辽宁省营口市大石桥市金桥中学2023年八年级数学第一学期期末质量检测试题【含解析】

这是一份辽宁省营口市大石桥市金桥中学2023年八年级数学第一学期期末质量检测试题【含解析】，共20页。试卷主要包含了如图，下列各式中正确的是，在平面直角坐标系中，点M等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是( )
A．15，16B．15，15C．15，15.5D．16，15
2．若x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．3B．±6C．6D．+3
3．若分式方程有增根， 则的值是（ ）
A．B．C．D．
4．如下图所示，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为（ ）
A．B．
C．D．
5．禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为，该直径用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别12，18，24，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC=（ ）
A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5
7．以下列各线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．若点、在直线上，且，则该直线所经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限D．第四象限
10．在平面直角坐标系中，点M（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，2）D．（3，﹣2）
11．下列长度的每组三根小木棒，能组成三角形的一组是（ ）
A．3，3，6B．4，5，10C．3，4，5D．2，5，3
12．下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在中，，，点是边上的动点，设，当为直角三角形时，的值是__________.
14．计算：____，_____．
15．如图，等边△中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为_____.
16．平面直角坐标系中，点与点之间的距离是____．
17．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=，如3※2=．那么4※8=________．
18．清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开”，若苔花的花粉直径约为0.0000084米，用科学记数法表示为______米.
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，若S△ABD＝12，求DF的长.
20．（8分）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．
（1）若，求的长；
（2）若，求证：是等腰三角形．
21．（8分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣11n+22＝1，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣11n+22＝1，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣11n+22）＝1．
∴（m﹣n）2+（n﹣2）2＝1，
∴m﹣n＝1，n﹣2＝1．
∴n＝2，m＝2．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知：x2+2xy+2y2+4y+4＝1，求xy的值；
（2）已知：△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足：a2+b2﹣16a﹣12b+111＝1，求△ABC的周长的最大值；
（3）已知：△ABC的三边长是a，b，c，且满足：a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝1，试判断△ABC是什么形状的三角形并说明理由．
22．（10分）如图，直线y=-x+1和直线y=x-2相交于点P，分别与y轴交于A、B两点．
（1）求点P的坐标；
（2）求△ABP的面积；
（3）M、N分别是直线y=-x+1和y=x-2上的两个动点，且MN∥y轴，若MN=5，直接写出M、N两点的坐标．
23．（10分）如图，在中，，，，若点从点出发以/的速度向点运动，点从点出发以/的速度向点运动，设、分别从点、同时出发，运动的时间为．
（1）求、的长(用含的式子表示)．
（2）当为何值时，是以为底边的等腰三角形？
（3）当为何值时，//？
24．（10分）面对资源紧缺与环境保护问题，发展电动汽车成为汽车工业发展的主流趋势．我国某著名汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车．
每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
在的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发元的工资，给每名新工人每月发元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额（元）尽可能的少？
25．（12分）如图，在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD相交于点F．若AE、CD分别为△ABC的角平分线．
（1）求∠AFC的度数；
（2）若AD=3，CE=2，求AC的长．
26．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过M作MP∥AD交AC于P，求证：AB+AP=PC．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】由题意直接根据众数和中位数的定义求解可得．
【详解】解：∵这组数据中15出现5次，次数最多，
∴众数为15岁，
中位数是第6、7个数据的平均数，
∴中位数为=15.5岁，
故选：C．
【点睛】
本题考查众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
2、B
【解析】∵x2−kxy+9y2是完全平方式，
∴−kxy=±2×3y⋅x，
解得k=±6.
故选B.
3、A
【分析】使分母等于0的未知数的值是分式方程的增根，即x=2，将x=2代入化简后的整式方程中即可求出k的值.
【详解】，
去分母得：1+2（x-2）=kx-1，
整理得：2x-2=kx，
∵分式方程有增根，
∴x=2，
将x=2代入2x-2=kx，
2k=2，
k=1，
故选：A.
【点睛】
此题考查分式方程的增根，正确理解增根的意义得到未知数的值是解题的关键.
4、C
【分析】可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a、b的恒等式．
【详解】解：正方形中，S阴影=a2-b2；
梯形中，S阴影=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；
故所得恒等式为：a2-b2=（a+b）（a-b）．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
5、A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为（，n为正整数）．与较大数的科学记数法不同的是其所用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
故选：A
【点睛】
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6、C
【分析】直接根据角平分线的性质即可得出结论．
【详解】∵O是△ABC三条角平分线的交点，AB、BC、AC的长分别12，18，21，∴S△OAB：S△OBC：S△OAC=AB：OB：AC=12：18：21=2：3：1．
故选C．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
7、D
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边进行判断即可.
【详解】A：，故不能构成三角形；
B：，故不能构成三角形；
C：，故不能构成三角形；
D：，故可以构成三角形；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了三角形三边的关系，熟练掌握相关概念是解题关键.
8、D
【解析】试题分析：延长TS，
∵OP∥QR∥ST，
∴∠2=∠4，
∵∠3与∠ESR互补，
∴∠ESR=180°﹣∠3，
∵∠4是△FSR的外角，
∴∠ESR+∠1=∠4，即180°﹣∠3+∠1=∠2，
∴∠2+∠3﹣∠1=180°．
故选D．
考点：平行线的性质．
9、B
【分析】通过比较直线上两点的坐标大小，即可判断该一次函数的增减性，从而判断其所经过的象限．
【详解】解：在直线上两点、满足：a＜a＋1，
∴此函数y随x的增大而减小
∴k＜0，
∵2＞0
∴该直线经过第一、二、四象限
故选B．
【点睛】
此题考查的是判断直线所经过的象限，掌握一次函数的增减性与各项系数的关系是解决此题的关键．
10、C
【分析】直接利用关于y轴对称则纵坐标相等横坐标互为相反数进而得出答案．
【详解】解：点M（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为：（3，2）．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是关于x轴、y轴对称的点的坐标，属于基础题目，易于掌握．
11、C
【分析】根据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A、3+3＝6，不能构成三角形；
B、4+5＜10，不能构成三角形；
C、3+4＞5，,能够组成三角形；
D、2+3＝5，不能组成三角形．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
12、B
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
【详解】解：化简得，最高次是2次，故A选项错误；
是二元一次方程，故B选项正确；
不是整式方程，故C选项错误；
最高次是2次，故D选项错误．
故选：B
【点睛】
本题主要考查的是二元一次方程的概念，正确的掌握二元一次方程的概念是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、或
【分析】分两种情况讨论：①∠APB=90°，②∠BAP=90°，分别作图利用勾股定理即可解出．
【详解】①当∠APB=90°时，如图所示，
在Rt△ABP中，AB=3，∠B=30°，
∴AP=AB=
∴BP=
②当∠BAP=90°时，如图所示，
在Rt△ABP中，AB=3，∠B=30°，
∴，
即
解得
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形中30度所对的直角边是斜边的一半．
14、
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂的意义可计算，根据积的乘方、以及单项式的除法可计算.
【详解】1×=，
.
故答案为：，
【点睛】
本题考查了零指数幂、负整数指数幂、积的乘方、以及单项式的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
15、1
【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小，最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′；
【详解】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BC，
∵BD⊥AC，
∴AD=DC=3.1cm，
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′，
∵AQ=2cm，AD=DC=3.1cm，
∴QD=DQ′=1.1cm，
∴CQ′=BP=2cm，
∴AP=AQ′=1cm，
∵∠A=60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′=PA=1cm，
∴PE+QE的最小值为：1cm．
故答案为1．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称的性质，以及最短距离问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
16、1
【分析】根据点的坐标与勾股定理，即可求解．
【详解】根据勾股定理得：AB=，
故答案是：1．
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系中两点的距离，掌握勾股定理是解题的关键．
17、
【分析】根据定义新运算公式和二次根式的乘法公式计算即可．
【详解】解：根据题意可得4※8=
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是定义新运算和二次根式的化简，掌握定义新运算公式和二次根式的乘法公式是解决此题的关键．
18、8.4×10－6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.0000084=8.4×10－6，
故答案为：8.4×10－6.
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
三、解答题（共78分）
19、DF=1.
【分析】根据角平分线性质得出DE=DF，根据三角形的面积公式求出DE的长，即可得出DF的长度．
【详解】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S△ABD=12，AB=6，
，
∴DE=1．
∴DF=1．
【点睛】
本题考查了角平分线定义的应用，能根据角平分线性质得出DE=DF是解此题的关键．
20、（1）；（2）见解析.
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，即，结合可求出，进而得到CE的长；
（2）根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠C＝72°，根据线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，求出∠EBA＝∠A＝36°，然后利用三角形外角的性质得到∠BEC＝72°即可得出结论.
【详解】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴∠ABC＝∠C＝，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝36°，
∴∠BEC＝∠EBA＋∠A＝72°，
∴∠C＝∠BEC，
∴BC＝BE，即是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，灵活运用相关性质定理进行推理计算是解题关键.
21、（1）；（2）△ABC周长的最大值为4；（3）△ABC是等边三角形．
【分析】（1）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可．
（2）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可．
（3）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵x2+2xy+2y2+4y+4＝1，
∴（x2+2xy+y2）+（y2+4y+4）＝1
∴（x+y）2+（y+2）2＝1，
∴x+y＝1，y+2＝1，
∴x＝2，y＝﹣2，
∴．
（2）∵a2+b2﹣16a﹣12b+111＝1
∴（a2﹣16a+64）+（b2﹣12b+36）＝1，
∴（a﹣8）2+（b﹣6）2＝1，
∴a＝8，b＝6
由三角形的三边关系可知2＜c＜14且c为正整数
∴c的最大值是3．
∴△ABC周长的最大值为4．
（3）结论：△ABC是等边三角形．
理由：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝1，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）＝1，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝1，
∴a＝b，b＝c，
即a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，非负数的性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定等知识，是三角形综合题，解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题．
22、（1）P点坐标为；（2） ；（3）M（4，-3） ，N（4,2） 或M（-1,2） ，N（-1,-3）
【分析】（1）通过两条直线方程联立成一个方程组，解方程组即可得到点P的坐标；
（2）利用三角形面积公式解题即可；
（3）分别设出M,N的坐标，利用MN=5建立方程求解即可.
【详解】解：（1）∵直线y=-x+1和直线y=x-2相交于点P
∴ 解之得：
∴P点坐标为：
（2）过P点作PD⊥y轴于点D
∵直线y=-x+1和直线y=x-2分别交y轴于A、B两点
当x=0时，
∴A（0,1），B（0，-2）
∴
∴
由（1）知P
∴

（3）∵M、N分别是直线y=-x+1和y=x-2上的两个动点，MN∥y轴，
∴M,N的横坐标相同
设
∵MN=5，

解得或
当时，，此时M（-1,2）,N（-1,-3）
当时，，此时M（4，-3），N（4,2）
综上所述，M（4，-3） ，N（4,2） 或M（-1,2） ，N（-1,-3）
【点睛】
本题主要考查两个一次函数的结合，掌握待定系数法及数形结合是解题的关键.
23、（1），；（2）;（3）．
【分析】（1）由题意，可知∠B=30°，AC=6cm．BP=2t，AP=AB−BP，AQ=t；
（2）若△APQ是以PQ为底的等腰三角形，则有AP=AQ，即12−2t=t，求出t即可；
（3）先根据直角三角形的性质求出∠B的度数，再由平行线的性质得出∠QPA的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）∵中，，，
∴，
又∵，
∴cm，
由题意得：，
则；
所以cm，cm
（2）若是以为底的等腰三角形，
则有，即，
∴，
∴当时，是以为底边的等腰三角形．
（3）∵在中，，，
∴，
若//，
则有，，
∴，
即，解得：，
故当时，//．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的判定及平行线的判定与性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．
24、 (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装、辆电动汽车．工厂有种新工人的招聘方案．①新工人人，熟练工人；②新工人人，熟练工人；③新工人人，熟练工人；④新工人人，熟练工人．当，时（即新工人人，熟练工人），工厂每月支出的工资总额（元）尽可能地少．
【解析】（1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车，根据“1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车”和“2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车”列方程组求解；
（2）设工厂有a名熟练工．根据新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，根据a，n都是正整数和0＜n＜10，进行分析n的值的情况；
（3）建立函数关系式，根据使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少，结合（2）进行分析即可得.
【详解】（1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车，
根据题意，得，解得，
答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车；
设工厂有名熟练工，
根据题意，得，
，
，
又，都是正整数，，
所以，，，．
即工厂有种新工人的招聘方案．
①，，即新工人人，熟练工人；
②，，即新工人人，熟练工人；
③，，即新工人人，熟练工人；
④，，即新工人人，熟练工人；
结合知：要使新工人的数量多于熟练工，则，；或，；或，，
根据题意，得
，
要使工厂每月支出的工资总额（元）尽可能地少，则应最大，
显然当，时，（即新工人人，熟练工人），工厂每月支出的工资总额（元）尽可能地少．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、一次方程组的应用，理解题意，正确找准等量关系以及各量间的数量关系是解题的关键.
25、（1）120°；（2）1
【分析】（1）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求解；（2）在AC上截取AG＝AD＝3，连接FG，证明△ADF≌△AGF, △CGF≌△CEF，根据全等三角形性质解答．
【详解】解：（1）∵AE、CD分别为△ABC的角平分线，
∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠BCA ．
∵∠B=60°，∴∠BAC+∠BCA=120°．
∴∠AFC=180﹣∠FAC﹣∠FCA=180﹣（∠BAC+∠BCA）=120°
（2）如图，在AC上截取AG=AD=3，连接FG，
∵AE、CD分别为△ABC的角平分线，
∴∠FAG=∠FAD，∠FCG=∠FCE，
∵∠AFC=120°，
∴∠AFD=∠CFE=60°．
在△ADF和△AGF中，
，
∴△ADF≌△AGF（SAS）．
∴∠AFD=∠AFG=60°，∠GFC=∠CFE=60°．
在△CGF和△CEF中，
，
∴△CGF≌△CEF（ASA）．
∴CG=CE=2，
∴AC=AG+ CG = 1．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定方法（“SAS”、“ASA”）和全等三角形的性质、角平分线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
26、证明见解析．
【分析】延长BA交MP的延长线于点E，过点B作BF∥AC，交PM的延长线于点F，由AD是∠BAC的平分线，AD∥PM得∠E=∠APE，AP=AE，再证△BMF≌△CMP，得PC=BF，∠F=∠CPM，进而即可得到结论．
【详解】延长BA交MP的延长线于点E，过点B作BF∥AC，交PM的延长线于点F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD∥PM
∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠APE=∠CPM
∴∠E=∠APE
∴AP=AE．
∵M是BC的中点，
∴BM=MC
∵BF∥AC
∴∠ACB=∠CBF，
又∵∠BMF=∠CMP，
∴△BMF≌△CMP（ASA），
∴PC=BF，∠F=∠CPM，
∴∠F=∠E，
∴BE=BF
∴PC=BE=BA+AE=BA+AP．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义以及平行线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及等腰三角形的判定定理，添加合适的辅助线，构造全等三角形和等腰三角形，是解题的关键．
年龄(单位：岁)
14
15
16
17
18
人数
1
5
3
2
1