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2021-2022学年陕西省西安市莲湖区八年级下学期期中数学试题及答案
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这是一份2021-2022学年陕西省西安市莲湖区八年级下学期期中数学试题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）
A．BC＝EFB．∠BCA＝∠FC．AB∥DED．AD＝CF
3．如图，将△ABC沿AC所在的直线平移到△DEF的位置，若图中AC＝12，DC＝9，则CF的长度为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．下列命题中，假命题的是（ ）
A．若a≥b，则ac2≥bc2
B．到一条线段两个端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上
C．斜边和一锐角分别对应相等的两个直角三角形一定全等
D．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形
5．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形是中心对称图形的位置是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
6．某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分．小聪有2道题没答，竞赛成绩超过80分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（ ）
A．10x﹣5（18﹣x）≥80B．10x﹣（18﹣x）≥80
C．10x﹣5（18﹣x）＞80D．10x﹣（18﹣x）＞80
7．等腰△ABC中一边长为3，另外两边长为不等式组的两个不同整数解，则△ABC的周长为（ ）
A．10或11B．10或12C．11或12D．10或13
8．小英用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，
BC＝6．点D在斜边AB上，连接CD，将△ADC沿CD折叠，点A的对应点A′落在BC边上，则折叠后纸片重叠阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．3
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．已知不等式（a+1）x＞2的解集为x，则a的取值范围为 ．
10．已知BG是∠ABC的平分线，点D在BG上，且DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DF＝5，则DE＝ ．
11．已知点P（m﹣2，m）关于原点对称的点在第三象限，则m的取值范围是 ．
12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕着点C顺时针旋转90°得到△CDE，连接BE，若DE＝4，则BE＝ ．
13．Rt△ABC中，BC⊥AC，∠A＝30°，CB1⊥AB，B1C1⊥AC，若AB＝2，则B1C1＝ ．
三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）
14．解一元一次不等式3（x﹣1）≤6，并把解集在数轴上表示出来．
15．如图，在等边△ABC中，M是BC的中点，MN⊥AB，垂足为N，连接AM，
求证：AM＝2MN．
16．求不等式组：的整数解．
17．平移△ABC，使得边AB移到DE的位置，A、B的对应点分别为D、E．下面是维维的作业，她的做法完全正确，可由于不小心将一团墨汁沾染到了作业本上，请用直尺或三角板帮维维补全平移前后的△ABC和△DEF．（不写作图过程，保留作图痕迹）
18．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AM是BC边上的中线，将△ACM旋转后与△NBM重合．
（1）旋转中心是点 ，旋转了 °；
（2）求中线AM长的取值范围．
19．若关于x的不等式2的解集为x＜3，求m的值．
20．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′刚好落在BC边上，且AB′＝CB′，若∠C＝16°，求旋转角的度数．
21．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，与∠ACE的平分线CD交于点D，连接BD．求证：BD平分∠ABC．
22．函数y＝3x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，6）．
（1）求m，a的值．
（2）直接写出不等式3x≥ax+4的解集．
23．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，E是BC上的一点，且AB＝BE，AE交BD于点F．
（1）求证：AD＝DE．
（2）若∠C＝∠CAE，AB＝13，BC＝23，求BF的长．
24．“剧本杀”作为新的娱乐形式受到青年人的追捧，喵喵“剧本杀”为扩大经营欲购进“青春学园”和“未来纪元”两种剧本配套设备，已知购买一套“青春学园”和两套“未来纪元”设备共需1450元，购买两套“青春学园”和一套“未来纪元”设备共需1700元．
（1）问“青春学园”和“未来纪元”设备的单价各为多少元？
（2）根据经营情况，需要购买“青春学园”和“未来纪元”设备共计20套，且总费用不超过10000元，则最多可购买“青春学园”设备多少套？
25．如图，△ABC是边长为10cm的等边三角形，动点P从点B出发以3cm/s速度沿着B→A→C→B向终点B运动，同时动点Q从点C出发以2cm/s速度沿着C→B→A→C向终点C运动，运动时间为t秒．
（1）当P在AB边上运动时，BP＝ ，BQ＝ ．
（2）当PQ∥AC时，求t的值．
26．问题提出
（1）如图1，在长方形ABCD中，AD＝2，CD＝4，E为AD的中点，BE、AC交于点O，求S△ABC﹣S△ABE的值．
问题解决
（2）为了更好的保护野生动物，如图2，陕西省国家地质公园景区将规划四边形区域ABCD作为野生动物保护区域，并在区域内修建两条人工通道AC和BE，其中E为AD的中点，已知AC平分∠BAD，AC⊥BC，AD＝CD＝4km，根据物种保护需求，当△BOC和△AOE区域面积差值最大时保护效果最佳，则∠ADC为何值时，S△BOC﹣S△AOE最大，并求出最大值．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
解：左起第一、第二两个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，第三，第四两个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）
A．BC＝EFB．∠BCA＝∠FC．AB∥DED．AD＝CF
【分析】利用“HL”判断直角三角形全等的方法解决问题．
解：∵∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，
∴当添加AC＝DF或AD＝CF时，根据“HL”可判定Rt△ABC≌Rt△DEF．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）．
3．如图，将△ABC沿AC所在的直线平移到△DEF的位置，若图中AC＝12，DC＝9，则CF的长度为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据平移的性质即可得到结论．
解：∵将△ABC沿AC所在的直线平移到△DEF，
∴DF＝AC＝12，
∵DC＝9，
∴CF＝DF﹣CD＝12﹣9＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
4．下列命题中，假命题的是（ ）
A．若a≥b，则ac2≥bc2
B．到一条线段两个端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上
C．斜边和一锐角分别对应相等的两个直角三角形一定全等
D．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形
【分析】利用不等式的性质、垂直平分线的判定、全等三角形的判定及直角三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、若a≥b，则ac2≥bc2，正确，是真命题，不符合题意；
B、到一条线段两个端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上，正确，是真命题，不符合题意；
C、斜边和一锐角分别对应相等的两个直角三角形一定全等，正确，是真命题，不符合题意；
D、若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形，错误，是假命题，符合题意．
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质、垂直平分线的判定、全等三角形的判定及直角三角形的判定方法，难度不大．
5．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形是中心对称图形的位置是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
【分析】根据中心对称图形的定义解决此题．
解：将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形是中心对称图形的位置是：③④．
故选：C．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解决本题的关键．
6．某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分．小聪有2道题没答，竞赛成绩超过80分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（ ）
A．10x﹣5（18﹣x）≥80B．10x﹣（18﹣x）≥80
C．10x﹣5（18﹣x）＞80D．10x﹣（18﹣x）＞80
【分析】小聪答对题的得分：10x；小聪答错的得分：﹣5（18﹣x），不等关系：小聪得分超过80分．
解：设他答对了x道题，根据题意，得
10x﹣5（18﹣x）＞80．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，找到不等关系是解题的关键．
7．等腰△ABC中一边长为3，另外两边长为不等式组的两个不同整数解，则△ABC的周长为（ ）
A．10或11B．10或12C．11或12D．10或13
【分析】解不等式组得到另外两边长，分类讨论即可得到结论．
解：解不等式组得3≤x≤6，
∴不等式组的整数解为3，4，5，6，
∵等腰△ABC中一边长为3，另外两边长为不等式组的两个不同整数解，
∴另外两边长为3，4或3，5，
∴△ABC的周长为3+3+4＝10或3+3+5＝11，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的应用和三角形三边关系，等腰三角形的性质等知识，利用已知得出另外两边长是解题关键．
8．小英用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，
BC＝6．点D在斜边AB上，连接CD，将△ADC沿CD折叠，点A的对应点A′落在BC边上，则折叠后纸片重叠阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．3
【分析】根据将△ADC沿CD折叠，点A的对应点A′落在BC边上，可得A'C＝AC＝4，S△ACD＝S△A'CD，即可得A'C＝2A'B，S△A'CD＝2S△A'BD，设S△A'CD＝x，有xx+x4×6，即可解得答案．
解：∵将△ADC沿CD折叠，点A的对应点A′落在BC边上，
∴A'C＝AC＝4，S△ACD＝S△A'CD，
∵BC＝6，
∴A'B＝BC﹣A'C＝2，
∴A'C＝2A'B，
∴S△A'CD＝2S△A'BD，
设S△A'CD＝x，则S△A'BDx，S△ACD＝x，
∵S△A'CD+S△A'BD+S△ACDAC•BC，
∴xx+x4×6，
解得x，
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．已知不等式（a+1）x＞2的解集为x，则a的取值范围为 a＜﹣1 ．
【分析】根据不等式的性质3，可得答案．
解：∵不等式（a+1）x＞2的解集为x，
∴a+1＜0
∴a＜﹣1，
故答案为：a＜﹣1．
【点评】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘或都除以同一个负数，不等号的方向改变．
10．已知BG是∠ABC的平分线，点D在BG上，且DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DF＝5，则DE＝ 5 ．
【分析】直接利用角平分线的性质求解．
解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴DE＝DF＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
11．已知点P（m﹣2，m）关于原点对称的点在第三象限，则m的取值范围是 m＞2 ．
【分析】根据关于原点对称点的性质可得P在第一象限，进而可得，再解不等式组即可．
解：∵点P（m﹣2，m）关于原点的对称点在第三象限，
∴点P（m﹣2，m）在第一象限，
∴，
解得：m＞2，
故答案为：m＞2．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握各象限内点的坐标符号．
12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕着点C顺时针旋转90°得到△CDE，连接BE，若DE＝4，则BE＝ 2 ．
【分析】由旋转的性质得出AB＝4，BC＝CE，求出BC＝2，则可得出答案．
解：∵将△ABC绕着点C顺时针旋转90°得到△CDE，DE＝4，
∴AB＝4，BC＝CE，
∵∠ABC＝30°，
∴BC＝2，
∴BEBC2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
13．Rt△ABC中，BC⊥AC，∠A＝30°，CB1⊥AB，B1C1⊥AC，若AB＝2，则B1C1＝ ．
【分析】根据BC⊥AC，利用含30°角的直角三角形的性质求解BC的长，再由CB1⊥AB，可得到∠BCB1＝30°，利用含30°角的直角三角形的性质求解BB1的长，进而可求解AB1，再次利用含30°角的直角三角形的性质得到答案．
解：∵BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝2，
∴BCAB＝1，∠B＝60°，
∵CB1⊥AB，
∴∠BCB1＝30°，
∴BB1BC，
∴AB1＝AB﹣BB1，
∴B1C1AB1，
故答案为：．
【点评】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，灵活运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）
14．解一元一次不等式3（x﹣1）≤6，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
解：去括号，得3x﹣3≤6，
移项，得3x≤6+3，
合并同类项，得3x≤9，
系数化为1，得x≤3，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变．
15．如图，在等边△ABC中，M是BC的中点，MN⊥AB，垂足为N，连接AM，
求证：AM＝2MN．
【分析】利用等边三角形的性质及△ABC“三合一”的性质推知AM⊥BC，∠BAM＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可求解．
【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵M为BC中点，
∴AM⊥BC，∠BAM∠BAC＝30°，
∵MN⊥AB，
∴AM＝2MN．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，解答该题的关键是利用等腰三角形的“三合一”的性质求得∠BAM的度数．
16．求不等式组：的整数解．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可．
解：，
由①得：x＜7，
由②得：x≥5，
∴不等式组的解集为5≤x＜7，
则不等式组的整数解为5，6．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
17．平移△ABC，使得边AB移到DE的位置，A、B的对应点分别为D、E．下面是维维的作业，她的做法完全正确，可由于不小心将一团墨汁沾染到了作业本上，请用直尺或三角板帮维维补全平移前后的△ABC和△DEF．（不写作图过程，保留作图痕迹）
【分析】首先把△ABC补全，再利用平移变换的性质画出图形即可．
解：如图，△DEF即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AM是BC边上的中线，将△ACM旋转后与△NBM重合．
（1）旋转中心是点 M ，旋转了 180 °；
（2）求中线AM长的取值范围．
【分析】（1）由旋转的性质可求解；
（2）由三角形的三边关系可求解．
解：（1）∵将△ACM旋转后与△NBM重合，
∴△ACM≌△NBM，
∴点M是旋转中心，旋转角度为180°，
故答案为：M，180；
（2）∵△ACM≌△NBM，
∴AM＝MN，AC＝BN＝4，
∵AB﹣BN＜AN＜AB+BN，
∴2＜2AM＜10，
∴1＜AM＜5．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，三角形的三边关系，掌握旋转的性质是解题的关键．
19．若关于x的不等式2的解集为x＜3，求m的值．
【分析】首先解不等式得到解集为x＜m﹣6，再根据解集是x＜3，可得到方程m﹣6＝3，解方程即可．
解：两边都乘以3，得：x﹣m＜﹣6，
移项，得：x＜m﹣6，
∵不等式的解集为x＜3，
∴m﹣6＝3，
解得m＝9．
【点评】此题主要考查了不等式的解集，关键是正确求出不等式2的解集．
20．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′刚好落在BC边上，且AB′＝CB′，若∠C＝16°，求旋转角的度数．
【分析】根据AB′＝CB′，∠C＝20°，得∠B'AC＝∠C，即得∠AB'B＝∠B'AC+∠C，由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，知AB＝AB'，故∠B＝∠AB'B，从而旋转角∠BAB'＝180°﹣∠B﹣∠AB'B，便可通过这样步步计算得到结果．
解：∵AB′＝CB′，∠C＝16°，
∴∠B'AC＝∠C＝16°，
∴∠AB'B＝∠B'AC+∠C＝32°，
∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，
∴AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝32°，
∴旋转角∠BAB'＝180°﹣∠B﹣∠AB'B＝116°．
【点评】本题考查三角形的旋转，涉及三角形内角和定理及推论（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），解题的关键是掌握旋转的性质，熟练应用三角形内角和定理．
21．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，与∠ACE的平分线CD交于点D，连接BD．求证：BD平分∠ABC．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质可得AC＝AD，证明AB＝AD，进而可以解决问题．
【解答】证明：∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠DCE，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD，
∵AB＝AC，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AD∥BE，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
22．函数y＝3x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，6）．
（1）求m，a的值．
（2）直接写出不等式3x≥ax+4的解集．
【分析】（1）将y＝6代入y＝3x求出x的值，从而可以得到m的值，再将点A（m，6）代入y＝ax+4即可得到a的值；
（2）根据（1）中求得两个函数解析式和一次函数的性质，可以直接写出不等式3x≥ax+4的解集．
解：（1）∵函数y＝3x过点A（m，6），
∴3m＝6，
解得m＝2，
∵y＝ax+4的图象过点A（2，6），
∴6＝2a+4，
解得a＝1，
即m的值是2，a的值是1；
（2）由（1）可知函数y＝3x和y＝2x+4的图象相交于点A（2，6），
∴当x＞2时，函数y＝3x的图象在函数y＝2x+4的图象的上方，
∴不等式3x≥ax+4的解集是x＞2．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、两条直线相交或平行问题，解答本题的关键是明确题意，求出m，a的值．
23．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，E是BC上的一点，且AB＝BE，AE交BD于点F．
（1）求证：AD＝DE．
（2）若∠C＝∠CAE，AB＝13，BC＝23，求BF的长．
【分析】（1）证明△ABD≌△EBD（SAS），即可解决问题；
（2）结合（1）证明BD是AE的垂直平分线，然后利用勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD＝ED；
（2）解：∵∠C＝∠CAE，
∴EA＝EC，
∵△ABD≌△EBD，
∴AB＝EB＝13，
∵BC＝23，
∴EC＝EA＝BC﹣EB＝10，
∵AB＝BE，AD＝DE，
∴BD是AE的垂直平分线，
∴BF⊥AE，AF＝EFAE＝5，
∴BF12．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
24．“剧本杀”作为新的娱乐形式受到青年人的追捧，喵喵“剧本杀”为扩大经营欲购进“青春学园”和“未来纪元”两种剧本配套设备，已知购买一套“青春学园”和两套“未来纪元”设备共需1450元，购买两套“青春学园”和一套“未来纪元”设备共需1700元．
（1）问“青春学园”和“未来纪元”设备的单价各为多少元？
（2）根据经营情况，需要购买“青春学园”和“未来纪元”设备共计20套，且总费用不超过10000元，则最多可购买“青春学园”设备多少套？
【分析】（1）设“青春学园”设备的单价为x元，“未来纪元”设备的单价为y元，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买“青春学园”设备m套，则购买“未来纪元”设备（20﹣m）套，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过10000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
解：（1）设“青春学园”设备的单价为x元，“未来纪元”设备的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：“青春学园”设备的单价为650元，“未来纪元”设备的单价为400元．
（2）设购买“青春学园”设备m套，则购买“未来纪元”设备（20﹣m）套，
依题意得：650m+400（20﹣m）≤10000，
解得：m≤8．
答：最多可购买“青春学园”设备8套．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．如图，△ABC是边长为10cm的等边三角形，动点P从点B出发以3cm/s速度沿着B→A→C→B向终点B运动，同时动点Q从点C出发以2cm/s速度沿着C→B→A→C向终点C运动，运动时间为t秒．
（1）当P在AB边上运动时，BP＝ 3tcm ，BQ＝ （10﹣2t）cm ．
（2）当PQ∥AC时，求t的值．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝BC＝10cm，于是得到结论；
（2）当点P在AB边上运动时，当点P在BC边上时，根据等边三角形的判定和性质即可得到结论．
解：（1）∵△ABC是边长为10cm的等边三角形，
∴AB＝BC＝10cm，
∴当P在AB边上运动时，BP＝3tcm，BQ＝（10﹣2t）cm，
故答案为：3tcm；（10﹣2t）cm；
（2）当点P在AB边上运动时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝∠B＝60°，
当PQ∥AC时，∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
∴△BQP是等边三角形，
∴BQ＝BP，
即10﹣2t＝3t，
解得，t＝2；
当点P在BC边上时，
同理可得10﹣（3t﹣20）＝2t﹣10，
解得，t＝8，
综上所述，当PQ∥AC时，t的值为2或8．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
26．问题提出
（1）如图1，在长方形ABCD中，AD＝2，CD＝4，E为AD的中点，BE、AC交于点O，求S△ABC﹣S△ABE的值．
问题解决
（2）为了更好的保护野生动物，如图2，陕西省国家地质公园景区将规划四边形区域ABCD作为野生动物保护区域，并在区域内修建两条人工通道AC和BE，其中E为AD的中点，已知AC平分∠BAD，AC⊥BC，AD＝CD＝4km，根据物种保护需求，当△BOC和△AOE区域面积差值最大时保护效果最佳，则∠ADC为何值时，S△BOC﹣S△AOE最大，并求出最大值．
【分析】（1）利用三角形面积公式求解；
（2）如图2中，取AB的中点M，连接CM，BD．首先证明AB＝8，再证明S△BOC﹣S△AOE＝S△ABC﹣S△ABE＝S△ABD﹣S△ABE＝S△BDE＝S△ABE，求出△ABE的面积的最大值即可．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAE＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝2，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE＝1，
∴S△ABC﹣S△ABEAB×CBAB×AE2×41×4＝2；
（2）如图2中，取AB的中点M，连接CM，BD．
∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∵AM＝BM，
∴CM＝BM＝AM，
∴∠CAM＝∠ACM，
∵CA平分∠BAD，
∴∠CAM＝∠CAD，
∵AD＝DC＝4，
∴∠CAD＝∠ACD，
∴∠CAM＝∠ACM＝∠CAD＝∠ACD，
∵AC＝AC，
∴△ACM≌△ACD（ASA），
∴AM＝AD＝CM＝CD＝4，
∴AB＝8，
∵∠CAB＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴S△ABC＝S△ABD，
∴S△BOC﹣S△AOE＝S△ABC﹣S△ABE＝S△ABD﹣S△ABE＝S△BDE＝S△ABE，
∴当AB⊥AE时，S△BOC﹣S△AOE最大，最大值8×2＝8，此时∠ADC＝90°．
【点评】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）
A．BC＝EFB．∠BCA＝∠FC．AB∥DED．AD＝CF
3．如图，将△ABC沿AC所在的直线平移到△DEF的位置，若图中AC＝12，DC＝9，则CF的长度为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．下列命题中，假命题的是（ ）
A．若a≥b，则ac2≥bc2
B．到一条线段两个端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上
C．斜边和一锐角分别对应相等的两个直角三角形一定全等
D．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形
5．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形是中心对称图形的位置是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
6．某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分．小聪有2道题没答，竞赛成绩超过80分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（ ）
A．10x﹣5（18﹣x）≥80B．10x﹣（18﹣x）≥80
C．10x﹣5（18﹣x）＞80D．10x﹣（18﹣x）＞80
7．等腰△ABC中一边长为3，另外两边长为不等式组的两个不同整数解，则△ABC的周长为（ ）
A．10或11B．10或12C．11或12D．10或13
8．小英用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，
BC＝6．点D在斜边AB上，连接CD，将△ADC沿CD折叠，点A的对应点A′落在BC边上，则折叠后纸片重叠阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．3
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．已知不等式（a+1）x＞2的解集为x，则a的取值范围为 ．
10．已知BG是∠ABC的平分线，点D在BG上，且DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DF＝5，则DE＝ ．
11．已知点P（m﹣2，m）关于原点对称的点在第三象限，则m的取值范围是 ．
12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕着点C顺时针旋转90°得到△CDE，连接BE，若DE＝4，则BE＝ ．
13．Rt△ABC中，BC⊥AC，∠A＝30°，CB1⊥AB，B1C1⊥AC，若AB＝2，则B1C1＝ ．
三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）
14．解一元一次不等式3（x﹣1）≤6，并把解集在数轴上表示出来．
15．如图，在等边△ABC中，M是BC的中点，MN⊥AB，垂足为N，连接AM，
求证：AM＝2MN．
16．求不等式组：的整数解．
17．平移△ABC，使得边AB移到DE的位置，A、B的对应点分别为D、E．下面是维维的作业，她的做法完全正确，可由于不小心将一团墨汁沾染到了作业本上，请用直尺或三角板帮维维补全平移前后的△ABC和△DEF．（不写作图过程，保留作图痕迹）
18．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AM是BC边上的中线，将△ACM旋转后与△NBM重合．
（1）旋转中心是点 ，旋转了 °；
（2）求中线AM长的取值范围．
19．若关于x的不等式2的解集为x＜3，求m的值．
20．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′刚好落在BC边上，且AB′＝CB′，若∠C＝16°，求旋转角的度数．
21．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，与∠ACE的平分线CD交于点D，连接BD．求证：BD平分∠ABC．
22．函数y＝3x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，6）．
（1）求m，a的值．
（2）直接写出不等式3x≥ax+4的解集．
23．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，E是BC上的一点，且AB＝BE，AE交BD于点F．
（1）求证：AD＝DE．
（2）若∠C＝∠CAE，AB＝13，BC＝23，求BF的长．
24．“剧本杀”作为新的娱乐形式受到青年人的追捧，喵喵“剧本杀”为扩大经营欲购进“青春学园”和“未来纪元”两种剧本配套设备，已知购买一套“青春学园”和两套“未来纪元”设备共需1450元，购买两套“青春学园”和一套“未来纪元”设备共需1700元．
（1）问“青春学园”和“未来纪元”设备的单价各为多少元？
（2）根据经营情况，需要购买“青春学园”和“未来纪元”设备共计20套，且总费用不超过10000元，则最多可购买“青春学园”设备多少套？
25．如图，△ABC是边长为10cm的等边三角形，动点P从点B出发以3cm/s速度沿着B→A→C→B向终点B运动，同时动点Q从点C出发以2cm/s速度沿着C→B→A→C向终点C运动，运动时间为t秒．
（1）当P在AB边上运动时，BP＝ ，BQ＝ ．
（2）当PQ∥AC时，求t的值．
26．问题提出
（1）如图1，在长方形ABCD中，AD＝2，CD＝4，E为AD的中点，BE、AC交于点O，求S△ABC﹣S△ABE的值．
问题解决
（2）为了更好的保护野生动物，如图2，陕西省国家地质公园景区将规划四边形区域ABCD作为野生动物保护区域，并在区域内修建两条人工通道AC和BE，其中E为AD的中点，已知AC平分∠BAD，AC⊥BC，AD＝CD＝4km，根据物种保护需求，当△BOC和△AOE区域面积差值最大时保护效果最佳，则∠ADC为何值时，S△BOC﹣S△AOE最大，并求出最大值．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
解：左起第一、第二两个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，第三，第四两个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）
A．BC＝EFB．∠BCA＝∠FC．AB∥DED．AD＝CF
【分析】利用“HL”判断直角三角形全等的方法解决问题．
解：∵∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，
∴当添加AC＝DF或AD＝CF时，根据“HL”可判定Rt△ABC≌Rt△DEF．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）．
3．如图，将△ABC沿AC所在的直线平移到△DEF的位置，若图中AC＝12，DC＝9，则CF的长度为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据平移的性质即可得到结论．
解：∵将△ABC沿AC所在的直线平移到△DEF，
∴DF＝AC＝12，
∵DC＝9，
∴CF＝DF﹣CD＝12﹣9＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
4．下列命题中，假命题的是（ ）
A．若a≥b，则ac2≥bc2
B．到一条线段两个端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上
C．斜边和一锐角分别对应相等的两个直角三角形一定全等
D．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形
【分析】利用不等式的性质、垂直平分线的判定、全等三角形的判定及直角三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、若a≥b，则ac2≥bc2，正确，是真命题，不符合题意；
B、到一条线段两个端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上，正确，是真命题，不符合题意；
C、斜边和一锐角分别对应相等的两个直角三角形一定全等，正确，是真命题，不符合题意；
D、若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形，错误，是假命题，符合题意．
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质、垂直平分线的判定、全等三角形的判定及直角三角形的判定方法，难度不大．
5．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形是中心对称图形的位置是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
【分析】根据中心对称图形的定义解决此题．
解：将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形是中心对称图形的位置是：③④．
故选：C．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解决本题的关键．
6．某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分．小聪有2道题没答，竞赛成绩超过80分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（ ）
A．10x﹣5（18﹣x）≥80B．10x﹣（18﹣x）≥80
C．10x﹣5（18﹣x）＞80D．10x﹣（18﹣x）＞80
【分析】小聪答对题的得分：10x；小聪答错的得分：﹣5（18﹣x），不等关系：小聪得分超过80分．
解：设他答对了x道题，根据题意，得
10x﹣5（18﹣x）＞80．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，找到不等关系是解题的关键．
7．等腰△ABC中一边长为3，另外两边长为不等式组的两个不同整数解，则△ABC的周长为（ ）
A．10或11B．10或12C．11或12D．10或13
【分析】解不等式组得到另外两边长，分类讨论即可得到结论．
解：解不等式组得3≤x≤6，
∴不等式组的整数解为3，4，5，6，
∵等腰△ABC中一边长为3，另外两边长为不等式组的两个不同整数解，
∴另外两边长为3，4或3，5，
∴△ABC的周长为3+3+4＝10或3+3+5＝11，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的应用和三角形三边关系，等腰三角形的性质等知识，利用已知得出另外两边长是解题关键．
8．小英用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，
BC＝6．点D在斜边AB上，连接CD，将△ADC沿CD折叠，点A的对应点A′落在BC边上，则折叠后纸片重叠阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．3
【分析】根据将△ADC沿CD折叠，点A的对应点A′落在BC边上，可得A'C＝AC＝4，S△ACD＝S△A'CD，即可得A'C＝2A'B，S△A'CD＝2S△A'BD，设S△A'CD＝x，有xx+x4×6，即可解得答案．
解：∵将△ADC沿CD折叠，点A的对应点A′落在BC边上，
∴A'C＝AC＝4，S△ACD＝S△A'CD，
∵BC＝6，
∴A'B＝BC﹣A'C＝2，
∴A'C＝2A'B，
∴S△A'CD＝2S△A'BD，
设S△A'CD＝x，则S△A'BDx，S△ACD＝x，
∵S△A'CD+S△A'BD+S△ACDAC•BC，
∴xx+x4×6，
解得x，
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．已知不等式（a+1）x＞2的解集为x，则a的取值范围为 a＜﹣1 ．
【分析】根据不等式的性质3，可得答案．
解：∵不等式（a+1）x＞2的解集为x，
∴a+1＜0
∴a＜﹣1，
故答案为：a＜﹣1．
【点评】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘或都除以同一个负数，不等号的方向改变．
10．已知BG是∠ABC的平分线，点D在BG上，且DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DF＝5，则DE＝ 5 ．
【分析】直接利用角平分线的性质求解．
解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴DE＝DF＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
11．已知点P（m﹣2，m）关于原点对称的点在第三象限，则m的取值范围是 m＞2 ．
【分析】根据关于原点对称点的性质可得P在第一象限，进而可得，再解不等式组即可．
解：∵点P（m﹣2，m）关于原点的对称点在第三象限，
∴点P（m﹣2，m）在第一象限，
∴，
解得：m＞2，
故答案为：m＞2．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握各象限内点的坐标符号．
12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕着点C顺时针旋转90°得到△CDE，连接BE，若DE＝4，则BE＝ 2 ．
【分析】由旋转的性质得出AB＝4，BC＝CE，求出BC＝2，则可得出答案．
解：∵将△ABC绕着点C顺时针旋转90°得到△CDE，DE＝4，
∴AB＝4，BC＝CE，
∵∠ABC＝30°，
∴BC＝2，
∴BEBC2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
13．Rt△ABC中，BC⊥AC，∠A＝30°，CB1⊥AB，B1C1⊥AC，若AB＝2，则B1C1＝ ．
【分析】根据BC⊥AC，利用含30°角的直角三角形的性质求解BC的长，再由CB1⊥AB，可得到∠BCB1＝30°，利用含30°角的直角三角形的性质求解BB1的长，进而可求解AB1，再次利用含30°角的直角三角形的性质得到答案．
解：∵BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝2，
∴BCAB＝1，∠B＝60°，
∵CB1⊥AB，
∴∠BCB1＝30°，
∴BB1BC，
∴AB1＝AB﹣BB1，
∴B1C1AB1，
故答案为：．
【点评】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，灵活运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）
14．解一元一次不等式3（x﹣1）≤6，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
解：去括号，得3x﹣3≤6，
移项，得3x≤6+3，
合并同类项，得3x≤9，
系数化为1，得x≤3，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变．
15．如图，在等边△ABC中，M是BC的中点，MN⊥AB，垂足为N，连接AM，
求证：AM＝2MN．
【分析】利用等边三角形的性质及△ABC“三合一”的性质推知AM⊥BC，∠BAM＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可求解．
【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵M为BC中点，
∴AM⊥BC，∠BAM∠BAC＝30°，
∵MN⊥AB，
∴AM＝2MN．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，解答该题的关键是利用等腰三角形的“三合一”的性质求得∠BAM的度数．
16．求不等式组：的整数解．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可．
解：，
由①得：x＜7，
由②得：x≥5，
∴不等式组的解集为5≤x＜7，
则不等式组的整数解为5，6．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
17．平移△ABC，使得边AB移到DE的位置，A、B的对应点分别为D、E．下面是维维的作业，她的做法完全正确，可由于不小心将一团墨汁沾染到了作业本上，请用直尺或三角板帮维维补全平移前后的△ABC和△DEF．（不写作图过程，保留作图痕迹）
【分析】首先把△ABC补全，再利用平移变换的性质画出图形即可．
解：如图，△DEF即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AM是BC边上的中线，将△ACM旋转后与△NBM重合．
（1）旋转中心是点 M ，旋转了 180 °；
（2）求中线AM长的取值范围．
【分析】（1）由旋转的性质可求解；
（2）由三角形的三边关系可求解．
解：（1）∵将△ACM旋转后与△NBM重合，
∴△ACM≌△NBM，
∴点M是旋转中心，旋转角度为180°，
故答案为：M，180；
（2）∵△ACM≌△NBM，
∴AM＝MN，AC＝BN＝4，
∵AB﹣BN＜AN＜AB+BN，
∴2＜2AM＜10，
∴1＜AM＜5．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，三角形的三边关系，掌握旋转的性质是解题的关键．
19．若关于x的不等式2的解集为x＜3，求m的值．
【分析】首先解不等式得到解集为x＜m﹣6，再根据解集是x＜3，可得到方程m﹣6＝3，解方程即可．
解：两边都乘以3，得：x﹣m＜﹣6，
移项，得：x＜m﹣6，
∵不等式的解集为x＜3，
∴m﹣6＝3，
解得m＝9．
【点评】此题主要考查了不等式的解集，关键是正确求出不等式2的解集．
20．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′刚好落在BC边上，且AB′＝CB′，若∠C＝16°，求旋转角的度数．
【分析】根据AB′＝CB′，∠C＝20°，得∠B'AC＝∠C，即得∠AB'B＝∠B'AC+∠C，由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，知AB＝AB'，故∠B＝∠AB'B，从而旋转角∠BAB'＝180°﹣∠B﹣∠AB'B，便可通过这样步步计算得到结果．
解：∵AB′＝CB′，∠C＝16°，
∴∠B'AC＝∠C＝16°，
∴∠AB'B＝∠B'AC+∠C＝32°，
∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，
∴AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝32°，
∴旋转角∠BAB'＝180°﹣∠B﹣∠AB'B＝116°．
【点评】本题考查三角形的旋转，涉及三角形内角和定理及推论（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），解题的关键是掌握旋转的性质，熟练应用三角形内角和定理．
21．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，与∠ACE的平分线CD交于点D，连接BD．求证：BD平分∠ABC．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质可得AC＝AD，证明AB＝AD，进而可以解决问题．
【解答】证明：∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠DCE，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD，
∵AB＝AC，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AD∥BE，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
22．函数y＝3x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，6）．
（1）求m，a的值．
（2）直接写出不等式3x≥ax+4的解集．
【分析】（1）将y＝6代入y＝3x求出x的值，从而可以得到m的值，再将点A（m，6）代入y＝ax+4即可得到a的值；
（2）根据（1）中求得两个函数解析式和一次函数的性质，可以直接写出不等式3x≥ax+4的解集．
解：（1）∵函数y＝3x过点A（m，6），
∴3m＝6，
解得m＝2，
∵y＝ax+4的图象过点A（2，6），
∴6＝2a+4，
解得a＝1，
即m的值是2，a的值是1；
（2）由（1）可知函数y＝3x和y＝2x+4的图象相交于点A（2，6），
∴当x＞2时，函数y＝3x的图象在函数y＝2x+4的图象的上方，
∴不等式3x≥ax+4的解集是x＞2．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、两条直线相交或平行问题，解答本题的关键是明确题意，求出m，a的值．
23．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，E是BC上的一点，且AB＝BE，AE交BD于点F．
（1）求证：AD＝DE．
（2）若∠C＝∠CAE，AB＝13，BC＝23，求BF的长．
【分析】（1）证明△ABD≌△EBD（SAS），即可解决问题；
（2）结合（1）证明BD是AE的垂直平分线，然后利用勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD＝ED；
（2）解：∵∠C＝∠CAE，
∴EA＝EC，
∵△ABD≌△EBD，
∴AB＝EB＝13，
∵BC＝23，
∴EC＝EA＝BC﹣EB＝10，
∵AB＝BE，AD＝DE，
∴BD是AE的垂直平分线，
∴BF⊥AE，AF＝EFAE＝5，
∴BF12．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
24．“剧本杀”作为新的娱乐形式受到青年人的追捧，喵喵“剧本杀”为扩大经营欲购进“青春学园”和“未来纪元”两种剧本配套设备，已知购买一套“青春学园”和两套“未来纪元”设备共需1450元，购买两套“青春学园”和一套“未来纪元”设备共需1700元．
（1）问“青春学园”和“未来纪元”设备的单价各为多少元？
（2）根据经营情况，需要购买“青春学园”和“未来纪元”设备共计20套，且总费用不超过10000元，则最多可购买“青春学园”设备多少套？
【分析】（1）设“青春学园”设备的单价为x元，“未来纪元”设备的单价为y元，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买“青春学园”设备m套，则购买“未来纪元”设备（20﹣m）套，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过10000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
解：（1）设“青春学园”设备的单价为x元，“未来纪元”设备的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：“青春学园”设备的单价为650元，“未来纪元”设备的单价为400元．
（2）设购买“青春学园”设备m套，则购买“未来纪元”设备（20﹣m）套，
依题意得：650m+400（20﹣m）≤10000，
解得：m≤8．
答：最多可购买“青春学园”设备8套．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．如图，△ABC是边长为10cm的等边三角形，动点P从点B出发以3cm/s速度沿着B→A→C→B向终点B运动，同时动点Q从点C出发以2cm/s速度沿着C→B→A→C向终点C运动，运动时间为t秒．
（1）当P在AB边上运动时，BP＝ 3tcm ，BQ＝ （10﹣2t）cm ．
（2）当PQ∥AC时，求t的值．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝BC＝10cm，于是得到结论；
（2）当点P在AB边上运动时，当点P在BC边上时，根据等边三角形的判定和性质即可得到结论．
解：（1）∵△ABC是边长为10cm的等边三角形，
∴AB＝BC＝10cm，
∴当P在AB边上运动时，BP＝3tcm，BQ＝（10﹣2t）cm，
故答案为：3tcm；（10﹣2t）cm；
（2）当点P在AB边上运动时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝∠B＝60°，
当PQ∥AC时，∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
∴△BQP是等边三角形，
∴BQ＝BP，
即10﹣2t＝3t，
解得，t＝2；
当点P在BC边上时，
同理可得10﹣（3t﹣20）＝2t﹣10，
解得，t＝8，
综上所述，当PQ∥AC时，t的值为2或8．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
26．问题提出
（1）如图1，在长方形ABCD中，AD＝2，CD＝4，E为AD的中点，BE、AC交于点O，求S△ABC﹣S△ABE的值．
问题解决
（2）为了更好的保护野生动物，如图2，陕西省国家地质公园景区将规划四边形区域ABCD作为野生动物保护区域，并在区域内修建两条人工通道AC和BE，其中E为AD的中点，已知AC平分∠BAD，AC⊥BC，AD＝CD＝4km，根据物种保护需求，当△BOC和△AOE区域面积差值最大时保护效果最佳，则∠ADC为何值时，S△BOC﹣S△AOE最大，并求出最大值．
【分析】（1）利用三角形面积公式求解；
（2）如图2中，取AB的中点M，连接CM，BD．首先证明AB＝8，再证明S△BOC﹣S△AOE＝S△ABC﹣S△ABE＝S△ABD﹣S△ABE＝S△BDE＝S△ABE，求出△ABE的面积的最大值即可．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAE＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝2，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE＝1，
∴S△ABC﹣S△ABEAB×CBAB×AE2×41×4＝2；
（2）如图2中，取AB的中点M，连接CM，BD．
∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∵AM＝BM，
∴CM＝BM＝AM，
∴∠CAM＝∠ACM，
∵CA平分∠BAD，
∴∠CAM＝∠CAD，
∵AD＝DC＝4，
∴∠CAD＝∠ACD，
∴∠CAM＝∠ACM＝∠CAD＝∠ACD，
∵AC＝AC，
∴△ACM≌△ACD（ASA），
∴AM＝AD＝CM＝CD＝4，
∴AB＝8，
∵∠CAB＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴S△ABC＝S△ABD，
∴S△BOC﹣S△AOE＝S△ABC﹣S△ABE＝S△ABD﹣S△ABE＝S△BDE＝S△ABE，
∴当AB⊥AE时，S△BOC﹣S△AOE最大，最大值8×2＝8，此时∠ADC＝90°．
【点评】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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