】
此题考查了运用勾股定理求解直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
16、x＞-1．
【分析】根据一次函数的图象和两函数的交点横坐标即可得出答案．
【详解】∵一次函数与一次函数的图像相交于点，交点横坐标为：x=-1，
∴不等式的解集是x＞-1．
故答案为：x＞-1．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了观察函数图象的能力．
17、1
【分析】画出图形即可求解．
【详解】解：如图所示：
五边形的对角线共有＝1（条）．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查多边形的对角线，解题关键是n边形从一个顶点出发的对角线有（n－3）条．
18、12或1
【分析】根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：
在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=，
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：，
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：,
∴BC=BE+CE=3+2=5,
此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=1；
情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：
在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：，
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：,
∴BC=BE-CE=3-2=1,
∴平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,
综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或1．
故答案为：12或1．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）； （2）； （3）．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则，将转换成，即可求出的值；
（2）根据同底数幂的乘法法则，将转换成，即可求出的值；
（3）利用完全平方公式将转换成，再代入求解即可．
【详解】（1）
∵
∴
解得
（2）
∵
∴
解得
（3）
将代入原式中
原式 ．
【点睛】
本题考查了同底数幂和代数式的运算，掌握同底数幂的运算法则、解代数式的方法是解题的关键．
20、（1）作图见解析，；（2）作图见解析，；（3）∠A=45°或90°或90°－2α或，或α＝45°时45°＜∠BAC＜90°．
【分析】（1）根据二分割线的定义，只要把∠ABC分成90°角和20°角即可；
（2）可以画出∠A=35°的三角形；
（3）设BD为△ABC的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形；第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形分别利用直角三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．
【详解】解：（1）关于点的二分割线BD如图4所示，；
故答案为：20°；
（2）如图所示：∠BAC=35°；
（3）设BD为△ABC的二分割线，分以下两种情况．
第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，易知∠C和∠DBC必为底角，
∴∠DBC＝∠C＝．
当∠A＝90°时，△ABC存在二分分割线；
当∠ABD＝90°时，△ABC存在二分分割线，此时∠A＝90°－2α；
当∠ADB＝90°时，△ABC存在二分割线，此时α＝45°且45°＜∠A＜90°；
第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，
当∠DBC＝90°时，若BD＝AD，则△ABC存在二分割线，此时；
当∠BDC＝90°时，若BD＝AD，则△ABC存在二分割线，此时∠A＝45°，
综上，∠A=45°或90°或90°－2α或，或α＝45°时，45°＜∠BAC＜90°．
【点睛】
本题考查的是二分割线的理解与作图，属于新定义题型，主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，正确理解二分割线的定义、熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解答的关键．
21、．
【解析】原式
．
当时，原式
22、（1）EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；证明见解析．
【分析】（1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；
（2）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题．
【详解】（1）EF＝BE+DF，
理由如下：
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为：EF＝BE+DF．
（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，如图2，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23、其他两边为9cm，9cm．
【分析】分两种情况解答：5为腰长或5为底边长，根据周长求出另两边的长度并验证是否能构成三角形.
【详解】若长为5的边是腰, 设底边长为xcm,则2×5+x=23，解之得x=1．
∵5+5＜1∴长度为5,5,1的三条线段不能组成三角形.
若长为5的边是底边, 设腰长为xcm,则2 x+5=23,解之得x=9.
∵5+9＞9∴长度为5,9,9的三条线段能组成三角形.
答：其他两边为9cm,9cm.
【点睛】
此题考查等腰三角形的定义，三角形三边的关系.
24、（1）点，点；（2）；（3）点，点．
【分析】（1）根据待定系数法，可得直线的解析式是：，进而求出，过点作轴于点，易证，从而求出点D的坐标；
（2）过点作轴于点，证得：，进而得，根据待定系数法，即可得到答案；
（3）分两种情况：点与点重合时， 点与点关于点中心对称时，分别求出点P的坐标，即可．
【详解】（1）经过点，
，
直线的解析式是：，
当时，，解得：，
点，
过点作轴于点，
在正方形中，，，
，
，
，
，
在和中，
∵，
∴，
，
点；
（2）过点作轴于点，
同上可证得：，
∴CM=OB=3，BM=OA=4，OB=3+4=7，
∴，
设直线得解析式为：（为常数），
代入点得：，解得：，
∴直线的解析式是：；
（3）存在，理由如下：
点与点重合时，点；
点与点关于点中心对称时，过点P作PN⊥x轴，
则点C是BP的中点，CMPN，
∴CM是的中位线，
∴PN=2CM=6，BN=2BM=8，
∴ON=3+8=11，
∴点
综上所述：在直线上存在点，使为等腰三角形，坐标为：，．
【点睛】
本题主要考查一次函数与几何图形的综合，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键，体现了数形结合思想．
25、（1) 购A型50件，B型30件．（2) 2440元．
【分析】（1）设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由总价=单价×数量，利润=售价-进价建立方程组求出其解即可；
（2）计算出打折时每种服装少收入的钱，然后相加即可求得答案．
【详解】(1)设购进A种服装x件，购进B种服装y件，
根据题意得：，
解得：，
答：购进A型服装40件，购进B型服装20件；
(2) 40×100×(1﹣0.9)+20×160×(1﹣0.8)=1040(元)．
答：服装店比按标价出售少收入1040元．
【点睛】
本题考查了销售问题的数量关系的运用，列二元一次方程组解实际问题的运用，解答时由销售问题的数量关系建立二元一次方程组是关键．
26、（1）证明见解析；（2）点P为BC的中点或与点C重合时，△ACQ是直角三角形；（3）当点P为BC的中点或与点C重合或BP=AB时，△ACQ是等腰三角形.
【分析】（1）根据同角的余角相等求出∠BAP=∠CAQ，然后利用“边角边”证明△ABP和△ACQ全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACQ=∠B，再根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠ACB=45°，然后求出∠BCQ=90°，然后根据垂直的定义证明即可；
（2）分∠APB和∠BAP是直角两种情况求出点P的位置，再根据△ABP和△ACQ全等解答；
（3）分BP=AB，AB=AP，AP=BP三种情况讨论求出点P的位置，再根据△ABP和△ACQ全等解答．
【详解】解：（1）∵∠BAP+∠CAP=∠BAC=90°,∠CAQ+∠CAP=∠PAQ=90°,
∴∠BAP=∠CAQ,
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ(SAS),
∴∠ACQ=∠B,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠BCQ=∠ACB+∠ACQ=45°+45°=90°,
∴CQ⊥BC；
（2）当点P为BC的中点或与点C重合时，△ACQ是直角三角形；
（3）①当BP=AB时，△ABP是等腰三角形;
②当AB=AP时，点P与点C重合;
③当AP=BP时,点P为BC的中点；
∵△ABP≌△ACQ,
∴当点P为BC的中点或与点C重合或BP=AB时，△ACQ是等腰三角形.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，求出△ABP和△ACQ全等是解题的关键，难点在于（2）（3）要分情况讨论．
类型价格
A型
B型
进价（元/件）
60
100
标价（元/件）
100
160