广东省东莞市两校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省东莞市两校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．命题“”的否定为( )
A.B.
C.D.
2．若，且，下列不等式中一定成立的是( )
A.B.C.D.
3．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.B.C.D.
4．下列函数中与函数是同一个函数的是( )
A.B.C.D.
5．不等式的解集为( )
A.B.C.D.
6．如图所示的4个图像中，与事件一､二､三最吻合的顺序为( )
事件一：我离开家后，心情愉快，缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进；
事件二：我骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进；
事件三：我快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度.
A.③①②B.③④②C.②①③D.②④③
7．已知实数x，y满足，且，若不等式恒成立，则实数t的最大值为( )
A.4B.-4C.D.
8．定义在上的函数满足：对，且时，恒成立，且，则满足不等式的x的解集是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知，则下列函数的最小值为2的有( )
A.B.C.D.
10．已知集合，，，则实数m的值可以是( )
A.B.2C.D.0
11．下列四个选项中，p是q的充要条件的有( )
A.p：三角形是等腰三角形，q：三角形存在两角相等
B.p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例
C.，
D.p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分
12．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数为狄利克雷函数，则关于函数有( )
A.B.
C.，都有D.函数的图象是两条直线
三、填空题
13．函数的定义域为__________.
14．已知函数，的图像如图所示，则函数的单调递增区间是__________.
15．已知，，若，则实数__________.
16．已知圆和矩形的周长相等，面积分别为、，则的最小值为__________.
四、解答题
17．已知集合，集合.求：
（1）；
（2）；
18．已知函数，且.
（1）求；
（2）若，求实数m的值.
19．讨论函数在区间上的单调性，并根据函数单调性的定义证明.
20．已如函数.
（1）若不等式的解集为，求实数m的值；
（2）当时，解关于x的不等式.
21．杭州第19届亚运会（The19thAsianGames）又称“2022年杭州亚运会”，是继1990年北京亚运会､2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.2022年7月19日，亚洲奥林匹克理事会宣布原定于2022年9月10日至25日举行的杭州2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，赛事名称和标志保持不变.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和坚直方向的留空宽度均为，设.
（1）当时，求海报纸的面积；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
22．设函数，其中.
（1）若，求函数在区间上的值域；
（2）若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的，都有，求实数t的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：因为特称命题的否定是全称命题,所以:的否定是:.故选:C.
2．答案：D
解析：根据,且,取，,则，不成立,故排除AC,取，,则不成立,故可排除B.故选:D.
3．答案：A
解析：根据图像可知，阴影部分表示，，所以.
故选：A
4．答案：B
解析：A.的定义域为,与函数不是同一个函数;
B.，定义域为R与函数是同一个函数;
C.,与函数不是同一个函数;
D.的定义域为,与函数不是同一个函数;
故选B.
5．答案：C
解析：由题意得,即,等价于且,解得,所以不等式的解集为.故选C.
6．答案：C
解析：离开家后缓僈行进,但最后发现快迟到时,加速前进;对应离开家的距离先缓慢增长再快速增长,对应图象②.骑着自行车上学,但中途车坏了,我修理好又以原来的速度前进;对应离开家的距离先直线上升再停止增长最后又直线上升(与开始直线平行),对应图象①.快速地骑着自行车,最后发现时间充足,又减缓了速度;对应离开家的距离先快速增长再缓慢增长,对应图象③.故选C.
7．答案：A
解析：因为,
,当且仅当且即时取等号,此时取得最小值,
由恒成立,故即t的最大值4.
故选:A.
8．答案：B
解析：根据题意,设,
对任意的,,都有,即,
变形可得:,即,
则函数在区间上为增函数,
又由,则,,即,
又由在区间上为增函数,则,解可得,即x的取值范围为;故选:B.
9．答案：ACD
解析：选项A,,,当且仅当取得最小值2,故正确;
选项B,在递增,可得y的最小值为5,故错误;
选项C,,,当且仅当取得最小值2,故正确;
选项D,
当且仅当时,取得最小值2,故正确.
故选:ACD.
10．答案：ACD
解析：，，则或，
当，则，
当，则或，
综上所述:或或0,
故选:ACD.
11．答案：AB
解析：三角形是等腰三角形,则两底角相等,从而存在两角相等;反之,当三角形中有两角相等时,所对的边相等,即为等腰三角形，所以"三角形是等腰三角形"的充分必要条件是"三角形存在两角相等"，故A正确；
根据相似三角形的定义,可知三边对应成比例;反之,当三边对应成比例时，根据边边边的判定定理，可知两个三角形相似,故"两三角形相似"是"两三角形三边成比例"的充分必要条件,故B正确;
时,可能，或者，,故""不是"，"的充分条件,故C错误;
正方形的对角线互相垂直且平分，但是对角线互相垂直且平分的四边形可以是任意的菱形，不一定是正方形，故"四边形是正方形"是"四边形对角线互相垂直且平分"的充分不必要条件,故D错误.
故选:AB
12．答案：AC
解析：对于A,当x为有理数时,,所以,
当x为无理数时,,,A正确；
对于B,,,所以,,B错误;
对于C,由题意,函数定义域为R,且,所以为偶函数,
若x是有理数,则也是有理数;若x是无理数,则也是无理数；
所以根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数T,对恒成立,
故,
所以,都有,C正确
对于D,函数的图像是断续的点集,不是两条直线,D错误;
故选:AC
13．答案：
解析：由题意得解得
14．答案：
解析：由图象可知函数的单调递增区间是与.
答案:与
15．答案：4或
解析：根据集合的元素的互异性可得,故,由集合相等的条件得到:或
解得或,经检验,符合集合的元素的互异性,
所以或,
故答案为:4或.
16．答案：
解析：解析：四个角均为直角的四边形是矩形,设长为a,宽为b,周长为C,设圆的半径为r,则,,,,,当且仅当时,等号成立.的最小值为.
17．答案：（1）；
（2）或.
解析：由已知得：，
，从而有：
（1）；
（2）；
或.
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1），由于，故，解得
故，
所以
（2）当时，，解得，舍去；
当时，，解得或，
其中不符合题意，舍去；
综上所述，.
19．答案：①在内是减函数；
②在内是增函数.
证明见解析
解析：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
以下根据函数单调性的定义证明：
①设，
则
，
，，，
，即，
在内是减函数.
②设
由①知
，
，，，
即，
在内是增函数.
20．答案：（1）或；
（2）答案见解析
解析：（1）的解集为，
或，或；
（2），当时，
当，即时，恒成立
当，即时，，解得或；
当，即时，，解得或；
综上：时，不等式的解集为R；
时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为或.
21．答案：（1）；
（2）当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少
解析：（1）宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，，
则直角三角形的高为，
又海报上所有水平方向和坚直方向的留空宽度均为，
，
，
故海报面积为；
（2），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，
直角三角形的高为，
海报上所有水平方向和坚直方向的留空宽度均为，
海报宽，海报长
故
，
当且仅当，即时等号成立，
故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少.
22．答案：（1）；
（2）；
（3）
解析：（1）当时，则.
由二次函数的对称性知：当时，的最小值为1；
当时，的最大值为10；
所以在区间值域的为.
（2）“对任意的，都有”等价于“在区间上，”.
若，则，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
①当，即时，
由，得，
从而，
②当，即，由，得，
从而，
综上，a的取值范围为区间.
（联立，得满分）
（3）设函数在区间上的最大值为M，最小值为m，
所以“对任意的，都有.”等价于“”
①当.时，，.
由，得.
从而；
②当，，.
由，得.
从而；
③当时，，.
由，得，
从而；
④当时，，.
由，得.
从而.
综上，t的取值范围为.