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2023-2024学年江西省九江市六校高二（上）期末数学试卷（北师大版）（含解析）
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这是一份2023-2024学年江西省九江市六校高二（上）期末数学试卷（北师大版）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y2=x的准线方程为( )
A. x=14B. x=−14C. y=14D. y=−14
2.已知随机变量X～N(2,σ2)，若P(XA. 0.32B. 0.68C. 0.36D. 0.64
3.现有6名北京冬奥会志愿者，其中4名女志愿者，2名男志愿者.随机从中一次抽出2名志愿者参与花样滑冰项目的志愿服务.则抽出的2名都是女志愿者的概率是( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
4.若平面α外的直线l的方向向量为a=(1,0,−2)，平面α的法向量为m=(8,−1,4)，则( )
A. l⊥αB. 1//αC. a//mD. l与α斜交
5.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的离心率是3，F1，F2分别是其左、右焦点，过点F2且与双曲线经过第一、三象限的渐近线平行的直线方程是( )
A. 8x−y−24=0B. 2 2x+y−6 2=0
C. 2 2x−y−6 2=0D. 2 2x−y−2 14=0
6.设(x−2)8+441x5=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，则a5=( )
A. 7B. −6C. 889D. −7
7.对于空间任一点O和不共线的三点A，B，C，有OP=xOA+yOB+zOC，则x+y+z=1是P，A，B，C四点共面的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
8.已知椭圆x29+y25=1的左、右焦点分别为F和F′，点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点Q在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则△PFF′的面积为( )
A. 152B. 2 3C. 15D. 17
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设α∈R，对于直线l：xsinα+y+2=0，下列说法中正确的是( )
A. l的斜率为sinαB. l在y轴上的截距为−2
C. l不可能平行于x轴D. l与直线x−ysinα−1=0垂直
10.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，则( )
A. 直线AB与平面ACD1所成角的余弦值为13
B. 直线AD与平面ACD1所成角的正弦值为23
C. 点A1到平面ACD1的距离为23
D. 点B1到平面ACD1的距离为43
11.一般地，我们把离心率相等的两个椭圆称为相似椭圆.已知椭圆x26+y24=1和椭圆x23+y2m=1(m>0)是相似椭圆，则下列结论中正确的是( )
A. 椭圆x26+y24=1与椭圆x212+y28=1相似
B. m可以取2
C. m可以取92
D. 双曲线x23−y2m=1的离心率为 153
12.由直线l：x−y+1=0上的一点P向圆C：x2−6x+y2+8=0引两条切线PA，PB，A，B是切点，则( )
A. 线段PA长的最小值为 7
B. 四边形PACB面积的最小值为 72
C. cs∠APB的最大值是34
D. 当点P的坐标为(0,1)时，切点弦AB所在的直线方程为3x−y−8=0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图所示，在四面体O−ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE=______(用a，b，c表示)．
14.从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有______条(用数值表示)
15.若圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B，且|AB|=2.则圆C的标准方程为______．
16.过点A(0,1)作斜率为k的直线l交双曲线x2−y22=1于P1，P2两点，线段P1P2的中点在直线x=12上，则实数k的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
直线2x−y−3=0与圆C交于E、F两点，E、F两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，且x1，x2是方程5x2−4x−5=0的两根．
(1)求弦EF的长；
(2)若圆C的圆心为(2,−3)，求圆C的一般方程．
18.(本小题12分)
如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，SA⊥底面ABCD，SA=2，设G是△ABC的重心，E是SD上的一点，且SE=3ED．
(1)试用基底{AB,AD,AS}表示向量GE；
(2)求线段GE的长．
19.(本小题12分)
已知动圆过定点M(0,4)，且在x轴上截得的弦AB的长为8．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)过轨迹C上一个定点P(m,n)(m≠0)引它的两条弦PS，PT，若直线PS，PT的斜率存在，且直线ST的斜率为−m4.证明：直线PS，PT的倾斜角互补．
20.(本小题12分)
如图1，在△ABV中，AC=BC=CV，AC⊥VB于C.现将△ABV沿AC折叠，使V−AC−B为直二面角(如图2)，D是棱AB的中点，连接CD、VB、VD．
(1)证明：平面VAB⊥平面VCD；
(2)若AC=1，且棱AB上有一点E满足BE=14BA，求二面角C−VE−A的正弦值．
21.(本小题12分)
在过去三年防疫攻坚战中，我国的中医中药起到了举世瞩目的作用.某公司收到国家药品监督管理局签发的散寒化湿颗粒《药品注册证书》，散寒化湿颗粒是依据第六版至第九版《新型冠状病毒肺炎诊疗方案》中的“寒湿疫方”研制的中药新药.初期为试验这种新药对新冠病毒的有效率，把该药分发给患有相关疾病的志愿者服用．
(1)若10位志愿者中恰有6人服药后有效，从这10位患者中选取3人，以ξ表示选取的人中服药后有效的人数，求ξ的分布列和数学期望；
(2)若有3组志愿者参加试验，甲，乙，丙组志愿者人数分别占总数的40%，32%，28%，服药后，甲组的有效率为64%，乙组的有效率为75%，丙组的有效率为80%，从中任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自乙组的概率．
22.(本小题12分)
设F1，F2为椭圆C：x2t+y2=1(t>1)的左、右两个焦点，P为椭圆上一点，且PF2⊥F1F2,|PF1||PF2|=3．
(1)求t的值；
(2)若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点N(0,−12)，证明：k2−m为定值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，由此可得抛物线y2=x的准线方程．
本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键．
【解答】
解：抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，
∴p2=14，
∴抛物线y2=x的准线方程为x=−14．
故选：B．
2.【答案】C
【解析】解：∵随机变量X～N(2,σ2)，
∴其图象关于直线x=2对称，
∵P(X∴P(a≤X<2)=0.5−0.32=0.18，
∴P(a≤X<4−a)=2P(a≤X<2)=2×0.18=0.36．
故选：C．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：现有6名北京冬奥会志愿者，其中4名女志愿者，2名男志愿者，
随机从中一次抽出2名志愿者参与花样滑冰项目的志愿服务，
基本事件总数n=C62=15，
抽出的2名都是女志愿者包含的基本事件个数m=C42=6，
则抽出的2名都是女志愿者的概率是P=mn=615=25．
故选：B．
基本事件总数n=C62=15，抽出的2名都是女志愿者包含的基本事件个数m=C42=6，由此能求出抽出的2名都是女志愿者的概率．
本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，直线l的方向向量为a=(1,0,−2)，平面α的法向量为m=(8,−1,4)，
易得a⋅m=1×8−2×4=0，
又由直线l在平面α外，则有l//α．
故选：B．
根据题意，分析可得a⋅m=1×8−2×4=0，由直线与平面的位置关系分析可得答案．
本题考查空间向量的应用，涉及直线与平面位置关系的判断，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由3=ca= 1+b2得，b2=8.双曲线x2−y28=1的右焦点是F2(3,0)，
经过第一、三象限的渐近线方程是y=2 2x.
于是所求的直线方程是y−0=2 2(x−3)，
即2 2x−y−6 2=0．
故选：C．
利用双曲线的离心率，求出b，求出渐近线方程，求出焦点坐标，利用点斜式求解直线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质以及双曲线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
6.【答案】D
【解析】解：根据(x−2)8二项式展开式：Tr+1=C8r⋅(−2)r⋅x8−r，(r=0,1,…,8)；
故当r=3时，系数为−23C83=−448，
故a5=−448+441=−7．
故选：D．
直接利用二项式的展开式求出结果．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：若x+y+z=1，则OP=(1−y−z)OA+yOB+zOC，即AP=yAB+zAC，
由共面定理可知向量AP，AB，AC共面，所以P，A，B，C四点共面；
反之，若P，A，B，C四点共面，当O与四个点中的一个(比如A点)重合时，
OA=0，x可取任意值，不一定有x+y+z=1，
则x+y+z=1是P，A，B，C四点共面的充分不必要条件．
故选：B．
从共面向量定理出发，判断对于空间任意一点O和不共线三点A，B，C，点P满足OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1向量AP，AB，AC共面，得到P，A，B，C四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案．
本题考查共线向量与共面向量定理，考查充要条件的判断，考查计算能力，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：因为椭圆方程为x29+y25=1，
所以a=3，b= 5，c= a2−b2=2，
又线段PF的中点Q在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，
所以F′Q垂直平分线段PF，所以|FF′|=|PF′|=4，
又因为|PF|+|PF′|=6，所以|PF|=2，|QF|=1，
在直角三角形FQF′中，|QF′|= 16−1= 15，
于是△PFF′的面积为12×|PF|×|QF′|=12×2× 15= 15．
故选：C．
由题意得到F′Q垂直平分线段PF，则|FF′|=|PF′|=4，再根据椭圆的定义式和勾股定理即可求解．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：直线l：xsinα+y+2=0，
则l的斜率为−sinα，故A错误；
令x=0，解得y=−2，
故l在y轴上的截距为−2，故B正确；
当sinα=0时，直线l：y=−2，平行于x轴，故C错误；
直线x−ysinα−1=0的斜率为1sinα，
直线l的斜率为−sinα，
1sinα⋅(−sinα)=−1，故D正确．
故选：BD．
根据已知条件，结合直线的斜率、截距的定义，以及直线垂直的性质，即可求解．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，
以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,2,1)，D1(0,0,1)，
AC=(−1,2,0)，AD1=(−1,0,1)，
设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z)，
则AC⋅n=−x+2y=0AD1⋅n=−x+z=0，取x=2，得n=(2,1,2)，
对于A，AB=(0,2,0)，
设直线AB与平面ACD1所成角为θ，
∴直线AB与平面ACD1所成角的正弦值为：
sinθ=|AB⋅n||AB|⋅|n|=22×3=13，
∴直线AB与平面ACD1所成角的余弦值为 1−(13)2=2 23，故A错误；
对于B，AD=(−1,0,0)，
设直线AD与平面ACD1所成角为α，
则sinα=|AD⋅n||AD|⋅|n|=23，
∴直线AD与平面ACD1所成角的正弦值为23，故B正确；
对于C，AA1=(0,0,1)，
∴点A1到平面ACD1的距离为d=|AA1⋅n||n|=23，故C正确；
对于D，AB1=(0,2,1)，
∴点B1到平面ACD1的距离为d=|AB1⋅n||n|=43，故D正确．
故选：BCD．
以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
本题考查线面角、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：根据题意可得 6−4 6= 3−m 3(03)，
解得m=2或m=92，∴B，C选项正确；
∵椭圆x26+y24=1与椭圆x212+y28=1的离心率分别为1 3，22 3=1 3，
∴椭圆x26+y24=1与椭圆x212+y28=1相似，∴A选项正确；
∵双曲线x23−y2m=1的离心率为 3+m 3= 3+2 3或 3+92 3，
即双曲线x23−y2m=1的离心率为 153或 102，∴D选项错误．
故选：ABC．
根据椭圆的几何性质，双曲线的几何性质，即可分别求解．
本题考查椭圆的几何性质，双曲线的几何性质，属基础题．
12.【答案】AD
【解析】解：将圆C：x2−6x+y2+8=0化为标准方程：(x−3)2+y2=1，其圆心为(3,0)，半径为1．
对于A，|PA|= |CP|2−1,|CP|min=|3−0+1| 2=2 2，所以线段PA长的最小值为 7，故A对；
对于B，四边形PACB面积的最小值为2×12× 7×1= 7，故B错；
对于C，因为cs∠APB=cs2∠APC=2cs2∠APC−1=2(1−sin2∠APC)−1=2(1−1|CP|2)−1，
所以cs∠APB的最小值为2(1−18)−1=34，故C错；
当点P的坐标为(0,1)时，切点弦AB所在的直线方程为(0−3)(x−3)+y=1，即3x−y−8=0，故D对．
故选：AD．
结合图形，由圆与直线相切的相关知识逐一判定各选项即可．
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
13.【答案】12a+14b+14c
【解析】解：∵E为AD的中点，
∴OE=12OA+12OD，
又∵D为BC中点，
∴OD=12OB+12OC，
∴OE=12a+14b+14c．
故答案为：12a+14b+14c．
根据向量加法与减法法则可以直接得到结果．
本题主要考查向量的加法与减法法则，属于基础题．
14.【答案】30
【解析】解：若直线方程Ax+By+C=0经过坐标原点，则C=0，那么A，B任意取两个即可，有A62=30，
故答案为：30．
先根据条件知道C=0，再根据计算原理计算即可．
本题考查了直线过原点的条件和计数原理的应用．
15.【答案】(x−1)2+(y− 2)2=2
【解析】解：圆C与x轴相切于点T(1,0)，|AB|=2，
则圆心横坐标为1，圆的半径r= 12+(22)2= 2，即圆心纵坐标为 2，
故圆C的标准方程为(x−1)2+(y− 2)2=2．
故答案为：(x−1)2+(y− 2)2=2．
根据已知条件呢，结合切点的性质，依次求出圆心、半径，即可求解．
本题主要考查圆的标准方程的求解，属于基础题．
16.【答案】 3−1
【解析】解：设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，线段P1P2的中点坐标为(12,y0)，则x1+x2=2×12=1，
因为P1，P2两点在双曲线上，
所以x12−y122=1x22−y222=1，两式相减得，k=y1−y2x1−x2=2(x1+x2)y1+y2=1y0，
又直线l过点A(0,1)，所以k=y0−112−0=2(y0−1)，
所以1y0=2(y0−1)，解得y0=1± 32，
所以k=2(y0−1)=± 3−1，
联立y=kx+1x2−y22=1，得(2−k2)x2−2kx−3=0，
因为直线l与双曲线有两个交点，所以Δ=4k2+12(2−k2)>0，即− 3所以k= 3−1．
故答案为： 3−1．
设线段P1P2的中点坐标为(12,y0)，结合点差法与斜率公式，可得k=1y0=y0−112−0，从而求得y0的值，再联立直线l与双曲线的方程，利用Δ>0，可得k的取值范围，进而得解．
本题考查直线与双曲线的位置关系，熟练掌握点差法及其使用条件，直线与双曲线的交点个数问题是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为直线2x−y−3=0的斜率为2，x1+x2=45，x1x2=−1，
于是由弦长公式得，|EF|= 1+4 (x1+x2)2−4x1x2=2 1455，即弦EF的长为2 1455；
(2)圆心C(2,−3)到直线2x−y−3=0的距离d=|4+3−3| 5=4 5，
设圆C的半径为r，则r2=d2+(12|EF|)2=165+14525=9．
因此圆C的半径长为3，则圆C的标准方程是(x−2)2+(y+3)2=9，即x2+y2−4x+6y+4=0．
【解析】(1)利用弦长公式即可得；(2)利用点到直线的距离公式可得半径，从而确定圆的方程．
本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
18.【答案】解：(1)连接AE，延长AG，交BC于F，
由G为△ABC的重心，得AF是BC边上的中线，且AG=23AF，
结合AF=12(AB+AC)，得AG=13(AB+AC)=13(AB+AB+AD)=23AB+13AD，
因为SE=3ED，所以AE−AS=3(AD−AE)，整理得AE=34AD+14AS，
因此，GE=AE−AG=(34AD+14AS)−(23AB+13AD)=−23AB+512AD+14AS；
(2)因为SA⊥底面ABCD，SA=2，底面ABCD是边长为1的正方形，
所以SA⊥AB，SA⊥AD，AB⊥AD，
可得GE2=(−23AB+512AD+14AS)2=49AB2+25144AD2+116AS2−2036AB⋅AD−412AB⋅AS+1048AD⋅AS
=49AB2+25144AD2+116AS2=49+25144+14=125144，
所以|GE|= 125144=5 512，即线段GE的长为5 512．
【解析】(1)连接AE，延长AG，交BC于F，根据三角形重心的性质与该四棱锥的结构特征，算出用基底{AB,AD,AS}表示向量GE的式子；
(2)根据题意，AB、AD、AS两两垂直，可用向量数量积的运算性质，结合题中所给的数据算出线段GE的长．
本题主要考查三角形重心的性质、空间向量的线性运算、向量的数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设动圆圆心D的坐标为(x,y)，则(x−0)2+(y−4)2=42+y2，
整理得，x2=8y，故所求动圆圆心的轨迹C的方程为x2=8y．
(2)证明：设S(x1,y1)，T(x2,y2)，则有m2=8n，x12=8y1，x22=8y2，
直线ST的斜率为y1−y2x1−x2=x1+x28=−m4，所以x1+x2=−2m，
于是kPS+kPT=y1−nx1−m+y2−nx2−m=18x12−18m2x1−m+18x22−18m2x2−m
=x1+m8+x2+m8=x1+x2+2m8=0，
故直线PS，PT的倾斜角互补．
【解析】(1)设动圆圆心D的坐标为(x,y)，由题意可得(x−0)2+(y−4)2=42+y2，化简整理即可求得动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)由两点的斜率公式，结合已知条件计算kPS+kPT=0，即可得证．
本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】(1)证明：在图2中，∵AC=BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，又V−AC−B为直二面角，VC⊥AC，
∴VC⊥底面ABC，而AB⊂平面ABC，
∴VC⊥AB，且VC∩CD=C，CD⊂平面VCD.VC⊂平面VCD，
因此AB⊥平面VCD，又AB⊂平面VAB，
∴平面VAB⊥平面VCD；
(2)解：以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，V(0,0,1)，CV=(0,0,1)，
因BE=14BA，所以E(14,34,0)，那么CE=(14,34,0)，
设平面VCE的法向量t=(m,n,p)，
由CV⋅t=0且CE⋅t=0，得p=0且14m+34n=0，取n=1，则t=(−3,1,0)，
设平面VAB的一个法向量s=(a,b,c)，VA=(1,0,−1),VB=(0,1,−1)，
则s⋅VA=0VB⋅s=0，即a−c=0b−c=0，令a=1，则b=c=1，所以s=(1,1,1)，
于是cs〈s,t〉=s⋅t|s|⋅|t|=−3+1 3⋅ (−3)2+1=− 3015，
所以二面角C−VE−A的正弦值为 1−(− 3015)2= 19515．
【解析】(1)证明CD⊥AB，VC⊥AC，通过VC⊥底面ABC，证明VC⊥AB，然后推出AB⊥平面VCD，即可证明平面VAB⊥平面VCD；
(2)以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，求出平面VCE的法向量，平面VAB的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角C−VE−A的余弦值即可求出正弦值．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可知ξ的可能取值有0、1、2、3，
又P(ξ=0)=C43C103=130，P(ξ=1)=C42C61C103=310，
P(ξ=2)=C41C62C103=12，P(ξ=3)=C63C103=16，
所以随机变量ξ的分布列如下表所示：
所以E(ξ)=0×130+1×310+2×12+3×16=95；
(2)设B=“任取一人新药对其有效”，
Ai=“患者来自第i组”(i=1,2,3，分别对应甲，乙，丙)，
则Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，根据题意得：
P(A1)=0.4，P(A2)=0.32，P(A3)=0.28，
P(B|A1)=0.64，P(B|A2)=0.75，P(B|A3)=0.8，
由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=0.4×0.64+0.32×0.75+0.28×0.8=0.72，
任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自于乙组的概率：
P(A2|B)=P(A2B)P(B)=P(A2)P(B|A2)P(B)=0.32×，
所以任意选取一人，发现新药对其有效，则他来自乙组的概率为13．
【解析】(1)由题意可知ξ的可能取值有0、1、2、3，分别求出相应的概率，进而求解；
(2)由全概率公式即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求解，条件概率与全概率公式的应用，贝叶斯公式的应用，属中档题．
22.【答案】解：(1)由椭圆的方程可得a= t，b=1，c= a2−b2= t−1，
因为PF2⊥F1F2，则P的横坐标为c，代入到椭圆的方程可得y2=1−c2a2=b4a2=1t，
即P的纵坐标的绝对值为1 t= tt，
所以|PF2|= tt，|PF1|=2a−|PF2|=2 t− tt，
因为|PF1||PF2|=3，即2 t− tt tt=3，
解得t=2；
(2)证明：由(1)可得椭圆的方程为：x22+y2=1，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=kx+mx22+y2=1，整理可得：(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，
Δ=16k2m2−4(1+2k2)⋅(2m2−2)>0，即m2<1+k2，
且x1+x2=−4km1+2k2，y1+y2=k(x1+x2)+2m=k⋅−4km1+2k2+2m=2m1+2k2，
所以AB的中点Q(−2km1+2k2,m1+2k2)，
因为AB的中垂线过N(0,−12)，所以kQN=−1k，
即m1+2k2+12−2km1+2k2=−1k，
整理可得：k2−m=−12．
即证明k2−m为定值，且定值为−12．
【解析】(1)由PF2⊥F1F2，可得P点的横坐标，代入椭圆的方程，可得P点的纵坐标，求出|PF1|，|PF2|的表达式，由题意可得t的值；
(2)联立直线的方程与椭圆的方程，两个两根之和，求出AB的中点Q的坐标，由题意可得QN⊥AB，由斜率之积为−1，整理可证得k2−m为定值．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．ξ
0
1
2
3
P
130
310
12
16
1.抛物线y2=x的准线方程为( )
A. x=14B. x=−14C. y=14D. y=−14
2.已知随机变量X～N(2,σ2)，若P(X
3.现有6名北京冬奥会志愿者，其中4名女志愿者，2名男志愿者.随机从中一次抽出2名志愿者参与花样滑冰项目的志愿服务.则抽出的2名都是女志愿者的概率是( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
4.若平面α外的直线l的方向向量为a=(1,0,−2)，平面α的法向量为m=(8,−1,4)，则( )
A. l⊥αB. 1//αC. a//mD. l与α斜交
5.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的离心率是3，F1，F2分别是其左、右焦点，过点F2且与双曲线经过第一、三象限的渐近线平行的直线方程是( )
A. 8x−y−24=0B. 2 2x+y−6 2=0
C. 2 2x−y−6 2=0D. 2 2x−y−2 14=0
6.设(x−2)8+441x5=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，则a5=( )
A. 7B. −6C. 889D. −7
7.对于空间任一点O和不共线的三点A，B，C，有OP=xOA+yOB+zOC，则x+y+z=1是P，A，B，C四点共面的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
8.已知椭圆x29+y25=1的左、右焦点分别为F和F′，点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点Q在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则△PFF′的面积为( )
A. 152B. 2 3C. 15D. 17
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设α∈R，对于直线l：xsinα+y+2=0，下列说法中正确的是( )
A. l的斜率为sinαB. l在y轴上的截距为−2
C. l不可能平行于x轴D. l与直线x−ysinα−1=0垂直
10.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，则( )
A. 直线AB与平面ACD1所成角的余弦值为13
B. 直线AD与平面ACD1所成角的正弦值为23
C. 点A1到平面ACD1的距离为23
D. 点B1到平面ACD1的距离为43
11.一般地，我们把离心率相等的两个椭圆称为相似椭圆.已知椭圆x26+y24=1和椭圆x23+y2m=1(m>0)是相似椭圆，则下列结论中正确的是( )
A. 椭圆x26+y24=1与椭圆x212+y28=1相似
B. m可以取2
C. m可以取92
D. 双曲线x23−y2m=1的离心率为 153
12.由直线l：x−y+1=0上的一点P向圆C：x2−6x+y2+8=0引两条切线PA，PB，A，B是切点，则( )
A. 线段PA长的最小值为 7
B. 四边形PACB面积的最小值为 72
C. cs∠APB的最大值是34
D. 当点P的坐标为(0,1)时，切点弦AB所在的直线方程为3x−y−8=0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图所示，在四面体O−ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE=______(用a，b，c表示)．
14.从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有______条(用数值表示)
15.若圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B，且|AB|=2.则圆C的标准方程为______．
16.过点A(0,1)作斜率为k的直线l交双曲线x2−y22=1于P1，P2两点，线段P1P2的中点在直线x=12上，则实数k的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
直线2x−y−3=0与圆C交于E、F两点，E、F两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，且x1，x2是方程5x2−4x−5=0的两根．
(1)求弦EF的长；
(2)若圆C的圆心为(2,−3)，求圆C的一般方程．
18.(本小题12分)
如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，SA⊥底面ABCD，SA=2，设G是△ABC的重心，E是SD上的一点，且SE=3ED．
(1)试用基底{AB,AD,AS}表示向量GE；
(2)求线段GE的长．
19.(本小题12分)
已知动圆过定点M(0,4)，且在x轴上截得的弦AB的长为8．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)过轨迹C上一个定点P(m,n)(m≠0)引它的两条弦PS，PT，若直线PS，PT的斜率存在，且直线ST的斜率为−m4.证明：直线PS，PT的倾斜角互补．
20.(本小题12分)
如图1，在△ABV中，AC=BC=CV，AC⊥VB于C.现将△ABV沿AC折叠，使V−AC−B为直二面角(如图2)，D是棱AB的中点，连接CD、VB、VD．
(1)证明：平面VAB⊥平面VCD；
(2)若AC=1，且棱AB上有一点E满足BE=14BA，求二面角C−VE−A的正弦值．
21.(本小题12分)
在过去三年防疫攻坚战中，我国的中医中药起到了举世瞩目的作用.某公司收到国家药品监督管理局签发的散寒化湿颗粒《药品注册证书》，散寒化湿颗粒是依据第六版至第九版《新型冠状病毒肺炎诊疗方案》中的“寒湿疫方”研制的中药新药.初期为试验这种新药对新冠病毒的有效率，把该药分发给患有相关疾病的志愿者服用．
(1)若10位志愿者中恰有6人服药后有效，从这10位患者中选取3人，以ξ表示选取的人中服药后有效的人数，求ξ的分布列和数学期望；
(2)若有3组志愿者参加试验，甲，乙，丙组志愿者人数分别占总数的40%，32%，28%，服药后，甲组的有效率为64%，乙组的有效率为75%，丙组的有效率为80%，从中任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自乙组的概率．
22.(本小题12分)
设F1，F2为椭圆C：x2t+y2=1(t>1)的左、右两个焦点，P为椭圆上一点，且PF2⊥F1F2,|PF1||PF2|=3．
(1)求t的值；
(2)若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点N(0,−12)，证明：k2−m为定值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，由此可得抛物线y2=x的准线方程．
本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键．
【解答】
解：抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，
∴p2=14，
∴抛物线y2=x的准线方程为x=−14．
故选：B．
2.【答案】C
【解析】解：∵随机变量X～N(2,σ2)，
∴其图象关于直线x=2对称，
∵P(X
∴P(a≤X<4−a)=2P(a≤X<2)=2×0.18=0.36．
故选：C．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：现有6名北京冬奥会志愿者，其中4名女志愿者，2名男志愿者，
随机从中一次抽出2名志愿者参与花样滑冰项目的志愿服务，
基本事件总数n=C62=15，
抽出的2名都是女志愿者包含的基本事件个数m=C42=6，
则抽出的2名都是女志愿者的概率是P=mn=615=25．
故选：B．
基本事件总数n=C62=15，抽出的2名都是女志愿者包含的基本事件个数m=C42=6，由此能求出抽出的2名都是女志愿者的概率．
本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，直线l的方向向量为a=(1,0,−2)，平面α的法向量为m=(8,−1,4)，
易得a⋅m=1×8−2×4=0，
又由直线l在平面α外，则有l//α．
故选：B．
根据题意，分析可得a⋅m=1×8−2×4=0，由直线与平面的位置关系分析可得答案．
本题考查空间向量的应用，涉及直线与平面位置关系的判断，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由3=ca= 1+b2得，b2=8.双曲线x2−y28=1的右焦点是F2(3,0)，
经过第一、三象限的渐近线方程是y=2 2x.
于是所求的直线方程是y−0=2 2(x−3)，
即2 2x−y−6 2=0．
故选：C．
利用双曲线的离心率，求出b，求出渐近线方程，求出焦点坐标，利用点斜式求解直线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质以及双曲线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
6.【答案】D
【解析】解：根据(x−2)8二项式展开式：Tr+1=C8r⋅(−2)r⋅x8−r，(r=0,1,…,8)；
故当r=3时，系数为−23C83=−448，
故a5=−448+441=−7．
故选：D．
直接利用二项式的展开式求出结果．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：若x+y+z=1，则OP=(1−y−z)OA+yOB+zOC，即AP=yAB+zAC，
由共面定理可知向量AP，AB，AC共面，所以P，A，B，C四点共面；
反之，若P，A，B，C四点共面，当O与四个点中的一个(比如A点)重合时，
OA=0，x可取任意值，不一定有x+y+z=1，
则x+y+z=1是P，A，B，C四点共面的充分不必要条件．
故选：B．
从共面向量定理出发，判断对于空间任意一点O和不共线三点A，B，C，点P满足OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1向量AP，AB，AC共面，得到P，A，B，C四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案．
本题考查共线向量与共面向量定理，考查充要条件的判断，考查计算能力，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：因为椭圆方程为x29+y25=1，
所以a=3，b= 5，c= a2−b2=2，
又线段PF的中点Q在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，
所以F′Q垂直平分线段PF，所以|FF′|=|PF′|=4，
又因为|PF|+|PF′|=6，所以|PF|=2，|QF|=1，
在直角三角形FQF′中，|QF′|= 16−1= 15，
于是△PFF′的面积为12×|PF|×|QF′|=12×2× 15= 15．
故选：C．
由题意得到F′Q垂直平分线段PF，则|FF′|=|PF′|=4，再根据椭圆的定义式和勾股定理即可求解．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：直线l：xsinα+y+2=0，
则l的斜率为−sinα，故A错误；
令x=0，解得y=−2，
故l在y轴上的截距为−2，故B正确；
当sinα=0时，直线l：y=−2，平行于x轴，故C错误；
直线x−ysinα−1=0的斜率为1sinα，
直线l的斜率为−sinα，
1sinα⋅(−sinα)=−1，故D正确．
故选：BD．
根据已知条件，结合直线的斜率、截距的定义，以及直线垂直的性质，即可求解．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，
以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,2,1)，D1(0,0,1)，
AC=(−1,2,0)，AD1=(−1,0,1)，
设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z)，
则AC⋅n=−x+2y=0AD1⋅n=−x+z=0，取x=2，得n=(2,1,2)，
对于A，AB=(0,2,0)，
设直线AB与平面ACD1所成角为θ，
∴直线AB与平面ACD1所成角的正弦值为：
sinθ=|AB⋅n||AB|⋅|n|=22×3=13，
∴直线AB与平面ACD1所成角的余弦值为 1−(13)2=2 23，故A错误；
对于B，AD=(−1,0,0)，
设直线AD与平面ACD1所成角为α，
则sinα=|AD⋅n||AD|⋅|n|=23，
∴直线AD与平面ACD1所成角的正弦值为23，故B正确；
对于C，AA1=(0,0,1)，
∴点A1到平面ACD1的距离为d=|AA1⋅n||n|=23，故C正确；
对于D，AB1=(0,2,1)，
∴点B1到平面ACD1的距离为d=|AB1⋅n||n|=43，故D正确．
故选：BCD．
以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
本题考查线面角、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：根据题意可得 6−4 6= 3−m 3(0
解得m=2或m=92，∴B，C选项正确；
∵椭圆x26+y24=1与椭圆x212+y28=1的离心率分别为1 3，22 3=1 3，
∴椭圆x26+y24=1与椭圆x212+y28=1相似，∴A选项正确；
∵双曲线x23−y2m=1的离心率为 3+m 3= 3+2 3或 3+92 3，
即双曲线x23−y2m=1的离心率为 153或 102，∴D选项错误．
故选：ABC．
根据椭圆的几何性质，双曲线的几何性质，即可分别求解．
本题考查椭圆的几何性质，双曲线的几何性质，属基础题．
12.【答案】AD
【解析】解：将圆C：x2−6x+y2+8=0化为标准方程：(x−3)2+y2=1，其圆心为(3,0)，半径为1．
对于A，|PA|= |CP|2−1,|CP|min=|3−0+1| 2=2 2，所以线段PA长的最小值为 7，故A对；
对于B，四边形PACB面积的最小值为2×12× 7×1= 7，故B错；
对于C，因为cs∠APB=cs2∠APC=2cs2∠APC−1=2(1−sin2∠APC)−1=2(1−1|CP|2)−1，
所以cs∠APB的最小值为2(1−18)−1=34，故C错；
当点P的坐标为(0,1)时，切点弦AB所在的直线方程为(0−3)(x−3)+y=1，即3x−y−8=0，故D对．
故选：AD．
结合图形，由圆与直线相切的相关知识逐一判定各选项即可．
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
13.【答案】12a+14b+14c
【解析】解：∵E为AD的中点，
∴OE=12OA+12OD，
又∵D为BC中点，
∴OD=12OB+12OC，
∴OE=12a+14b+14c．
故答案为：12a+14b+14c．
根据向量加法与减法法则可以直接得到结果．
本题主要考查向量的加法与减法法则，属于基础题．
14.【答案】30
【解析】解：若直线方程Ax+By+C=0经过坐标原点，则C=0，那么A，B任意取两个即可，有A62=30，
故答案为：30．
先根据条件知道C=0，再根据计算原理计算即可．
本题考查了直线过原点的条件和计数原理的应用．
15.【答案】(x−1)2+(y− 2)2=2
【解析】解：圆C与x轴相切于点T(1,0)，|AB|=2，
则圆心横坐标为1，圆的半径r= 12+(22)2= 2，即圆心纵坐标为 2，
故圆C的标准方程为(x−1)2+(y− 2)2=2．
故答案为：(x−1)2+(y− 2)2=2．
根据已知条件呢，结合切点的性质，依次求出圆心、半径，即可求解．
本题主要考查圆的标准方程的求解，属于基础题．
16.【答案】 3−1
【解析】解：设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，线段P1P2的中点坐标为(12,y0)，则x1+x2=2×12=1，
因为P1，P2两点在双曲线上，
所以x12−y122=1x22−y222=1，两式相减得，k=y1−y2x1−x2=2(x1+x2)y1+y2=1y0，
又直线l过点A(0,1)，所以k=y0−112−0=2(y0−1)，
所以1y0=2(y0−1)，解得y0=1± 32，
所以k=2(y0−1)=± 3−1，
联立y=kx+1x2−y22=1，得(2−k2)x2−2kx−3=0，
因为直线l与双曲线有两个交点，所以Δ=4k2+12(2−k2)>0，即− 3
故答案为： 3−1．
设线段P1P2的中点坐标为(12,y0)，结合点差法与斜率公式，可得k=1y0=y0−112−0，从而求得y0的值，再联立直线l与双曲线的方程，利用Δ>0，可得k的取值范围，进而得解．
本题考查直线与双曲线的位置关系，熟练掌握点差法及其使用条件，直线与双曲线的交点个数问题是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为直线2x−y−3=0的斜率为2，x1+x2=45，x1x2=−1，
于是由弦长公式得，|EF|= 1+4 (x1+x2)2−4x1x2=2 1455，即弦EF的长为2 1455；
(2)圆心C(2,−3)到直线2x−y−3=0的距离d=|4+3−3| 5=4 5，
设圆C的半径为r，则r2=d2+(12|EF|)2=165+14525=9．
因此圆C的半径长为3，则圆C的标准方程是(x−2)2+(y+3)2=9，即x2+y2−4x+6y+4=0．
【解析】(1)利用弦长公式即可得；(2)利用点到直线的距离公式可得半径，从而确定圆的方程．
本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
18.【答案】解：(1)连接AE，延长AG，交BC于F，
由G为△ABC的重心，得AF是BC边上的中线，且AG=23AF，
结合AF=12(AB+AC)，得AG=13(AB+AC)=13(AB+AB+AD)=23AB+13AD，
因为SE=3ED，所以AE−AS=3(AD−AE)，整理得AE=34AD+14AS，
因此，GE=AE−AG=(34AD+14AS)−(23AB+13AD)=−23AB+512AD+14AS；
(2)因为SA⊥底面ABCD，SA=2，底面ABCD是边长为1的正方形，
所以SA⊥AB，SA⊥AD，AB⊥AD，
可得GE2=(−23AB+512AD+14AS)2=49AB2+25144AD2+116AS2−2036AB⋅AD−412AB⋅AS+1048AD⋅AS
=49AB2+25144AD2+116AS2=49+25144+14=125144，
所以|GE|= 125144=5 512，即线段GE的长为5 512．
【解析】(1)连接AE，延长AG，交BC于F，根据三角形重心的性质与该四棱锥的结构特征，算出用基底{AB,AD,AS}表示向量GE的式子；
(2)根据题意，AB、AD、AS两两垂直，可用向量数量积的运算性质，结合题中所给的数据算出线段GE的长．
本题主要考查三角形重心的性质、空间向量的线性运算、向量的数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设动圆圆心D的坐标为(x,y)，则(x−0)2+(y−4)2=42+y2，
整理得，x2=8y，故所求动圆圆心的轨迹C的方程为x2=8y．
(2)证明：设S(x1,y1)，T(x2,y2)，则有m2=8n，x12=8y1，x22=8y2，
直线ST的斜率为y1−y2x1−x2=x1+x28=−m4，所以x1+x2=−2m，
于是kPS+kPT=y1−nx1−m+y2−nx2−m=18x12−18m2x1−m+18x22−18m2x2−m
=x1+m8+x2+m8=x1+x2+2m8=0，
故直线PS，PT的倾斜角互补．
【解析】(1)设动圆圆心D的坐标为(x,y)，由题意可得(x−0)2+(y−4)2=42+y2，化简整理即可求得动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)由两点的斜率公式，结合已知条件计算kPS+kPT=0，即可得证．
本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】(1)证明：在图2中，∵AC=BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，又V−AC−B为直二面角，VC⊥AC，
∴VC⊥底面ABC，而AB⊂平面ABC，
∴VC⊥AB，且VC∩CD=C，CD⊂平面VCD.VC⊂平面VCD，
因此AB⊥平面VCD，又AB⊂平面VAB，
∴平面VAB⊥平面VCD；
(2)解：以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，V(0,0,1)，CV=(0,0,1)，
因BE=14BA，所以E(14,34,0)，那么CE=(14,34,0)，
设平面VCE的法向量t=(m,n,p)，
由CV⋅t=0且CE⋅t=0，得p=0且14m+34n=0，取n=1，则t=(−3,1,0)，
设平面VAB的一个法向量s=(a,b,c)，VA=(1,0,−1),VB=(0,1,−1)，
则s⋅VA=0VB⋅s=0，即a−c=0b−c=0，令a=1，则b=c=1，所以s=(1,1,1)，
于是cs〈s,t〉=s⋅t|s|⋅|t|=−3+1 3⋅ (−3)2+1=− 3015，
所以二面角C−VE−A的正弦值为 1−(− 3015)2= 19515．
【解析】(1)证明CD⊥AB，VC⊥AC，通过VC⊥底面ABC，证明VC⊥AB，然后推出AB⊥平面VCD，即可证明平面VAB⊥平面VCD；
(2)以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，求出平面VCE的法向量，平面VAB的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角C−VE−A的余弦值即可求出正弦值．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可知ξ的可能取值有0、1、2、3，
又P(ξ=0)=C43C103=130，P(ξ=1)=C42C61C103=310，
P(ξ=2)=C41C62C103=12，P(ξ=3)=C63C103=16，
所以随机变量ξ的分布列如下表所示：
所以E(ξ)=0×130+1×310+2×12+3×16=95；
(2)设B=“任取一人新药对其有效”，
Ai=“患者来自第i组”(i=1,2,3，分别对应甲，乙，丙)，
则Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，根据题意得：
P(A1)=0.4，P(A2)=0.32，P(A3)=0.28，
P(B|A1)=0.64，P(B|A2)=0.75，P(B|A3)=0.8，
由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=0.4×0.64+0.32×0.75+0.28×0.8=0.72，
任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自于乙组的概率：
P(A2|B)=P(A2B)P(B)=P(A2)P(B|A2)P(B)=0.32×，
所以任意选取一人，发现新药对其有效，则他来自乙组的概率为13．
【解析】(1)由题意可知ξ的可能取值有0、1、2、3，分别求出相应的概率，进而求解；
(2)由全概率公式即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求解，条件概率与全概率公式的应用，贝叶斯公式的应用，属中档题．
22.【答案】解：(1)由椭圆的方程可得a= t，b=1，c= a2−b2= t−1，
因为PF2⊥F1F2，则P的横坐标为c，代入到椭圆的方程可得y2=1−c2a2=b4a2=1t，
即P的纵坐标的绝对值为1 t= tt，
所以|PF2|= tt，|PF1|=2a−|PF2|=2 t− tt，
因为|PF1||PF2|=3，即2 t− tt tt=3，
解得t=2；
(2)证明：由(1)可得椭圆的方程为：x22+y2=1，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=kx+mx22+y2=1，整理可得：(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，
Δ=16k2m2−4(1+2k2)⋅(2m2−2)>0，即m2<1+k2，
且x1+x2=−4km1+2k2，y1+y2=k(x1+x2)+2m=k⋅−4km1+2k2+2m=2m1+2k2，
所以AB的中点Q(−2km1+2k2,m1+2k2)，
因为AB的中垂线过N(0,−12)，所以kQN=−1k，
即m1+2k2+12−2km1+2k2=−1k，
整理可得：k2−m=−12．
即证明k2−m为定值，且定值为−12．
【解析】(1)由PF2⊥F1F2，可得P点的横坐标，代入椭圆的方程，可得P点的纵坐标，求出|PF1|，|PF2|的表达式，由题意可得t的值；
(2)联立直线的方程与椭圆的方程，两个两根之和，求出AB的中点Q的坐标，由题意可得QN⊥AB，由斜率之积为−1，整理可证得k2−m为定值．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．ξ
0
1
2
3
P
130
310
12
16
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