河北省邢台市清河县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1. 在下列各图象中，为函数的大致图象的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，对于正比例函数，当时，其函数图象经过第一、三象限，当时，其函数图象经过第二、四象限，据此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴函数经过第一、三象限，
∴四个选项中只有A选项符合题意，
故选：A．
2. 某书店对上季度该店中国古代四大名著的销售量统计如表，依统计数据，为更好地满足读者需求，该书店决定本季度购进中国古代四大名著时多购进一些《西游记》，你认为最影响该书店决策的统计量是（ ）
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一 组数据离散程度的统计量．既然想要了解哪个货种的销售量最大，那么应该关注那种货销的最多，故值得关注的是众数．
【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．
故选：B．
【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
3. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：A、，无意义，故本选项不正确，不符合题意；
B、，故本选项不正确，不符合题意；
C、，本选项正确，符合题意；
D、，故本选项不正确，不符合题意；
故选：C．
4. 如图，一只蚂蚁从一个正方体纸盒的点沿纸盒表面爬到点，它所爬过的最短路径（虚线）在侧面展开图中的位置是图中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，根据两点之间线段最短即可得到答案
【详解】解：把此正方体的一面展开，根据两点之间线段最短可知，蚂蚁所爬过的最短路径（虚线）在侧面展开图中的位置如选项B中所示，
故选B．
【点睛】本题考查了平面展开—最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
5. 如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，先得出的度数，根据直角三角形两锐角互余分别求出的度数，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，算出的度数，根据即可求解．
【详解】解：∵是直角三角形，，，
∴，
∵，
∴在中，，
同理，在中，，
∵点是中点，
∴，即，
∴，
∴，
故选：D ．
6. 如图，构成伸缩门的基本图形是菱形，且每个小菱形的边长都为0.4米，伸缩门伸展到最宽时为8米，此时菱形的一个内角为60°．若中间隔板的厚度不计，则图中的n为（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】计算出每一个菱形的宽度，即较短的对角线的长即可．
【详解】解：∵每个小菱形的边长都为0.4米，菱形的一个内角为60°，
∴较短的对角线的长为0.4米，
∵总长度为8米，
∴则图中的n为8÷0.4＝20个，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质：四边相等以及等边三角形的性质，题目比较简单．
7. 若一组数据中有个10，个，个，则这组数据的平均数是（ ）
A. 20B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】考查了平均数的计算，解题关键是计算出这组数据的和及个数．先求得这组数据的和及个数，再根据平均数的定义求解．
【详解】∵一组数据中有有个10，个，个，
∴这组数据的和，数据的个数，
∴这组数据的平均数为：．
故选：D．
8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A.
B. 关于的不等式的解集是
C. 关于的方程的解是
D. 关于，的方程组的解为
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系，根据一次函数与方程、不等式的关系求解．掌握数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：A：由图象得，，，
∴，
∴，故A不符合题意；
B：由图象得：时，
∴关于的不等式的解集是，故B符合题意；
C：由图象得：当时，，
∴关于的方程的解是，故C是不符合题意；
D：由图象得：关于，方程组的解为，故D不符合题意；
故选：B．
9. 中经过两条对角线的交点O，分别交、于点E、F，在对角线上通过作图得到点M、N，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是（ ）
A. 都为矩形
B. 都为菱形
C. 图1为平行四边形，图2、图3为矩形
D. 图1为矩形，图2、图3为平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了几何作图，平行四边形判定与性质，矩形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据平行四边形的性质易证，可得，由图1作图可知，即可得证图1以点F，M，E，N为顶点的四边形为矩形；在图2中证，即可得证图2以点F，M，E，N为顶点的四边形为平行四边形；在图3中证明，可得，即可得证图3以点F，M，E，N为顶点的四边形为平行四边形．
【详解】解：在平行四边形中，，，
，，
在和中，
，
，
，
由图1作图可得，
以点F，M，E，N为顶点的四边形为平行四边形，且，
图1以点F，M，E，N为顶点的四边形为矩形；
由图2作图可得 ，，
，
，
又，
∴图2以点F，M，E，N为顶点的四边形为平行四边形；
由图3作图可得，，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
图3以点F，M，E，N为顶点的四边形为平行四边形．
故选D．
10. 《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明：
则下列说法错误的是（ ）
A. ①代表
B. ②代表
C. ③代表正方形
D. ④代表
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据题意用两种方法表示出S，然后根据两种表示方法表示的S相等，即可得到结论．
【详解】解：如图所示，延长交于G，
方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则；
方法二：将五边形看成是由正方形，正方形，，拼成，则 ，
根据面积相等可以得到，即，故C选项错误，符合题意．
故选：C．
11. 小明探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象．根据密度质量体积，从图象中比较每种物质的质量和体积，即可得到答案．
【详解】解：甲和丙的体积相等，
甲的质量丙的质量，
甲的密度大；
乙和丁的体积相等，
乙的质量丁的质量，
乙的密度大；
甲和乙的质量相等，
甲的体积乙的体积，
甲的密度大．
故选：A．
12. 如图，矩形纸片，，，点P在边上．将沿折叠，点C落在点E处．、分别交于点O、F，且．则的长为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，在直角三角形中，通过勾股定理建立方程是解题的关键．根据折叠的性质可得，，，以此可通过“”证明，得到，，则，设，由勾股定理列方程，解方程即得答案．
【详解】根据折叠的性质可得，，，，
四边形为矩形，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
设，则，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
．
故选：B．
二、填空题（本大题共4题，每题3分，共12分）
13. 若二次根式有意义，请你写出一个符合条件的正整数a的值______．
【答案】1##2##3
【解析】
【分析】根据被开方数大于或等于 0，即可解．
【详解】解：根据题意，二次根式有意义，
∴
∴，
∵a为正整数，
∴a=1，2或3
故答案为：2.（1，2，3任意一个都对）
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于或等于0．
14. 如图，投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．在一次投壶比赛中，甲、乙两人成绩的平均数分别为，，方差分别为，．若，，，则成绩更稳定的是 _____.（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【解析】
【分析】本题主要考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
根据方差的大小进行判断即可．
【详解】解：，，
∴，
∴乙成绩更稳定．
故答案为：乙．
15. 如图，正方形的周长为，顺次连接正方形各边中点、、、，得到四边形的面积等于__________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时利用三角形的中位线的性质求解是关键．连接，，根据三角形的中位线的性质，可以得出四边形为正方形，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】解：连接，，

∵点、、、是正方形各边的中点，
∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
又∵，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，，，
∴，
∴四边形是正方形
∵正方形的周长为，，
∴，
在中，由勾股定理，得，，
∴
∴四边形的面积．
故答案为：．
16. 在平面直角坐标系中，过点向直线作垂线，则垂线的最大长度为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，合理作出辅助线是解题的关键．
由，可得出直线过定点，连接,当直线与垂直时，垂线的长度最大，构造直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，即可求解．
【详解】解：∵，
∴直线过定点，
连接，当直线与垂直时，垂线的长度最大，过点作轴的平行线，过点B作，如图：
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴，
∴垂线段的最大长度为；
故答案为：．
三、解答题（本大题共8题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 下面是4个未化简的实数：，，，．
（1）依次写出这4个数的化简结果．
（2）求这4个数的平均数．
【答案】（1），，，
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根叔的混合运算，平均数的定义．
（1）先化简二次根式，利用完全平方公式去掉括号，根据二次根式运算法则计算即可；
（2）根据平均数的计算即可求解．
【小问1详解】
解：，，，
【小问2详解】
解：这4个数的平均数为
18. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．
（1）求证：CD=BE；
（2）若AB=4，点F为DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，且DG=1，求AE的长．
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据AD//BE可得∠DAE=∠E，由AE平分∠BAD可得∠DAE=∠EAB进而可得∠EAB=∠E，即可证明CD=BE.（2）根据平行四边形的性质可知AD=DF，由DF=CF，∠DAF=∠E，∠ADF=∠FCE可证明△ADF≌△ECF，得AF=EF，由DG是等腰三角形ADF的高可知AG=GF，根据勾股定理可求出AG的长，由AE=2AF求出AE的长即可.
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB，
∴∠DAE=∠E，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠EAB=∠E，
∴CD=BE.
（2）∵CD//AB.
∴∠BAF=∠DFA.
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAF=∠DFA.
∴DA=DF.
∵F为DC中点，AB=4，
∴DF=CF=AD=2，
∵DG⊥AE，DG=1，
∴AG=GF=，AF=2AG=2，
∵∠DAF=∠E，∠ADF=∠FCE，DF=CF.
∴△ADF≌△ECF.
∴AF=EF.
∴AE=2AF=4.
【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理及全等三角形的判定等，熟练掌握相关知识是解题关键.
19. 先观察下列各组数，然后根据各组数反映的规律回答问题：
第1组：1，，2．
第2组：，2，．
第3组：，，．
第4组：2，，．
……
（1）若有一组数的第一个数为3，则第二、三个数分别为________．
（2）用含n的代数式表示第n组的三个数为________．
（3）若各组数的三个数分别是三角形的三边长，试判断这个三角形的形状，请说明理由．
【答案】（1），
（2），，
（3）直角三角形，见解析
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的规律问题、勾股定理的逆定理．
（1）根据规律，即可求解．
（2）确定每组数据被开方数的规律即可求解；
（3）根据勾股定理的逆定理即可求解．
小问1详解】
解：∵第1组：1，，2．
第2组：，2，．
第3组：，，．
第4组：2，，．
有一组数的第一个数为3，即，
∴第二、三个数分别为，
【小问2详解】
用含n的代数式表示第n组的三个数为：，，
【小问3详解】
解：直角三角形，
∵，
即任意一组都满足前两个数的平方和等于第三个数的平方.
20. 2024年4月24日是第九个“中国航天日”，八年级某班组织40名同学到航天展览馆参观，已知展览馆分为，，三个场馆，场馆门票的价格是每张50元，场馆门票的价格是每张40元．由于场地原因，要求每位同学只能选择一个场馆参观，参观当天刚好有优惠活动：每购买1张场馆门票就赠送1张场馆门票，且购买场馆的门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用．设到场馆参观的人数为人，此次购买门票所需总金额为元．
（1）求关于的函数解析式．
（2）若到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，求此次购买门票所需总金额的最小值．
【答案】（1）
（2）此次购买门票所需总金额的最小值为1210元
【解析】
【分析】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，关键是求出函数解析式．
（1）购买场馆门票张，则购买场馆门票张，根据此次购买门票所需总金额等于购买，两个场馆门票之和，列出函数解析式；
（2）根据“到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数”求出的取值范围，再用函数的性质求最值．
【小问1详解】
解：设购买场馆门票张，则购买场馆门票张，
依题意得：，
∴关于的函数解析式为；
【小问2详解】
依题意得：，
解得：，且为整数，
在中，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最小值，最小值．
答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元．
21. 4月23日是“世界读书日”，第六届全国“相约《论语》文化中国——世界读书日人人读《论语》”大型公益活动，在河北省石家庄市栾城区县标广场举行．为了解学生的课外阅读情况，某校分别从七、八年级中各随机抽取50名学生了解平均每天课外阅读时长（单位：小时），平均每天课外阅读时长用表示，数据分为六组：．；．；．；．；．；．．对调查结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
信息一：七年级50名学生平均每天课外阅读时长的条形统计图
信息二：八年级50名学生平均每天课外阅读时长的频数分布表
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补充完整统计图．
（2）下列结论正确的是________（填序号）．
①七年级50名学生的平均每天课外阅读时长的众数是在组内，而八年级的众数在组内；
②七年级50名学生的平均每天课外阅读时长的中位数是在组内，而八年级的中位数在哪个组内不能确定；
③七年级50名学生的平均每天课外阅读时长的平均数可以这样计算：．
（3）若七年级50名学生平均每天课外阅读时长组的学生有人，八年级50名学生平均每天课外阅读时长大于或等于小时的人数不少于，已知，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）①②
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了频数直方图，频数分布表，众数、中位数、平均数，不等式组的整数解；
（1）根据频数直方图直接得出组的人数，进而不全统计图；
（2）根据中位数，众数，平均数的定义，即可求解；
（3）根据题意得出，进而可得或，进而求得的值，即可求解．
【小问1详解】
解：组的人数为：
补充完整统计图如图：
【小问2详解】
解：①七年级50名学生的平均每天课外阅读时长的众数是在组内，而八年级的众数在组内，故①正确；
②七年级50名学生的平均每天课外阅读时长的中位数是在组内，而八年级的中位数在哪个组内不能确定，故②正确；
③七年级50名学生的平均每天课外阅读时长的平均数可以这样计算：，故③不正确
故答案为：①②．
【小问3详解】
解：∵，
∴八年级50名学生平均每天课外阅读时长大于或等于小时的人数不少于，
即，解得：
又∵，
∴或
当时，，
当时，，
∴或
22. 如图，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，设运动时间为秒，的面积为．

（1）求出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围．
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
（3）当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，从函数图象获取信息等等，正确列出对应的函数关系式是解题的关键．
（1）根据线段中点的定义得到，再分当点P在上时，则，当点P在上时，则 ，两种情况利用三角形面积公式进行求解即可；
（2）先描点，再连线画出函数图象即可；
（3）分别求出当时，，当时，，结合函数图象即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵M为中点，，
∴，
当点P在上时，则，
由题意得，，
∴，
∵，
∴；
当点P在上时，则，
∴，
∵，
∴；
综上所述，
【小问2详解】
解；如图所示函数图象即为所求；
【小问3详解】
解：当时，，当时，，
∴由函数图象可知当，．
23. 特例感知】
如图1，在矩形中．
（1）若，，则__________．
（2）若，，则__________（用含、的式子表示）．
【拓展延伸】
如图2，在中，若，，则（2）中的结论是否仍然成立？并说明理由．

【答案】特例感知：（1）200；（2）；拓展延伸：结论依然成立，理由见解析
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理、平行四边形的性质、矩形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和数形结合是解题的关键．
特例感知：（1）在中由勾股定理得：，在中由勾股定理得：，由此可得的值；
（2）在中由勾股定理得，在中由勾股定理得，由此可得的值；
拓展延伸：作于点E，作交的延长线于点F，则，证明，，利用勾股定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：特例感知：（1）∵四边形为矩形，，，
∴，，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：200．
（2）∵四边形为矩形，，，
∴，，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：；
拓展延伸：结论依然成立，理由如下：
作于点E，作交的延长线于点F，则，

∵四边形为平行四边形，若，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
．
24. 如图，在平面直角坐标系中，□的顶点、、的坐标分别为，，．
（1）点的坐标为________．
（2）求证：□为菱形．
（3）若直线上有一动点，点的横坐标为，当点在□内部(不包含边界)时，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合平移的性质，即可求解；
（2）根据点的坐标特征可得，进而根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解；
（3）先求直线与相交，进而待定系数法求得直线的解析式，联立，结合题意，即可求解．
【小问1详解】
解：∵在平面直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别为，，．
∴从平移到的平移方式是向左平移1个单位，向下平移2个单位
∴向左平移1个单位，向下平移2个单位得到，
故答案为：．
【小问2详解】
证明：∵点、、、的坐标分别为，，．
∴轴，轴
∴
∴平行四边形是菱形；
【小问3详解】
解：∵
当时，随的增大而减小，
当时，，当时，
又∵的纵坐标为，，
∴当与的交点在上，
设直线的解析式为y=kx+bk≠0，
将，代入得，
解得：
∴
设直线的解析式为
将，代入得，
解得：
∴
联立，解得：，
联立，解得：
∵点的横坐标为，当点在内部（不包含边界）时，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，坐标与图形，一次函数与几何图形综合，待定系数法求直线解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．书名
《西游记》
《水浒传》
《三国演义》
《红楼梦》
销量
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以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点M、N
分别作、中、边上的中线、
分别作、中、的平分线、
如图，延长交①于点G．
用两种不同的方法表示五边形的面积S：
方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则②．
方法二：将五边形看成是由③，正方形，，拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理．
分组
人数