江西省九江市六校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷(含答案)

这是一份江西省九江市六校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．抛物线的准线方程为( )
A.B.C.D.
2．已知随机变量,若,则等于( )
3．现有6名北京冬奥会志愿者,其中4名女志愿者,2名男志愿者随机从中一次抽出2名志愿者参与花样滑冰项目的志愿服务则抽出的2名都是女志愿者的概率是( )
A.B.C.D.
4．若平面外的直线l的方向向量为,平面的法向量为,则( )
A.B.C.D.l与斜交
5．已知双曲线的离心率是3,,分别是其左、右焦点,过点且与双曲线经过第一、三象限的渐近线平行的直线方程是( )
A.B.C.D.
6．设,则( )
A.B.C.D.-7
7．对于空间任一点O和不共线的三点A,B,C,有,则是P,A,B,C四点共面的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
8．已知椭圆的左、右焦点分别为和,点P在椭圆上且在x轴的上方若线段PF的中点Q在以原点O为圆心,为半径的圆上,则的面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设,对于直线,下列说法中正确的是( )
A.l的斜率为B.l在y轴上的截距为
C.l不可能平行于x轴D.l与直线垂直
10．在长方体中,,,则( )
A.直线AB与平面所成角的余弦值为
B.直线AD与平面所成角的正弦值为
C.点到平面的距离为
D.点到平面的距离为
11．一般地,我们把离心率相等的两个椭圆称为相似椭圆已知椭圆和椭圆是相似椭圆,则下列结论中正确的是( )
A.椭圆与椭圆相似
B.m可以取2
C.m可以取
D.双曲线的离心率为
12．由直线上的一点P向圆:引两条切线PA,PB,A,B是切点,则( )
A.线段PA长的最小值为
B.四边形PACB面积的最小值为
C.的最大值是
D.当点P的坐标为时,切点弦AB所在的直线方程为
三、填空题
13．在正四面体中,,,,D为BC的中点,E为AD的中点,则________(用,,表示).
14．从集合中任取3个不同的元素分别作为直线方程中的A，B，C，所得直线经过坐标原点的有____________条.
15．如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且.圆C的标准方程为________;
16．过点作斜率为k的直线l交双曲线于,两点,线段的中点在直线上,则实数k的值为________.
四、解答题
17．直线与圆C交于E、F两点,E、F两点的坐标分别为,,且,是方程的两根.
（1）求弦EF的长;
（2）若圆C的圆心为,求圆C的一般方程.
18．如图,已知四边形ABCD是边长为的正方形,底面ABCD,,设G是的重心,E是SD上的一点,且.
（1）试用基底表示向量;
（2）求线段GE的长.
19．已知动圆过定点,且在x轴上截得的弦AB的长为.
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程;
（2）过轨迹C上一个定点引它的两条弦PS,PT,若直线PS,PT的斜率存在,且直线ST的斜率为证明:直线PS,PT的倾斜角互补.
20．如图,在中,,于C,现将沿AC折叠,使为直二面角(如图2),D是棱AB的中点,连接CD、VB、VD.
（1）证明:平面平面VCD;
（2）若,且棱AB上有一点E满足,求二面角的正弦值.
21．在过去三年防疫攻坚战中,我国的中医中药起到了举世瞩目的作用.某公司收到国家药品监督管理局签发的散寒化湿颗粒《药品注册证书》,散寒化湿颗粒是依据第六版至第九版《新型冠状病毒肺炎诊疗方案》中的“寒湿疫方”研制的中药新药.初期为试验这种新药对新冠病毒的有效率,把该药分发给患有相关疾病的志愿者服用.
（1）若10位志愿者中恰有6人服药后有效,从这10位患者中选取3人,以表示选取的人中服药后有效的人数,求的分布列和数学期望;
（2）若有3组志愿者参加试验,甲,乙,丙组志愿者人数分别占总数的40%,32%,28%,服药后,甲组的有效率为64%,乙组的有效率为75%,丙组的有效率为80%,从中任意选取一人,发现新药对其有效,计算他来自乙组的概率.
22．设,为椭圆的左、右两个焦点,P为椭圆上一点,且,.
（1）求t的值;
（2）若直线与椭圆C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线经过点,证明:为定值.
参考答案
1．答案：B
解析：抛物线的焦点在轴上,且开口向右,,,
抛物线的准线方程为.
故选:B.
2．答案：C
解析：,在横轴上,a和关于2对称,
如图,由正态曲线的对称性可得.
故选:C.
3．答案：B
解析：现有6名北京冬奥会志愿者,其中4名女志愿者,2名男志愿者,
随机从中一次抽出2名志愿者参与花样滑冰项目的志愿服务,
基本事件总数,
抽出的2名都是女志愿者包含的基本事件个数,
则抽出的2名都是女志愿者的概率是.
故选:B.
4．答案：B
解析：根据题意,直线l的方向向量为,
平面的法向量为,易得,
又直线在平面外,则有.
故选:B.
5．答案：C
解析：由得,所以双曲线的右焦点是,
经过第一、三象限的渐近线方程是,
于是所求的直线方程是,即.
故选:C.
6．答案：D
解析：根据二项式展开式:,;
故当时,展开式中的系数为,
故.
故选:D.
7．答案：B
解析：若,则,即,
由共面定理可知向量,,共面,所以P,A,B,C四点共面;
反之,若P,A,B,C四点共面,当O与四个点中的一个比如A点重合时,
,x可取任意值,不一定有,
所以是P,A,B,C四点共面的充分不必要条件.
故选:B.
8．答案：C
解析：因为椭圆方程为,
所以,,,
又线段PF的中点Q在以原点O为圆心,为半径的圆上,
所以垂直平分线段PF,所以,
又因为,所以,,
在直角三角形中,,
于是的面积为.
故选:C.
9．答案：BD
解析：对于A,直线,
则l的斜率为,故A错误;
对于B,令,解得,
故l在y轴上的截距为,故B正确;
对于C,当时,直线,平行于轴,故C错误;
对于D,当时,直线与直线显然垂直,
当时,直线的斜率为,
直线l的斜率为,
所以,故D正确.
故选:BD.
10．答案：BCD
解析：在长方体中,,,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,
,,,,,,,,,
设平面的法向量为,则,取,得,
对于A,设直线AB与平面所成角为,
直线AB与平面所成角的正弦值为:;
直线AB与平面所成角的余弦值为,故A错误;
对于B,,设直线AD与平面所成角为,
则,直线AD与平面所成角的正弦值为,故B正确;
对于,点到平面的距离为,故C正确;
对于,点到平面的距离为,故D正确.
故选:BCD.
11．答案：ABC
解析：对于A,椭圆与椭圆的离心率分别为,,
椭圆与椭圆相似,故A正确;
对于B,C,根据题意可得或,
解得或,故B,C选项正确;
对于D,因为双曲线的离心率为或,
即双曲线的离心率为或,故D选项错误.
故选:ABC.
12．答案：AD
解析：将化为标准方程:,
可知圆C的圆心为,半径为.
对于选项A:因为圆心到直线的距离,
可知,可得,
所以线段PA长的最小值为,故A正确;
对于选项B:因为四边形PACB面积,
由选项A可知:四边形PACB面积的最小值为,故B错误;
对于选项C:因为,
所以的最小值为,故C错误;
对于选项D:因为,,可知点A,B在以PC为直径的圆上,
当点P的坐标为0,1时,则PC的中点为,且,
即点A,B在圆,即上,
将与作差可得,
所以切点弦AB所在的直线方程,故D正确.
故选:AD.
13．答案：
解析：因为在四面体中,,,,D为BC的中点,E为AD的中点,
,故答案为.
14．答案：30
解析：本题就是给A，B，C赋值.首先要清楚直线过原点的条件，即，所以下面只需安排A，B.从1，2，3，5，7，11这6个数中任取2个作为A，B的值，分为两步：第一步，取一个数作为A，有6种情况；第二步，从剩下的5个数中取一个数作为B，有5种情况.根据分步计数原理得，所求直线的条数为.
15．答案：
解析：由题意,圆的半径为,圆心坐标为(1,),
圆C的标准方程为.
16．答案：/
解析：由题意可设l的方程为.联立消去y得,.
显然.设,,则,解得.
由得,显然不适合,适合.
故答案为:
17．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）依题意,,,,,
则,
所以弦EF的长为.
（2）圆心到直线的距离,
设圆C的半径为r,则,因此圆C的半径长为3,
所以圆C的方程是,即.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）连接AE,延长AG,交BC于F,
由G为的重心,得AF是BC边上的中线,且,
结合,得,
因为,所以,整理得,
因此,;
（2）因为底面ABCD,,底面ABCD是边长为1的正方形,
所以,,,
可得
,
所以,即线段GE的长为.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设动圆圆心D的坐标为,则,
整理得,,故所求动圆圆心的轨迹C的方程为.
（2）证明:设,,则有,,,
直线ST的斜率为,所以,
于是
.
故直线PS,PT的倾斜角互补.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:在图2中,,D是AB的中点,,
而,,故为二面角的平面角,
又为直二面角,,
而,BC,平面ABC,故平面ABC,
而平面ABC,,且,平面VCD,
因此平面VCD,又平面VAB,平面平面VCD.
（2）以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
因,所以,那么,
设平面VCE的法向量,
由且,得,取,则,
设平面VAB的一个法向量,,,
则,即,令,则,所以,
于是,
所以二面角的正弦值为.
21．答案：（1）分布列见解析,
（2）
解析：（1）由题意可知的可能取值有0、1、2、3,
,,
,,
所以随机变量的分布列如下表所示:
所以,.
（2）设“任取一人新药对其有效”,“患者来自第i组”（,2,3,分别对应甲,乙,丙）,
则,且,,两两互斥,根据题意得:
,,,
,,,
由全概率公式,得
,
任意选取一人,发现新药对其有效,计算他来自于乙组的概率
,
所以,任意选取一人,发现新药对其有效,则他来自乙组的概率为.
22．答案：（1）2
（2）证明见解析
解析：（1）由椭圆的方程可得,,,
因为,则P的横坐标为c,代入到椭圆的方程可得,
即P的纵坐标的绝对值为,
所以,,
因为,即,解得;
（2）由（1）可得椭圆的方程为:,
设,,
联立,整理可得,
由,即,
所以,,
所以AB的中点,
因为AB的中垂线过,所以,即,
整理可得,即证明为定值,且定值为.
0
1
2
3
P