郑州市重点中学2023年八年级数学第一学期期末联考试题【含解析】

这是一份郑州市重点中学2023年八年级数学第一学期期末联考试题【含解析】，共20页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知当时，分式的值为0，当时，分式无意义，则的值为（ ）
A．4B．－4C．0D．
2．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一点D，且AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，连接EC，则∠DCE的度数为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．45°
3．下列图形中对称轴只有两条的是( )
A．B．C．D．
4．已知，在中，，，，作.小亮的作法如下：①作，②在上截取，③以为圆心，以5为半径画弧交于点，连结.如图，给出了小亮的前两步所画的图形.则所作的符合条件的（ ）
A．是不存在的B．有一个C．有两个D．有三个及以上
5．下面有4个汽车商标图案，其中是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
6．甲、乙两名同学的5次射击训练成绩（单位：环）如下表：
比较甲、乙这5次射击成绩的方差，结果为：甲的方差（ ）乙的方差.
A．大于B．小于C．等于D．无法确定
7．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=7，AC=6，则△ACE的周长为（ ）
A．8B．11C．13D．15
8．下列计算正确的是（ ）
A．＝2B．﹣＝2
C．＝1D．＝3﹣2
9．在平面直角坐标系中，点坐标为，动点的坐标为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标介于（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．甲、乙两同学近期次数学单元测试成绩的平均分相同，甲同学成绩的方差，乙同学成绩的方差则它们的数学测试成绩较稳定的是_______________________(填甲或乙)
12．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是_______．
13．如图，在中，是边的中点，垂直于点，则_______________度．
14．已知是方程3x﹣my=7的一个解，则m= ．
15．如图，若，则_____度．
16．如图，是边长为5的等边三角形，是上一点，，交于点，则______．
17．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2，AD=，CD=3，BC=5，则四边形ABCD的面积是______．
18．当x________时，分式有意义．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，点D是△ABC的BC边上的一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=66°， 求∠DAC的度数．
20．（6分）瑞士著名数学家欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，我们现在可以见到很多以欧拉来命名的常数、公式、定理，在分式中，就有这样一个欧拉公式：若，，是两两不同的数，称为欧拉分式，
（1）请代入合适的值，并猜想：若，，是两两不同的数，则______；
（2）证明你的猜想；
（3）若，，是两两不同的数，试求的值．
21．（6分）已知：如图，点在线段上，．求证：．
22．（8分） (1)解方程：．
(2)先化简：，再任选一个你喜欢的数代入求值．
23．（8分）某同学碰到这么一道题“分解因式：a4+4”，不会做，去问老师，老师说：“能否变成平方差的形式？在原式加上4a2，再减去4a2，这样原式化为（a4+4a2+4）﹣4a2，……”，老师话没讲完，此同学就恍然大悟，他马上就做好了此题．你会吗？请完成此题．
24．（8分）综合与实践：
问题情境：
如图 1，AB∥CD，∠PAB=25°，∠PCD=37°，求∠APC的度数，小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC
问题解决：
（1）按小明的思路，易求得∠APC 的度数为 °；
问题迁移：
如图 2，AB∥CD，点 P 在射线 OM 上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β．
（2）当点 P 在 B，D 两点之间运动时，问∠APC 与α，β 之间有何数量关系？ 请说明理由；
拓展延伸：
（3）在（2）的条件下，如果点 P 在 B，D 两点外侧运动时 （点 P 与点 O，B，D 三点不重合）请你直接写出当点 P 在线段 OB 上时，∠APC 与 α，β 之间的数量关系 ，点 P 在射线 DM 上时，∠APC 与 α，β 之间的数量关系 ．
25．（10分）如图，AB＝AC，AD＝AE.求证：∠B＝∠C．
26．（10分）如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．
（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由；
（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据题意可得，当时，分子，当时，分母，从而可以求得、的值，本题得以解决．
【详解】解：当时，分式的值为0，当时，分式无意义，
，
解得，，
，
故选B．
【点睛】
本题考查分式的值为零的条件、分式有意义的条件，解答本题的关键是明确题意，求出、的值．
2、B
【解析】连接AE．根据ASA可证△ADE≌△CBA，根据全等三角形的性质可得AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，根据等边三角形的判定可得△ACE是等边三角形，根据等腰三角形的判定可得△DCE是等腰三角形，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可求解．
【详解】如图所示，连接AE．
∵AB=DE，AD=BC
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，可得AE=DE
∵AB=AC，∠BAC=20°，
∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°，
在△ADE与△CBA中，
，
∴△ADE≌△CBA（ASA），
∴AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，
∵∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴CE=AC=AE=DE，∠AEC=∠ACE=60°，
∴△DCE是等腰三角形，
∴∠CDE=∠DCE，
∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°，
∴∠DCE=∠CDE=（180-40°）÷2=70°．
故选B．
【点睛】
考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质，综合性较强，有一定的难度．
3、C
【分析】根据对称轴的定义，分别找出四个选项的中的图形的对称轴条数，即可得到答案.
【详解】圆有无数条对称轴，故A不是答案；
等边三角形有三条对称轴，故B不是答案；
长方形有两条对称轴，故C是答案；
等腰梯形只有一条对称轴，故D不是答案.
故C为答案.
【点睛】
本题主要考查了对称轴的基本概念（如果沿着某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么这条直线就叫做这个图形的对称轴），熟记对称轴的概念是解题的关键.
4、C
【解析】先根据直角三角形的性质求出点B到AN的距离，再根据直线与圆的位置关系即可得．
【详解】如图，过点B作
在中，
则
因
由直线与圆的位置关系得：以为圆心，以5为半径画弧，与会有两个交点
即所作的符合条件的有两个
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质（直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半）、直线与圆的位置关系，理解题意，利用直角三角形的性质求出BD的长是解题关键．
5、B
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【详解】解：①②③都是轴对称图形，④不是轴对称图形，
故选B．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
6、B
【分析】先利用表中的数据分别计算出甲、乙的方差，再进行比较即可．
【详解】

故选：B．
【点睛】
本题主要考查平均数和方差，掌握平均数和方差的求法是解题的关键．
7、C
【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，然后利用等线段代换即可得到△ACE的周长＝AC＋BC，再把BC=7，AC=6代入计算即可．
【详解】∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC＋CE＋AE
＝AC＋CE＋BE
＝AC＋BC
＝6＋7
＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
8、C
【分析】利用二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；利用完全平方公式对进行判断．
【详解】解：、，所以选项错误；
、，所以选项错误；
、，所以选项正确；
、，所以选项错误．
故选：．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
9、A
【分析】根据题意知，则AB+OB的最小值可以看作点（m，m）与（2，0）、（0，1）两点距离和的最小值，求出（2，0）、（0，1）两点距离即可.
【详解】解：由题知点坐标为，动点的坐标为，
∴，
∴AB+OB的最小值可以看作点（m，m）与（2，0）、（0，1）两点距离和的最小值，
则最小值为（2，0）、（0，1）两点距离，
∴的最小值是，
故选A.
【点睛】
本题是对坐标系中最短距离的考查，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键.
10、B
【分析】先根据点A，B的坐标求出OA，OB的长度，再根据勾股定理求出AB的长，即可得出OC的长，再比较无理数的大小确定点C的横坐标介于哪个区间．
【详解】∵点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），
∴OA＝2，OB＝3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝
∴AC＝AB＝ ，
∴OC＝﹣2，
∴点C的坐标为（﹣2，0），
∵ ，
∴ ，
即点C的横坐标介于1和2之间，
故选：B．
【点睛】
本题考查了弧与x轴的交点问题，掌握勾股定理、无理数大小比较的方法是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、乙
【分析】根据方差的意义：方差越小则波动越小，稳定性也越好，即可得出结论．
【详解】解：∵＞
∴它们的数学测试成绩较稳定的是乙
故答案为：乙．
【点睛】
此题考查的是方差的意义，掌握方差越小则波动越小，稳定性也越好是解决此题的关键．
12、且
【分析】根据分式方程的解法，解出x，再根据题意列出不等式求解即可．
【详解】解：∵
去分母得：
解得：
因为方程的解为正数，
∴
∴，
又∵，
∴
∴，
∴m的取值范围为：且
故答案为：且．
【点睛】
本题考查了根据分式方程解的情况求分式方程中的参数，解题的关键是掌握分式方程的解法，并且注意分式方程增根的问题．
13、65
【分析】根据等腰三角形的性质及三线合一的性质可知的度数，再由三角形内角和定理即可得到的度数.
【详解】∵
∴是等腰三角形
∵D是边的中点，
∴AD平分
∴
∵⊥
∴
∴，
故答案为：65.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质及三线合一的性质，熟练掌握相关性质知识是解决本题的关键.
14、．
【解析】试题分析：∵是方程3x﹣my=7的一个解，∴把代入方程可得3×2﹣3m=7，解得m=．
故答案为．
考点：二元一次方程的解．
15、
【分析】根据平角的定义可得∠AMN=180°－∠1，∠ANM=180°－∠2，从而求出∠AMN＋∠ANM，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠A．
【详解】解：∵∠AMN=180°－∠1，∠ANM=180°－∠2，
∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠1＋180°－∠2=360°－（）=11°
∴∠A=180°－（∠AMN＋∠ANM）=1°
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是平角的定义和三角形的内角和定理，掌握平角的定义和三角形的内角和定理是解决此题的关键．
16、
【分析】在Rt△BED中，求出BE即可解决问题．
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB=90°，∠BED=30°，
∵BD=2，
∴EB=2BD=4，
∴AE=AB-BE=5-4=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
17、
【分析】连接BD，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理逆定理证明，在计算面积即可；
【详解】连接BD，
∵∠A=90°，AB=2，AD=，
∴,
又∵CD=3，BC=5，
∴，
∴，
∴．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，准确分析计算是解题的关键．
18、≠2
【解析】x,
所以 x≠2.
点睛：分式有意义：，分式无意义：，分式值为0：，是分式部分易混的3类题型.
三、解答题(共66分)
19、28°
【解析】根据三角形的外角和内角和性质计算即可得出答案.
【详解】解：由图和题意可知：∠BAC=180°-∠2-∠3
又∠3=∠4=∠1+∠2，
∴66°=180°-∠2-（∠1＋∠2）
∵∠1=∠2
∴66°=180°-3∠1，即∠1=38°
∴∠DAC=∠BAC-∠1=66°-38°=28°
【点睛】
本题考查的是三角形，外角定理是三角形中求角度的常用定理，需要熟练掌握.
20、（1）0；（2）见解析；（3）1
【分析】利用分式的基本性质进行通分化简运算.
【详解】(1)当a=1,b=2,c=3时
，
P=0
（2）
．
（3）原式
．
【点睛】
本题主要考查分式的基本运算，熟练掌握分式的通分、约分、化简求值是解决该问题的关键.
21、见解析.
【分析】根据题意先证明△ABC≌△DEF，据此求得∠ABC=∠DEF，再利用平行线的判定进一步证明即可.
【详解】∵，
∴∠ACB=∠DFE，
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即：BC=EF，
在△ABC与△DEF中，
∵AC=DF，∠ACB=∠DFE，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ABC=∠DEF，
∴AB∥DE.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关概念是解题关键.
22、（1）x＝2；（2）原式＝，当x＝5时，原式＝
【分析】（1）先把分式方程去分母化简成整式方程，再解方程得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
（2）先根据分式混合运算法则把原式进行化简，即先去括号，在计算乘除法进行约分，再任选一个合适的数代入求值即可．
【详解】解：（1）方程两边同乘以（x＋1）（x－1），
则：2（x＋1）＋（x－1）＝7
解得：x＝2
检验：把x＝2代入（x＋1）（x－1）＝3≠0
∴原方程的解为：x＝2
（2）原式＝÷
＝×
＝
∴当x＝5时，原式＝
【点睛】
本题是计算题，主要考查解分式方程的知识和分式的化简求值，关键是掌握把分式方程化简成最简分式或整式方程、把分式化简成最简分式或整式的方法．
23、见解析
【分析】先利用“配方法”分解因式，然后根据平方差公式因式分解即可解答．
【详解】解：a4+4
＝（a4+4a2+4）﹣4a2
＝（a2+2）2﹣（2a）2
＝（a2+2+2a）（a2+2﹣2a）
＝（a2+2a+2）（a2﹣2a+2）．
【点睛】
本题考查了配方法分解因式，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．
24、（1）62；（2），理由详见解析；（3）；．
【分析】（1）根据平行线的性质，得到∠APE=∠PAB=25°，∠CPE=∠PCD=37°，即可得到∠APC；
（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠APE=α，∠CPE=β，即可得出答案；
（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
【详解】解：如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=∠PAB=25°，∠CPE=∠PCD=37°，
∴∠APC=25°+37°=62°；
故答案为：；
与之间的数量关系是：；
理由：如图，过点作交于点，
∵，
；
如图3，所示，当P在射线上时，
过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠1=∠PAB=α，
∵∠1=∠APC+∠PCD，
∴∠APC=∠1∠PCD，
∴∠APC=αβ，
∴当P在射线上时，；
如图4所示，当P在线段OB上时，
同理可得：∠APC=βα，
∴当P在线段OB上时，．
故答案为：；.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和判定的应用、三角形内角和定理的证明、外角的性质，主要考查学生的推理能力，第3问在解题时注意分类讨论思想的运用．
25、证明见解析.
【分析】欲证明∠B＝∠C，只要证明△AEB≌△ADC.
【详解】证明：在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC(SAS)
∴∠B＝∠C.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件
26、（1）BF=AC，理由见解析；（2）NE=AC，理由见解析.
【分析】（1）如图1，证明△ADC≌△BDF（AAS），可得BF=AC；
（2）如图2，由折叠得：MD=DC，先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC，由线段垂直平分线的性质得：AB=BC，则∠ABE=∠CBE，结合（1）得：△BDF≌△ADM，则∠DBF=∠MAD，最后证明∠ANE=∠NAE=45°，得AE=EN，所以EN=AC．
【详解】（1）BF=AC，理由是：
如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠AEF=90°，
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠DAC=∠EBC，
在△ADC和△BDF中，
∵，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BF=AC；
（2）NE=AC，理由是：
如图2，由折叠得：MD=DC，
∵DE∥AM，
∴AE=EC，
∵BE⊥AC，
∴AB=BC，
∴∠ABE=∠CBE，
由（1）得：△ADC≌△BDF，
∵△ADC≌△ADM，
∴△BDF≌△ADM，
∴∠DBF=∠MAD，
∵∠DBA=∠BAD=45°，
∴∠DBA﹣∠DBF=∠BAD﹣∠MAD，
即∠ABE=∠BAN，
∵∠ANE=∠ABE+∠BAN=2∠ABE，
∠NAE=2∠NAD=2∠CBE，
∴∠ANE=∠NAE=45°，
∴AE=EN，
∴EN=AC．
甲
7
8
9
8
8
乙
6
10
9
7
8