2025届高考数学一轮复习教师用书第九章第十节圆锥曲线中的最值、范围问题讲义（Word附解析）

第十节　圆锥曲线中的最值、范围问题【核心考点·分类突破】考点一　最值问题角度1 运用基本不等式法求最值[例1](2024·三明模拟)已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,O为坐标原点,M为椭圆上任意一点,|MF|的最大值为2+3.当|OM|=|OF|时,△MOF的面积为12.(1)求椭圆C的方程;(2)A,B为椭圆的左、右顶点,点P满足AP=3PB,当M与A,B不重合时,射线MP交椭圆C于点N,直线AM,BN交于点T,求∠ATB的最大值.【解析】(1)设点M(x0,y0),则-a≤x0≤a,y02=b2-b2a2x02,因为|MF|=(x0-c)2+y02=x02-2cx0+c2+b2-b2a2x02=c2a2x02-2cx0+a2=|a-cax0|=a-cax0∈[a-c,a+c],所以|MF|max=a+c=2+3,设椭圆左焦点为E,因为|OM|=|OF|=12|EF|,所以∠EMF=90°,即|ME|2+|MF|2=|EF|2=4c2,又因为|ME|+|MF|=2a,所以|ME|2+|MF|2+2|ME|·|MF|=4a2,所以2|ME|·|MF|=4a2-4c2,所以|ME|·|MF|=2b2,所以S△MEF=12|ME||MF|=b2,因为此时S△MOF=12,所以S△MEF=1,所以b2=1,所以b=1.因为a2=b2+c2,所以a=2,c=3,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)设点P(p,0),AP=(p+2,0),PB=(2-p,0),因为点P满足AP=3PB,则p+2=3(2-p),解得p=1,所以P(1,0),由题知MN不与x轴重合,设直线MN的方程为x=my+1,联立方程组x24+y2=1x=my+1,消去x整理得(m2+4)y2+2my-3=0,Δ=4m2+12(m2+4)=16m2+48>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-2mm2+4,y1y2=-3m2+4.因为AM的方程为y=y1x1+2(x+2),BN的方程为y=y2x2-2(x-2),两直线方程联立得:x-2x+2=y1(x2-2)y2(x1+2)=y1(my2+1-2)y2(my1+1+2)=my1y2-y1my1y2+3y2.因为my1y2=-3mm2+4=32(y1+y2),所以x-2x+2=32(y1+y2)-y132(y1+y2)+3y2=12y1+32y232y1+92y2=13,解得x=4,所以动点T的轨迹方程为x=4(y≠0).由椭圆的对称性不妨设T(4,t)(t>0),直线TA,TB的倾斜角为α,β,由图可知β>α,且0<β-α<π,因为∠ATB=β-α,则tan ∠ATB=tan (β-α)=tanβ-tanα1+tanβtanα,因为tan α=kTA=t6,tan β=kTB=t2,所以tan ∠ATB=t2-t61+t2×t6=t31+t212=4tt2+12=4t+12t≤42t·12t=443=33,当且仅当t=23时等号成立,此时T(4,23),∠ATB=π6,所以∠ATB的最大值为π6.角度2 构造目标函数求最值[例2](2021·全国乙卷)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.【命题意图】本题为抛物线与圆的综合题,考查抛物线及圆的相关性质.考查逻辑思维能力、运算求解能力.【解析】(1)焦点F0,p2到x2+(y+4)2=1的最短距离为p2+4-1=4,所以p=2.(2)抛物线y=14x2,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则由y=14x2得y'=x2,所以直线PA:y=12x1(x-x1)+y1=12x1x-14x12=12x1x-y1,同理可得直线PB:y=12x2x-y2,且x02=-y02-8y0-15.lPA,lPB都过点P(x0,y0),则y0=12x1x0-y1,y0=12x2x0-y2,故直线AB:y0=12x0x-y,即y=12x0x-y0,联立y=12x0x-y0,x2=4y,得x2-2x0x+4y0=0,Δ=4x02-16y0.所以|AB|=1+x024·4x02-16y0=4+x02·x02-4y0,点P到AB的距离d=|x02-4y0|x02+4,所以S△PAB=12|AB|·d=12|x02-4y0|·x02-4y0=12(x02-4y0)32=12(-y02-12y0-15)32,而y0∈[-5,-3],故当y0=-5时,S△PAB达到最大,最大值为205.【解题技法】求圆锥曲线中最值的常用方法1.几何法:利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;2.代数法:把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.【对点训练】1.已知平面内一动点M与两定点B1(0,-1),B2(0,1)的连线的斜率之积为-12.(1)求动点M的轨迹E的方程;(2)设直线l:y=x+m与轨迹E交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P,当m变化时,求△PAB面积的最大值.【解析】(1)设M的坐标为(x,y),依题意得y+1x·y-1x=-12,化简得x22+y2=1(x≠0).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立x22+y2=1,y=x+m,消去y,得3x2+4mx+2m2-2=0,所以x1+x2=-4m3,x1x2=2m2-23,且Δ=(4m)2-12(2m2-2)>0,即-3b>0)的左、右顶点分别为A,B,且焦距为2.点P在椭圆上且异于A,B两点,若直线PA与PB的斜率之积为-34.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点F(-1,0)作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M,N两点,直线m的方程为x=-2a,过点M作ME垂直于直线m,交m于点E.求△OEN面积的最大值.【解析】(1)由题意知,A(-a,0),B(a,0),设P(x,y),则kPA·kPB=yx+a·yx-a=y2x2-a2=b2-b2a2x2x2-a2=-b2a2,所以-b2a2=-34,又a2-b2=c2=1,所以a2=4,b2=3,所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)设直线MN:x=ty-1,M(x1,y1),N(x2,y2),则E(-4,y1),由x=ty-1x24+y23=1得(3t2+4)y2-6ty-9=0,显然Δ>0,所以y1+y2=6t3t2+4,y1y2=-93t2+4,所以-2ty1y2=3(y1+y2),又kEN=y2-y1x2+4,所以直线EN的方程为y-y1=y2-y1x2+4(x+4),令y=0,则x=-4-y1(x2+4)y2-y1=-4-ty1y2+3y1y2-y1=-4-32(y1-y2)y2-y1=-4+32=-52,所以直线EN过定点P(-52,0);而|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=6t3t2+42+363t2+4=12t2+13t2+4,则S△OEN=12|OP||y1-y2|=12×52×12t2+13t2+4=15t2+13(t2+1)+1=153t2+1+1t2+1,令u=t2+1≥1,有3t2+1+1t2+1=3u+1u在[1,+∞)上单调递增,则u=1,即t=0时,3t2+1+1t2+1取最小值4,于是当t=0时,(S△OEN)max=154,所以△OEN面积的最大值是154.【加练备选】(2024·开封模拟)已知点A(3,1)在椭圆C:x2a2+y2a2-8=1上,直线l交C于M,N两点,直线AM,AN的斜率之和为0.(1)求直线l的斜率;(2)求△OMN的面积的最大值(O为坐标原点).【解析】(1)由题意得a2-8>0,解得a2>8,A(3,1)代入椭圆方程中,9a2+1a2-8=1,解得a2=12或6(舍去),故C:x212+y24=1.当直线l的斜率不存在时,M,N关于x轴对称,此时由对称性可知,直线AM,AN的斜率之和不为0,舍去;当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+b,联立椭圆方程C:x212+y24=1得,(1+3k2)x2+6kbx+3b2-12=0,　则Δ=36k2b2-4(1+3k2)(3b2-12)=-12(b2-12k2-4)>0,则b2<12k2+4,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-6kb1+3k2,x1x2=3b2-121+3k2,kAM+kAN=y1-1x1-3+y2-1x2-3=(x2-3)(y1-1)+(x1-3)(y2-1)(x1-3)(x2-3)=(x2-3)(kx1+b-1)+(x1-3)(kx2+b-1)(x1-3)(x2-3)=2kx1x2+(b-1-3k)(x1+x2)-6b+6(x1-3)(x2-3)=0,故2k·3b2-121+3k2-(b-1-3k)·6kb1+3k2-6b+6=0,即-24k+6kb+18k2-6b+6=0,故6b(k-1)+6(k-1)(3k-1)=0,即6(k-1)(b+3k-1)=0,当b+3k-1=0时,b=1-3k,此时直线l:y=kx+1-3k=k(x-3)+1,显然直线l恒过A(3,1),矛盾,当k=1时,经检验,满足题意,故直线l的斜率为1;(2)由(1)知l:y=x+b,联立椭圆方程C:x212+y24=1得,4x2+6bx+3b2-12=0,Δ=36b2-16(3b2-12)>0,解得-4b>0)上,点M(m,12)(m≠0)在椭圆C内.设点A,B为C的短轴的上、下端点,直线AM,BM分别与椭圆C相交于点E,F,且EA,EB的斜率之积为-14.(1)求椭圆C的方程;(2)记S△BME,S△AMF分别为△BME,△AMF的面积,若m∈(-3,-1]∪[1,3),求S△AMFS△BME的取值范围.【解析】(1)设E(x,y),依题意知A(0,b),B(0,-b),则kEA·kEB=y-bx-0·y+bx-0=y2-b2x2=-14,整理有x24b2+y2b2=1.因为椭圆C过点(-2,0),所以b2=1,所以椭圆的方程为x24+y2=1.(2)由椭圆C:x24+y2=1,可得A(0,1),B(0,-1),可得AM:y=-12mx+1,代入椭圆x24+y2=1,整理得(m2+1)x2-4mx=0,解得x=4mm2+1(x=0舍去),则y=m2-1m2+1,所以E(4mm2+1,m2-1m2+1);又由BM:y=32mx-1,代入椭圆x24+y2=1,整理有(m2+9)x2-12mx=0,解得x=12mm2+9(x=0舍去),则y=9-m2m2+9,所以F(12mm2+9,9-m2m2+9),所以|MA||ME|=|m||4mm2+1-m|=m2+1|4-m2-1|=m2+1|3-m2|,|MF||MB|=|12mm2+9-m||m|=|12-m2-9|m2+9=|3-m2|m2+9,于是S△AMFS△BME=12|AM|·|MF|·sin∠AMF12|BM|·|ME|·sin∠BME=|AM||ME|·|MF||BM|=m2+1|3-m2|·|3-m2|m2+9=m2+1m2+9=1-8m2+9,因为m∈(-3,-1]∪[1,3),所以m2∈[1,3),所以1-8m2+9∈[15,13),故S△AMFS△BME的取值范围为[15,13).【解题技法】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;(2)利用已知参数的范围,求新的参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;(4)利用已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.【对点训练】　已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过点F的直线交抛物线C于A,B两点,且1|AF|+1|BF|=2.(1)求抛物线C的方程;(2)若O为坐标原点,过点B作y轴的垂线交直线AO于点D,过点A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E,AE的中点为G,求|GB||DG|的取值范围.【解析】(1)抛物线C的焦点为F(p2,0),若直线AB与x轴重合,则直线AB与抛物线C只有一个公共点,不合题意;设直线AB的方程为x=my+p2,设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立y2=2pxx=my+p2可得y2-2pmy-p2=0,Δ=4p2m2+4p2>0,由根与系数的关系可得y1+y2=2pm,y1y2=-p2,1|AF|+1|BF|=1x1+p2+1x2+p2=1my1+p+1my2+p=m(y1+y2)+2p(my1+p)(my2+p)=m(y1+y2)+2pm2y1y2+mp(y1+y2)+p2=2pm2+2p-m2p2+2m2p2+p2=2p(m2+1)p2(m2+1)=2p=2,解得p=1,所以抛物线C的方程为y2=2x.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1>0,由(1)可得y1+y2=2m,y1y2=-1,又因为直线AO的方程为y=y1x1x=y1y122x=2y1x,将y=y2代入直线AO的方程可得y2=2y1x,可得x=y1y22=-12,即点D(-12,y2),所以kDF=y2-12-12=-y2,因为AE⊥DF,所以kAE=-1kDF=1y2,所以直线AE的方程为y-y1=1y2(x-x1),联立y-y1=1y2(x-x1)y2=2x可得y2-2y2y-2x1-2=0,则y1+yE=2y2,故yE=2y2-y1,则xE=y2yE+x1+1=y2(2y2-y1)+x1+1=x1+2y22-y1y2+1=x1+4x2+2,由AE的中点为G,可得G(x1+2x2+1,y2),故G,B,D三点共线,则|GB||GD|=x1+2x2+1-x2x1+2x2+1+12=x1+x2+1x1+2x2+32.又由y1y2=-1,知x1x2=y12y224=14,故|GB||GD|=x1+14x1+1x1+12x1+32=x12+14+x1x12+12+32x1=1-1+2x14x12+6x1+2=1-2x1+1(2x1+1)(2x1+2)=1-12x1+2∈(12,1),故|GB||GD|的取值范围为(12,1).