内蒙古蒙东七校2024届高三上学期十一月联考数学(文)试卷(含答案)
展开一、选择题
1.设集合,,则( )
A.B.C.D.
2.( )
A.B.C.iD.
3.已知单位向量与单位向量的夹角为,则( )
A.2B.C.D.
4.为了得到函数的图象,可以将函数的图象( )
A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度
5.新冠肺炎疫情发生以来,中医药全面参与疫情防控救治,做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟,得到研发投入x(亿元)与产品收益y(亿元)的数据统计如下表:
用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程是,相关系数(若,则线性相关程度一般,若,则线性相关程度较高),下列说法不正确的有( )
A.变量x与y正相关且相关性较强
B.
C.当时,y的估计值为40.3
D.相应于点的残差为0.8
6.已知,,,则( )
A.B.C.D.
7.已知数列的前n项和,则是( )
A.公差为2的等差数列B.公差为3的等差数列
C.公比为2的等比数列D.公比为3的等比数列
8.函数,的图象大致是( )
A.B.
C.D.
9.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则外接圆的面积是( )
A.B.C.D.
10.七巧板被誉为“东方模板”,是我国古代劳动人民的伟大发明之一,由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形,若向此正方形丢一粒种子,则种子落入黑色部分的概率为( )
A.B.C.D.
11.已知双曲线的右焦点为F,过F作双曲线C的其中一条渐近线l的垂线,垂足为(第一象限),并与双曲线C交于点B,若,则l的斜率为( )
A.B.C.D.
12.已知是定义在R上的奇函数,,对,,且有,则关于x的不等式的解集为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13.已知是等差数列,且是和的等差中项,则的公差为________
14.若实数x,y满足约束条件,则的最小值为是________.
15.已知点M在抛物线上,M点的横坐标为4,且M到焦点F的距离为5,则p的值为________.
16.在长方体中,,,,E为线段AB的中点,若三棱锥的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为________.
三、解答题
17.2023年东盟博览会于9月在南宁举办.某电视台对本市15~65岁的人群随机抽取100人,并按年龄段分成6组,如频率分布直方图所示.抽取的人需回答“2023年是第几届东盟博览会”的问题,回答问题的正确情况如表格所示.
根据上述信息,解决下列问题:
(1)求表格中a,b的值,并估计抽取的100人的年龄的中位数(中位数的结果保留整数);
(2)从第2、3、4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,并从这6人中随机抽取2人,求这2人都不在第2组的概率.
18.在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且.
(1)求A;
(2)已知,___________,计算的面积.
从①,②这两个条件中任选一个,将问题(2)补充完整,并作答.注意,如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分
19.如图,在四棱锥中,是以AD为斜边的等腰直角三角形,,,平面平面ABCD,,底面ABCD的面积为,E为PD的中点.
(1)证明:平面PAB;
(2)求直线CE与平面PAB间的距离.
20.已知椭圆离心率等于且椭圆C经过点.
(1)求椭圆的标准方程C;
(2)若直线与轨迹C交于M,N两点,O为坐标原点,直线OM,ON的斜率之积等于,试探求的面积是否为定值,并说明理由.
21.已知函数.
(1)求的极值;
(2)若在区间有2个零点,求m的取值范围.
22.在平面直角坐标系中,曲线,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线,的极坐标方程;
(2)在极坐标系中,射线与曲线,分别交于A,B两点(异于极点O),求的长度.
23.已知函数.
(1)求不等式的解集M;
(2)若m是的最小值,且正数a,b,c满足,证明:.
参考答案
1.答案:D
解析:因为集合,,
所以.
故选:D.
2.答案:C
解析:.
故选:C
3.答案:D
解析:由题意,,与的夹角为,
则,
所以,
故选:D.
4.答案:A
解析:因为,
所以只需把向右平移个单位.
故选A
5.答案:D
解析:对于A,由相关系数可知变量x与y正相关且相关性较强,故A正确;
对于B,由表中数据可得,所以,解得,故B正确;
对于C,y关于x的线性回归方程为,将代入线性回归方程可得,,故C正确;
对于D,相应于点的残差为,故错误.
故选:D.
6.答案:A
解析:由,即.
故选:A
7.答案:A
解析:因为,
所以当,时,有,
,得,
当时,适合上式,
因为,
所以该数列是以2为公差的等差数列,
故选:A
8.答案:C
解析:因为的定义域为,
又,则为奇函数,排除选项A,
而,排除选项B,
当时,,则,排除选项D.
故选:C.
9.答案:D
解析:因为,所以由正弦定理,
得,
因为,且,
所以
所以,解得,
所以外接圆的面积是.
故选:D.
10.答案:C
解析:设小正方形边长1,可得黑色平行四边形底为,高;
黑色等腰直角三角形直角边为2,斜边,大正方形边长,
所以落入黑色部分.
故选:C.
11.答案:B
解析:由已知直线的方程为,即,点,
则,
因为,所以B为线段AF的中点,
则,
设双曲线C的左焦点为,
则,
在中,
,
又,
所以,
故l的斜率为1,
故选:B.
12.答案:B
解析:因为是定义在R上的奇函数,
所以
所以函数是定义在R上的偶函数,
因为对,,且有,
所以在上单调递增,
所以,
当时,则有,
所以,即,
所以在上单调递增,
因为是定义在R上的偶函数,
所以在上单调递减,
因为,
所以即为,
所以,解得.
故选:B.
13.答案:2
解析:设等差数列的公差为d,
由已知条件,得,
即,解得.
故答案为:2.
14.答案:
解析:如下图所示:
实数x,y满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示,
将目标函数写成可知,当截距最大时最小,
当直线平移到和可行域交于点时,此时截距最大,则最小,
即此时.
故答案为:.
15.答案:2
解析:由题意,抛物线的准线为,则,解得.
故答案为:2
16.答案:
解析:如图,取中点,连接OD,OE,
则,,
所以,则,
在和中O为斜边中点,
则,
则球的表面积为.
故答案为:
17.答案:(1),;42岁
(2)
解析:(1),
,
第1、2、3组的频率依次为:0.1,0.2,0.3,
因为的频率为,的频率为
设中位数为x,则
,解得
所以中位数的估计值为42岁.
(2)由(1)可知第2、3、4组回答正确的共有人,
所以利用分层抽样在54人中抽取6人,第2组抽取(人),记为,;
第3组抽取(人),记为,,;第4组抽取(人),记为
法一:该试验的样本空间为
,
记事件“这2人都不在第2组”,则,
故,即这2人都不在第2组的概率为;
法二:从这6人中随机依次抽取2人,则样本空间包含的样本点个数为,
记事件“这2人都不在第2组”,则事件包含的样本点的个数为,
故,即这2人都不在第2组的概率为.
18.答案:(1)
(2)选①,;选②,
解析:(1)在中,由正弦定理可知,
因为,则,
因为,所以即,
所以,即,
因为,所以.
(2)若选①,由题知,,,
由余弦定理可知:,代入可得,
整理得,即,所以或(舍),
所以.
若选②,由题知,,,
在中,由正弦定理可知,则,
由余弦定理可知:,代入可得,
整理得,所以,,
所以.
19.答案:(1)证明见解析
(2)
解析:(1)记AD的中点为O,连接OE,OC,
因为,,所以底面ABCD为直角梯形,
又底面ABCD的面积为,,
所以,得,所以,
所以且,所以ABCO为平行四边形,故,
因为平面PAB,平面PAB,所以平面PAB,
因为O,E分别为AD,PD的中点,所以,
又平面PAB,平面PAB,,所以平面PAB,
又,OE,平面OCE,
所以平面平面PAB,
又平面OCE,所以平面PAB.
.
(2)因为是以AD为斜边的等腰直角三角形,,
所以,,
由(1)可知,,,所以
又因为平面平面ABCD,所以,故OB,OD,OP两两垂直,
以OB,OD,OP所在直线分别为x,y,z轴,如图建立空间直角坐标系,
则,,,,,
则,,,
设为平面PAB的法向量,
则,令得,
所以点C到平面PAB的距离为,
由(1)知,平面PAB,所以直线CE与平面PAB间的距离即为.
20.答案:(1)
(2)是定值,理由见解析
解析:(1)由题意得,解得,,所以椭圆C的方程为.
(2)
设,联立直线和椭圆方程可得:,
消去可得:,所以
,
即,则,
,,
把韦达定理代入可得:,
整理得,
又,
而O点到直线MN的距离,
所以,
把代入,则,可得是定值1.
21.答案:(1)当时,在处取极大值
(2)
解析:(1)因为,定义域为,所以,
当时,由于,则恒成立,
所以在上单调递增,无极值,
当时,令,解得,
当时,,则在上单调递增;
当时,,则在上单调递减:
所以当时,在处取极大值,无极小值;
(2),
令,得,令,在区间有2个零点,
即与在区间有2个交点,
,,,
当,,在上单增,
当,,在上单减,
,的最大值为,,
与在区间有2个交点,则.
22.答案:(1),;
(2)
解析:(1)曲线,
所以曲线的极坐标方程为:,
曲线的参数方程为
所以曲线的普通方程为:,
所以曲线的极坐标方程为;
(2)曲线的极坐标方程为,
曲线的极坐标方程为,
射线与曲线,分别交于A,B两点,联立解得:
点A的极坐标为,点B的极坐标为,
.
23.答案:(1)
(2)证明见解析
解析:(1)
或或,
解得或或,
不等式的解集为;
(2)证明:由,可得的最小值为,
则,,
,当且仅当时,等号成立,
.
研发投入x(亿元)
1
2
3
4
5
产品收益y(亿元)
3
7
9
10
11
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
5
0.5
第2组
18
a
第3组
b
0.9
第4组
9
0.36
第5组
3
0.2
湖南省湘东九校2024届高三上学期11月联考数学含解析: 这是一份湖南省湘东九校2024届高三上学期11月联考数学含解析,文件包含湖南省湘东九校2024届11月高三联考数学试题pdf、2024届11月高三联考数学答案pdf、高中数学优质精选资料群pdf等3份试卷配套教学资源,其中试卷共16页, 欢迎下载使用。
2024湖南省湘东九校高三上学期11月联考数学试卷含答案: 这是一份2024湖南省湘东九校高三上学期11月联考数学试卷含答案,共2页。试卷主要包含了已知函数的部分图象如图所示等内容,欢迎下载使用。
内蒙古2021届高三上学期10月大联考数学(文)试卷 PDF版含答案: 这是一份内蒙古2021届高三上学期10月大联考数学(文)试卷 PDF版含答案,共10页。