【开学考】2024年（上海专用）初中数学01（上海专用）新七年级开学摸底考试卷

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．如图，把底面半径为、高为的圆柱沿着它的高切成若干等份后，拼成一个近似长方体的几何体．那么这个近似长方体的几何体表面积比原来圆柱的表面积增加了（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】长方体的上下面积之和等于圆柱的上下面积之和，长方体的前后面积之和等于圆柱的侧面积．因此长方体的表面积比圆柱表面积增加了左右两个面．由此即可得解．
本题考查了圆柱的表面积和长方体的表面积．发挥空间想象，能够分析出“长方体表面积比圆柱表面积增加了左右两个面”是解题的关键．
【详解】长方体的上下面积之和等于圆柱的上下面积之和，长方体的前后面积之和等于圆柱的侧面积．因此长方体的表面积比圆柱表面积增加了左右两个面．
所以增加的面积为．
故选：D
2．如果与互补，与互余，那么与的数量关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了余角和补角的计算，根据与互补，与互余，先把和都用来表示，再进行运算即可得到答案．
【详解】解：与互补，与互余，
，，
，即，
故选：A．
3．若不等式组无解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组的相关知识，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键．
先解不等式组中的两个不等式，然后由不等式组无解，可得关于的不等式，解不等式即得答案．
【详解】解：解不等式，
得，
解不等式，
得，
∵不等式组无解，
∴，
解得：．
故选：D．
4．若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示．下列结论：
①； ②； ③；
④； ⑤； ⑥．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，以及比较有理数的大小，根据数轴可以确定a、b的正负和它们的绝对值的大小，从而判断题目中各式子是否正确．
【详解】解：由图可知：，，，
，则①正确；
，则②错误；
，则③正确；
，则④正确；
，则⑤错误；
，则⑥正确；
综上所述，正确的结论有①③④⑥，共个，
故选：C．
5．甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（ ）元
A．237B．350C．425D．901
【答案】A
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解本题的关键在找出数量关系，列出方程组．
设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，根据数量单价总价，分别表示出乙采购和并采购的费用，然后根据三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，列方程组，解方程组，再根据签字笔、笔记本、钢笔均为整数，求出答案即可．
【详解】解：设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，则费用分别为元，元，元；
乙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元；
丙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元；
根据题意得
整理，得
由②得：，
∵x、y都是正整数，
∴y可能为1、2、3、4、5，
把③代入①整理，得
，
，
∵z为正整数，y可能为1、2、3、4、5，
∴当时，（不符合题意），
当时，（符合题意），
当时，（不符合题意），
当时，（不符合题意），
当时，（不符合题意），
把代入②得：，
甲艺术中心采购总费用为元，
故选：A．
6．数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，，进行“运算”，得．下列说法：
①对，进行“运算”的结果是，则的值是；
②对，，进行“运算”的结果是，则的取值范围是；
③对进行“运算”，化简后的结果可能存在种不同的表达式．
其中正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值的意义及化简，根据“运算”的定义及绝对值的性质逐项运算即可判断求解，掌握绝对值的意义及性质是解题的关键．
【详解】解：①∵对，进行“运算”的结果是，
∴，
∴或，故①错误；
②∵对，，进行“运算”的结果是，
∴，
∴，
即数对应的点到和对应的点的距离之和等于，
∵，
∴数在和之间，且可以和、重合，
∴，故②错误；
③对进行“运算”得，
，
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式；
∴化简后的结果可能存在种不同的表达式，故③正确；
∴正确的个数是个，
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．已知点C在直线上，，，则线段AC的长为 ．
【答案】2或7/7或2
【分析】本题考查线段的和差关系，分点C在点A的左侧、右侧两种情况，根据线段的和差关系分别求解即可．
【详解】解：当点C在点A的左侧时，如图，
，，
，
；
当点C在点A的右侧时，如图，
，
，
，
综上可知，线段AC的长为2或7，
故答案为：2或7．
8．一个几何体从正面和从左面看到的图形如图所示，若这个几何体最多有个小正方体组成，最少有个小正方体组成，则 ．
【答案】20
【分析】本题考查从不同的方向观察物体和几何图形．
根据从正面和从左面看到的图形，得到每一层最多和最少的小正方体的个数是解题的关键．
【详解】解：综合从正面和从左面，这个几何体的底层最多有（个）小正方体，最少有3个小正方体，第二层最多有4个小正方体，最少有2个小正方体，第三层只有一个小正方形，
那么搭成这样的几何体至少需要（个）小正方体，最多需要（个）小正方体．
∴，
故答案为：20．
9．在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，0，1这三个数值中的一个，若，则 ．
【答案】4 或 10
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是分析判断5个字母的值的和为0时，这5个字母可能是什么数．根据已知条件中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，，求出其中个字母的值的和为，进行推导即可．
【详解】解：中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，，，
有个字母的值分别为，，，另个字母的值的和为，
这个字母的值分别为：，，，，或，，，，，
这个字母的值分别为，，，，，，，或，，，0，0，0，0，，
，
，
；
或
，
；
故答案为：或4．
10．如果，那么 ．
【答案】4
【分析】本题考查了有理数的乘方的定义及法则．熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义，已知等式中的相当于的5次方，由此可以求出x的值为．已知等式中的8相当于2的3次方，由此可以求出y的值为2．进而可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
因此．
故答案为：4．
11．根据如图所示的程序计算，若输入x的值为6和，则输出的值分别为 ．
【答案】4和5
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，绝对值的求解，根据程序顺序代入求值即可，解题的关键是读懂程序框图，并掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
【详解】解：输入x的值为6时，，
输出的值为；
输入x的值为时，，
输出的值为；
所以输出的值分别为4和5，
故答案为：4和5．
12．如图，在长方体中，与面平行的面是 ．
【答案】
【分析】在立方体中，面与面之间的关系有平行和垂直两种．
本题考查了几何体中的位置关系，熟练掌握在立体图形中，两个平行的面中的每条棱也互相平行的性质是解题的关键．
【详解】解：观察图形，与面平行的面即与它相对的面就是面．
故答案为：面．
13．已知关于，的两个方程组和的解相同，则 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程，先根据方程组和的解相同，得方程组的解是方程组和的解，再由，得，然后将代入和中，得，由此可得的值，理解二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程是解决问题的关键．
【详解】解：∵方程组和的解相同，
∴方程组的解是方程组和的解，
解方程组，得，
将代入和，
得，
得：，
∴，
故答案为：．
14．某楼盘商品房（共30层）售价方案如下：第1层每平方米售价5000元，每上升1层，每平方米售价增加50元，小王准备购买一套的房子，按照售房政策，可以贷款购房，但需要首付，现在小王只有20万元，他最高可以买第 层的房子．
【答案】12
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设小王购买了第x层的房子，根据第x层的房子的售价的不超过20万元列出不等式求解即可．
【详解】解：设小王购买了第x层的房子，
由题意得，，
解得，
∵x为正整数，
∴x的最大值为12，
∴小王最高可以买第12层的房子，
故答案为：12．
15．定义一种新运算：，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，由结合题意得出，解方程即可得出答案，理解题意，正确得出方程是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
16．已知是关于x的方程的解，n满足关系式，则的值是 ．
【答案】或1
【分析】此题考查了一元一次方程的解，本题求、的思路是根据某数是方程的解，把代入方程，求出的值，把的值代入关系式，求出的值，进而求出的值．
【详解】解：将代入方程中，
得．
解得．
将代入关系式中，得．
解得或．
所以的值为或1．
17．如图是一个时钟的钟面，此时钟面上的时间是下午1点30分，时钟的分针与时针所成的钝角的度数为 度．
【答案】135
【分析】本题考查钟面角，整个圆分为12个大格，每个大格30度，下午1点30分时，时针与分针所成的钝角含4.5个大格，由此可解．
【详解】解：下午1点30分时，时针与分针所成的钝角含4.5个大格，每个大格30度，
因此时钟的分针与时针所成的钝角的度数为：（度），
故答案为：135．
18．如图，直线与相交于点，，将一等腰直角三角尺的直角顶点与重合，平分．将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒，若直线平分，则的值为 ．

【答案】36或108
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转等知识点，分两种情况进行讨论：当平分时，；当平分时，，分别利用t表示角度，根据等量关系列方程求解即可，利用旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键．
【详解】∵平分，
∴，
∴，
①当平分时，，
此时，
∴
∴，
解得，
．
②当平分时，，
此时，，
∴，
解得．
故答案为：36或108．
．
三、解答题（本大题共8题，满分58分）
19．计算∶
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)0
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的顺序以及运算法则是解题的关键．
（1）利用有理数乘法分配律简便运算即可；
（2）先计算乘方，再将除法转化为乘法，计算乘法，最后计算减法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．计算
(1)解方程组：
(2)解方程组：
(3)解一元一次不等式并把解集在数轴上表示出来．
(4)解不等式组，并写出它的整数解．
【答案】(1)
(2)
(3)，表示在数轴上见解析
(4)1>,整数解为：．
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法、一元一次不等式以及一元一次不等式组的解法，掌握代入消元法解方程组、一元一次不等式的解法是解题的关键．
（1）利用加减元法解出方程组；
（2）整理方程组后，利用加减元法解出方程组；
（3）根据解一元一次不等式的一般步骤解出不等式，即可在数轴上表示出来即可；
（4）分别解出不等式，得到不等式组的解集，即可得到它的整数解．
【详解】（1）解：
由①②得：，解得：，
把代入②得：，解得：，
则方程组的解为：；
（2）解：整理得，
由①②得：，解得：，
把代入②得：，解得：，
则方程组的解为：；
（3）解：
，
表示在数轴上如图所示：
；
（4）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为:1>
整数解为：．
21．阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算．
计算：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键；
（1）逆用分配律把原式化为，再计算即可；
（2）逆用分配律把原式化为，再计算即可；
（3）逆用乘法分配律计算即可；
（4）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
=
=
=．
22．如图，已知，是的平分线，过点O作．
(1)的补角是______，的余角是______；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)；，
(2)
【分析】本题主要考查补角，余角的定义，平行的性质，角平分线的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据补角，余角的定义即可得到答案；
（2）根据题意得到，再由角平分线的定义以及平行的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：根据补角，余角的定义，的补角是，
是的平分线，
，
故的余角是和；
（2）解：，
．
，
，
，
，
，
是的平分线，
．
，
，
．
23．一个高1米的直柱体容器如图1所示，俯视图如图2所示（单位：分米）．容器中有甲、乙两块挡板（挡板的体积忽略不计）将容器分成三个区域，其中甲挡板高6分米，乙挡板高8分米．往区域匀速注水，10分钟后，区域水的高度是3分米．
(1)每分钟注水多少升？
(2)如果往区域注水的同时以同样的速度往区域注水，多少分钟后，区域水的高度是区域的2倍？
【答案】(1)6升
(2)9.6分钟
【分析】本题考查应用长方体体积公式的灵活变形解决水的容积问题．
（1）先向区域注水，注满后再流向区域，当区域水的高度是3分米时，用此时区域的水的总容积除以10分钟就是每分钟注水多少升；
（2）因为区域的底面积是12平方分米，区域的底面积是8平方分米，所以相同时间内一定是区域先注满水后流向区域．先求区域注满水需要的时间及此时区域里水面的高度．再设还需分钟，区域水的高度是区域的2倍．解出的与区域注满所需时间求和，即为所求．
【详解】（1）解：（立方分米）
60立方分米升
（升）
答：每分钟注水6升．
（2）解：（分钟）
（分米）
设还需分钟，区域水位是区域的2倍，
；
；
；
；
；
；
（分钟）
答：9.6分钟后，区域水位是区域的2倍．
24．某市在园林城市创建过程中，决定购买A，B两种树对某路段进行绿化改造，若购买A种树3棵，B种树4棵，需要3200元；购买A种树5棵，B种树2棵，需要3000元．
(1)求购买A，B两种树每棵各需多少元？
(2)考虑到绿化效果，购进A种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于45000元．若购进这两种树共100棵．问有哪几种购买方案？
(3)哪种方案最省钱？求出相应的购买费用．
【答案】(1)购买A种树每棵需400元，购买B种树每棵需500元
(2)有三种购买方案，分别是：方案1：购买A种树48棵，购买B种树52棵；方案2：购买A种树49棵，购买B种树51棵；方案3：购买A种树50棵，购买B种树50棵
(3)方案三：购买A种树50棵，购买B种树50棵，最省钱，购买费用为元
【分析】本题考查二元一次方程组实际应用，一元一次不等式应用，有理数四则运算的实际应用．
（1）根据题意列二元一次方程组解出即可；
（2）根据题意列一元一次不等式，解出后列出方案即可；
（3）根据（2）中方案列式计算比较即可．
【详解】（1）解：设购买A种树每棵需x元，购买B种树每棵需y元，
由题意可知：，
解方程组得，
答：购买A种树每棵需400元，购买B种树每棵需500元．
（2）解：设购进A种树a棵，由题意可知：
，解不等式得：，
又因为购进A种树不能少于48棵，即：，
∴有三种购买方案，分别是：
方案1：购买A种树48棵，购买B种树52棵；
方案2：购买A种树49棵，购买B种树51棵；
方案1：购买A种树50棵，购买B种树50棵．
（3）解：由（2）知：
方案1：（元）；
方案2：（元）；
方案1：（元）；
，
方案三：购买A种树50棵，购买B种树50棵，最省钱，购买费用为元．
25．八个棱长为10厘米的正方体拼成一个长方体．
(1)不同的拼法得出的长方体的体积是否相等？是多少？
(2)长方体的表面积是多少？
【答案】(1)相等，立方厘米
(2)平方厘米，或者平方厘米，或者平方厘米
【分析】本题考查长方体和正方体的表面积，
（1）不管如何拼，长方体都是由八个正方体构成的，即长方体的体积恒定等于八个小正方体的体积之和，据此即可作答；
（2）把8块正方体摆成一个长方体有三种组合方法：排列：长宽高分别为：80厘米、10厘米、10厘米；排列：长宽高分别为40厘米、20厘米、10厘米；排列：长宽高分别为20厘米、20厘米、20厘米；分别求出它们的表面积即可解答问题．
【详解】（1）∵拼成的长方体都是由八个小正方体构成的，即长方体的体积恒定等于八个小正方体的体积之和，
∴不同的拼法得出的长方体的体积相等，
体积为：（立方厘米）；
（2）拼接方法有三种：
（1）排列：长宽高分别为：80厘米、10厘米、10厘米；
（平方厘米）；
（2）排列：长宽高分别为40厘米、20厘米、10厘米；
（平方厘米）；
（3）排列：长宽高分别为20厘米、20厘米、20厘米；
（平方厘米）；
拼成的长方体的表面积为：平方厘米，或者平方厘米，或者平方厘米．
26．对于四条具有公共顶点的射线，如果其中两条射线构成的角α位于另两条射线构成的角β内，且α等于β的一半，那么我们把角α称为角β的内半角，这四条射线称为成内半角射线组．
(1)如图1，已知，，是的内半角，则 度．
(2)下列各图中，已知，，，那么其中射线、、、为成内半角射线组的是 ．
(3)如图2，已知，现将射线、同时绕顶点O以5度/秒的速度顺时针旋转，对应得到射线、．问：在旋转一周的过程中，射线、、、能否为成内半角射线组？如果能，请直接写出旋转的时间；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)55
(2)D
(3)在旋转一周的过程中，射线、、、能为成内半角射线组，旋转时间为2秒或18秒或54秒或70秒
【分析】本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，角度的和差运算，一元一次方程的应用．由旋转正确表达对应的角是本题解题关键．
（1）根据“内半角”的定义，可求出，再根据求解即可；
（2）根据“内半角”的定义，逐项判断即可；
（3）分四种情况讨论，结合“内半角”的定义列出一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：∵是的内半角，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）解：A：∵，
∴，
∴射线、、、不能称为成内半角射线组；
B：∵，
∴，
∴射线、、、不能称为成内半角射线组；
C：∵，
∴，
∴射线、、、不能称为成内半角射线组；
D：∵，
∴，
∴射线、、、能称为成内半角射线组．
故选D；
（3）解：分类讨论：①当射线在内时，如图，
∴，．
如果射线、、、能为成内半角射线组，则，
∴，
解得：；
②当射线在外时，有以下两种情况：
ⅰ如图，
∴，．
如果射线、、、能为成内半角射线组，则，
∴，
解得：；
ⅱ如图，
∴，．
如果射线、、、能为成内半角射线组，则，
∴，
解得：；
③当射线在内时，如图，
∴，．
如果射线、、、能为成内半角射线组，则，
∴，
解得：．
综上可知在旋转一周的过程中，射线、、、能为成内半角射线组，旋转时间为2秒或18秒或54秒或70秒．
逆用乘法分配律解题
我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多