新高考数学二轮复习01选填题之基本初等函数（2份打包，原卷版+解析版）

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从近三年高考情况来看，本节内容是高考中的热点内容，常以基本初等函数为载体，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等.
题型一、基本初等函数的图像问题
1．在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的部分图象可能是（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【详解】当a＞1时，幂函数在递增且过，由，得（且）在递减函数，且；
当0＜a＜1，幂函数在是递增且过，由，得（且）在是递增函数，且.
当时，幂函数在a＞1时比在0＜a＜1增长的快.
故选：A
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－，则不等式f(x)<－的解集是_______．
【答案】(－∞，－1)
【详解】∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
当x<0时，－x>0,f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.
当x>0时，由1－<－，()x>，得x∈；
当x＝0时，f(0)＝0<－不成立；
当x<0时，由2x－1<－，2x<，得x<－1.
综上可知x∈(－∞，－1)．
3．已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】关于轴对称的函数为：
，
函数与图象上存在关于轴对称的点，
即有解，
即，整理的：，
和的图像存在交点，如图：
临界值在处取到（虚取），此时，
故当时和的图像存在交点，
故选：C.
4．设函数，的零点分别为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】令得：，令得：，
分别画出左右两边函数的图象，如图所示．
由指数与对数函数的图象知：，
于是有，得，
故选：．
题型二、比较大小
1．已知x＝lnπ，y＝lg52，，则（ ）
A．x＜y＜zB．z＜x＜yC．z＜y＜xD．y＜z＜x
【答案】D．
【解答】解：∵x＝lnπ＞1，y＝lg52，1，
∴y＜z＜x，
故选：D．
2．已知a＝lg36，b＝lg510，c＝lg714，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜aB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c
【答案】B．
【解答】解：a＝lg36＝1+lg32，b＝lg510＝1+lg52，c＝lg714＝1+lg72，
而lg32＞lg52＞lg72，
∴c＜b＜a．
故选：B．
3．已知 ，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】根据指数函数的图像与性质可知，
由对数函数的图像与性质可知，，所以最小；
而由对数换底公式化简可得
由基本不等式可知，代入上式可得
所以，
综上可知，
故选：D.
4．设，，，则（ ）
A．c＜a＜bB．b＜c＜aC．a＜c＜bD．c＜b＜a
【答案】D．
【解答】解：设，则，b＝f（2），．
因为，所以当1＜x＜e时，f'（x）＜0；当x＞e时，f'（x）＞0．
所以f（x）在（1，e）单调递减，在（e，+∞）单调递增．
因为f（2）＝f（4），且，
所以，即a＞b＞c．
故选：D．
5．设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则（ ）
A．2x＜3y＜5zB．5z＜2x＜3yC．3y＜5z＜2xD．3y＜2x＜5z
【答案】B．
【解答】x、y、z为正数，
令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．则x，y，z．
∴3y，2x，5z．
∵，．
∴lg0．
∴3y＜2x＜5z．
故选：D．
6．设a＝0.1e0.1，b，c＝﹣ln0.9，则（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b
【答案】C．
【解答】解：构造函数f（x）＝lnx，x＞0，则f'（x），x＞0，
当f'（x）＝0时，x＝1，
0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝1，
∴，
∴ln0.9＞1，∴﹣ln0.9，∴c＜b；
∵﹣ln0.9＝ln1，∴，
∴0.1e0.1，∴a＜b；
设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则，
令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），
当0时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
当时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，
∵h（0）＝0，∴当0＜x时，h（x）＜0，
当0＜x1时，g′（x）＞0，g（x）＝xex+ln（1﹣x）单调递增，
∴g（0.1）＞g（0）＝0，∴0.1e0.1＞﹣ln0.9，∴a＞c，
∴c＜a＜b．
故选：C．
题型三、复合函数的单调性与值域
1．若函数y＝lga（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是（ ）
A．0＜a＜1B．0＜a＜2，a≠1C．1＜a＜2D．a≥2
【答案】C．
【解答】解：令g（x）＝x2﹣ax+1（a＞0，且a≠1），g（x）开口向上；
①当a＞1时，g（x）在R上恒为正；
∴△＝a2﹣4＜0，解得1＜a＜2；
②当0＜a＜1时，x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y＝lga（x2﹣ax+1）有最小值，不符合题意．
综上所述：1＜a＜2；
故选：C．
2．若函数f（x）（﹣x2+4x+5）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，则实数m的取值为（ ）
A．[]B．[]C．[）D．[）
【答案】C．
【解答】解：先保证对数有意义﹣x2+4x+5＞0，解得﹣1＜x＜5，
又可得二次函数y＝﹣x2+4x+5的对称轴为x2，
由复合函数单调性可得函数f（x）（﹣x2+4x+5）的单调递增区间为（2，5），
要使函数f（x）（﹣x2+4x+5）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，
只需，解关于m的不等式组得m＜2，
故选：C．
3．已知函数f（x）＝lg（x2﹣2x﹣3）在（a，+∞）单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，2]C．[5，+∞）D．[3，+∞）
【答案】D．
【解答】解：∵函数f（x）＝lg（x2﹣2x﹣3）在（a，+∞）单调递增，
∴t＝x2﹣2x﹣3在（a，+∞）大于零且单调递增，
∴1≤a，且a2﹣2a﹣3≥0，求得a≥3，
故选：D．
4．若函数(且)在上的最大值为14，求a的值.
【答案】或
【详解】解：令，∴，
则，其对称轴为.
该二次函数在上是增函数.
①若，∵，∴，
故当，即时，
，解得(舍去).
②若，∵，
∴，故当，即时，.
∴或(舍去).
综上可得或.
5．函数，则下列关于函数f（x）的说法正确的是（ ）
A．函数f（x）在区间（﹣1，1）上是减函数
B．值域为（﹣∞，+∞）
C．图象关于原点对称
D．有反函数
【答案】BCD．
【解答】解：因为函数，所以0，解得﹣1＜x＜1，
故f（x）的定义域为（﹣1，1），
因为函数ln（﹣1），
因为函数y在（﹣1，1）上是增函数，y＝lnx是增函数，
由复合函数的单调性可知函数ln（﹣1）为增函数，故A错误；
因为x∈（﹣1，1），所以1﹣x∈（0，2），则∈（1，+∞），﹣1∈（0，+∞），
所以ln（﹣1）∈（﹣∞，+∞），即f（x）的值域为（﹣∞，+∞），故B正确；
f（﹣x）＝lnlnlnf（x），
所以函数f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故C正确；
y＝ln，ey，x，互换x，y的位置，可得y，
即f（x）的反函数为y，故D正确．
故选：BCD．
题型四、指、对运算
1．已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）；当x＜4时f（x）＝f（x+1），则f（2+lg23）＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】A．
【解答】解：∵3＜2+lg23＜4，所以f（2+lg23）＝f（3+lg23），且3+lg23＞4
∴f（2+lg23）＝f（3+lg23）
故选：A．
2．设a＝lg0.20.3，b＝lg20.3，则（ ）
A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜abD．ab＜0＜a+b
【答案】B．
【解答】解：∵a＝lg0.20.3，b＝lg20.3，
∴， ，
∵，，
∴ab＜a+b＜0．
故选：B．
3．若2a+lg2a＝4b+2lg4b，则（ ）
A．a＞2bB．a＜2bC．a＞b2D．a＜b2
【答案】B．
【解答】解：因为2a+lg2a＝4b+2lg4b＝22b+lg2b；
因为22b+lg2b＜22b+lg22b＝22b+lg2b+1即2a+lg2a＜22b+lg22b；
令f（x）＝2x+lg2x，由指对数函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）内单调递增；
且f（a）＜f（2b）⇒a＜2b；
故选：B．
4．已知55＜84，134＜85．设a＝lg53，b＝lg85，c＝lg138，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
【答案】A．
【解答】解：由，
∵，而
∴lg53＜lg85，即a＜b；
∵55＜84，∴5＜4lg58，∴lg58＞1.25，∴b＝lg85＜0.8；
∵134＜85，∴4＜5lg138，∴c＝lg138＞0.8，∴c＞b，
综上，c＞b＞a．
故选：A．
5．已知a＞b＞1，若lgab+lgba，ab＝ba，则a＝ ，b＝ ．
【答案】4；2．
【解答】解：设t＝lgba，由a＞b＞1知t＞1，
代入lgab+lgba得，
即2t2﹣5t+2＝0，解得t＝2或t（舍去），
所以lgba＝2，即a＝b2，
因为ab＝ba，所以b2b＝ba，则a＝2b＝b2，
解得b＝2，a＝4，
故答案为：4；2．
题型五、数学文化及新定义
1．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝4+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为3.9，则其视力的小数记录法的数据约为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
【答案】C．
【解答】解：∵L＝4+lgV，某同学视力的五分记录法的数据为3.9，
∴lgV＝0.1，即，解得V．
故选：C．
2．有学者根据公布数据建立了某地新冠肺炎累计确诊病例数R（t）（t的单位：天）的Lgistic模型：R（t），其中K为最大确诊病例数，N为非零常数，当R（t*）K时，标志着疫情初步得到控制，则此时t*约为（ ）
A．50B．53C．60D．66
【答案】A．
【解答】解：∵R（t），R（t*），
∴，整理得，
∴N（t*﹣50）＝0，
又∵N为非零常数，
∴t*＝50，
故选：A．
3．某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%．已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：时）之间的函数关系为（k为正常数，P0为原污染物数量）．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要按规定排放废气，至少还需要过滤（ ）
A．10小时B．4小时C．2小时D．少于1小时
【答案】B．
【解答】解：∵前4个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，
又∵过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：时）之间的函数关系为（k为正常数，P0为原污染物数量），
∴（1﹣90%）P0，即0.1＝e﹣4k，解得k，
∵规定排放时污染物的残留含量不得超过1%，
∴，即，解得t，
∴要按规定排放废气，至少还需要过滤8﹣4＝4小时．
故选：B．
4．2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现﹣﹣6个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物．为推测文物年代，考古学者通常用碳14测年法推算，碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.2021年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的68%，已知碳14的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是5730年，以此推算出该文物大致年代是（ ）（参考数据：lg10≈﹣19034.7，lg68≈﹣34881）
A．公元前1400年到公元前1300年 B．公元前1300年到公元前1200年
C．公元前1200年到公元前1100年 D．公元前1100年到公元前1000年
【答案】C．
【解答】解：设样本中碳14初始值为k，衰减率为p，经过x年后，残留量为y，则有y＝k（1﹣p）x，
由碳14的半衰期是5730年，则，即，所以，
由题意可知，68%k，所以3188，
2021年之间的3188年大致是公元前1167年，则大致年代为公元前1200年到公元前1100年．
故选：C．