新高考数学二轮复习讲练专题06 函数与导数常见经典压轴小题归类（26大核心考点）（讲义）（2份打包，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc153451810" PAGEREF _Tc153451810 \h 2
\l "_Tc153451811" PAGEREF _Tc153451811 \h 3
\l "_Tc153451812" PAGEREF _Tc153451812 \h 3
\l "_Tc153451813" PAGEREF _Tc153451813 \h 6
\l "_Tc153451814" PAGEREF _Tc153451814 \h 12
\l "_Tc153451815" 考点一：函数零点问题之分段分析法模型 PAGEREF _Tc153451815 \h 12
\l "_Tc153451816" 考点二：函数嵌套问题 PAGEREF _Tc153451816 \h 14
\l "_Tc153451817" 考点三：函数整数解问题 PAGEREF _Tc153451817 \h 17
\l "_Tc153451818" 考点四：唯一零点求值问题 PAGEREF _Tc153451818 \h 20
\l "_Tc153451819" 考点五：等高线问题 PAGEREF _Tc153451819 \h 22
\l "_Tc153451820" 考点六：分段函数零点问题 PAGEREF _Tc153451820 \h 25
\l "_Tc153451821" 考点七：函数对称问题 PAGEREF _Tc153451821 \h 29
\l "_Tc153451822" 考点八：零点嵌套问题 PAGEREF _Tc153451822 \h 31
\l "_Tc153451823" 考点九：函数零点问题之三变量问题 PAGEREF _Tc153451823 \h 34
\l "_Tc153451824" 考点十：倍值函数 PAGEREF _Tc153451824 \h 36
\l "_Tc153451825" 考点十一：函数不动点问题 PAGEREF _Tc153451825 \h 38
\l "_Tc153451826" 考点十二：函数的旋转问题 PAGEREF _Tc153451826 \h 40
\l "_Tc153451827" 考点十三：构造函数解不等式 PAGEREF _Tc153451827 \h 42
\l "_Tc153451829" 考点十四：导数中的距离问题 PAGEREF _Tc153451829 \h 45
\l "_Tc153451831" 考点十五：导数的同构思想 PAGEREF _Tc153451831 \h 49
\l "_Tc153451832" 考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法 PAGEREF _Tc153451832 \h 51
\l "_Tc153451833" 考点十七：三次函数问题 PAGEREF _Tc153451833 \h 54
\l "_Tc153451834" 考点十八：切线条数、公切线、切线重合与垂直问题 PAGEREF _Tc153451834 \h 56
\l "_Tc153451835" 考点十九：任意存在性问题 PAGEREF _Tc153451835 \h 62
\l "_Tc153451836" 考点二十：双参数最值问题 PAGEREF _Tc153451836 \h 65
\l "_Tc153451837" 考点二十一：切线斜率与割线斜率 PAGEREF _Tc153451837 \h 67
\l "_Tc153451838" 考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离） PAGEREF _Tc153451838 \h 69
\l "_Tc153451839" 考点二十三：两边夹问题和零点相同问题 PAGEREF _Tc153451839 \h 72
\l "_Tc153451840" 考点二十四：函数的伸缩变换问题 PAGEREF _Tc153451840 \h 74
\l "_Tc153451841" 考点二十五：V型函数和平底函数 PAGEREF _Tc153451841 \h 76
\l "_Tc153451842" 考点二十六：曼哈顿距离与折线距离 PAGEREF _Tc153451842 \h 78
有关函数与导数常见经典压轴小题的高考试题，考查重点是零点、不等式、恒成立等问题，通常与函数性质、解析式、图像等均相关，需要考生具有逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养. 同时，对于实际问题，需要考生具有数据分析、数学建模核心素养.

1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）．
3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点解不等式．
4、分段函数零点的求解与判断方法：
（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；
（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
5、动态二次函数中静态的值：
解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图象的开口、对称轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题．
6、动态二次函数零点个数和分布问题：
通常转化为相应二次函数的图象与轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通过对称轴，根的判别式，相应区间端点函数值等来考虑．
7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型：
（1）对称轴变动，区间固定；
（2）对称轴固定，区间变动；
（3）对称轴变动，区间也变动．
这时要讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值．
8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象来研究原函数的图象．如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点…
具体来说，对于三次函数，其导函数为，根的判别式．
（1）当时，恒成立，三次函数在上为增函数，没有极值点，有且只有一个零点；
（2）当时，有两根，，不妨设，则，可得三次函数在，上为增函数，在上为减函数，则，分别为三次函数的两个不相等的极值点，那么：
① 若，则有且只有个零点；
② 若，则有个零点；
③ 若，则有个零点．
特别地，若三次函数存在极值点，且，则地解析式为．
同理，对于三次函数，其性质也可类比得到．
9、由于三次函数的导函数为二次函数，其图象变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点，此结论可以由对称性的定义加以证明．事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点．
10、对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同．导数的几何意义就是求图象在该店处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如果是过某一点，一定要设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可．
11、恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．
12、如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值．
13、当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围．
14、两类零点问题的不同处理方法
利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且．．
①直接法：判断-一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明．
②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明．
15、利用导数研究方程根（函数零点）的技巧
（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．
（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．
（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
16、已知函数零点个数求参数的常用方法
（1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
（2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
1．（2021•新高考Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】法一：函数是增函数，恒成立，
函数的图象如图，，即切点坐标在轴上方，
如果在轴下方，连线的斜率小于0，不成立．
点在轴或下方时，只有一条切线．
如果在曲线上，只有一条切线；
在曲线上侧，没有切线；
由图象可知在图象的下方，并且在轴上方时，有两条切线，可知．
故选：．
法二：设过点的切线横坐标为，
则切线方程为，可得，
设，可得，，，是增函数，
，，是减函数，
因此当且仅当时，上述关于的方程有两个实数解，对应两条切线．
故选：．
2．（2021•乙卷）设，若为函数的极大值点，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】令，解得或，即及是的两个零点，
当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示，
则；
当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示，
则；
综上，．
故选：．
3．（多选题）（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】函数定义域为，
且，
由题意，方程即有两个正根，设为，，
则有，，△，
，，
，即．
故选：．
4．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知函数，则
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
【答案】
【解析】，令，解得或，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，且，
有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项正确，选项错误；
又，则关于点对称，故选项正确；
假设是曲线的切线，设切点为，则，解得或，
显然和均不在曲线上，故选项错误．
故选：．
5．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ，， ．
【答案】，，．
【解析】，设切点坐标为，，
切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
整理得：，
切线存在两条，方程有两个不等实根，
△，解得或，
即的取值范围是，，，
故答案为：，，．
6．（2021•新高考Ⅱ）已知函数，，，函数的图象在点，和点，的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当时，，导数为，
可得在点，处的斜率为，
切线的方程为，
令，可得，即，
当时，，导数为，
可得在点，处的斜率为，
令，可得，即，
由的图象在，处的切线相互垂直，可得，
即为，，，
所以．
故答案为：．
7．（2023•乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
【答案】的取值范围是，．
【解析】函数在上单调递增，
在上恒成立，
即，化简可得在上恒成立，
而在上，
故有，由，化简可得，
即，，
解答，
故的取值范围是，．
故答案为：，．
8．（2022•乙卷）已知和分别是函数且的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】对原函数求导，分析可知：在定义域内至少有两个变号零点，
对其再求导可得：，
当时，易知在上单调递增，此时若存在使得，
则在单调递减，，单调递增，
此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，应满足，不满足题意；
当时，易知在上单调递减，此时若存在使得，
则在单调递增，，单调递减，且，
此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，且，
故仅需满足，
即：，
解得：，又因为，故
综上所述：的取值范围是．
9．（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【答案】，．
【解析】当时，，设切点坐标为，，
，切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
，
切线方程为，即，
当时，，与的图像关于轴对称，
切线方程也关于轴对称，
切线方程为，
综上所述，曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为，，
故答案为：，．
10．（2022•上海）已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，若将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则 ．
【答案】2．
【解析】函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，
是周期为4的周期函数，图像如图：
将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，
则的几何意义是两条渐近线之间的距离2，
．
故答案为：2．
考点一：函数零点问题之分段分析法模型
例1．（2023·浙江宁波·高三统考期末）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数至少存在一个零点
所以有解
即有解
令，
则
因为，且由图象可知，所以
所以在上单调递减，令得
当时，单调递增
当时，单调递减
所以
且当时
所以的取值范围为函数的值域，即
故选：A
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数）至少存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，即
令，
则函数与函数的图象至少有一个交点
易知，函数表示开口向上，对称轴为的二次函数
，
函数在上单调递增，在上单调递减，
作出函数与函数的草图，如下图所示
由图可知，要使得函数与函数的图象至少有一个交点
只需，即
解得：
故选：B
例3．（2023·全国·高三校联考专题练习）已知函数的图象上存在三个不同点，且这三个点关于原点的对称点在函数的图象上，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则由题意可得函数的图象与函数的图象有三个交点，即方程有三个不同的实数根．由可得，即，令，则直线与函数的图象有三个交点，易得，当或时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极小值为，极大值为．又，，所以当时，直线与函数的图象有三个交点，故实数的取值范围为．故选B．
考点二：函数嵌套问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为
A．B．或C．或D．或或
【答案】A
【解析】在和上单增，上单减，又当时，时，故的图象大致为：
令，则方程必有两个根，且，不仿设 ，当时，恰有，此时，有个根，，有个根，当时必有，此时无根，有个根，当时必有，此时有个根，，有个根，综上，对任意，方程均有个根，故选A.
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）
A．3B．4C．2或3或4或5D．2或3或4或5或6
【答案】A
【解析】根据题意作出函数的图象：，当，函数单调递增，
当时，函数单调递减，所以；
函数，时单调递减，所以，
对于方程，令，则，所以，
即方程必有两个不同的实数根，且，
当时，，3个交点；
当时，，也是3个交点；
故选：A．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）
A．3B．1或3C．4或6D．3或4或6
【答案】B
【解析】由已知，，令，解得或，则函数在和上单调递增，在上单调递减，极大值，最小值.
f(x)的图象如下：
综上可考查方程的根的情况如下：
（1）当或时，有唯一实根；
（2）当时，有三个实根；
（3）当或时，有两个实根；
（4）当时，无实根.
令，则由，得，
当时，由，
符号情况（1），此时原方程有1个根，
由，而，符号情况（3），此时原方程有2个根，综上得共有3个根；
当时，由，又，
符号情况（1）或（2），此时原方程有1个或三个根，
由，又，符号情况（3），此时原方程有两个根，
综上得共1个或3个根.
综上所述，的值为1或3.
故选B.
考点三：函数整数解问题
例7．（2023·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）若函数没有零点，则整数的最大值是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【解析】函数定义域为，函数没有零点可转化为方程
没有实根，
设，则
令，即①，
又函数，，所以恒成立，所以在单调递增，
所以方程①即，即，有唯一的实数解
且函数在上，单调递减，在上，单调递增，
所以有最小值,
又时，，所以方程没有实根，可得
则整数的最大值是1.
故选：C.
例8．（2023·福建泉州·高三泉州五中校考）关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依题意，关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，
即的解集中有且仅有两个大于2的整数，
构造函数，
即的解集中有且仅有两个大于2的整数，
当时，对于，，
即的解集中有无数个大于的整数，不符合题意.
所以.
.
若，即，
设，
，
设，
，
在上递减，且，
所以当时，，递减，
由于，
所以当时，，
所以当时，递减，
所以，
所以当时，恒成立，
即的解集中有无数个大于的整数，不符合题意.
所以，即，
解得，所以的取值范围是.
故选：D
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式有且仅有两个正整数解（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，由，可得（），
显然当时，不等式在恒成立，不合题意；
当时，令，则在上单调递增，
令，则，故上，上，
∴在上递增，在上递减，
又且趋向正无穷时趋向0，故，
综上，图象如下：
由图知：要使有两个正整数解，则，即，解得．
故选：D
考点四：唯一零点求值问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则负实数
A．B．C．D．或
【答案】A
【解析】函数有唯一零点，
设
则函数有唯一零点，
则
设∴ 为偶函数，
∵函数 有唯一零点，
∴与有唯一的交点，
∴此交点的横坐标为0， 解得 或（舍去），
故选A．
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】由题设，，可得：，
由，易知：关于对称.
当时，，则，
所以单调递增，故时单调递减，且当趋向于正负无穷大时都趋向于正无穷大，
所以仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即，解得.
故选：C
例12．（2023春·辽宁·高三校联考期末）已知函数，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（ ）
A．或B．1或C．或D．或1
【答案】C
【解析】由题意，函数，分别是奇函数和偶函数，且，
可得，解得，
则，所以为偶函数，
又由函数关于直线对称，
且函数有唯一零点，可得，即，
即，解得或.
故选：C.
例13．（2023春·福建泉州·高三福建省德化第一中学校考开学考试）已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】因为函数，
令，
则为偶函数，
因为函数有唯一零点，
所以有唯一零点，
根据偶函数的对称性，则，
解得，
故选：B
考点五：等高线问题
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数的图象关于对称，当时，，若方程有四个不等实根，，，时，都有成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】作出函数的图象，如图，作直线，它与图象的四个交点的横坐标依次为，，，，
因为函数的图象关于对称，所以，
，即，且，
显然，不等式变形为，
，
，
所以，
由勾形函数性质知在时是增函数，所以，
令，则，，，
当时，，单调递减，所以，
所以，即的最小值是．
故选：A．
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中是自然对数的底数），若关于的方程恰有三个不等实根，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意设，根据方程恰有三个不等实根，
即必有两个不相等的实根，不妨设
，则，
作出的图象，函数与三个不等实根，且，
那么，可得，，
所以，
构造新函数
当时，在单调递减；
当时，在单调递增；
∴当时，取得最小值为，即的最小值为；
故选：A
例16．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由解析式，在上单调递增且值域为，在上单调递增且值域为，
函数图象如下：
所以，的值域在上任意函数值都有两个x值与之对应，值域在上任意函数值都有一个x值与之对应，
要使恰有三个不同的零点，则与的交点横坐标一个在上，另一个在上，
由开口向下且对称轴为，
由上图知：，此时且，，
结合图象及有，，则，
所以，且，
令且，则，
当时，递增；当时，递减；
所以，故最大值为.
故选：A
考点六：分段函数零点问题
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数在内恰有5个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，对任意的，在上至多个零点，不合乎题意，所以，.
函数的对称轴为直线，.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且.
①当时，即当时，则函数在上无零点，
所以，函数在上有个零点，
当时，，则，
由题意可得，解得，此时不存在；
②当时，即当时，函数在上只有一个零点，
当时，，则，则函数在上只有个零点，
此时，函数在上的零点个数为，不合乎题意；
③当时，即当时，函数在上有个零点，
则函数在上有个零点，
则，解得，此时；
④当时，即当时，函数在上有个零点，
则函数在上有个零点，
则，解得，此时，.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，故，
则函数恰有2个零点等价于有两个不同的解，
故的图象有两个不同的交点，
设
又的图象如图所示，
由图象可得两个函数的图象均过原点，
若，此时两个函数的图象有两个不同的交点，
当时，
考虑直线与的图象相切，
则由可得即，
考虑直线与的图象相切，
由可得，则即.
考虑直线与的图象相切，
由可得即，
结合图象可得当或时，两个函数的图象有两个不同的交点，
综上，或或，
故选：B.
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】令，
当时，且递增，此时，
当时，且递减，此时，
当时，且递增，此时，
当时，且递增，此时，
所以，的零点等价于与交点横坐标对应的值，如下图示：
由图知：与有两个交点，横坐标、：
当，即时，在、、上各有一个解；当，即时，在有一个解.
综上，的零点共有4个.
故选：B
考点七：函数对称问题
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设上一点，，且关于轴对称点坐标为，在上，
有解，即有解．
令，则，，
当时，；当时，，在上单调递减；在上单调递增
，，，
有解等价于与图象有交点， ．
故选：B
例21．（2023·上海·高三专题练习）已知函数f（x）＝x2＋ex－ （x<0）与g（x）＝x2＋ln（x＋a）的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】关于轴对称得到的函数为，依题意可知与在上有公共点，由得，．
对于函数，在上单调递减，且．
对于函数，在上单调递增．
当时，的图像向右平移个单位得到，与图像在上必有个交点．
当时，的图像向左平移个单位得到，要使与图像在上有交点，则需当时（也即轴上），的函数值小于的函数值，即，解得．
综上所述，的取值范围是．
故选：B．
例22．（2023·广西钦州·高一校考阶段练习）若直角坐标平面内的两点、满足条件：①、都在函数的图象上；②、关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”（点对与看作同一对“友好点对”）．已知函数，则此函数的“友好点对”有（ ）
A．4对B．3对C．2对D．1对
【答案】C
【解析】由题意，设点，则的坐标为，
因为，
所以此函数的“友好点对”的个数即方程在时的解的个数，
作与的图像如图所示，
两函数图像有两个交点，所以此函数的“友好点对”有2对
故选：C
考点八：零点嵌套问题
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则，
故当时，，是增函数，
当时，，是减函数，
可得处取得最小值，
，，画出的图象，
由可化为，
故结合题意可知，有两个不同的根，
故，故或，
不妨设方程的两个根分别为，，
①若，，
与相矛盾，故不成立；
②若，则方程的两个根，一正一负；
不妨设，结合的性质可得，，，，
故
又，，
．
故选：A．
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，构造，求导得，当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且，
若，即，则，则，且，
故，
若，即，由于，故，故不符合题意，舍去.
故选A.

例25．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（ ）
A．81B．﹣81C．﹣9D．9
【答案】A
【解析】
∴
∴
令，，则，
∴
令，解得
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
∴，，
∴a﹣3
∴.
设关于t的一元二次方程有两实根，，
∴，可得或.
∵，故
∴舍去
∴6，.
又∵，当且仅当时等号成立，
由于，∴，（不妨设）.
∵，可得，，.
则可知，.
∴.
故选：A.
考点九：函数零点问题之三变量问题
例26．（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）已知函数，若函数有三个不同的零点，且，则的取值范围为
A．(0，1]B．(0，1)C．(1，+∞)D．[1，+∞)
【答案】C
【解析】因为函数有三个不同的零点以及，
所以根据函数的解析式可知，在区间上，在区间上，在区间上，即，
由可知，即，
因为以及在区间上，
所以，即，故选C．
例27．（2023·新疆阿克苏·高三新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学校考阶段练习）若存在两个不相等正实数x,y,使得等式x+a(y-2ex)·(ln y-ln x)=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是( )
A．B．
C．D．(-∞,0)
【答案】A
【解析】由题意知,a=.
设=t(t>0,且t≠1),
则a==(2e-t)ln t.
令f(t)=(2e-t)ln t,f(t)≠0,
则f'(t)=-(1+ln t).
令=1+ln t,得t=e.由数形结合可知,当t>e时,f'(t)<0;当00.所以f(t)≤e,且f(t)≠0,所以0<≤e或<0,解得a<0或a≥.
例28．（2023·全国·高三专题练习）若存在两个正实数、，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由得，设，，
则，则有解，设，
为增函数，，
当时，递增，当时，递减，
所以当时函数取极小值，，即，
若有解，则，即，
所以或，
故选：B．
考点十：倍值函数
例29．（2023春·浙江衢州·高二校联考期中）设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”．下列结论错误的是（ ）
A．函数存在“和谐区间”
B．函数不存在“和谐区间”
C．函数存在“和谐区间”
D．函数（且）不存在“和谐区间”
【答案】D
【解析】对于选项A，存在区间，在上是单调增函数，在上的值域是，故A正确；
对于选项B，假设存在区间，函数在区间上为增函数，
由在上的值域是，可得，
解得 ，这与矛盾，故假设错误，所以选项B正确；
对于选项C，由函数，
可得，
取区间，在此区间上，所以函数在区间上为增函数．
因为，，所以函数在区间上的值域为，所以选项C正确；
对于选项D，不妨设，因为内层函数为增函数，外层函数也为增函数，
所以，函数在其定义域内为增函数，
假设函数存在“和谐区间”，则由得，
所以、是方程的两个根，
即、是方程的两个根．
令，可得，，
设关于的二次方程的两根分别为、，则，则、，
即关于的二次方程有两个正根，故函数存在“和谐区间”，D错.
故选：D.
例30．（2023·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，下列结论错误的是
A．函数存在“和谐区间”
B．函数不存在“和谐区间”
C．函数存在“和谐区间”
D．函数（，）不存在“和谐区间”
【答案】D
【解析】函数中存在“和谐区间”,则①在内是单调函数；②或,若,若存在“和谐区间”,则此时函数单调递增,则由,得存在“和谐区间”正确.若,若存在“和谐区间”,则此时函数单调递增,则由,得,即是方程的两个不等的实根,构建函数,所以函数在上单调减,在上单调增,函数在处取得极小值，且为最小值,,无解,故函数不存在“和谐区间”,正确.若函数,,若存在“和谐区间”,则由,得,即存在“和谐区间”,正确.若函数,不妨设,则函数定义域内为单调增函数,若存在“和谐区间”, 则由,得,即是方程的两个根,即是方程的两个根,由于该方程有两个不等的正根，故存在“和谐区间”,结论错误,故选D.
考点十一：函数不动点问题
例31．（2023·全国·高三专题练习）设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】法一：由题意可得，
，
而由可知，
当时，＝为增函数，
∴时，．
∴ 不存在使成立，故A，B错；
当时，＝，
当时，只有时才有意义，而，故C错．故选D．
法二：显然，函数是增函数，，由题意可得，
，而由可知，
于是，问题转化为在上有解．
由，得，分离变量，得，
因为，，
所以，函数在上是增函数，于是有，
即，应选D．
例32．（2023·全国·高二专题练习）设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵曲线上存在点
∴
函数（）在上是增函数，根据单调性可证
即在上有解，分离参数，，，根据是增函数可知，只需故选A.
例33．（2023·江西南昌·高三专题练习）设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在使得，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，可得，其中是函数的反函数，若曲线上存在使得，因为函数（，为自然对数的底数），所以，，因为，所以，因此命题“若曲线上存在使成立”转化为“存在，使”，即的图像与函数的图像在上有交点，∵的图像与的图像关于直线对称，∴的图像与函数的图像的交点必定在直线上，由此可得，的图像与直线的图像在上有交点，根据，化简整理得，记，在同一坐标系内作出它们的图像，可得
，所以 ，解得，即实数的取值范围为，故B，C，D错误.
故选：A．
考点十二：函数的旋转问题
例34．（2023·全国·高三专题练习）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中的取值只可能是
A．B．1C．D．0
【答案】B
【解析】由题意可得：
问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．
设处的点为，
的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，
旋转后的对应点也在的图象上，
同理的对应点也在图象上，
以此类推，对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点，
当（1）时，即，此时，不满足函数定义；
当（1）时，即，此时，不满足函数定义；
当（1）时，即，此时，，，，不满足函数定义；
故选．
例35．（2023·上海杨浦·高三上海市控江中学校考阶段练习）是定义在上的函数，且，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个
点会重合．
我们可以通过代入和赋值的方法当f（）=，，3时，
此时得到的圆心角为，，，
然而此时x=0或者x=时，都有2个y与之对应，
而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，
因此只有当=，此时旋转，
此时满足一个x只会对应一个y，
故答案为：C
例36．（2023·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考期末）设D是含有数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转90°与原图象重合，则的值一定不可能为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】对于上一点绕原点逆时针旋转90°后对应点为，也在图象上，
所以，绕原点逆时针旋转90°后对应点为，且绕原点逆时针旋转90°后对应点为，均在图象上，
所以，在含有数1的有限实数集D中，
若，则有，若，则有，
若，则有，若，则有，
显然当时有2个y与之对应，不符合函数的定义，的值一定不可能为1.
故选：D.
考点十三：构造函数解不等式
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，
当时，，
当时，，
在上单调递减；
又为的奇函数，
，即为偶函数，
在上单调递增；
又由不等式得，
当，即时，不等式可化为，即，
由在上单调递减得，解得，故；
当，即时，不等式可化为，即，
由在上单调递增得，解得，故；
综上所述，不等式的解集为：．
故选：D．
例38．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，所以，因为，所以，化简得，
所以是上的奇函数；
，
因为当时，，
所以当时，，从而在上单调递增，又是上的奇函数，所以在上单调递增；
考虑到，由，
得，即，
由在上单调递增，得解得，
所以不等式的解集为，
故选：B.
例39．（2023·湖北孝感·高三校联考阶段练习）对于问题“求证方程只有一个解”，可采用如下方法进行证明“将方程化为，设，因为在上单调递减，且，所以原方程只有一个解”.类比上述解题思路，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由不等式，
得.
设函数，则，
所以在上单调递增.
因为，
所以.解得或.
故选：A.
例40．（2023·全国·高三专题练习）是定义在上的函数，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上有极大值B．在上有极小值
C．在上既有极大值又有极小值D．在上没有极值
【答案】D
【解析】根据题意，，故，
又，得，故，
令，
则，
即，
记，
所以，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，即，即，
所以在上单调递增，故在上没有极值.
故选项ABC说法错误，选项D说法正确.
故选：D
考点十四：导数中的距离问题
例41．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数，若对任意的正实数t，在R上都是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意在R上恒成立，其中，
整理得对恒成立，
所以对恒成立，
，
令，，
时，，递减，时，，递增，
所以，
所以的最小值是16，
所以．
故选：D．
例42．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的正实数，函数在上都是增函数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数在上都是增函数，
所以恒成立，
即对任意的实数，在上恒成立，
所以，，，
故只需的最小值．
令， ，
由于时，；时，，即时，取得最小，
故选：A
例43．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【解析】 ，
令 ，则，
其几何意义为点A 与点 之间距离的平方，
设 ，则点A和B分别在 和 的图像上，如下图，
显然 和互为反函数，其图像关于y=x对称，
则A与B的最短距离必然在直线y=x的垂线上，点A与点B关于y=x对称，
不妨设 ，则 ，
，设 ， ，
当 ， ，在x=1处取得最小值 ，
即 ，∴当 取最小值时，即是 取得最小值，
的最小值为 ；
故选：D.
例44．（2023·全国·高三专题练习）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，，令解得，由于，可知当时，递增，时，，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，，，当时，，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A.
例45．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第四中学校考期中）直线分别与函数，交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，且在上递增；
，且在上递增.
所以，且都有唯一解，
，
，
构造函数，
所以在区间递减；在区间递增.
所以的最小值为.
所以的最小值为.
故选：A
考点十五：导数的同构思想
例46．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知可得，，由可得，
所以，，
构造函数，其中，则，
故函数在上为增函数，由可得，
所以，，即，
令，其中，则.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，则，
，解得，故实数的最大值为.
故选：A.
例47．（2023·上海·高三专题练习）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题设可得，令，则在上恒成立，
由，在上；在上；
所以在上递增；在上递减，且，
在上，上，而，
所以，只需在上恒成立，即恒成立，
令，则，即在上递增，故.
故a的取值范围为.
故选：B
例48．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，
即，
构造函数，
所以
，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时
因为当时，单调递减，
故，
两边取对数得：
，
令，则，
令得：，令得：，
所以在单调递增，在单调递减，
所以
故a的最小值是．
故选：C
考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法
例49．（2023·全国·模拟预测）已知函数，对于恒成立，则满足题意的a的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数，对于恒成立，
所以，对于恒成立，
所以，对于恒成立，
设，则为上的增函数，所以，
则，对于恒成立，
设，则，
当时，恒成立，所以在上为增函数，
因为，所以存在，使得，不满足，对于恒成立；
当时，令，得，
所以当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
所以，则，
设，则，
令，得，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以，当且仅当时，等号成立，
又，所以，即.
综上所述：的取值集合为.
故选：D
例50．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知函数对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，且恒成立，
则在上恒成立，令，
则，令，则，
所以在上单调递增，
又因为，，
所以存在，使得，
当时，，也即，此时函数单调递减；
当时，，也即，此时函数单调递增；
故，
因为，所以，
则，令，则，所以在上单调递增，则有，
所以
，
所以，则，
故选：.
例51．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）若存在，使得对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，其中，则，
当时，，则函数在上单调递增，且，
令，则，
因为函数在上单调递增，
，，
所以，存在，使得，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，如下图所示：
由题意得，
直线恒位于的图象上方，的图象下方，
代表直线在轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过且与曲线相切时，最小．
设切点为，则，
整理可得，
令，则，
，
而当时，，，
所以，，
所以当时，，则函数在上单调递增，
所以有唯一的零点，
所以，此时直线方程为，故.
故选：C.
考点十七：三次函数问题
例52．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知任意一个一元三次函数的图象均为中心对称图形，若，则的值为（ ）
A．－4B．－2C．0D．2
【答案】A
【解析】设的对称中心为，
设，
则为奇函数，由题可知，且，
所以，即，
则，
整理得，
所以，解得，
所以函数的对称中心为；
所以，
．
故选：A．
例53．（2023秋·北京·高三校考阶段练习）如图是某高山滑雪场的一段滑道的示意图，图中该段滑道对应的曲线可以近似看作某个三次函数图像的一部分，A，B两点分别是这段滑道的最高点和最低点（在这个三次函数的极值处）.在A，B两点之间的滑道的最陡处，滑道的坡度为（坡度即坡面与水平面所成角的正切值），经测量A，B两点在水平方向的距离为90m，则它们在竖直方向上的距离约为（ ）
A．20m B．30m C．45m D．60m
【答案】B
【解析】把函数图象平移到在轴，在轴上，如图，新函数计算出的竖直方向上的距离与原函数结果相同，
由题意题中三次函数的导函数是二次函数，记为，的最小值是，设，则，，，
因此可设，，，
，
所以它们在竖直方向上的距离约为30 m，
故选：B．
例54．（2023·全国·高三专题练习）一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为（），且有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由函数求导得：，则，
由解得，则有，
，当或时，，当时，，
则在，上单调递增，在上单调递减，
因此，当时，取得极大值，当时，取得极小值，
因函数有三个零点，即函数的图象与x轴有三个公共点，由三次函数图象与性质知，，
于是得，解得，
综上得：，
实数a的取值范围是.
故选：A.
考点十八：切线条数、公切线、切线重合与垂直问题
例55．（2023春·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知函数．则下列四个说法中正确的个数为（ ）
①曲线上存在三条互相平行的切线；
②函数有唯一极值点；
③函数有两个零点；
④过坐标原点O可作曲线的切线．
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】，，，
则当或，，，在，，.
对①，大致图象如图所示，可知方程可能有三个根，即存在三个极值点，故存在三条互相平行的切线，①正确；
对②，结合单调性及大致图象，，
则存在，使得，则当；，故②正确；
对③，，则，则大致图象如图，故③正确；
④设过原点的直线与相切于点，则有
，，，
消元整理可得，易知此方程无解，故④错误．
综上，正确的是①②③．
故选：B.
例56．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知过点不可能作曲线的切线．对于满足上述条件的任意的b，函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设是曲线上的任意一点，，
所以在点处的切线方程为，
代入点得，，
由于过点不可能作曲线的切线，
则直线与函数的图象没有公共点，
，
所以函数在区间上导数大于零，函数单调递增；
在区间上导数小于零，函数单调递减，
所以当时，函数取得极大值也即是最大值，
则．
对于满足此条件的任意的b，函数恒有两个不同的极值点，
等价于恒有两个不同的变号零点，
等价于方程有两个不同的解．
令，则，，
即直线与函数的图象有两个不同的交点．
记，则，
记，则，
所以在上单调递增．
令，得．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，上单调递增．
所以．
所以．因为，所以，所以．
即实数a的取值范围是．
故选：A
例57．（2023秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）若函数的图像上存在两个不同的点，使得在这两点处的切线重合，则称为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A， 显然是偶函数， ，
当 时， ，单调递减，当 时， 单调递增，
当 时， ，单调递减，当 时，单调递增；
在 时， ，都取得极小值，由于是偶函数，在这两点的切线是重合的，故A是“切线重合函数”；
对于B， 是正弦函数，显然在顶点处切线是重合的，故B是“切线重合函数”；
对于C，考察 两点处的切线方程， ，
两点处的切线斜率都等于1，在A点处的切线方程为 ，化简得： ，
在B点处的切线方程为 ，化简得 ，显然重合，
C是“切线重合函数”；
对于D， ，令 ，则 ，
是增函数，不存在 时， ，所以D不是“切线重合函数”；
故选：D.
例58．（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知函数，其导函数为，设，下列四个说法：
①；
②当时，；
③任意，都有；
④若曲线上存在不同两点，，且在点，处的切线斜率均为，则实数的取值范围为.
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】B
【解析】对于①，函数，，，
当时，取到等号，故①不正确；
对于②，，设，，所以在恒成立，
则在上单调递减，故，即，
又，则，所以，可得
令，所以在恒成立，
则在上单调递减，故，即，所以，
综上，恒成立，故②正确；
对于③，设，则，
因为，所以，又，设，
所以，又，所以，则恒成立，
所以在上单调递增，则，
所以，单调递减，则恒成立，
所以，即，故③正确；
对于④，因为，所以，令，则得，
所以，，单调递增，，，单调递减，
所以，又得，且
则可以得的图象如下：
因为曲线上存在不同两点，，且在点，处的切线斜率均为，所以，
则与应存在两个不同的交点，所以，故④不正确.
综上，②③正确，①④不正确.
故选：B.
例59．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为函数的图象上存在两条相互垂直的切线，
不妨设函数在和的切线互相垂直，
则，即①，
因为a一定存在，即方程①一定有解，所以，
即，解得或，
又，所以或，，
所以方程①变为，所以，故A，B，D错误.
故选：C.
考点十九：任意存在性问题
例60．（2023·全国·高三专题练习）某同学对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的有（ ）个.
（1）函数的图像关于y轴对称； （2）对定义域中的任意实数的值，恒有成立；（3）函数的图像与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；（4）对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减，且.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】对于（1）：
∵函数的定义域为，，
∴为偶函数，图象关于轴对称，故（1）正确.
对于（2）：
由（1）知为偶函数，当时，
∴
令，
∵，∴，所以在上单调递增，
∴，即恒成立.故（2）正确.
对于（3）：
函数的图象与轴的交点坐标为，
交点与的距离为，其余任意相邻两点的距离为，故（3）错误.
对于（4）：
，，
当，时，
，，每段区间的长度为，
所以对任意常数，存在常数，，，
使在上单调递减且，故（4）正确.
故选：C.
例61．（2023·全国·高三专题练习）对于任意都有，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，令，
则，所以在上单调递减，在上单调递减，
所以，所以，
所以转化为：，令，，
①当时，，所以在上单调递增，所以
，所以.
②当时，您，所以，
（i）当即时，
，所以在上单调递增，，所以.
(ii)当即时，
在上单调递减，在上单调递增，，
所以，所以.
综上，的取值范围为：.
故选：B.
例62．（2023·全国·高三专题练习）已知且，若任意，不等式均恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题设，，令，则恒成立，
令，则，，
当时，递减；当时，递增；
所以，故递增，
当，即时，，不合题意；
当，即时，要使恒成立，则恒成立，
令且，则，，
当时，递减；当时，递增；
所以，故在上递增，而，
此时时，即恒成立.
综上，的取值范围为.
故选：A
例63．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知函数（，）在区间上总存在零点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设为函数在区间上的零点，
因为函数（，）在区间上总存在零点，
所以，即，，
则点是直线上的点，
所以（），
设（），
则
设，，
则，，
令，，
则，
当时，，所以在上是增函数，
则，即当时，，
所以在是增函数，则，
即时，，所以在上是增函数，
则，
综上：的最小值为，
故选：A.
考点二十：双参数最值问题
例64．（2023·全国·高三专题练习）已知在函数，，若对，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，
令，
则，恒成立，即恒成立，即
令
令，即在单调递增；
令，即在单调递减.
令
令，即在单调递增；
令，即在单调递减；
故选：B
例65．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，满足，则的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，，则
，
令，(m)=m<1,(m)>0,m>1,(m)<0,则在单调递增单调递减，
令，则单调递减，单调递增
由题意，，，，,故x+y=2
故选A
例66．（2023春·河南南阳·高二统考期中）已知e为自然对数的底数，a，b为实数，且不等式对任意的恒成立．则的最大值为______．
【答案】
【解析】依题意：不等式对任意的恒成立，
即①对任意的恒成立，
在上递增，则，
由①，令得，整理得.
当时，，
此时，①即，
只需对任意的恒成立，
令，
所以在区间递增；在区间递减，
所以.
故答案为：
考点二十一：切线斜率与割线斜率
例67．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，在函数图象上任取两点，若直线的斜率的绝对值都不小于，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，在单调递减， 设.设则在上单调递减，则对恒成立，则对恒成立， 则，解之得或.又，所以.
例68．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）已知函数，在函数图象上任取两点，若直线的斜率的绝对值都不小于，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，在单调递减
设，则
设，则在上单调递减
则对恒成立
则对恒成立，
因为，
则，即
解得或，又，所以.
故选：B
例69．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，在其图象上任取两个不同的点、，总能使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由以及，，
所以，，
构造函数，则，
所以，函数在上为增函数，
由于，则对任意的恒成立，
由，可得，
当时，则，当且仅当时，等号成立，
所以，，因此实数的取值范围是.
故选：B.
考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
例70．（2023·湖北·高一校联考阶段练习）设函数，若对任意的实数a，b，总存在使得成立，则实数的最大值为（ ）
A．－1B．0C．D．1
【答案】C
【解析】由已知得
设构造函数满足，即，解得，
则，令，
则函数可以理解为函数与函数在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，
∵，且（当且仅当时取等号），
∴若设直线的方程为，直线的方程为，由此可知当，直线位于直线和直线中间时，纵坐标的竖直距离取得最大值中的最小值，故，
所以实数的最大值为.
故选：.
例71．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由存在，使得成立，故，
又对任意的实数a，b，，则，
可看作横坐标相同时，函数
与函数图象上的纵向距离的最大值中的最小值，
又，作示意图如图所示：
设，则直线的方程，设与相切，
则，得，有，
得或，由图知，切点，则，
当直线与，平行且两直线距离相等时，即恰好处于正中间时，
函数与图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值，
此时，，故.
故选：B
例72．（2023·全国·高三专题练习）设函数，当时，记的最大值为，若恒成立，则的最大值为（ ）
A．eB．C．0D．
【答案】C
【解析】∵取绝对值后有以下四种情况:
，，
，
设,故在恒成立,
∴函数在上单调递增,函数在上单调递减,
又∵函数在上为增函数,
所以函数，在上为增函数,
函数，在上为减函数,
∴，，
，
∴
∴，
∴
∵恒成立，
∴，解得.
∴ 的最大值为
故选：C.
例73．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时设的最大值为，则当取到最小值时（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】A
【解析】，
当时设的最大值，在端点处或最低点处取得
，最小值为2
，最小值为
，最小值为4.5
，最小值
综上可得，取到最小值时0.
故选：A
考点二十三：两边夹问题和零点相同问题
例74．（2023·全国·高三专题练习）若存在正实数x，y使得不等式成立，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】记，
当 时，；当 时，，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
．
记，
当 时，；当 时，，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以．
由题意，
又因为，所以，
故．
故选：D.
例75．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，满足，则的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，，则
，
令，(m)=m<1,(m)>0,m>1,(m)<0,则在单调递增单调递减，
令，则单调递减，单调递增
由题意，，，，,故x+y=2
故选A
例76．（2023·江苏·高一专题练习）若不等式对任意实数恒成立，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【解析】当时，即时，恒成立，
所以恒成立，所以且；
当时，即时，恒成立
所以或恒成立，所以且，
综上，
故选：D.
考点二十四：函数的伸缩变换问题
例77．（2023春·四川·高一阶段练习）定义域为的函数满足，当时，，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当x∈[0,1)时，f(x)=x2−x∈[−,0]当x∈[1,2)时，f(x)=−(0.5)|x−1.5|∈[−1,−]，
∴当x∈[0,2)时，f(x)的最小值为−1，
又∵函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)，
当x∈[−2,0)时，f(x)的最小值为，
当x∈[−4,−2)时，f(x)的最小值为，
若x∈[−4,−2]时，恒成立，
∴恒成立．
即t2−4t+3⩽0，
即(t−3)(t−1)⩽0，
即1⩽t⩽3，
即t∈[1,3]，
本题选择D选项.
例78．（2023秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）定义域为的函数满足，当时，.若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当x∈(2,3),则x−2∈(0,1)，
则f(x)=2f(x−2)−1=2(x−2)2−2(x−2)−1，
即为f(x)=2x2−10x+11，
当x∈[3，4]，则x−2∈[1，2]，
则f(x)=2f(x−2)−1=.
当x∈(0,1)时,当x=时,f(x)取得最小值,且为−；
当x∈[1,2]时,当x=2时,f(x)取得最小值,且为；
当x∈(2,3)时,当x=时,f(x)取得最小值,且为−；
当x∈[3,4]时,当x=4时,f(x)取得最小值，且为0.
综上可得,f(x)在(0,4]的最小值为−.
若x∈(0,4]时, 恒成立，
则有.
解得.
当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为1,
当x∈(2,3)时,f(x)∈[−,−1)，
当x∈[3,4]时,f(x)∈[0,1]，
即有在(0,4]上f(x)的最大值为1.
由，即为，解得，
综上，即有实数t的取值范围是.
故选：C.
例79．（2023·全国·高三专题练习）定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为当时，不等式恒成立，所以，
当时，

当时，，当时， ，因此当时，，选B.
考点二十五：V型函数和平底函数
例80．（浙江省衢州市2022-2023学年高二下学期数学试题）已知等差数列满足：，则的最大值为（ ）
A．18B．16C．12D．8
【答案】C
【解析】
不为常数列，且数列的项数为偶数，设为
则，一定存在正整数k使得或
不妨设，即，
从而得，数列为单调递增数列，
，且，
，同理
即，
根据等差数列的性质，
所以n的最大值为12，选项C正确，选项ABD错误
故选：C.
例81．（浙江省宁波市镇海中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）已知等差数列满足，，则的最大值为（ ）
A．14B．13C．12D．11
【答案】A
【解析】由题意，等差数列满足
，
可得等差数列不是常数列，且中的项一定满足或，且项数为偶数，
设，等差数列的公差为，不妨设，
则，且，即，
由，则，即，
即有，
则
，
可得，解得，
即有的最大值为，的最大值为.
故选：A.
例82．（上海市川沙中学2022-2023学年高一第二学期期末数学试题）等差数列，满足，则（ ）
A．的最大值为50B．的最小值为50
C．的最大值为51D．的最小值为51
【答案】A
【解析】为等差数列，则使，所以数列中的项一定有正有负，不妨设，因为为定值，故设，且，解得.若且，则，同理若，则.所以，所以数列的项数为，所以，由于，所以，解得，故，故选A.
考点二十六：曼哈顿距离与折线距离
例83．（2023·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，下列直角梯形中的虚线可以作为，两点的“曼哈顿距离”是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据题意：，两点的“曼哈顿距离”为，再结合四个选项可以判断只有C选项符合题意.
故选：C．
例84．（2023·四川·高二树德中学校考阶段练习）“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，点，的曼哈顿距离为.若点，Q是圆上任意一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意,是圆上任意一点,
设的坐标为,，
则，
若，即时，则
，，
则当时，即时，取得最大值，
当时，即时，取得最小值，则有,
若,即时，则
，
则当时，即时，取得最大值，
当时，即时，，但此时无法取到，
综上所述,
故选：B.
例85．（2023·高二课时练习）“曼哈顿距离”是19世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创之间，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：.在此定义下，已知点，满足的点M轨迹围成的图形面积为（ ）
A．2B．1C．4D．
【答案】A
【解析】设，
因为，所以，
当时，则
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当，，
所以点M的轨迹如图所示，是一个边长为的正方形，
所以点M轨迹围成的图形面积为，
故选：A
例86．（2023·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．例如在平面直角坐标系中，点、的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设点，则.
①当时，即当，
，
因为，所以，，
当时，取得最大值；
②当时，即当时，
，
因为，则，
当时，取得最大值.
综上所述，的最大值为.
故选：D.
考点要求
考题统计
考情分析
零点
2023年II卷第11题，5分
2022年I卷第10题，5分
2021年I卷第7题，5分
【命题预测】
预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：
（1）导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小．
（2）应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．
不等式
2021年II卷第16题，5分
三次函数
2022年 I卷第10题，5分
2021年 乙卷第12题，5分
判别式
图象
单调性
增区间：，；
减区间：
增区间：
增区间：
图象