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新高考数学一轮复习讲练测课件第2章§2.8对数与对数函数 (含解析)
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这是一份新高考数学一轮复习讲练测课件第2章§2.8对数与对数函数 (含解析)，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，x＝logaN，lgN，lnN，nlogaM，0＋∞，增函数，减函数等内容，欢迎下载使用。
1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用 对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调 性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数.
1.对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_________，其中 叫做对数的底数， 叫做真数.以10为底的对数叫做常用对数，记作 .以e为底的对数叫做自然对数，记作 .
2.对数的性质与运算性质(1)对数的性质：lga1＝ ，lgaa＝ ， ＝___(a>0，且a≠1，N>0).(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①lga(MN)＝_____________；② ＝_____________；③lgaMn＝_______(n∈R).(3)对数换底公式：lgab＝ (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).
3.对数函数的图象与性质
4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数__________(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称.
2.如图给出4个对数函数的图象则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若M＝N，则lgaM＝lgaN.( )(2)函数y＝lga2x(a>0，且a≠1)是对数函数.( )(3)对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.( )(4)函数y＝lg2x与y＝ 的图象重合.( )
1.若函数f(x)＝lg2(x＋1)的定义域是[0,1]，则函数f(x)的值域为A.[0,1] B.(0,1)C.(－∞，1] D.[1，＋∞)
根据复合函数单调性同增异减可知f(x)在[0,1]上单调递增，因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，则lg21≤lg2(x＋1)≤lg22，即f(x)∈[0,1].
2.函数y＝lga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过点______.
∵lga1＝0，令x－2＝1，∴x＝3，y＝2，∴函数的图象过定点(3,2).
例1 (1)若2a＝5b＝10，则 的值是
由2a＝5b＝10，∴a＝lg210，b＝lg510，
(2)计算：lg535＋ － －lg514＝_____.
＝lg5125－1＝lg553－1＝3－1＝2.
解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.(2)将同底对数的和、差、倍合并.(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
跟踪训练1 (1)(2022·保定模拟)已知2a＝3，b＝lg85，则4a－3b＝_______.
因为2a＝3，所以a＝lg23，又b＝lg85，
例2 (1)已知函数f(x)＝lga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是A.00，所以01，所以－ln a＝ln b，所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0，
则g(x)在(0,1)上单调递减，所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞).
对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
跟踪训练2 (1)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝ 的图象可能是
∵lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，
∴g(x)＝ ＝lgax，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝ 互为反函数，∴函数f(x)＝ax与g(x)＝ 的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性.
(2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝lga(－x＋1)的部分图象大致为
由函数y＝ax的图象可得a>1.当a>1时，y＝lgax经过定点(1,0)，为增函数.因为y＝lgax与y＝lga(－x)关于y轴对称，所以y＝lga(－x)经过定点(－1,0)，为减函数.而f(x)＝lga(－x＋1)可以看作y＝lga(－x)的图象向右平移一个单位长度得到的，所以f(x)＝lga(－x＋1)的图象经过定点(0,0)，为减函数.结合选项可知选D.
命题点1 比较对数式的大小例3 (2023·武汉质检)已知a＝lg30.5，b＝lg3π，c＝lg43，则a，b，c的大小关系是A.alg33＝1，即b>1；0＝lg410，且a≠1)，则实数a的取值范围是________.
命题点3 对数函数的性质及应用例5 (2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)A.是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减B.是奇函数，且在(－3,3)上单调递减C.是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增D.是偶函数，且在(－3,3)上单调递增
函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}，f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|＝ln|x2－9|，令g(x)＝|x2－9|，则f(x)＝ln g(x)，函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知，当x∈(－∞，－3)，x∈(0,3)时，g(x)单调递减，当x∈(－3,0)，x∈(3，＋∞)时，g(x)单调递增，由复合函数单调性同增异减得单调区间.由f(－x)＝ln|(－x)2－9|＝ln|x2－9|＝f(x)得f(x)为偶函数.
求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成.
令t(x)＝6－ax，因为a>0，所以t(x)＝6－ax为减函数.又由函数f(x)＝lga(6－ax)在(0,2)上单调递减，可得函数t(x)＝6－ax>0在(0,2)上恒成立，且a>1，
跟踪训练3 (1)(2023·开封模拟)已知函数f(x)＝lga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围是A.(1,3] B.(1,3)C.(0,1) D.(1，＋∞)
(2)(2022·惠州模拟)若函数f(x)＝ (a>0，且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________.
2.若函数f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(lg28)等于A.－1 B.1 C.2 D.3
依题意，函数f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)的反函数，即函数y＝ax的图象过点(1,3)，则a＝3，f(x)＝lg3x，于是得f(lg28)＝lg3(lg28)＝lg33＝1，所以f(lg28)＝1.
函数f(x)＝lg2(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除B，C；由f(－x)＝lg2(|－x|－1)＝lg2(|x|－1)＝f(x)，可知函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除D.
3.函数f(x)＝lg2(|x|－1)的图象为
4.按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝20 A时，放电时间t＝20 h；当放电电流I＝30 A时，放电时间t＝10 h.则该蓄电池的Peukert常数n大约为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
根据题意可得C＝20n·20，C＝30n·10，
5.已知函数f(x)＝lg2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是A.(－1,1) B.(0,1)C.(－1,0) D.∅
不等式f(x)>0⇔lg2(x＋1)>|x|，分别画出函数y＝lg2(x＋1)和y＝|x|的图象，由图象可知y＝lg2(x＋1)和y＝|x|的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，由图象可知lg2(x＋1)>|x|的解集是(0,1)，即不等式f(x)>0的解集是(0,1).
6.(多选)已知函数f(x)＝|lga(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是A.函数f(x)的图象恒过定点(0,0)B.函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减C.函数f(x)在区间 上的最小值为0D.若对任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2]
将(0,0)代入函数f(x)＝|lga(x＋1)|(a>1)，成立，故A正确；当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|lga(x＋1)|＝lga(x＋1)，由复合函数单调性可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|lga(x＋1)|＝lga(x＋1)单调递增，故B错误；
所以f(x)＝|lga(x＋1)|≥lga1＝0，故C正确；当x∈[1,2]时，f(x)＝|lga(x＋1)|＝lga(x＋1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知lga2≥1，解得1
9.已知f(x)＝(1)若a＝2，求f(x)的值域；
当a＝2时，f(x)＝令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9，∴t≥9，f(x)≤ ＝－2，∴f(x)的值域为(－∞，－2].
(2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.
令u(x)＝x2－ax＋5a，∵y＝ (x)为减函数，∴u(x)＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增，
10.(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝lg3(9x＋1)＋kx是偶函数.(1)求k；
∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即lg3(9－x＋1)－kx＝lg3(9x＋1)＋kx对任意x∈R恒成立，
(2)解不等式f(x)≥lg3(7·3x－1).
则不等式f(x)≥lg3(7·3x－1)等价于3x＋3－x≥7·3x－1>0，由7·3x－1>0，解得x>－lg37；由3x＋3－x≥7·3x－1，得6·(3x)2－3x－1≤0，
即x≤－lg32，综上，不等式的解集为(－lg37，－lg32].
11.若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则
由已知，得2a＝3b＝6c＝k，得a＝lg2k，b＝lg3k，c＝lg6k，
12.(多选)关于函数f(x)＝lg2x＋lg2(4－x)，下列说法正确的是A.f(x)的最大值为1B.f(x)在区间(0,2)上为增函数C.f(x)的图象关于直线x＝2对称D.f(x)的图象关于点(2,0)对称
函数f(x)＝lg2x＋lg2(4－x)＝lg2(4x－x2)(0
13.已知函数f(x)的定义域为R，图象恒过点(0,1)，对任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有 >1，则不等式f(ln(ex－1))<1＋ln(ex－1)的解集为A.(ln 2，＋∞) B.(－∞，ln 2)C.(ln 2,1) D.(0，ln 2)
则f(x1)－x1>f(x2)－x2，令g(x)＝f(x)－x，则g(x)在R上单调递增，又f(0)＝1，则不等式f(ln(ex－1))<1＋ln(ex－1)，等价于f(ln(ex－1))－ln(ex－1)<1＝f(0)－0，即g(ln(ex－1))
1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用 对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调 性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数.
1.对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_________，其中 叫做对数的底数， 叫做真数.以10为底的对数叫做常用对数，记作 .以e为底的对数叫做自然对数，记作 .
2.对数的性质与运算性质(1)对数的性质：lga1＝ ，lgaa＝ ， ＝___(a>0，且a≠1，N>0).(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①lga(MN)＝_____________；② ＝_____________；③lgaMn＝_______(n∈R).(3)对数换底公式：lgab＝ (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).
3.对数函数的图象与性质
4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数__________(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称.
2.如图给出4个对数函数的图象则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若M＝N，则lgaM＝lgaN.( )(2)函数y＝lga2x(a>0，且a≠1)是对数函数.( )(3)对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.( )(4)函数y＝lg2x与y＝ 的图象重合.( )
1.若函数f(x)＝lg2(x＋1)的定义域是[0,1]，则函数f(x)的值域为A.[0,1] B.(0,1)C.(－∞，1] D.[1，＋∞)
根据复合函数单调性同增异减可知f(x)在[0,1]上单调递增，因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，则lg21≤lg2(x＋1)≤lg22，即f(x)∈[0,1].
2.函数y＝lga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过点______.
∵lga1＝0，令x－2＝1，∴x＝3，y＝2，∴函数的图象过定点(3,2).
例1 (1)若2a＝5b＝10，则 的值是
由2a＝5b＝10，∴a＝lg210，b＝lg510，
(2)计算：lg535＋ － －lg514＝_____.
＝lg5125－1＝lg553－1＝3－1＝2.
解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.(2)将同底对数的和、差、倍合并.(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
跟踪训练1 (1)(2022·保定模拟)已知2a＝3，b＝lg85，则4a－3b＝_______.
因为2a＝3，所以a＝lg23，又b＝lg85，
例2 (1)已知函数f(x)＝lga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是A.0
则g(x)在(0,1)上单调递减，所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞).
对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
跟踪训练2 (1)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝ 的图象可能是
∵lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，
∴g(x)＝ ＝lgax，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝ 互为反函数，∴函数f(x)＝ax与g(x)＝ 的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性.
(2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝lga(－x＋1)的部分图象大致为
由函数y＝ax的图象可得a>1.当a>1时，y＝lgax经过定点(1,0)，为增函数.因为y＝lgax与y＝lga(－x)关于y轴对称，所以y＝lga(－x)经过定点(－1,0)，为减函数.而f(x)＝lga(－x＋1)可以看作y＝lga(－x)的图象向右平移一个单位长度得到的，所以f(x)＝lga(－x＋1)的图象经过定点(0,0)，为减函数.结合选项可知选D.
命题点1 比较对数式的大小例3 (2023·武汉质检)已知a＝lg30.5，b＝lg3π，c＝lg43，则a，b，c的大小关系是A.a
命题点3 对数函数的性质及应用例5 (2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)A.是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减B.是奇函数，且在(－3,3)上单调递减C.是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增D.是偶函数，且在(－3,3)上单调递增
函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}，f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|＝ln|x2－9|，令g(x)＝|x2－9|，则f(x)＝ln g(x)，函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知，当x∈(－∞，－3)，x∈(0,3)时，g(x)单调递减，当x∈(－3,0)，x∈(3，＋∞)时，g(x)单调递增，由复合函数单调性同增异减得单调区间.由f(－x)＝ln|(－x)2－9|＝ln|x2－9|＝f(x)得f(x)为偶函数.
求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成.
令t(x)＝6－ax，因为a>0，所以t(x)＝6－ax为减函数.又由函数f(x)＝lga(6－ax)在(0,2)上单调递减，可得函数t(x)＝6－ax>0在(0,2)上恒成立，且a>1，
跟踪训练3 (1)(2023·开封模拟)已知函数f(x)＝lga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围是A.(1,3] B.(1,3)C.(0,1) D.(1，＋∞)
(2)(2022·惠州模拟)若函数f(x)＝ (a>0，且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________.
2.若函数f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(lg28)等于A.－1 B.1 C.2 D.3
依题意，函数f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)的反函数，即函数y＝ax的图象过点(1,3)，则a＝3，f(x)＝lg3x，于是得f(lg28)＝lg3(lg28)＝lg33＝1，所以f(lg28)＝1.
函数f(x)＝lg2(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除B，C；由f(－x)＝lg2(|－x|－1)＝lg2(|x|－1)＝f(x)，可知函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除D.
3.函数f(x)＝lg2(|x|－1)的图象为
4.按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝20 A时，放电时间t＝20 h；当放电电流I＝30 A时，放电时间t＝10 h.则该蓄电池的Peukert常数n大约为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
根据题意可得C＝20n·20，C＝30n·10，
5.已知函数f(x)＝lg2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是A.(－1,1) B.(0,1)C.(－1,0) D.∅
不等式f(x)>0⇔lg2(x＋1)>|x|，分别画出函数y＝lg2(x＋1)和y＝|x|的图象，由图象可知y＝lg2(x＋1)和y＝|x|的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，由图象可知lg2(x＋1)>|x|的解集是(0,1)，即不等式f(x)>0的解集是(0,1).
6.(多选)已知函数f(x)＝|lga(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是A.函数f(x)的图象恒过定点(0,0)B.函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减C.函数f(x)在区间 上的最小值为0D.若对任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2]
将(0,0)代入函数f(x)＝|lga(x＋1)|(a>1)，成立，故A正确；当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|lga(x＋1)|＝lga(x＋1)，由复合函数单调性可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|lga(x＋1)|＝lga(x＋1)单调递增，故B错误；
所以f(x)＝|lga(x＋1)|≥lga1＝0，故C正确；当x∈[1,2]时，f(x)＝|lga(x＋1)|＝lga(x＋1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知lga2≥1，解得1
9.已知f(x)＝(1)若a＝2，求f(x)的值域；
当a＝2时，f(x)＝令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9，∴t≥9，f(x)≤ ＝－2，∴f(x)的值域为(－∞，－2].
(2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.
令u(x)＝x2－ax＋5a，∵y＝ (x)为减函数，∴u(x)＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增，
10.(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝lg3(9x＋1)＋kx是偶函数.(1)求k；
∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即lg3(9－x＋1)－kx＝lg3(9x＋1)＋kx对任意x∈R恒成立，
(2)解不等式f(x)≥lg3(7·3x－1).
则不等式f(x)≥lg3(7·3x－1)等价于3x＋3－x≥7·3x－1>0，由7·3x－1>0，解得x>－lg37；由3x＋3－x≥7·3x－1，得6·(3x)2－3x－1≤0，
即x≤－lg32，综上，不等式的解集为(－lg37，－lg32].
11.若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则
由已知，得2a＝3b＝6c＝k，得a＝lg2k，b＝lg3k，c＝lg6k，
12.(多选)关于函数f(x)＝lg2x＋lg2(4－x)，下列说法正确的是A.f(x)的最大值为1B.f(x)在区间(0,2)上为增函数C.f(x)的图象关于直线x＝2对称D.f(x)的图象关于点(2,0)对称
函数f(x)＝lg2x＋lg2(4－x)＝lg2(4x－x2)(0
13.已知函数f(x)的定义域为R，图象恒过点(0,1)，对任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有 >1，则不等式f(ln(ex－1))<1＋ln(ex－1)的解集为A.(ln 2，＋∞) B.(－∞，ln 2)C.(ln 2,1) D.(0，ln 2)
则f(x1)－x1>f(x2)－x2，令g(x)＝f(x)－x，则g(x)在R上单调递增，又f(0)＝1，则不等式f(ln(ex－1))<1＋ln(ex－1)，等价于f(ln(ex－1))－ln(ex－1)<1＝f(0)－0，即g(ln(ex－1))
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