专题04 概率与统计初步（7考点串讲+7热考题型）-【中职专用】高一数学下学期期末复习讲与练（高教版2021·基础模块下册）

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考点串讲
考点一、随机实验
（1）随机试验
定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．
特点：
试验可以在相同条件下重复进行；
试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
（2）样本点和样本空间
定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空
间．
表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…
，则称样本空间为有限样本空间．
（3）事件的分类
随机事件：
我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．
随机事件一般用大写字母，，，…表示．
在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．
必然事件：
作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我
们称为必然事件．
不可能事件：
空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件．
考点二、频率与概率
（1）频率：
在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现,称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率.
（2）概率：
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率.
（3）由概率的定义可知：
对于任意事件，都有；
必然事件的概率为1，即；
不可能事件的概率为0，即.
考点三、古典概型
（1）古典概型的定义
如果一个试验具有如下性质：
有限性：样本空间的样本点只有有限个；
等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
称这样的为古典概率模型，简称古典概型．
（2）古典概型的概率计算公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率，其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
考点四、概率的简单性质
（1）互斥事件
一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：，图示：.
（2）对立事件
一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且，图示：.
（3）互斥事件与相互独立事件的区别与联系
考点五、抽样方法
（1）简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
最常用的简单随机抽样方法是抽签法.
抽签法(抓阄法)：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取1个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．
简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的．
（2）系统抽样
一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：
①先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；
②确定分段间隔k，对编号进行分段．当eq \f(N,n)(n是样本容量)是整数时，取k＝eq \f(N,n)，如果遇到eq \f(N,n)不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除；
③在第1段用简单随机抽样方法确定第一个个体编号l(l≤k)；
④按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．
当总体中元素个数较少时，常采用简单随机抽样，当总体中元素个数较多时，常采用系统抽样．
（3）分层抽样
分层抽样的概念：
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
分层抽样时，每个个体被抽到的机会是均等的．
考点六、统计图表
频率直方图的制作步骤：
（1）求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)
（2）决定组距与组数
组距是指每个小组的两个端点之间的距离.
为方便起见一般取等长组距，并且组距的选择应力求“取整”.
极差、组距、组数有如下关系：
若为整数，则=组数；
若不为整数，则[]+1=组数。
（3）将数据分组：通常对组内数据所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间。
（4）列频率分布表：统计各组数据的频数，计算频率，填入表格中，完成频率分布表。
（5）画频率直方图：画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高）表示频率与组距的比值。
在频率分布直方图中，纵轴表示 eq \f(频率,组距) ，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1．
考点七、样本的均值和标准差
（1）众数，中位数，平均数
众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或者最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
平均数：样本数据的算术平均数，即＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn) ．
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．
（2）样本方差，样本标准差
样本方差：
标准差：s＝，
其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是平均数．
标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是样本标准差的平方．
通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．
热考题型
类型一、随机事件的有关概念
【例1】①某人射击一次,中靶；②从一副牌中抽到红桃A；③种下一粒种子发芽；④掷一枚骰子出现6点.其中是随机现象的是 .
【例2】从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点数为( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
【变式1】现有10个同类产品，其中7个是正品，3个是次品.有以下事件：从这10个产品中任意抽取4个产品，①4个产品都是正品；②至少有1个次品；③4个产品都是次品；④至少有1个正品.
其中随机事件为 ，不可能事件为 ，必然事件为 .（填序号）
【变式2】连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.（与先后顺序有关）
（1）写出这个试验的样本空间及样本点的个数；
（2）写出事件“恰有两枚正面向上”的集合表示.
类型二、频率与概率
【例1】对下面的描述：
①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；
③频率是一个比值，但概率不是；
④频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
其中正确的说法有 ( )
A．①③⑤ B．①③④
C．①④⑤ D．②④⑤
【例2】“某彩票的中奖概率为eq \f(1,1 000)”意味着 ( )
A．买1 000张彩票就一定能中奖B．买1 000张彩票中一次奖
C．买1 000张彩票一次奖也不中D．购买彩票中奖的可能性是eq \f(1,1 000)
【变式1】某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶，在这次练习中，这个人中靶的频率是 ，中9环的概率是 .
【变式2】一家保险公司想了解汽车挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车，时间从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为 .
类型三、古典概型
【例1】下列试验是古典概型的为 ．
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②同时掷两枚骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④甲乙等10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
【变式1】从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】天河英才秋季运动会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，现将三张分别印有“琮琮”“ 宸宸”“莲莲”这三个图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（ ）
A．B．C．D．
类型四、概率的简单性质
【例1】从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中不是互斥的两个事件是（ ）
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
【例2】甲、乙两人下棋，和棋的概率为50%，甲不输的概率为90%，则乙不输的概率为______．
【变式1】从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为互斥事件的是（ ）
A．至多有1个白球；都是红球B．至少有1个白球；至少有1个红球
C．恰好有1个白球；都是红球D．至多有1个白球；至多有1个红球
【变式2】口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0. 52，摸出白球的概率是0. 28，那么摸出黑球的概率是 ( )
A．0. 2 B．0. 28
C．0. 52 D．0. 8
类型五、抽样方法
【例1】下面的抽样方法是简单随机抽样的是 ( )
A．从无数个个体中抽取10个个体作为样本
B．从含有50个个体的总体里一次性抽取5个个体作为样本
C．某班有40名同学，指定个子最高的5名同学参加篮球比赛
D．一彩民从装有30个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽取7个号签
【例2】有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人做问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号可能为 ( )
A．5,10,15,20 B．2,6,10,14
C．2,4,6,8 D．5,8,11,14
【例3】交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12、21、25、43，则这四个社区驾驶员的总人数N为 ( )
A．101 B．808
C．1 212 D．2 012
【变式1】为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是 ( )
A．总体是240 B．个体是每一名学生
C．样本是40名学生 D．样本容量是40
【变式2】某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为 ( )
A．11 B．12
C．13 D．14
【变式3】某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、肉食品类、果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 ( )
A．4 B．5
C．6 D． 7
类型六、统计图表
【例1】有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，则样本数据在[8,10)内的频数为 ( )
A．38 B．57
C．76 D．95
【变式1】为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为 ( )
A．6 B．8
C．12 D．18
【变式2】某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17. 5,30]，样本数据分组为[17. 5,20)，[20,22. 5)，[22. 5,25)，[25,27. 5)，[27. 5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22. 5小时的人数是 ( )
A．56 B．60
C．120 D．140
类型七、样本的均值和方差
【例1】在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 ( )
A．92,2 B．92,2. 8
C．93,2 D．93,2. 8
【变式1】已知某同学五次数学成绩分别是：121,127,123，a,125，若其平均成绩是124，则这组数据的方差是 .
【变式2】五个数的平均数是，这五个数的方差是 .
相互独立事件
互斥事件
判断方法
一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响
两个事件不可能同时发生，
即
概率公式
事件与相互独立等价于
事件与互斥，
则
名称
概念
频数、
频率
将一批数据按要求分为若干个组,各组内数据的个数,叫作该组的频数.
每组频数除以全体数据个数的商叫作该组的频率，频率反映该组数据在样本中所占比例的大小.
样本的频率分布
根据随机所抽样本的大小，分别计算某一事件出现的频率，这些频率的分布规律(取值状况)就叫作样本的频率分布.
极差
若一组数据的最小值为a，最大值为b，则b-a的差就叫作极差
组距
把所有数据分成若干组,每个小组的两个端点之间的距离称为组距